Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
ленная в той же системе отсчета, относительно которой опре-
деляется скорость полюса. Отсюда следует, что
2
2
k
Поскольку
hv , из (19.1) следует
kk
2
Ck
2
kC
CkCCkCC
22
kk
vv2vv)vv()vv(v
.
kCC
vmv)hm(5,0v)m(5,0T
.
kCkC
Первая скобка здесь равна массе М тела, а вторая - момен-
ту инерции тела
J относительно мгновенной оси СР. По-
CP
следняя сумма это импульс тела во вращательном движении
вокруг оси СР, проходящей через центр масс тела. Согласно
14.1,
vMvm
CCkCk
0. Тогда
2
. (16.6)
C
2
J5,0Mv5,0T
CP
Следовательно, кинетическая энергия тела в общем случае
движения (в частности и при плоскопараллельном движении)
равна сумме кинетической энергии поступательного движения
со скоростью центра масс, и кинетической энергии вращательного движения вокруг центральной мгновенной оси.
Если за полюс взять не центр масс, а некоторую другую
0vm
точку А, то для оси, проходящей через эту точку,
kAk
и выражение для T будет отлично от (16.6) (см. задачу 16.3).
Рассмотрим примеры решения задач.
Задача 16.1. Определить кинетическую энергию катящегося без скольжения сплошного цилиндрического колеса массы
М, если скорость его центра масс равна
v
(рис. 16.6, а).
C
Решение. Колесо движется плоскопараллельно. По формуле (16.5) или (16.6)
2
.
C
2
J5,0Mv5,0T
C
Если колесо сплошной однородный цилиндр, то (см. 12.3)
2
C
MR5,0J , где R - радиус колеса. С другой стороны, так как
точка В является для колеса мгновенным центром скоростей,
то RBCv
C
и R/vC
. Тогда
,
231
22C22
C
2
Mv75,0RvR25,0Mv5,0T
.
C
Задача 16.2. Относительно горизонтальной направляющей, помеченной штрихами, поступательно со
скоростью
движется деталь А. В
u
детали А имеется паз, по которому
поступательно со скоростью
v
пе-
ремещается тело В массы М (рис.
Рис. 16.3
16.3). Зная угол , определить кине-
тическую энергию тела В относительно направляющей.
Решение. Абсолютное движение тела В будет поступа-
тельным со скоростью
, поскольку переносное и от-
vuw
носительное движения тела являются поступательными движениями. Тогда
Пусть
222
2r
и
Mu5,0T
2e
Mv5,0T - кинетические энергии
)cosuv2vu(M5,0Mw5,0T
.
тела в относительном и переносном движениях. Очевидно, что
22er
. Из этого выражения видно,
TMu5,0Mv5,0TT
что, если тело совершает сложное движение, то его полная ки-
нетическая энергия не равна в общем
случае сумме кинетических энергии
тела в относительном и переносном
движениях.
Задача 16.3. Часть механизма со-
стоит из движущейся поступательно
Рис. 16.4
со скоростью
детали (рис. 16.4) и
u
прикрепленного к ней на оси А
стержня АВ длины 1 и массы М. Стержень вращается вокруг
оси А (в направлении, указанном дуговой стрелкой) с угловой
скоростью . Определить кинетическую энергию стержня в
положении, указанном на рисунке.
232
Решение. Стержень совершает сложное (плоскопараллель-
ное) движение. По формуле (16.5) или (16.6)
2
C
Скорость точки С складывается из скорости
относительной скорости
r
v
, имеющей модуль
2
J5,0Mv5,0T
.
C
полюса А и
u
и направ-
2/l
ленной перпендикулярно отрезку АВ.
Следовательно (рис. 16.4),
222
C
cosuv2vuv
.
Угловые скорости вращения стержня вокруг точек А и С
одинаковы, поскольку угловая скорость вращения тела в плоскопараллельном движении не зависит от выбора полюса. Со-
2
гласно 12.1
Здесь
C
P
12/MlJ
2
Mu5,0T и 6/MlJ5,0T
. Тогда
.
Aw
22222
222
6/MlcosMlu5,0Mu5,0
22
- кинетические
24/Ml)coslul25,0u(M5,0T
энергии, которые имело бы тело, совершая только поступательное движение или только вращательное движение относительно точки А. Очевидно, что
222
wP
T6/MlMu5,0TT
.
Последний результат означает, что представление кинетической энергии тела, совершающего плоское движение в виде
(16.6) возможно, только если момент инерции тела определяется относительно центра масс тела.
16.2. Работа сил, приложенных к системе
Работы сил, приложенных к материальной точке, определяются по формулам, полученным в 9.4, 9.5. Рассмотрим дополнительно следующие случаи.
1. Работа сил тяжести, действующих на систему. Работа
силы тяжести, действующей на частицу массой
)zz(gm
, где 0kz и 1kz - начальная и конечная верти-
1k0kk
m , равна
k
кальные координаты положение частицы (см. 9.5). Тогда сумма работ всех сил тяжести, действующих на систему, согласно
233
формулам для координат центра масс, будет равна
F
F
F
zmgzmgzGzGA
1kk0kk1kk0kk
Gh)zz(gM ,
C1k0k
где M и G- масса системы и суммарная сила тяжести, действующая на систему;
h - вертикальное перемещение центра
C
масс системы.
Следовательно, работа сил тяжести, действующих на систему, вычисляется как работа их равнодействующей G на перемещении центра масс системы.
2) Работа сил, приложенных к
вращающемуся телу. Элементарная
работа приложенной к телу силы
(рис. 16.5) (см. 9.4)
Рис. 16.5
лы
тела;
относительно оси вращения
d
- угол поворота тела.
По определению
Поскольку )F(mM
hdFdFdA , где
- момент силы
zz
- плечо си-
h
z
)F(mhF
относительно оси Oz,
dMdAz . (16.7)
Следовательно, при вращении тела относительно неподвижной оси элементарная работа силы равна произведению
вращающего момента силы относительно этой оси на элементарный угол поворота тела относительно этой оси. Формула
(16.7) верна и при действии нескольких сил, если считать что
При повороте на конечный угол
)F(mM
.
kzz
работа силы
1
0
1
dMA
. (16.8)
z
При действии постоянного момента силы
234
.
dt
dt
MA . (16.9)
1z
Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости,
перпендикулярной оси Oz, то
M следует считать моментом
z
этой пары.
Мощность момента силы (см. 9.4)
M
d
M
zz
dA
W . (16.10)
Следовательно, при действии силы на вращающееся тело
мощность равна произведению вращающего момента силы на
угловую скорость тела. При той же самой мощности вращающий момент будет тем меньше, чем больше угловая скорость.
3) Работа сил трения, действующих на катящееся тело. На
колесо радиуса R (рис. 16.6), катящееся по некоторой поверхности без скольжения, дей-
ствует сила трения
F
,
T
препятствующая скольжению точки касания В вдоль
плоскости. Элементарная
работа этой силы
dFdA . При отсутст-
BT
вии скольжения точка В
является мгновенным центром скоростей и
dtvdBB
, 0d
и
B
.
0dA
Рис. 16.6
v
= 0. Поскольку
B
Следовательно, при качении без скольжения, работа силы
трения, препятствующей скольжению, на любом перемещении
тела равна нулю. Если считать тела недеформируемыми, а си-
лу нормальной реакции N приложенной в точке В, то работа
нормальной реакции N также будет равна нулю.
Сопротивление качению, возникает вследствие деформаций поверхностей (рис. 16.6, б), за счет которых возникает па-
ра сил ( N, G) с моментом
, где k - коэффициент тре-
kNM
ния качения.
235
Сопротивление качению обычно мало в сравнении с дру-
гими сопротивлениями, и его обычно не учитывают.
16.3. Теорема об изменении кинетической
энергии системы
Доказанная в 9.6 теорема верна для любой точки системы.
Для некоторой точки системы, имеющей скорость
m элементарное изменение кинетической энергии
k
i
где
2kk
e
dA
k
и
i
dA
- элементарные работы действующих на точку
k
e
k
dAdA)v0,5m d(
, (16.11)
k
v
и массу
k
внешних и внутренних сил.
Составляя такие же соотношения для каждой из точек сис-
темы, и складывая их, получим
2kk
e
dAdA) v0,5md(
k
i
,
k
или
e
dAdATd
k
i
. (16.12)
k
Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав его части в пределах перемещения системы, из некоторого начального состояния с кинетической энергией равной
T , в состояние с кинетической энергией
0
e
AATT
k0!
T , получим
1
i
. (16.13)
k
Это соотношение выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном (интегральном) виде: изменение
кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к телам системы.
В отличие от предыдущих теорем, внутренние силы в выражениях (16.12) или (16.13) не исключаются. При перемещении двух точек k и l взаимодействующих между собой с си-
лами
i
kl
i
FF
, направленными навстречу друг другу, работа
lk
каждой из сил положительна и сумма работ будет отлична от
236
нуля. Примером может служить явление отдачи (отката) ору-
дий, при котором внутренние силы давления, действующие и
на снаряд и на откатывающиеся части орудия, совершают положительную работу. Сумма
этих работ положительна, и
изменяет кинетическую
энергию системы от величины T= 0 до выстрела до величины
в конце вы-
0T
стрела.
Рассмотрим два важных
Рис. 16.7
частных случая.
1) Неизменяемая система. Неизменяемой называют систему, в которой расстояния между точками приложения внутренних сил во время движения системы не изменяются. Такими системами являются абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить.
Пусть две точки
16.7), действующие друг на друга с силами
данный момент скорости
B и 2B неизменяемой системы (рис.
1
i
F
12
v
и
v
1
. Тогда, за промежуток вре-
2
и
i
F
, имеют в
21
мени dt эти точки совершат элементарные перемещения
dtvrd
и dtvrd
11
Поскольку отрезок
вестной теореме кинематики проекции векторов
следовательно, и перемещений
резка
BB , будут равны друг другу, т. е.
21
модули элементарных работ сил
, направленные вдоль векторов 1v
22
BB , не изменяет свою длину, то по из-
21
v
и
1
rd
и
rd
1
на направление от-
2
BBBB
i
F
12
и
i
F
будут одинаковы, а
21
и
v
2
. Тогда
2211
v
2
, а
их знаки - противоположны и в сумме дадут нуль. Этот результат верен для всех внутренних сил при любом перемещении системы.
Следовательно, для неизменяемой системы сумма работ
всех внутренних сил равна нулю и (16.12) или (16.13) принимают вид
.
237
R
e
dATd или
k
e
ATT . (16.14)
k0!
2) Система с идеальными связями. Пусть на систему, наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все
действующие на точки системы внешние и внутренние силы
на активные и реакции связей. Тогда уравнение (16.12) примет
вид
a
dAdATd
k
a
dA
где
- элементарная работа внешних и внутренних актив-
k
ных сил, действующих на точку k системы, а
r
,
k
r
dA
- элемен-
k
тарная работа реакций внешних и внутренних связей, наложенных на ту же точку.
Как видно, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако
можно ввести понятие о таких механических системах, для которых связи не изменяют кинетическую энергию системы при
ее движении. Для таких связей должно выполняется условие
r
0dA
. (16.15)
k
Если для не изменяющихся со временем связей, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы
равна нулю, то такие связи называют идеальными. Существует
несколько видов идеальных связей.
В 9.6 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или линия), трением о которую можно
пренебречь, то при скольжении тела вдоль такой поверхности
(линии) работа реакции N равна нулю.
В 16.2 было показано, что если пренебречь деформациями,
то при качении без скольжения тела по шероховатой поверх-
ности работа нормальной реакции N и силы трения
F
T
, т. е.
касательной составляющей реакции, равна нулю.
Работа реакции
любого шарнира, если пренебречь тре-
нием и зазором, будет также равна нулю, поскольку точка
238
приложения силы
R
при любом перемещении системы непод-
вижна.
Если материальные точки
вать как связанные жестким (недеформируемым) стержнем
B , то силы
2
i
F
12
и
i
F
будут реакциями стержня. Работа каж-
21
B и 2B (рис. 16.7), рассматри-
1
B
1
дой из этих реакций при перемещении системы не равна нулю,
но сумма этих работ равна нулю. Таким образом, все рассмотренные связи с учетом перечисленных оговорок можно считать идеальными.
Для механической системы, на которую наложены только
постоянные идеальные связи, получим
a
dATd или
k
a
ATT . (16.16)
k0!
Таким образом, изменение кинетической энергии системы
с идеальными постоянными связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении, всех приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.
Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том
числе и заранее неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Теоремы об изменении кинетической
энергии важна потому, что при постоянных идеальных связях
она позволяет исключить из уравнений движения все заранее
неизвестные реакции связей.
16.4. Решение задач
Теоремой об изменении кинетической энергии удобно
пользоваться в тех случаях, когда движущаяся система является неизменяемой. В этих случаях теорема позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при
постоянных связях и неизвестные реакции внешних связей.
В случае изменяемой системы теорема дает решение задачи только тогда, когда внутренние силы заранее известны. В
противном случае (см. задачи 13.1, 14.2 и др.) получить реше-
239
ние с помощью одной только теоремы об изменении кинетиче-
ской энергии не возможно.
Уравнение (16.13) позволяет решать задачи, в которых в
число данных и искомых величин входят: 1) действующие силы; 2) перемещение системы; 3) скорости тел (линейные или
угловые) до и после перемещения. При этом действующие силы должны быть постоянными или зависеть только от перемещений (расстояний).
Важно знать, что с помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно в случаях, когда положение системы
определяется одним параметром, составлять дифференциальные уравнения движения системы и, в частности, находить ус-
корения движущихся тел. Для этого надо составить уравнение (19.13), продифференцировать обе его части по
времени и исключить скорость (см. задачи 16.6, 16.7). При произвольных действующих силах удобнее составлять
уравнение движения в виде (16.12), т. е.
в дифференциальной форме (см. задачу
16.8).
Рис. 16.8
Задача 16.4. Стержень АСВ длины 1
подвешен на шарнире в точке А (рис. 16.8). Пренебрегая трением в шарнире А, найти, какую наименьшую угловую скорость , надо сообщить стержню в нижнем положении, чтобы
он отклонился до горизонтального положения, имея в этом положении угловую скорость
0.
Решение. В число данных и искомых в задаче величин
входят
,
= 0 и перемещение системы, определяемое уг-
0
1
лом . Следовательно, для решения задачи удобно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. По-
скольку тела системы считаются недеформируемыми, (16.14)
примет вид
e
ATT . (а)
k0!
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]