Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
ментов импульсов дисков относительно оси z должна быть
2211z
122
1
122
1
1
2
z
Рис. 15.4
равна нулю: 0JJK
. При получении этого вы-
ражения использовано очевидное условие: момент импульса
системы относительно оси z равен сумме моментов импульсов
каждого из дисков относительно той же оси. Отсюда
где
J/J и
и
- углы закручивания дисков, отсчитываемые от
J/J ,
начального положения.
Соотношение между углами получено интегрированием
соотношения между скоростями.
Таким образом, колебания будут происходить с противоположно направленными скоростями, а угловые амплитуды
колебаний будут обратно пропорциональны моментам инерций дисков. Неподвижное сечение вала будет ближе к диску с
большим моментом инерции.
Задача 15.2. В регуляторе АВ, имеющем вертикальную ось
вращения Oz (величина
J регулятора известна), помещены
два симметрично расположенных груза массы m каждый, прикрепленных к пружинам (рис. 15.4). В момент
t = 0 угловая
0
скорость регулятора имеет
величину
, а каждый из
0
грузов начинает совершать одинаковые затухающие колебания около
центра С, удаленного от
оси z на расстояние l.
Пренебрегая трением в
опорах оси и считая грузы
материальными точками,
определить закон изменения угловой скорости регулятора в
зависимости от положений грузов.
Решение. Чтобы исключить неизвестные упругие силы
пружин, рассмотрим регулятор и грузы как одну систему. То-
221
гда силы упругости пружин станут внутренними силами. Эти
z
z
силы проходят через ось вращения регулятора. Поэтому
e
0)F(m
грузов до точек С равно 0 и
вольный момент времени t величина
Поскольку
Следовательно, когда x > 0,
и
kz
K = const. В момент
KK ,
z0z
ml2J
z
z
t = 0 расстояние х от
0
J(K
z0z
2
0
2
)xl(m2J
, а когда x < 0,
0
2
)ml2
. В произ-
0
zz
.
2
))xl(m2J(K
.
0
Поэтому угловая скорость колеблется около среднего значения
зов х стремится к нулю и стремится к
. С течением времени при затухании колебаний гру-
0
.
0
Задача 15.3. По ободу круглой горизонтальной платформы
массы M радиуса R проложены рельсы (рис. 15.5). Платформа
вместе со стоящим на рельсах заводным вагончиком массы m
вращается вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью
. В некоторый момент времени
0
вагончик начинает двигаться по
рельсам относительно платформы
со скоростью
в сторону вращения
u
платформы. Как изменится при этом
угловая скорость платформы?
Решение. Чтобы исключить не-
известные силы трения между коле-
Рис. 15.5
сами вагончика и платформой, считаем платформу и вагончик одной
системой. Моменты действующих на эту систему внешних сил
относительно оси z равны нулю. Следовательно,
K = const.
Пусть платформа - однородный круглый диск, а вагончик - материальная точка. Тогда их моменты инерции относительно
.
222
оси z будут равны
z
dt
1
r
v
2
и
MR5,0
в начале движения вагончика
2
. Момент импульса системы
mR
22
)mRMR5,0(K
0z
.
0
Абсолютная скорость движущегося вагончика, равна
, где - мгновенная угловая скорость платформы.
Ruv
Момент импульса вагончика относительно оси z равен
2
)RuR(mmvR
Так как
K = соnst, то
. Момент импульса системы
22
1z
KK . Следовательно
m
0
0z1z
u
.
R
mM5,0
)RuR(mMR5,0(K
.
Как видно, при движении вагончика в сторону вращения
платформы, угловая скорость платформы, уменьшается. Если
вагончик будет двигаться в противоположную сторону, то угловая скорость платформы увеличится.
Задача 15.4. На барабан массы M и радиуса r
(рис. 15.6) намотана нить с грузом А массы m на
конце. Без учета массы нити и трения в опорах
оси, определить угловое ускорение барабана при
вертикальном движении груза, если радиус
инерции барабана относительно его оси равен
.
Рис. 15.6
Pешение. Применяя теорему моментов от-
носительно оси О, получаем
Kd
0
e
. (а)
)F(m
ko
Движущаяся система состоит из двух тел. Поэтому
KKK , где
21o
K и 2K - моменты импульса барабана и
груза относительно оси вращения барабана.
Груз, движущийся поступательно, можно считать матери-
альной точкой. Его скорость
. Барабан вращается вокруг
неподвижной оси. Следовательно,
223
2
,
01
2
rmmvrK
Момент импульса системы
Подставляя
K в (а), получим
o
22
MJK .
o
mgr)mrM(
2
22
.
.
)mrM(K
Отсюда определяется мгновенное угловое ускорение бара-
бана )mrM/(mgr
22
.
Это ускорение постоянно, что и следовало ожидать при
постоянных движущих силах и силах сопротивления.
Аналогичный результат получается и при использовании
основного закона динамики.
15.5. Задачи для самостоятельного решения
15.5.1. Механизм эллипсографа состоит из ползунов А и В массой m каждый, кривошипа ОС весом массой m и лилинейки АВ массы 2m. Кривошип ОС
вращается вокруг неподвижной оси
Oz
,
перпендикулярной плоскости чертежа, с
угловой скоростью . Найти момент импульса этой системы относительно оси
, рассматривая линейку АВ и кривошип
Oz
Рис. 15.7
ОС как однородные тонкие стержни, а ползуны А и В - как материальные точки, если ОС= АС = СВ= l (рис. 15.7).
15.5.2. На поверхности круглого однородного цилиндра радиусом r и массы М, который может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси z, имеется канал
в форме винтовой линии; в этом канале находится шарик (материальная точка) массой m.
В некоторый момент времени, когда система
неподвижна, шарик начинает двигаться по
Рис. 15.8
винтовой линии под действием силы тяжести,
224
а цилиндр начинает при этом вращаться вокруг оси z в проти-
v
воположном направлении. На какой угол повернется цилиндр
за то время, в течение которого шарик
опустится на расстояние, равное шагу
винтовой линии (рис. 15.8).
h
15.5.3. Сплошной цилиндр радиусом r, положенный, как указано
на рис. 15.9, на цилиндрические ролики А и В, вращается с угловой скоростью
вокруг своей горизон-
0
тальной оси О. В некоторый момент
ролики затормаживаются. Через
Рис. 15.9
сколько времени после этого цилиндр
остановится, если коэффициент трения между цилиндром и
роликами равен f, а
.
2AOB
15.5.4. Для быстрого торможения больших маховиков
применяется электрический тормоз, состоящий из двух электромагнитов, расположенных диаметрально противоположно и
питаемых постоянным током. Токи Фуко, индуцируемые в массе маховика, при его движении около магнитов создают тормо-
зящий момент
маховика: kvM
M , пропорциональный скорости
1
, где
1
- коэффициент, зависящий от маг-
k
точек обода
нитного потока и размеров маховика.
Момент
M от трения в подшипниках
2
можно считать постоянным: радиус маховика r; момент инерции его относительно оси вращения J. Найти, через какой промежуток времени остановится маховик, вращавшийся с угловой скоростью
.
0
15.5.5. Однородный круглый диск
Рис. 15.10
радиуса r совершает колебания вокруг
неподвижной горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О. Расстояние от точки О
225
до центра тяжести С диска равно r5,0 (рис. 15.10). Найти за-
m
кон движения диска при малых
колебаниях, а также период
этих колебаний. В начальный
момент угол отклонения
диска от равновесного положе-
Рис. 15.11
ния равен
, а его начальная
0
угловая скорость равна нулю.
15.5.6. Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного на упругой
вертикальной проволоке в жидкости. К диску приложен переменный момент, равный
)ptsin(M
(
), при котором
constM
наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен
S
, где - коэффициент
вязкости жидкости, S - сумма площадей верхнего и нижнего
оснований диска, - его угловая скорость. Определить коэффициент вязкости жидкости , если амплитуда вынужденных
колебаний диска при резонансе равна
.
0
15.5.7. Турбина, вал которой параллелен продольной оси
судна, вращается с угловой скоростью
масса вращающихся частей равна
20 т, а их радиус инер-
с-1 минуту:
10
ции относительно оси вращения турбины равен 1,5 м. Определить гироскопические давления на подшипники, расстоя-
ние между которыми l = 6 м, если судно поворачивается вокруг вертикальной оси на 12/
рад/с.
2
15.5.8. С концом вертикального
вала
OO , шарнирно соединен гори-
1
зонтальный стержень ОС, на который
свободно насажен массивный цилинд-
Рис. 15.12
рический каток (бегун). При враще-
нии вала ОО, вокруг вертикальной
оси z бегун катится без скольжения по горизонтальной плоскости, на которую закладывается измельчаемый материал (рис.
226
15.11, а и б). Определить гироскопические реакции в точках О
m
m
и А, а также усилие в стержне ОС, если заданы масса бегуна
, длина ОС = l, радиус бегуна R и угловая скорость вала
= const.
15.5.9. Диск вращается вокруг неподвижной оси. Центр
масс диска лежит на оси вращения. Как изменится главный
момент импульса диска, если его угловая скорость увеличится
в 2 раза?
15.5.10. Определить главный момент импульса колеса
массы M, катящегося по прямолинейному рельсу, если центр
масс диска движется по закону atx
C
.
15.5.11. Балка А массы Mперемещается по горизонтали
на двух катушках В и D массы m и радиуса r каждая, катящихся по земле без скольжения. Скорость центра масс каждой
из катушек равна
(рис. 15.12).
v
15.5.12. Определить главный момент импульса кривошип-
но – ползунного механизма, если
массы кривошипа и шатуна равны
, масса ползуна равна m5,0 , ОА=
АВ= l, кривошип вращается с угловой скоростью.
Рис. 15.13
227
Глава 16. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ
L
K
L
K
L
K
ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
16.1. Кинетическая энергия системы
Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек системы
Кинетическая энергия имеется в любом движении системы, поэтому теоремой об изменении кинетической энергии
особенно часто пользуются при решении задач. Главное отличие кинетической энергии от введенных ранее характеристик
и
состоит в том, что T является величиной скалярной и
неотрицательной. Кинетическая энергия не зависит от направлений движения частей системы и ее центра масс.
Следует помнить, что при определении T можно использовать только скорости материальных точек относительно одной и той же инерциальной системы. Поэтому кинетическая
энергия системы тел относительно разных инерциальных систем отсчета оказывается различной.
Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным направлениям. По этой причине они, не влияют
2
vm5,0T . (16.1)
kk
на векторные характеристики
лы могут изменить модули скоростей точек системы, а следо-
вательно, и величину Т. Поэтому от величин
ческая энергия системы отличается тем, что ее изменение зависит и от действий внутренних сил в этой системе.
Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна, очевидно, сумме кинетических энергий
этих тел.
Получим формулы кинетической энергии тела для разных
движений.
и
228
. Однако внутренние си-
и
, кинети-
1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела
движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс тела. Для любой точки
2
kk
vv
и, согласно (16.1)
Ck
2
v)m(5,0vm5,0T или
Ck
2
Mv5,0T
, (16.2)
C
где M - масса системы.
Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела
на квадрат скорости центра масс и от направления движения
не зависит.
2. Вращательное движение. Если тело
вращается вокруг некоторой оси Oz (см. рис.
16.1) с угловой скоростью , то скорость
любой его точки
hv , где kh - расстоя-
kk
ние точки от оси вращения. Согласно (16.1),
2
.
kk
Рис. 16.1
k
)hm(5,0hm5,0T
22k2
Поскольку величина, стоящая в скобке,
является моментом инерции
J тела относи-
z
тельно оси z,
2
J5,0T . (16.3)
z
Следовательно, кинетическая энергия тела во вращательном движении равна половине произведения момента инерции
тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. От направления вращения величина Т не зависит.
3. Плоскопараллельное движение. При этом движении
скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 16.1). Следовательно, по формуле
(16.3)
2
J5,0T . (16.4)
P
229
где
J - момент инерции тела относительно оси,
P
- угловая
скорость тела.
Величина
J в формуле (16.4) зависит от положения цен-
P
тра Р, которое при движении тела все время меняется. Вместо
J удобно использовать постоянный момент инерции
P
J от-
C
носительно центральной оси. По теореме Гюйгенса (12.4)
2
MdJJ
CP
, где d = PC. Подставим выражение для
J в
P
(16.4). Учитывая, что точка Р - мгновенный центр скоростей, и,
следовательно скорость центра масс С тела
v =
C
dPC*
получим
2
C
2
J5,0Mv5,0T
. (16.5)
C
Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна сумме его энергии в поступательном движении со скоростью центра масс, и кинетической
энергии тела во вращательном движении вокруг центра масс.
4. Общий случай движения. Если за полюс взять центр
масс С тела (рис. 16.2), то движение тела в общем случае будет
слагаться из поступательного движения со скоростью полюса
v
и из вращения вокруг мгновен-
C
ной оси СР, проходящей через этот
полюс. Тогда, в соответствии с теоремой о представлении скоростей
тела, в плоском движении, скорость
v
любой точки тела равна вектор-
k
ной сумме скорости полюса
скорости
v
, которую точка получа-
kP
v
и
P
ет при вращении вместе с телом во-
круг оси CP
Рис. 16.2
Здесь
hv , где kh - расстояние точки
kkP
vvv
.
kPPk
от оси СР, а
k
- угловая скорость вращения тела вокруг этой оси, опреде-
,
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]