Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Глава 14. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ИМПУЛЬСА
L
L
L
L
14.1. Импульс системы
Импульсом системы материальных точек называется век-
тор
всех точек системы (рис. 14.1)
т. е. импульс системы равен произведению массы системы на
скорость центра масс системы. Этим результатом особенно
удобно пользоваться при вычислении импульсов твердых тел.
его центр масс остается в покое, то импульс тела равен нулю.
Например, импульс тела, вращающегося вокруг неподвижной
центральной оси равен нулю.
, равный векторной сумме (главному вектору) импульсов
При произвольных векторах скоростей точек системы век-
тор
даже может быть равным нулю.
Следовательно, по вектору
зя определить характер движения
системы.
(12.1’) по времени, получим
Рис. 14.1
Тогда
Из (14.2) видно, что если тело (или система) движется, но
vmL
. (14.1)
kk
может иметь любой модуль и
нель-
Дифференцируя выражение
rMrm
rMrm
vMvmL
или
Ckk
. (14.2)
Ckk
Ckk
vMvm
.
Ckk
Если же движение тела является сложным, то вектор
будет характеризовать вращательную часть движения вокруг
vML
центра масс. Например, для катящегося колеса
висимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс
С. Таким образом, импульс характеризует только поступательное движение системы. При непоступательном же движении
191
, неза-
C
не
вектор
L
dt
dt
dt
dt
dt
dt
характеризует только поступательную часть движе-
ния системы со скоростью центра масс.
14.2. Теорема об изменении импульса
Из системы дифференциальных уравнений движения сис-
тема из n материальных точек (13.1) следует
i
kkk
e
FFam
.
k
Поскольку сумма внутренних сил равна нулю и
d
am
Ld
)vm(
kkkk
,
Ld
e
. (14.3)
F
k
Соотношение (14.3) выражает теорему об изменении импульса системы в дифференциальной форме: производная, по
времени от импульса системы равна векторной сумме всех
действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси получим
dL
x
dL
e
F
kx
y
,
dL
e
z
,
F
ky
e
F
. (14.4)
kz
Рассмотрим другое выражение теоремы. Пусть в моменты
времени t = 0 и
t импульс системы равен
1
L
и
L
0
. Интегрируя
1
(14.4) по времени, получим
t
0
e
k01
t
11
e
dtFdt)F(LL
.
k
0
Так как интегралы, дают импульсы внешних сил,
e
pLL
. (14.5)
k01
Выражение (14.5) формулирует теорему об изменении импульса системы в интегральной форме: изменение импульса
системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил, за тот же
промежуток времени.
В проекциях на координатные оси получим
192
e
pLL ,
kxx0x1
e
pLL ,
kyy0y1
e
pLL . (14.6)
kzz0z1
Между этой теоремой и теоремой о движении центра масс
vML
существует связь. Подставляя
av
что,
Cc
, получим
в (14.3), и учитывая,
c
e
FaMvML
, т. е. уравнение
kCc
(13.4). Следовательно, теоремы о движении центра масс и об
изменении импульса системы - это, по существу, две разные
формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), когда можно определить центр масс системы, можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (13.4) обычно
пользоваться удобнее.
Для сплошных сред (жидкость, газ) понятие о центре масс
всей системы практически теряет смысл. В этих случаях для
решения задач пользуются теоремой об изменении импульса
системы. Важные приложения эта теорема имеет в теории удара (глава 17) и при изучении реактивного движения (14.5).
Теоремы об изменении импульса системы важны потому,
что позволяют исключить из рассмотрения заранее неизвестные внутренние силы (например, силы взаимодействия друг с
другом частиц сплошной среды).
14.3. Закон сохранения импульса
Из теоремы об изменении импульса системы получаются
практически важные следствия:
1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систе-
му, равна нулю:
e
0F
. Тогда из (14.3) следует, что
k
constL
. Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы будет
постоянным.
2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы,
что сумма их проекций на некоторую ось Ох равна нулю:
e
0F
. Тогда из (14.4) следует, что constL
kx
. Следова-
x
тельно, если сумма проекций всех действующих внешних сил
193
на некоторую ось равна нулю, то проекция импульса системы
на эту ось остается постоянной.
Эти результаты и выражают закон сохранения импульса
системы. Из них следует, что внутренние силы не могут изменить суммарный импульс системы. Это следует из примеров.
а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при
выстреле создаст внутренние силы. Эти силы не могут изменить суммарный импульс системы. Поскольку пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей импульс, направленный
вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такой же импульс в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т. е. так называемую отдачу. Аналогичное
явление - откат получается при стрельбе из артиллерийского
орудия.
б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе сплошной среды (воздуха или воды) движение вдоль
оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то
силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарный импульс этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) движется вперед со скоростью, при которой общий импульс рассматриваемой системы остается равным нулю, так как до начала
движения импульс системы был равен нулю.
Аналогичный эффект достигается действием весел или
гребных колес.
в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете)
газообразные продукты горения топлива с большой скоростью
выбрасываются из реактивного двигателя ракеты. Действующие при этом силы давления являются силами внутренними и
не могут изменить суммарный импульс системы ракета - продукты горения топлива. Поскольку вытекающие газы имеют
импульс, направленный назад, ракета получает движение вперед. Величина этой скорости определена в 14.5.
194
Следует помнить, что винтовой двигатель сообщает объ-
екту, например самолету, движение за счет отбрасывания назад частиц той среды, в которой он движется. В безвоздушном
пространстве такое движение невозможно. Реактивный же
двигатель сообщает движение за счет отброса назад масс продуктов горения, вырабатываемых в самом двигателе. Такое
движение возможно и при отсутствии сплошной среды.
14.4. Решение задач
Теоремой об изменении импульса обычно пользуются для
изучения движения среды (жидкости, raзa).
Применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения все, заранее неизвестные, внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы все
(или часть) заранее неизвестные силы оказались внутренними.
Закон сохранения импульса удобно применять, когда по
изменению поступательной скорости одной части системы надо определить скорость другой части. В частности, этот закон
широко используется в теории удара.
Следует помнить, что, при вычислении полного импульса
системы нужно использовать только абсолютные скорости
движения ее частей относительно одной и той же системы.
Задача 14.1. Пуля массы m, летящая
горизонтально со скоростью
, попадает
u
в установленный на тележке ящик с песком (рис. 14.2). С какой скоростью нач-
нет двигаться тележка после удара, если
масса тележки вместе с ящиком равна M.
Рис. 14.2
Решение. Пусть пуля и тележка входят в систему. Это позволит при решении задачи исключить силы, которые возникают при ударе пули о ящик. Сумма проекций приложенных к
системе внешних сил на горизонтальную ось Ох равна нулю.
Следовательно, constL
системы до удара,
или
x
L - после удара. Так как до удара тележка
1x
LL , где 0xL - импульс
0x1x
195
неподвижна, то
mu
жутся с общей скоростью
нивая выражения
L =
0x
L и 0xL , получим
1x
. После удара тележка и пуля дви-
. Тогда
v
L =
1x
v)Mm(
. Прирав-
)Mm/(muv
.
Задача 14.2. Определить скорость свободного отката орудия, если масса откатывающихся частей равен M, масса снаряда m, а скорость снаряда относительно канала ствола в момент вылета равна
.
u
Решение. Для исключения
неизвестных сил давления пороховых газов рассмотрим
снаряд и откатывающиеся части орудия как одну систему.
Пренебрегая за время движе-
Рис. 14.3
ния снаряда в канале ствола
сопротивлением откату и силами
gM
и N, которые очень ма-
лы по сравнению с силами давления пороховых газов, получим, что сумма приложенных к системе внешних сил равна
нулю (рис. 14.3); откатывающиеся вместе со стволом части не
показаны). Тогда constL
стрела система неподвижна (
мени 0L
.
x
Пусть
скорость откатывающихся частей в конечный
v
и constL
. Поскольку до вы-
x
0L0
) то и в любой момент вре-
момент времени. Тогда абсолютная скорость снаряда в этот
момент равна
0)vu(mMvL
Отсюда находим )Mm/(muv
. Следовательно
vu
xx
. (а)
xxxx
.
Если бы была известна абсолютная скорость вылета сна-
ряда
только величина
, то в равенство (а) вместо суммы
w
w и скорость отката была бы равна
x
vu вошла бы
xx
M/mwvxx .
196
Отрицательность величин
mu
R
R
R
что направления
и
u
противоположны.
v
v в обоих случаях указывает,
x
Задача 14.3. Давление струи. Струя воды диаметра d = 4 см
вытекает из отверстия со скоростью u= 10
м/с и ударяется под прямым углом о твердую стенку (рис. 14.4). Определить силу
давления струи на стенку.
Решение. Для исключения внутренних
сил взаимодействия частиц жидкости друг
с другом и при ударе их о стенку, применим первую из формул (14.6) к части
струи, заключенной в данный момент времени в объеме
За время
При этом величина
abc
t этот объем перемещается в положение
1
L уменьшается на величину
x
e
pLL . (а)
kxx0x1
масса объема, расположенного между сечениями
кость же, притекающая в объемы
пендикулярно оси Ох и величину
импульса muLL
x0x1
.
bb 1cc движется почти пер-
1
L не изменит. Изменение
x
Рис. 14.4
где m -
aa . Жид-
1
cba .
111
Внешней силой, действующей на выделенный объем и
дающей проекцию на ось х, будет только реакция стенки
Считая величину
постоянной, получим
e
kx
RttRp
11x
.
Из (а) следует
Поскольку
utaa ,
11
Rtmu . (б)
1
2
utd25,0m , где
1
- плотность
жидкости. Подставляя m в равенство (б) и учитывая, что для
воды = 1000 кг/м3, получим
1
Сила давления струи на стенку равна -
197
22
6,125ud25,0t/muR
Н.
.
.
14.5. Движение тела переменной массы
В классической механике масса каждой точки или частицы
системы считается при движении постоянной. Однако в некоторых случаях, когда отдельные частицы могут отделяться от
системы или присоединяться к ней, состав частиц, образующих эту систему, изменяется. Вследствие этого изменяется и
суммарная масса рассматриваемой системы. Задачи, в которых
происходит подобное присоединение или отделение отдельных масс, уже рассматривались (см. выше задачи 14.1, 14.2
или задачу 8.1).
Ниже рассмотрен другой,
важный случай, когда процесс отделения от тела или
присоединения к нему частиц
происходит непрерывно. Те-
Рис. 14.5
ло, масса М которого непрерывно изменяется во времени вследствие присоединения к нему или отделения от него материальных частиц, называется
телом переменной массы. Для тела переменной массы
)t(fM
, где
)t(f
- непрерывная функция времени.
Подобными телами являются ракета или реактивный самолет при расходе топлива.
Переменность массы понимается здесь совершенно в ином
смысле, чем в теории относительности, и является следствием
изменения состава рассматриваемого тела.
Если при движении тела переменной массы его размерами
по сравнению с проходимым телом расстоянием можно пренебречь, то это тело можно считать материальной точкой переменной массы.
Пусть
- скорость истечения продуктов горения из раке-
u
ты относительно ракеты. Чтобы исключить силы давления,
выталкивающие продукты горения, сделав их внутренними,
рассмотрим в некоторый момент времени t систему, состоящую из ракеты и частицы, отделяющейся от нее в течение
198
промежутка времени dt (рис. 14.5). Масса
F
dt
dt
dt
R
этой частицы
dm
численно равна уменьшению за время dt массы ракеты. Так
как М - величина убывающая, то
dm
=
dMdM
. Уравнение (14.3) для рассматриваемой сис-
и, следовательно,
0dM
темы можно представить в виде
dtF dL
где
e
- главный вектор приложенных к ракете внешних сил.
Если скорость
ракеты за время dt изменяется на
v
e
, (14.7)
, то
vd
импульс рассматриваемой системы получает приращение
vd)dmM(
. Отделяющаяся частица относительно ракеты
приобретает за то же время скорость
, равную скорости ис-
u
течения продуктов горения топлива относительно ракеты. В
результате этого приращение импульса системы ракета – частица
udmvMdvM)uvdv(dm)vdv)(dmM(Ld
.
При получении этого соотношения учтено, что
.
dmM
Следовательно, udMvMdudmvMdLd
Ld
в (14.7) получим
M
vd
dM
e
F
. Подставляя
u
. (14.8)
Уравнение (14.8) -это записанное в векторной форме дифференциальное уравнение движения точки переменной массы
или уравнение Мещерского.
Последнее слагаемое в правой части (14.8) по размерности
dM
является силой. Пусть
R
u
. Тогда
dt
vd
e
M
RF
. (14.9)
Следовательно, реактивный эффект сводится к тому, что
на ракету при ее движении дополнительно действует сила
называемая реактивной силой.
199
,
Величина
F
x
x
dt/dMq
, определяет массу топлива, расхо-
дуемого за единицу времени, и называется массовым секундным расходом топлива. Тогда
uqR
, (14.10)
Поэтому реактивная сила равна произведению массового
секундного расхода топлива на относительную скорость истечения продуктов его сгорания и направлена противоположно
этой скорости.
Очевидно, что полученные результаты были бы строго
верны, если бы отделяющиеся частицы не оказывали бы никакого взаимного действия друг на друга, например, были бы
последовательно отбрасываемыми частицами. Фактически
продукты горения топлива выбрасываются из ракеты в виде
непрерывной газовой струи, частицы которой взаимодействуют друг с другом. Пусть S - площадь выходного сечения сопла двигателя,
p - давление газа в этом сечении, ap - атмо-
c
сферное давление. При полете в атмосфере на ракету будут
дополнительно действовать направленная в сторону движения
сила Spc, и направленная против движения сила Spa. Так как
pp , то реактивная сила будет больше определяемой фор-
ac
мулой (17.10) на величину S)pp(
.
ac
Определим закон движение ракеты под действием только
одной реактивной силы, считая
рость истечения
постоянной. Направим координатную ось
u
в сторону движения (см. рис. 14.5). Тогда vv
e
= 0, а относительную ско-
, uux и
x
уравнение (17.8) в проекциях на ось х, примет вид
MuvM
или
.
M/udMdv
Интегрируя это уравнение и считая, что в начальный момент масса
MM , а скорость
0
vv и направлена вдоль оси
0
, получим
)M/Mln(uvv
. (14.11)
00
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]