Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Следует помнить, что соотношение (9.18) верно только в
том случае, когда и скорость точки и ее траектория определены относительно одной и той же инерциальной системы.
9.6.1. Несвободное движение
При несвободном движении точки, как следует из (9.5), в
правую часть равенства (9.18) войдет работа заданных (актив-
ных) сил
F
и работа реакции связи N. Пусть точка движется
k
по неподвижной поверхности или кривой. При отсутствии
трения реакция N направлена по нормали к траектории точки
и 0N . Согласно (9.11), работа реакции неподвижной гладкой поверхности (или кривой) при любом перемещении точки
будет равна нулю, и из уравнения (12.18) получается
2
1
2
0
2
A)mvmv(5,0 . (9.19)
MM
10
Следовательно, при перемещении по неподвижной гладкой поверхности (или кривой) изменение кинетической энергии точки равно сумме работ приложенных к точке активных
сил на этом перемещении.
Если поверхность или кривая не является гладкой (имеется
трение), то к работе активных сил прибавится работа силы
трения. Если же поверхность или кривая движется, то абсолютное перемещение точки М может не быть перпендикуляр-
но N. Тогда работа реакции N не будет равна нулю (например, работа реакции пола лифта, поднимающего тело).
9.7. Решение задач
Приступая к решению, следует прежде всего установить,
можно ли для решения данной задачи непосредственно воспользоваться какой - либо из доказанных выше теорем. Важно
помнить, что с помощью теоремы об изменении импульса точки легко решаются задачи, в которых:
а) действующие силы постоянны, или зависят только от
времени;
101
б) в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения, начальная и конечная скорости
точки (т. е. величины
v,v,t,F ).
10
С помощью теоремы об изменении кинетической энергии
точки легче решаются задачи, в которых:
а) действующие силы постоянны, или зависят только от
перемещения;
б) в число данных и искомых величин входят: действующие силы, перемещение точки, скорости в начале и в конце
перемещения (т. е. величины
v,v,s,F ).
10
Если среди действующих сил есть сила, зависящая от скорости движения, то решить основную задачу динамики с помощью какой- либо из общих теорем нельзя, поскольку нельзя
заранее вычислить работу или импульс такой силы. В этом
случае надо интегрировать дифференциальные уравнения
движения.
Применяя обе теоремы одновременно, можно решить некоторые смешанные задачи, в которых данными (или искомыми) являются и время движения, и перемещение точки.
Рекомендуется следующий порядок решения:
1. По данным задачи определить, какой из теорем можно
воспользоваться для ее решения.
2. Изобразить на чертеже движущуюся точку в произвольном положении и показать все действующие на нее активные
силы и реакции связей (если движение подчинено связям).
3. Вычислить по соответствующим формулам импульсы
или работу всех сил за время движения.
4. Пользуясь равенствами (9.6) или (9.18), составить соответствующие уравнения и определить из них искомые величины. При всех вычислениях следует обращать особое внимание
на то, чтобы все величины определялись в одной и той же системе единиц.
Доказанные теоремы позволяют также по изменению им-
пульса или кинетической энергии точки определить импульс
102
или работу действующих на точку сил (первая задача динами-
1
F
ки).
Задача 9.1. Тело массой m =
0,1 кг движется равномерно со
скоростью v= 2 м/с по окружности. Определить импульс и работу
действующей на тело силы за
время, в течение которого тело
Рис. 9.10
нении импульса
vm . Изобразив векторную разность этих импульсов, из
0
прямоугольного треугольника находим
пройдет четверть окружности.
Решение. По теореме об изме-
vmp
2
2
vvmp
.
0
1
Поскольку по условиям задачи vvv
Согласно (9.18),
10
029,02mvp
2
1MM
,
01
кг*м/с.
2
.
0
0vvm5,0A
Задача 9.2. Телу массы m, лежащему на горизонтальной
плоскости, сообщают толчком начальную скорость
дующее движение тела тормозится постоянной силой
v . После-
0
. Определить, через какое время тело остановится, и какой путь
оно пройдет до остановки?
Решение. Из условия задачи следует, что для определения
времени движения можно воспользоваться первой, а для определения пройденного пути - второй
из доказанных теорем.
Изображаем тело в произвольном положении М (М0 и М1, - его начальное и конечное положения). На
тело действуют: сила тяжести G,
Рис. 9.11
реакция поверхности N и тормо-
103
зящая сила
F
F
F
F
F
(рис.9.11). Направляя ось Ох в сторону движе-
ния, составляем уравнение (9.6)
В данном случае 0v
ки), a
vv . Из сил проекцию на ось Ох дает только сила
0x0
x1
Так как она постоянна, то FttFp
(
pmvmv
. (а)
ixx0x1
v - скорость в момент останов-
1
где
1xx
t время тормо-
1
жения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем
Ftmv , откуда искомое время
10
F/mvt
. (б)
01
Тормозной путь определим по теореме об изменении кинетической энергии
2
1
В момент остановки тела 0v
пути s работу совершает только сила
2
0
1
A)mvmv(5,0 .
MM
10
. При торможении тела на
. Тогда
FsFA .
Работы сил G и N равны нулю, так как они перпендикулярны
перемещению. В результате
F/mv5,0s
. (в)
Из формул (б) и (в) видно, что при данной силе
торможения растет пропорционально начальной скорости
2
Fsmv5,0 и искомый путь
0
2
01
1
время
v , а
0
тормозной путь – пропорционально квадрату начальной скорости.
Если тормозящей силой является сила трения и коэффициент трения f известен, то fmgfGF
дают fg/v5,0sfg/vt
.
2
0101
и равенства (б) и (в)
Если бы были заданы не масса тела m и его начальная скорость
(б) можно было бы, зная
определения тормозного пути
v , а начальный импульс тела
0
, найти время торможения, но для
s этих данных было бы недос-
1
mvp то из равенства
00
таточно.
.
104
Наоборот, зная начальную кинетическую энергию тела
F
R
m
2
mv5,0T и силу
00
делить тормозной путь
торможения
t осталось бы неопреде-
1
, можно было бы из равенства (в) опре-
s , но время
1
ленным. На эти особенности указывалось в 9.1.
Задача 9.3. Величина равнодействующей
Рис. 9.12
всех сил, дей-
ствующих на поршень, зависит от времени по закону
kt1mg4,0R , где
- масса поршня, t - время в секундах, a
k - коэффициент, равный 1,6 1/с, определить скорость поршня
в момент
равна
t 0,5 с, если в момент 0
1
v 0,2 м/с.
0
t его скорость была
0
Решение. Так как действующая на поршень сила зависит
от времени, а в число данных и искомых величин входят
и
v воспользуемся для решения задачи уравнением (9.6)
1
pmvmv
. (а)
xx0x1
v,t
01
В данном случае
t
xx
0
t
11
0
Кроме того,
kt5,01mgt4,0dtkt1mg4,0dtRp
.
11
vv,vv .
1x10x0
Подставляя все эти выражения в (а),
получим
4,1kt5,01gt4,0vv
.
1101
Задача 9.4. Груз (рис. 9.13), подве-
шенный на нити длиной l, отклоняют от
Рис. 9.13
вертикали на угол
начальной скорости. Найти скорость
и отпускают без
0
груза в момент, когда нить с вертика-
лью образует угол .
105
Решение. Так как в условия задачи входят: перемещение
F
груза, определяемое углом поворота нити, и скорости
v и
0
v
воспользуемся для решения теоремой об изменении кинетической энергии
2
1
2
A)mvmv(5,0 .
0
MM
10
На груз действуют сила тяжести G и реакция нити N. Ра-
1
бота силы N равна нулю, так как 0
формуле (9.14) находим
лучаем
2
1
, откуда, gh2v
mghmv5,0
1
N . Для силы G
mghGhPA . Так как 0v
.
, по-
0
по
Это - известная формула Галилея. Очевидно, такой же результат получится для скорости v свободно падающего груза с
высоты h.
В рассматриваемой задаче
coscosgl2v
.
01
coscosllh и
0
Задача 9.5. Пружина клапана (рис. 9.14)
имеет в свободном состоянии длину
l 6 см.
0
При полностью открытом клапане длина пружины
4 см, а высота подъема клапана s = 0,6
l
см. Жесткость пружины с = 1 H/см, масса клапана m = 0,4 кг. Пренебрегая действием силы тяжести и сил сопротивления, определить скорость
Рис. 9.14
Решение. Действующая на клапан сила упругости
клапана в момент его закрытия.
зависит от расстояния; кроме того, задано перемещение s клапана.
Поэтому для решения задачи удобно использовать уравнение
(12.18)
2
1
2
0
A)mvmv(5,0 .
MM
10
По условиям задачи работу совершает только сила упруго-
сти пружины. Тогда, согласно (9.15),
2
10
106
начMM
.
2
llc5,0A
кон
В данном случае
F
нач
Подставляя 0v
и все эти значения в (9.18), получим
0
20 lll
см, 4,1
кон
0
slll
см.
c
v
m
2
нач1
2
кон
22,0ll
м/с.
Задача 9.6. Под действием груза, лежащего на середине
упругой балки (рис. 12.15), балка прогибается на величину
ст
(статический прогиб балки). Пренебрегая силой тяжести балки, определить ее максимальный прогиб
, если груз упадет
m
на балку с высоты Н из состояния покоя.
Решение. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся для
решения уравнением (9.18). В данном случае начальная скорость груза
v и конечная его скорость
0
v (в момент макси-
1
мального прогиба балки) равны нулю и формула (9.18) принимает вид
0
A . (а)
k
Работу здесь совершают сила тяжести G на перемещении
MM и сила упругости балки
10
на перемещении
этом )G(A ) = G (H +
2
c5,0FA
, так как для бал-
ки
m
l,0l
MM
. При
1
m
. Под-
mконнач
),
ставляя эти величины в (а), получим
2
0c5,0HG
.
mm
Рис. 9.15
Поскольку при равновесии сила тяжести груза уравнове-
шивается силой упругости,
cG . Тогда предыдущее ра-
ст
венство можно представить в виде
2
m
стmст
0H22
.
107
Решая это квадратное уравнение, и учитывая, что по усло-
F
виям задачи должно быть 0
Важно отметить, что при H= 0 получается
m
, находим
H
22 .
стстстm
2 . Сле-
стm
довательно, если груз положить на середину горизонтальной
балки, то ее максимальный прогиб под действием отпущенного груза будет равен удвоенному статическому. В дальнейшем
балка с грузом начнет совершать колебания около положения
равновесия. Под влиянием сопротивлений
эти колебания затухнут и система окажется
равновесии в положении, когда прогиб бал-
ки будет равен
.
ст
Задача 9.7. Определить, какую наи-
меньшую направленную вертикально вверх
Рис. 9.16
начальную скорость
v надо сообщить телу
0
массы m, чтобы оно поднялось с поверхности Земли на заданную высоту Н. Cила притяжения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра
Земли (рис. 9.16). Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой об
изменении кинетической энергии, считая тело материальной
точкой. Тогда
2
1
2
A)mvmv(5,0 . (а)
0
MM
10
Поместим начало координат в центре О Земли (центр притяжения) и направим ось Ох в сторону движения. Изобразим в
произвольном положении точку М и действующую на нее силу
. По условиям задачи
2
x/kmF .
Коэффициент пропорциональности k находится из условия, что на поверхности Земли, т. е. при x= R (R - радиус Земли), сила притяжения равна mg (g - ускорение силы тяжести на
земной поверхности). Отсюда
108
2
kmRmg
и
2
.
gRk
Поскольку 0FF,x/kmFF
H
x
2
, по фор-
zy
муле (9.12) находим
или
MM
M
1
MM
10
kmA
.
10
M
0
1
HR
2
kmH
1
R
HR
HRR
2
dxxkmdxx/kmA
R
,
Этот же результат можно получить сразу по формуле
(9.17), если учесть, что в данном случае ,Rr
Поскольку в наивысшем положении
а HRr
0
M , скорость точки
1
.
1
0v1 , подставляя в (а) величины работы и k, получим
)HR/(gRH2v
0
.
Рассмотрим частные случаи.
а) Пусть H очень мало в сравнении с R. Тогда H/R - величина, близкая к нулю. Деля числитель и знаменатель на R, по-
лучим gH2)R/H1/(gH2v
0
.
Следовательно, для малых Н получается формула Галилея.
б) Определим начальную скорость, при которой брошенное тело уйдет в бесконечность. Деля числитель и знаменатель
на Н, получим )H/R1/(gR2v
При
0
и среднем радиусе Земли R= 6370 км
0
.
2,11Rg2v
км/с.
Следовательно, тело, брошенное с поверхности Земли со
скоростью 11,2 км/сек, навсегда покинет поле земного тяготения.
Можно показать, что при начальных скоростях, лежащих
приблизительно в пределах 8 км/с
v 11 км/с, тело, бро-
0
шенное по направлению касательной к земной поверхности, не
упадет обратно на Землю, а превратится в земной спутник.
При начальных скоростях, меньших 8 км/с, или при негоризонтальном бросании тело, описав эллиптическую траекторию,
109
упадет обратно на Землю. Все эти результаты относятся к
F
F
движению в безвоздушном пространств.
9.8. Теорема об изменении момента
импульса точки (теорема моментов)
Из двух основных динамических характеристик, введенных в 9.1, величина vmp
Рис. 9.17
mghmpo
, где h - длина перпендикуляра, опущенного из цен-
изучении движения точки вместо вектора
момент. Момент вектора
но данного центра О или оси z обозначается
зывается соответственно моментом импульса (кинетическим моментом) точки
относительно этого центра (оси). Вычисляют момент вектора
момент силы, считая вектор
женным к движущейся точке. Модуль
является векторной. Иногда при
необходимо рассматривать его
p
относитель-
p
pmm
или pzm
0po
=
pm
и на-
z
так же, как и
p
прило-
p
тра О на направление вектора
9.8.1. Теорема о связи моментов относительно оси
Пусть материальная точка массы m движется под действием силы
подвижной оси z,
Аналогично для величины
Тогда
d
dt
. Момент вектора
mvmm
dx
dt
v
(рис. 9.17).
p
относительно некоторой не-
yFxFFm . (9.20)
xyz
vmm
, будет
z
yvxvmvmmpm
. (9.21)
xyzz
dv
dy
dt
110
xyz
y
xmv
dt
dv
ym
dt
x
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]