Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Вектором - радиусом точки А прило-
P
r
P
P
z,y,x
P
z
P
P
P
Рис. 7.3
жения силы
вают вектор
относительно точки О назы-
, проведенный из точки О в
точку А (рис. 7.2).
Моментом силы
относительно точки
О (центр момента) называют вектор, рав-
Рис. 7.2
ный векторному произведению вектора -
радиуса точки приложения силы на вектор силы
Pr)P(M
o
(7.3)
Очевидно что, модуль вектора момента силы относительно
данной точки численно равен удвоенной площади треугольника, основанием которого является сила, а вершиной данная
точка (рис. 7.2)
OABпл2|)P(M|
Если вектор силы
o
переносить по ее линии действия, то
. (7.4)
площадь OAB не будет меняться, и, следовательно, если силу
переносить по ее линии действия, то вектор момент силы относительно данной точки будет неизменным.
Проекции вектора - момента силы относительно точки О
на оси координат, проходящие через точку О, определяются
соотношениями
zPyPM
, xPzPM
yzox
, yPxPM
zxoy
,
xyoz
где
- координаты точки приложения силы
P - проекции силы
; xP ,
P ,
y
на оси координат.
7.5. Момент пары сил
Парой сил (или просто парой) в механике называется особая система сил, состоящая из двух равных по модулю, противоположно направленных параллель-
ных сил (рис. 7.3):
. Расстояние h
между линиями действия сил пары называют плечом пары.
51
Модулем момента пары сил называют алгебраическую ве-
Рис. 7.4
личину, равную произведению модуля одной из сил пары на ее
плечо
Ph)P,P(m
Если плечо h заменить твердым стержнем, то при его вращении под действием сил пары против хода часовой стрелки в
формуле (7.5) надо ставить знак плюс, а при вращении по ходу
часовой стрелки - знак минус. Согласно рис. 7.3 имеем
ABDпл2Ph|)P,P(m|
т. е. модуль момента пары численно равно удвоенной площади
треугольника, основанием которого является одна из сил пары,
а вершина находится в любой точке на линии действия второй
силы пары.
По определению момент пары сил относительно любой
точки является постоянной величиной.
Свободным вектором называют вектор, который можно,
не меняя его величины и направления, переносить параллельно самому себе.
В дисциплине сопротивление материалов вектор силы или
Моментом пары )P,P(m
равный по модулю произведению модуля одной из сил пары
на ее плечо (рис. 7.4) и направленный перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, чтобы, смотря из его конца к началу,
видеть вращение пары против хода часовой стрелки
OAB.пл2Ph|)P,P(m|
момента можно считать свободным
только при описании равновесия тела
(гипотеза отвердевания). При определении внутренних сил в теле силы и моменты уже нельзя считать свободными
векторами, поскольку от положения силы или момента относительно тела зависят напряжения и деформации тела.
. (7.5)
называют свободный вектор,
(7.6)
. (7.7)
52
7.6. Момент силы относительно оси
P
P
P
P
Рис. 7.5
Вращательное действие силы относительно оси определяется не всей силой, а
только ее составляющей (компонентой)
P
(рис. 7.5), лежащей в плоскости, пер-
t
пендикулярной этой оси. Другая составляющая
P
, параллельная оси l, не вызы-
l
вает вращения, а стремится сдвинуть тело
вдоль оси (силой такого направления
дверь снимают с петель).
Моментом силы относительно оси называют алгебраическую величину, равную произведению проекции силы на
плоскость П, перпендикулярную к данной оси, на расстояние
от этой проекции до оси, равное длине перпендикуляра, опущенного из точки пересечения оси с плоскостью на линию
действия проекции (рис. 7.5)
hP)P(M
. (7.8)
tl
Момент считается положительным, если, смотря в направлении, противоположном направлению оси, можно видеть
вращение тела вокруг оси под действием силы
ляющей
P
) против хода часовой стрелки. При вращении по
t
(или состав-
ходу часовой стрелки момент считается отрицательным. Из
формулы (7.8) и рис. 7.5 следует
Oabпл2)P(M
т. е. момент силы
l
относительно оси l численно равен взятой
, (7.9)
с соответствующим знаком величине удвоенной площади треугольника, основанием которого служит проекция силы
на
плоскость, перпендикулярную к оси, а вершиной - точка пересечения оси с плоскостью. Если сила параллельна оси, то Pt =
0, а если ее линия действия пересекает ось, то h = 0. В обоих
случаях согласно (7.8) Mt (
) = 0, т. е. момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси или ее пересекает. В обоих случаях сила и ось расположены в одной
53
плоскости.
r
P
Рис. 7.6
В тех случаях, когда сила
не известна, а известен только
момент силы, для оценки вращательного действия момента
силы вокруг оси используется
проекция момента силы на эту
ось.
Момент силы относительно оси l равен проекции
ОК на эту ось вектора мо-
мента силы )P(M
(рис. 7.6), взятого относительно произ-
O
вольной точки на данной оси и обозначается символом
)P(M
.
l
)P(MnpOK)P(M
(7.10)
oll
Момент силы относительно оси не зависит от выбора точ-
ки О оси, из которой проводится вектор – радиус
приложения силы
.
в точку А
Сумма векторов моментов двух сил, составляющих пару,
относительно произвольной точки О не зависит от положения
точки О и равна вектору моменту пары, то есть вектору моменту одной из сил пары относительно точки приложений
второй силы пары.
В частном случае на плоскости сумма моментов двух сил,
составляющих пару, относительно произвольной точки в плоскости пары равна моменту пары
)P(M
+ )P(M
= )P,P(m
. (7.11)
Часто пару изображают в виде изогнутой стрелки с обозначением момента (рис. 7.7, а). Такое упрощенное изображение оправдано тем, что действие пары сил характеризуется ее
моментом, и при определении опорных реакций, т. е. неизвестных внешних сил следует брать суммы моментов всех сил
относительно какой - либо точки, а где приложены силы, составляющие пару, на основании (7.7) значения не имеет. Но,
54
если надо определить не внешние си-
AAA
m
лы, а внутренние в разных сечениях
балки, как это делается в сопротивлении материалов, то важно знать, где
приложены силы пары. Например,
внутренние силы будут различными
для балок, изображенных на рис. 7.7,
б и 7.7, в. Если силы пары приложены,
как показано на рис. 7.7, в, то пара и
ее момент условно называют сосредоточенными.
7.7. Основные виды опор тел
Рис. 7.7
опорами тел являются шарнирно
подвижная опора, шарнирно неподвижная опора и заделка.
Шарнирно подвижная опора (рис. 7.7,а, б, опора В) позволяет точке В тела перемещаться вдоль некоторой линии. В
шарнирно подвижной опоре возникает реакция BR, перпендикулярная направлению перемещения опоры.
Шарнирно неподвижная опора (рис.
7.7,а, б, опора А) не позволяет точке А
никаких перемещений. В шарнирно не-
подвижной опоре возникает реакция AR
произвольного направления, которую
Наиболее распространенными
Рис. 7.8
для удобства определения раскладывают на две взаимно перпендикулярные
составляющие AX и AY
YXR
.
Заделка - одна из часто встречающихся связей (опор).
Пусть горизонтальная одноопорная (консольная) балка (рис.
7.8) имеет один свободный конец, а другой конец жестко заделан в стену. Стена воздействие на балку сосредоточенной си-
лой AR (реакцией) и моментом
, называемым реактивным
А
55
моментом, или моментом в заделке.
AAA
При решении задач, выгодно представлять и изображать
силу AR в виде двух составляющих сил:
этому реакцию в заделке изображают так, как показано на рис.
7.8.
7.8. Теорема Вариньона
Для произвольной системы сил верна теорема Вариньона:
вектор момент равнодействующей любой системы сил относительно произвольной точки равен сумме векторов моментов
всех составляющих сил относительно той же точки.
)P(M)R(M
Теорема Вариньона позволяет значительно упрощать определение суммарного момента системы сил, поскольку не
требует многократно определять моменты каждой силы.
Если все силы расположены в одной плоскости и точка О
(центр моментов) находится в той же плоскости, то все векторы моменты сил будут расположены на одной прямой, проходящей через точку О, и перпендикулярной к плоскости сил, а
тогда, векторное суммирование можно заменить алгебраическим
)P(M)R(M
Момент равнодействующей плоской системы сходящихся
сил относительно произвольной точки в плоскости сил равен
алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки.
Момент равнодействующей произвольной системы сил
относительно какой - либо оси равен алгебраической сумме
моментов всех составляющих сил относительно той же оси
. (7.12)
. (7.13)
)P(M)R(M
k00
k00
. (7.14)
k0101
YXR
. По-
Произвольную систему сил )n,,2,1k(P
привести к некоторой точке О, называемой центром приведе-
56
k
можно
ния и заменить одной силой - главным вектором
R
R
моментом главным моментом
Главным вектором
)n,,2,1k(P
k
янная, не зависящая от выбора центра приведения.
вольной системы сил называется векторная сумма моментов
этих сил относительно точки О
ложения центра приведения – точки О.
достаточно, чтобы ее главный вектор V и главный момент
M
ной) форме, нужно спроецировать левые и правые части этих
равенств на оси прямоугольной декартовой системы координат
и затем использовать формулу (7.10)
называется векторная сумма этих сил
Главный вектор для данной системы сил величина посто-
Главным моментом относительно точки О
Главный момент для данной системы сил зависит от по-
Для равновесия произвольной системы сил необходимо и
относительно любой точки О были равны нулю.
0
Для получения уравнений(7.15) в скалярной (координат-
Rx= Pkx = 0, Ry= Pky = 0, Rz= Pkz = 0,
M
.
O
произвольной системы сил
kPR
)P(MM
.
.
k00
0)P(MM;0PR
k00k
kxk0OxOx
и одним
M
произ-
O
. (7.15)
0)P(M)P(MnpM
,
0)P(M)P(MnpM
kyk0OyOy
kzk0OzOx
Поскольку Pkx = Xk; Pky = Yk, Pkl = Zk, получаем
;0Z;0Y;0X
kkk
Итак, для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил системы
57
,
0)P(M)P(MnpM
.
(7.16)
.0)P(M;0)P(M;0)P(M
kzkykx
на каждую из трех произвольно выбранных координатных
осей равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.
7.9. Система сходящихся сил
Выберем начало координат в точке пересечения линий
действия (схождения) сил. Тогда линии действия всех сил пересекают оси координат и, согласно формуле (7.16) моменты
сил относительно этих осей равны нулю. Три последние равенства (16) принимают вид 0 = 0. Поэтому
0Z;0Y;0X
Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую
из трех координатных осей равнялась нулю.
Если все сходящиеся силы расположены в одной плоскости, то, взяв оси Ox к Oy в плоскости сил, видим, что Zk = 0, т.
е. проекция любой силы на ось Oz равна нулю. Поэтому третье
уравнение (17) дает тождество: 0 = 0, которое бесполезно.
Итак, для плоской сходящейся системы сил
0Y;0X
7.10. Теорема о трех силах
Для определения неизвестных сил удобно использовать
теорему о трех силах: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, расположенных в
одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в
одной точке. Эта теорема позволяет определить любую из трех
сил, если две другие известны.
7.11. Система параллельных сил, не лежащих
в одной плоскости
Проводим оси координат так, чтобы ось Oz была параллельна силам, а тем самым оси Ox и Oy будут перпендикулярны силам. Тогда все силы проецируются на ось Oz в полную
величину со знаком плюс или минус в зависимости от того,
. (7.17)
kkk
. (7.18)
kk
58
совпадает ли направление силы с направлением оси, или про-
тивоположно этому направлению. Проекции всех сил на оси
Ox и Oy равны нулю. Также равны нулю моменты всех сил относительно параллельной им оси Oz. Поэтому вместо уравнений (16) получаем систему
Итак, для равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно каждой из двух координатных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной силам, также равнялась нулю.
7.12. Произвольная плоская система сил
Пусть система осей координат такова, что плоскость (х, у)
совпадает с плоскостью сил. Тогда проекции всех сил на ось
Oz равны нулю: Zk = 0, и моменты всех сил относительно осей
Ox и Oy также равны нулю, так как эти оси и силы лежат в од-
ной плоскости. Согласно определению момента силы относительно точки (7.1) и момента силы относительно оси (7.8) в
нашем случае момент силы относительно оси Oz совпадает с
моментом этой силы относительно точки О - начала координат. Поэтому из уравнений (7.16) остаются три уравнения
0)P(M;0Y;0X
Итак, для равновесия произвольной плоской системы сил
необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на
каждую из двух координатных осей в плоскости этих сил равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно
любой точки в плоскости этих сил также равнялась нулю. Без
доказательства, отметим, что вместо уравнений равновесия
(7.20) для плоской системы сил можно использовать уравнения:
0)P(M0)P(M;0X
при условии, что ось х- не перпендикулярна O1O2;
0)P(M,0)P(M,0)P(M
0)P(M;0)P(M;0P
k2Ok1Ok
k3Ok2Ok1O
. (7.19)
. (7.20)
, (7.21)
, (7.22)
kykxk
k0kk
59
при условии, что точки O1, O2, O3 не лежат на одной прямой.
При решении задач можно пользоваться тремя видами
систем уравнений равновесия (7.20) - (7.22) исходя из конкретных условий задач. Выбор той или иной системы уравнений равновесия зависит в первую очередь от особенностей задачи, уровня знаний, опыта, желания и вкуса решающего.
Известно, что момент силы, отличной от нуля, относительно данной точки равен нулю, когда линия действия силы
проходит через данную точку. Отсюда следует практический
вывод: если при определении неизвестных сил нужно составить уравнения, в которые входят моменты этих сил, то за
центр моментов О выгодно брать точку, через которую проходит линия действия одной или нескольких неизвестных сил.
7.13. Плоская система параллельных сил
Если все параллельные силы лежат в плоскости х, у, то,
выбирая оси так, чтобы ось Ox была перпендикулярна силам,
получим, что все Xk = 0, a Yk = kP , где Yk – проекция силы на
ось у силы
0)P(M;0Y
Итак, для равновесия плоской системы параллельных сил
необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, равнялась нулю и
чтобы сумма моментов всех сил относительно любой точки в
плоскости этих сил также равнялась нулю.
Для плоской системы параллельных сил вместо уравнений
(7.21) можно записать
0)P(M;0)P(M
при условии, что отрезок O1O2 не параллелен силам.
Эта система получится из (7.21), если ось Ox направлена
перпендикулярно силам.
Для плоской системы сходящихся сил можно пользоваться
еще двумя видами систем уравнений вместо системы уравнений
(7.18)
P
. Из (7.20) остаются два уравнения
k
k0k
60
. (7.23)
k02k01
, (7.24)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]