Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Решение. Помещаем начало отсчета О в начальном поло-
F
F
жении кольца (рис. 10.2). Изображаем кольцо в произвольном
положении и проводим оси
. На кольцо действуют сила тяже-
Mb
M, Mn
и
сти gmG
тивления
(10.2), получим vkmvm
, реакция
. Учитывая, что
0NG
, FF
и сила сопро-
N
, из уравнения
.
Разделяя переменные и учитывая,
Рис. 10.2
В момент времени остановки груза
ляя в это уравнение
что при t = 0
v
dv
v
V
, получим k/v2t
0v
vv получим
0
v
dtk
.
V
00
.
01
tt
1
. Подстав-
0v
Задача 10.2. В предыдущей задаче найти путь , пройденный кольцом до остановки, считая, что на него действует сила
трения fNF
0v 2 м/с, коэффициент трения между кольцами
: радиус кольца R= 0,3 м, начальная скорость
f 0,3.
Решение. Выбираем начало отсчета и проводим оси
M, Mn
и
10.2). Действующими на кольцо силами будут gmG
так же, как и в предыдущей задаче (см. рис.
Mb
,
N
и
сила трения
. Составляя уравнения (10.2), (10.3), получим
систему
Fvm
Модуль силы трения
)NN(fF
. Это значит, что определять силу трения на
nb
2
,
NR/mv ,
n
NG0 .
b
2
2
NNffNF . Как видно
n
b
основании принципа суперпозиции как сумму сил трения, порожденных составляющими силы
121
, нельзя.
N
Поскольку mgGN
R
g
b
,
Как видно, сила трения зависит через реакцию
242
R/vgfmF .
N
от скорости движения кольца. Поэтому данную задачу, как и предыдущую, нельзя решить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.
Поскольку
dv
dt
dt
d
v
,
d
dv
d
dv
уравнение движения кольца примет вид
dv
d
f
v
422
vRg
.
R
Разделяя переменные, и интегрируя, получим
v
v
0
Отсюда следует )vRgvln(
2
)v(d
422
vRg
f2
R
ln
0
f2
f2
d
.
R
0
4222
, или
4
222
vRgv
0
.
4222
vRgv
В момент остановки 0v = 0. Если принять
4
222
vRgv
gR
0
R
1
0
ln
f2
10 м/с2, то
55,03ln5,0
м.
10.2. Определение реакций связей
При движении точки по заданной кривой реакция связи
находится с помощью уравнений (10.3). При этом движущуюся точку следует изображать в том положении, для которого
определяется эта реакция. Если скорость
, входящая в урав-
v
нение (10.3), заранее не известна, то во многих случаях ее
можно определить по теореме об изменении кинетической
энергии (9.6).
122
Уравнение (10.3) показывает, что при криволинейном
T
T
движении динамическая реакция
, в отличие от статической,
N
зависит не только от действующих активных сил и вида связи,
но и от скорости движения.
Задача 10.3. Груз массы m, подвешенный на нити длиною
l, отклоняют от вертикали в положение 0M , и отпускают без
начальной скорости. Определить силу натяжения нити
в
момент, когда груз дойдет до низшего положения M.
Решение. Изображаем груз в том положении, для которого
надо найти натяжение нити, т. е. в положении М (рис. 10.3). На
груз действуют сила тяжести
маль
направлена к центру кривизны траектории, а
Mn
и реакция нити
G
. Пусть нор-
v -
1
скорость груза в положении М. Поскольку в данном случае l
, уравнение
(10.3) имеет вид
2
1
Скорость
GTl/mv
или l/mvGT
v определим из (9. 15)
1
a
2
1
2
0
Amv5,0mv5,0 .
2
.
1
)MM(
10
Работу на участке 10MM совершает
Рис. 10.3
a
0v0 , получим )cos1(mglmv5,0
)cos23(mgT
.
только сила
)MM(
10
. Поэтому
G
)cos1(GlGhA
. Поскольку
2
1
и
В частном случае, если угол начального отклонения =
90, натяжение нити при прохождении через вертикаль будет
равно 3mg, т. е. утроенной силе тяжести груза.
Из этого решения следует, что динамические реакции могут значительно отличаться от статических.
123
Задача 10.4. Желоб состоит из двух дуг АВ и BD окружно-
стей радиуса R, расположенных в вертикальной плоскости так,
что касательная BE в точке сопряжения дуг горизонтальна
(рис. 10.4). Пренебрегая трением, определить, на какой высоте
h над линией BE надо положить в желоб тяжелый шарик чтобы
он соскочил с желоба в точке М, лежащей на таком же расстоянии h ниже линии ВЕ.
Решение. Шарик оторвется от желоба в той точке М где
его давление на желоб (или реакция N желоба) станет нуле-
вым.
Следовательно, задача сводится к определению зависимости )h(N . Изображаем шарик в точке М. На него действуют
сила тяжести
и реакция желоба N. Составляя уравнение
G
(10.3) в проекциях на внутреннюю нормаль
2
1
, получим
Mn
NcosGR/mv
.
Учитывая, что
hRKCcosR
,
0N
, по-
лучим
2
1
Величину
теоремы об изменении кинети-
)hR(Gmv
. (а)
2
mv найдем из
1
Рис. 10.4
ческой энергии. Так как 0v0 ,
уравнение (9.15) дает
a
2
Работу mgh2)G(A
гда, mgh4mv
Amv5,0 .
1
здесь совершает только сила G. То-
2
. Подставляя это выражение в (а), получим
1
, откуда R2,0h
hRh4
.
)MM(
10
Задача 10.5. Груз М подвешен на нити длиною l (рис. 10.5).
Какую наименьшую начальную скорость 0v, перпендикуляр-
124
ную нити, надо сообщить грузу, чтобы он описал полную ок-
T
T
ружность?
Решение. Груз опишет полную окружность, если на всем пути сила натяжения нити нигде (кроме, может быть, точки М') не
обратится в нуль, т. е. нить всюду будет натянута. Если же в какой - либо точке
где
, сила натяжения нити обратится в
0v
M ,
1
нуль, то нить перестанет удерживать груз на
круговой траектории (перестанет быть связью), и он будет продолжать движение как
свободное тело (по параболе).
Найдем силу
натяжения нити в про-
извольном положении М, определяемом уг-
Рис. 10.5
лом , и потребуем, чтобы было
любом
180
.
при
0T
В положении М на груз действуют сила тяжести
натяжения нити
нюю нормаль
. Уравнение (10.3) в проекциях на внутрен-
имеет вид
Mn
2
, (а)
cosGTl/mv
и сила
G
где v - скорость груза в положении М.
В данном случае работу совершает сила тяжести. По тео-
реме об изменении кинетической энергии
a
2
Следовательно, ).cos1(Gl2mvmv
Из (а) следует )gl/v2cos3(mgT
2
Amv5,0mv5,0 = )cos1(Gl2Gh
0
)MM(
10
2
2
0
2
0
.
.
Минимум T будет при = 180
2
.
125
)gl/v5(mgT
0min
Чтобы
T
лось в нуль, необходимо, чтобы было 0T
2
или gl5v0 .
0
нигде (кроме, может быть, точки М') не обрати-
. Отсюда
min
5gl/v
Следовательно, груз будет описывать полную окружность,
при начальной скорости не менее gl5v
.
0
Стержень, в отличие от нити, может воспринимать и растяжение и сжатие. Если груз подвесить на жестком,
легком (невесомом) стержне длины l, то
груз опишет полную окружность, если
при движении его скорость нигде, кроме, может быть, точки М', не обратится
в нуль. Используя уравнение (10.15)
Рис.10.6
2
. Тогда gl2v
0
l2mgmv
для перемещения MM
в точке М' скорость
.
min0
, и считая, что
0
получим
0v
10.3. Уравнения относительного движения
и покоя точки
Законы динамики и полученные из них в предыдущих
уравнения и теоремы верны только для абсолютного движения
точки, т. е. движения относительно инерциальной (неподвижной) системы отсчета.
В этой главе рассмотрено относительное движение точки,
т. е. движение относительно неинерциальной, произвольно
движущейся системы отсчета.
Пусть материальная точка М движется под действием приложенных к ней сил
F
,
F
, ...,
F
1
2
относительно системы Oxyz
n
(рис. 10.6), которая по известному закону движется относительно неподвижной системы
zyOx .
111
Для определения зависимости между относительным ускорением точки
r
и действующими на нее силами использу-
a
ем основной закон динамики для абсолютного движения
126
F
F
F
F
F
По теореме Кориолиса
kFam
. (10.4)
kre
, где
aaaa
r
e
и
k
a
,
a
a
-
относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.
e
и
ke
k
по
am
Тогда ).am()am(F)aaa(mam
Пусть
ker
eie
,
amF
k
kik
. Величины
amF
am
размерности являются силами. Их называют соответственно
переносной и кориолисовой силами инерции, Тогда предыдущее уравнение примет вид
r
k
ikie
FFFam
. (10.5)
Это уравнение выражает основной закон динамики для относительного движения точки. Из сравнения (10.4) и (10.5),
следует, что: все уравнения механики относительного движе-
ния точки можно составлять так же, как и уравнения абсолютного движения, прибавляя к действующим на точку силам
пeреносную и кориолисову силы инерции. Добавление сил
ik
, позволяет учесть влияние движения подвижной системы
ie
и
отсчета на относительное движение точки.
Возможны следующие частные случаи.
1. Подвижные оси движутся поступательно. Так как в этом
случае вращение подвижной системы отсутствует и угловая
скорость вращения подвижной системы Oxyz
0
, то
ik
= 0,
и уравнение относительного движения принимает вид
r
ie
FFam
k
.
2. Если подвижные оси перемещаются поступательно,
равномерно и прямолинейно, то
ie
= 0,
ik
= 0 и закон относительного движения будет иметь такой же вид, как и закон
движения относительно неподвижной системы. Поэтому такая
система отсчета также будет инерциальной.
Следовательно, либо существует бесконечно много инер-
циальных систем отсчета, либо не существует ни одной.
Из полученного результата вытекает, что никакими меха-
ническими экспериментами нельзя обнаружить, находится ли
127
данная система отсчета в покое или совершает поступа-
F
F
dt
тельное, равномерное и прямолинейное движение. В этом состоит принцип относительности классической механики,
сформулированный еще Галилеем.
3. Если точка относительно подвижной системы находится
в покое, то для нее
,
0ar
так как кориолисово ускорение )v(2a
, а следовательно и
0vr
rek
. Тогда (10.5)
ik
= 0,
принимает вид
0FF
ie
k
. (10.6)
Это уравнение относительного равновесия (покоя) точки.
Из него следует, что уравнения относительного равновесия
можно составлять тaк же, как и уравнения равновесия в неподвижной системе координат, добавляя к действующим на
точку силам переносную силу инерции.
4. При составлении уравнений относительного движения в
случаях, когда
и, следовательно, сила
, надо учитывать, что
0Fik
ik
перпендикулярна к
rekik
)v(m2amF
r
, а значит, и
v
к касательной к относительной траектории точки. Поэтому:
а) проекция кориолисовой силы инерции на касательную
к относительной траектории точки всегда равна нулю
M
ik
( 0F
) и уравнение (10.2) в относительном движении при-
мет вид
r
m
dv
k
ie
FF
. (10.7)
б) работа кориолисовой силы инерции на любом относи-
тельном перемещении равна нулю (см. 9.4, формула (9.10)), и
теорема об изменении кинетической энергии в относительном
движении примет вид
)F(AA)v(m5,0)v(m5,0
где -
r
v
и
1
2r
1
r
v
относительные скорости.
0
2r
0
128
k
ie
. (10.8)
Во все остальные уравнения относительного движения бу-
F
const
F
F
дут в общем случае входить и переносная, и кориолисова силы
инерции.
Задача 10.6. Считая массы всех вращающихся частей центробежного регулятора (рис. 10.7) малыми в сравнении с массами шаров В и D, найти угол при котором стержень АВ
длиной l, окажется в относительном равновесии, если регулятор
вращается с постоянной угловой
скоростью .
Решение. Для определения положения относительного равновесия (относительно вращающейся
вместе с регулятором системы отсчета) прикладываем к действую-
щим на шар В силе тяжести
реакции
инерции»
Тогда
ускорению
«переносную силу
N
ie
. При
2ie
ne
, т. е. вдоль линии СВ. Урав-
a
sinmlF
. Сила
нение равновесия в проекции на ось
и
G
,
ie
направлена противоположно
B
перпендикулярную к АВ, имеет вид
ie
Подставляя сюда силу
на
(решение = 0 отбрасываем
0sin
как соответствующее
2
скольку
0coslg
1cos
возможно только, при l/g
.0 cosF G sin-
ie
и сокращая
), получим
0
или
l/gcos . По-
, равновесие при
2
.
2
0
Задача 10.7. Стержень, ось которого
есть полуокружность BCD радиуса R (рис.
129
Рис. 10.7
2nee
BCaa
,
Рис. 10.8
2
sinl
.
10.8) вращается вокруг вертикальной оси BD с постоянной уг-
F
ловой скоростью . По нему из точки В с начальной скоростью
сительную скорость кольца
r
v
начинает скользить без трения кольцо М. Найти отно-
0
r
v
в точке С.
1
Решение. Скорость
r
v
определим по теореме об измене-
1
нии кинетической энергии (10.8), для чего определим работу
сил
G
и
ie
, модуль которой
равна нулю. Считая 0x
x
ie
)BC(
c
ie
x
x
B
Поскольку mgR)G(A
Отсюда )g/R5,01(gR2v
1
, находим
B
R
2
0
)BC(
1
.
и 0v0
2r
2ie
. Работа реакции
xmF
22
Rm5,0dxxmdxF)F(A
22r
.
N
.
)R5,0g(mR)v(m5,0
Задачу можно также решить, составляя уравнение (10.7) в
проекциях на касательную
и преобразуя затем его левую
M
часть так же, как в задаче 10.2.
10.4. Влияние вращения Земли на равновесие
и движение тел
При решении большинства инженерных задач систему отсчета, связанную с Землей, считают неподвижной (инерциальной). Тем самым не учитывается суточное вращение Земли и
ее движение по орбите вокруг Солнца. Переносная сила инерции в орбитальном движении, которая должна войти в уравнение (10.5) почти уравновешивается силой притяжения Солнца.
Следовательно, неинерциальность системы отсчета, связанной
с Землей, в основном, вызвана ее суточным вращением вместе
с Землей относительно звезд. Это вращение происходит со
скоростью: 1 оборот за 23 часа 56 минут 4 секунды, т. е. с угловой скоростью = 0,0000729 1/с.
Оценим влияние неинерциальности земной системы отсчета на равновесие и движение тел.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]