Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
12.3.3. Круглая однородная пластина или цилиндр
2
Для вычисления момент инерции круглой пластины радиус R и массы М (рис. 12.4,б) относительно оси Cz, перпендикулярной к пластине и проходящей через ее центр выделим
элементарное кольцо радиуса r и ширины dr. Площадь этого
кольца равна
, а масса
rdr2
rdr2dm
, где
M
- мас-
2
2
R
са единицы площади пластины.
Тогда из (12.7) для выделенного элементарного кольца
2
C
3
drr2dmrdJ
,
2
а для всей пластины
Подставляя сюда
R
2C
0
, получим
C
3
2
MR5,0J (12.8)
4
R5,0drr2J
,
2
Такая же формула получится, очевидно, и для момента
инерции
J однородного круглого цилиндра массы М и ра-
z
диуса R (рис. 12.2,в) относительно его оси симметрии Cz.
12.3.4. Прямоугольная пластина, конус, шар
Ниже приведены окончательные формулы для моментов
инерции следующих тел:
а) сплошная прямоугольная пластина массы М со сторонами АВ= а и BD=b (ось х направлена вдоль стороны АВ, ось
у - вдоль BD):
2
x
3/MbJ
, 3/MaJ
y
2
б) прямой сплошной круглый конус массы М с радиусом
основания R (ось z направлена вдоль оси конуса):
2
z
MR3,0J ;
в) сплошной шар массы М и радиуса R (ось z направлена
вдоль диаметра):
2
z
MR4,0J .
171
Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной фор-
мы определяются экспериментально с помощью соответствующих приборов или установок.
12.4. Моменты инерции тела относительно
параллельных осей. Теорема Гюйгенса
Для практики важны соотношения, позволяющие по мо-
менту инерции относительно некоторой
оси, определять момент инерции относительно любой другой оси, параллельной
этой оси.
Проведем через центр масс С тела
(рис. 12.5) произвольные оси Cx'y'z', а через любую точку О на оси Сх' - оси Oxyz,
такие, что
yCOy
,
zCOz
. Пусть d рас-
Рис. 12.5
Как видно из рисунка, для любой точки тела
2
k
22'
k
стояние между осями Cz' и Oz. Тогда согласно (12.3)
2
2
yxmJ ,
k
kkOz
'
dx2dxx
, а
k
yy
'
Cz
'
. После несложных преобразо-
kk
2'
2'
yxmJ
k
kk
.
'
dxx
,
kk
ваний получим
2'
2'
k
kkOz
2
.
k
В правой части равенства первая сумма есть
- масса тела М. Из (12.1) для координаты центра масс
дует
ординат
'
kk
'
C
'
Mxxm . Поскольку точка С является началом ко-
C
Oz
'
kk
0xm
. Тогда
2
MdJJ
. (12.9)
'
Cz
0x
и,
'
xmd2dmyxmJ
kk
J
, а вторая
zC
'
x сле-
C
Формула (12.9) выражает теорему Гюйгенса: момент
инерции тела относительно данной оси равен сумме его
172
момента инерции относительно центральной оси, ей парал-
2
4
3
лельной, и произведения массы тела на квадрат расстояния
между осями.
Из формулы (12.9) следует, что
JJ . Поэтому, для
ZOOZ
множества параллельных осей наименьший момент инерции
тело имеет относительно его центральной оси.
Теорема Гюйгенса позволяет найти момент инерции тела
относительно данной оси Оz1 и в том случае, когда известен
его момент инерции относительно любой оси Аz2 параллельной данной. Для этого надо знать расстояния d1 и d2 от каждой
из этих осей до центра масс тела. Тогда, зная
формуле (12.9) можно определить
J , а затем по той же
CZ
1
формуле определяется искомый момент инерции
J и d
AZ
2
J .
OZ
1
, по
2
Задача 12.1. Найти момент инерции тонкого стержня относительно центральной оси Cz, перпендикулярной стержню .
Решение. Проведем через конец А стержня ось Аz (ось Сz
на нем не показана). Тогда по формуле (12.9)
2
MdJJ
Ac
.
В данном случае l5,0d
, где l - длина стержня, а
J оп-
A
ределяется формулой (12.6). Следовательно,
J
c
1
Ml
1
Ml
3
222
Ml
.
Задача 12.2. Определить момент инерции цилиндра относительно оси
Решение. По теореме Гюйгенса
ном случае d= R, а по формуле (15.8)
Az , проходящей через его образующую.
1
MdJJ
. В дан-
CzAz
1
2
MR5,0J
Cz
. Тогда
2
Az
1
.
222
MR5,1MRMR5,0J
173
12.5. Центробежные моменты инерции.
Главные оси инерции тела
Осевые моменты инерции системы также не вполне характеризует распределение масс системы. Например, если стержень, на котором находятся шары А и В, повернуть в плоскости Oyz так, чтобы угол между ним и осью Oz стал не прямым,
а расстояния h шаров А и В от оси сохранить, сместив их к
концам стержня, то ни положение центра масс, ни момент
инерции шаров относительно оси Oz не изменятся, но симметрия относительно оси Oz нарушится. Это приведет к другому
распределению масс относительно оси Oz и при вращении
системы вокруг оси Oz появятся дополнительные горизонтальные сил давления на подшипники.
Поэтому в механике в качестве характеристик, учитывающих подобную асимметрию распределения масс, используют
еще и центробежные моменты инерции:
JJJ ,,
.
zxyzxy
где
m - массы точек,
k
Очевидно, что
z,y,x - их координаты.
kkk
JJ и т. д.
yxxy
yxmJ,yxmJ,yxmJ
, (12.10)
kkkzxkkkyzkkkxy
Для сплошных тел формулы (15.10) по аналогии с (15.5')
V
xy
и т. д. (12.10')
xydvJ
В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и, в частности, при определенным образом выбранных осях Oxyz принимать нулевые значения.
Пусть координатные оси Oxyz таковы, что осью симметрии однородного тела является ось Oz. Тогда в силу симмет-
рии каждой точке тела с координатами (
m будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой
k
же массой и с координатами, равными
0zxm
зультате получим, что,
kkk
174
и
z,y,x ) и массой
kkk
z,y,x . В ре-
kkk
0zym
, так как
kkk
в этих суммах модули всех слагаемых попарно одинаковы, но
противоположны знаки. Согласно (12.10)
0J,0J
. (12.11)
yzxz
Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси Oz приводит к обращению в нуль двух центробежных моментов инерции
Ось Oz, для которой центробежные моменты инерции
и
J , содержащие в своих индексах наименование этой оси,
yz
J и
xz
J .
yz
J
xz
равны нулю, называется главной осью инерции тела.
Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой
точки оси.
Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии.
Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии. Проведем в этой плоскости оси Ох и Оу и перпендикулярную к ним ось Oz. Тогда в силу симметрии каждой точке
с массой
m , и координатами (
k
z,y,x ) будет соответство-
kkk
вать точка с такой же массой и координатами, равными
z,y,x . В результате, как и в предыдущем случае,
kkk
,0zxm
и
kkk
0zym
или 0J,0J
kkk
yzxz
.
Следовательно, если тело имеет плоскость симметрии, то
любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной
осью инерции тела.
Равенства (12.11) выражают условия, при которых ось Oz
является главной осью инерции тела. Аналогично, если
0Jxy и 0J
то ось Ох будет главной осью инерции и т. д.
zx
Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.
0J,0J,0J
, (12.12)
xyyzxz
то каждая из координатных осей Oxyz является главной осью
инерции тела.
175
Если ось Oz направить по оси симметрии тела вращения,
то все три оси любой системы Oxyz будут главными осями
инерции, поскольку оси Ох и Оу будут перпендикулярными к
плоскостям симметрии тела.
Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела,
называют главными центральными осями инерции тела. Из
изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то
эта ось является одной из главных центральных осей инерции
тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет
плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная к этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной
из главных центральных осей инерции тела.
Можно доказать, что в любой точке любого тела можно
провести по крайней мере три взаимно
перпендикулярные оси, относительно
которых центробежные моменты инерции будут равны нулю, т. е. которые
будут главными осями инерции тела.
Главные оси инерции играют важную роль в динамике твердого тела.
Если по ним направить координатные
Рис. 12.6
оси Oxyz, то все центробежные моменты инерции обращаются
в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются. С главными осями связано также динамическое уравновешивание тел, определение центра удара и др.
Покажем, что главные оси инерции существуют в любой
точке тела. Для этого докажем сначала следующую теорему:
ось Oz, момент инерции относительно которой имеет экстремальное значение по сравнению с моментами инерции относительно соседних с ней осей, проходящих через точку О, является главной осью инерции тела для этой точки. Следовательно, надо доказать, что если при любом элементарном повороте
176
оси Oz вокруг точки О будет dJz = 0 (условие экстремума), то
эта ось является для точки О главной осью инерции.
Проведем через точку О координатные оси Oxyz и повер-
нем их (не меняя положения тела) вокруг оси Ох на угол
d
1
(рис. 12.6). Как известно из аналитической геометрии, при таком повороте осей координата
y любой точки kb тела преоб-
k
разуется по формуле
Так как
'
k
d - элементарный угол,
1
sinzcosyy
.
1k1k
'
k
dzyy
, что
1kk
видно и непосредственно из рисунка. Следовательно,
2
2'
k
k
kk
порядка, т. е. слагаемые с
2
dzdzy2yy
. Тогда, отбрасывая малые высшего
1
k1
2
d , и учитывая, что
1
'
k
xx
, полу-
k
чим:
2
2
'
z
2'
k
kk
Вынося здесь общий множитель
'
z
2
kk
k
d
за скобку, получим
1
dJ2JJ
.
1yzz
k
dzym2yxm'yxmJ
.
1
kk
Элементарное приращение Jz при рассматриваемом пово-
dJ2JJdJ
роте
z
'
1
z
ном повороте вокруг оси Оу на угол
dJ2dJ . Поскольку любое элементарное перемеще-
z
2
2xy
. Аналогично при элементар-
1yxz
d
получим
2
ние оси Оz складывается из таких двух поворотов, условия
экстремума
J примут вид
z
z
1
0dJ,0dJ
.
z
2
Следовательно, если это условие выполняется, то посколь-
ку 0d,0d
, должно быть 0J,0J
21
, т. е. ось Oz
yzxz
будет для точки О главной осью инерции. Тем самым теорема
доказана.
Если изменять направление оси Оz, проходящей через
точку О тела, то одновременно будет изменяться и осевой момент инерции Jz. При таком изменении Jz, не может ни возрас-
177
тать, ни убывать неограниченно, поскольку для любого тела
0Jz . Отсюда на основании соответствующих теорем
анализа следует, что среди всех направлений оси Oz существует по крайней мере одно, для которого Jz имеет максимум (по
сравнению с его значениями для соседних осей), и одно, для
которого Jz имеет минимум. Тогда из доказанной теоремы вытекает, что через любую точку тела проходят по крайней мере
две главные оси инерции. Можно показать, что они взаимно
перпендикулярны. Из (12.11) следует, что если две взаимно
перпендикулярные оси, проходящие через точку О (например,
Ох и Оу) являются главными, то 0J
, 0J
xz
и третья,
yz
перпендикулярная к ним ось Оz будет также главной осью
инерции. Следовательно, через любую точку тела действительно проходят по крайней мере три взаимно перпендикулярные главные для этой точки оси инерции тела.
178
Глава 13. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА
r
МАСС СИСТЕМЫ
13.1. Дифференциальные уравнения движения системы
Пусть система состоит из n материальных точек с массами
e
m , движущихся с ускорениями ka
k
. Пусть
F
- равнодейст-
k
вующая всех приложенных к точке k внешних сил (включая и
i
активные силы и реакции связей), а
F
- равнодействующая
k
всех внутренних сил. Основной закон динамики для точки k
имеет вид
i
e
FFam
.
k
kkk
Аналогичный результат получается для любой точки. Для
всей системы
i
e
111
222
nnn
FFam
1
i
e
FFam
2
(13.1)
.........................
i
e
FFam
n
Поскольку из этих уравнений можно определить закон
движения каждой точки системы, они называются дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Уравнения (13.1) имеют второй порядок относительно вектора - радиуса перемещения
вектора скорости
, так как
v
и первый порядок относительно
2
a
vd
k
k
dt
rd
k
. Входящие в пра-
2
dt
вые части уравнений силы могут в общем случае зависеть от
времени, координат точек и тел системы, а также и их скоростей.
Решение основной задачи динамики системы заключается
в том, чтобы, зная заданные силы, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить закон
движения каждой из точек системы )t(r
. Однако такой путь
k
решения обычно не применяется. Во - первых, этот путь слиш-
179
ком сложен и почти всегда связан математическими трудно-
стями. Во- вторых, чаще всего, бывает достаточно определить
некоторые общие характеристики движения системы, а не
движение каждой из ее точек в отдельности. Эти общие характеристики и определяются с помощью общих теорем динамики системы.
13.2. Теорема о движении центра масс
Часто для описания движения системы (особенно твердого
тела), достаточно знать закон движения ее центра масс. Из
(16.1) следует
e
kkk
i
FFam
. (13.2)
k
Поскольку
kmM
- масса системы, из (13.2) следует
rMrm
.
Ckk
Считая массы точек постоянными и дифференцируя дважды это равенство по времени, получим
m
2
rd
k
dt
2
k
M
dt
2
rd
C
,
2
или
где
a
- ускорение центра масс системы.
c
Поскольку для внутренних сил системы 0F
aMam
, (13.3)
Ckk
i
k
, из
(16.2), получим
e
FaM
. (13.4)
kC
Соотношение (13.4) и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение
ее центра масс равно главному вектору всех действующих на
систему внешних сил. Сравнивая (13.4) с уравнением движения материальной точки (8.3), получаем другое выражение
теоремы: центр масс системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, и к которой приложены все
внешние силы, действующие на систему.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]