Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
ступает резонанс и амплитуды колебаний начнут сильно воз-
m
растать. Если частота р станет больше k (
1), то груз будет
колебаться так, что когда конец. пружины идет вверх, груз будет опускаться вниз и наоборот (сдвиг фаз =
180 ). При этом
амплитуда колебаний будет тем меньше, чем больше р. Наконец, когда р будет много больше k (
), амплитуда
1
0A
При этом, хотя верхний конец пружины и совершает колебания с амплитудой
a , груз будет оставаться в равновесии (в
0
точке О). В этом случае частота этих колебаний столь велика,
что груз не успевает за ними следовать.
11. 4. Задачи для самостоятельного решения
11.4.1. Материальная точка массой т = 0,4 кг совершает
гармонические колебания по горизонтальной оси Ох по закону
)t5,0sin(20x
(x выражено в см, tсм, t - в с.). Найти зави-
симость силы, действующей на точку от x.
11.4.2. Груз, сила тяжести которого
mgG
20 Н под-
вешен на пружине, которая в естественном состоянии имеет
длину
вием этого груза равно
l = 40см. Статическое удлинение пружины под дейст-
0
= 4 см. Груз приведен в положение
c
при котором длина пружины составила 42 см и отпущен без
начальной скорости. Определить период колебаний груза и
наибольшую силу натяжения пружины.
11.4.3. К свободному концу А упругой горизонтальной
балки, другой конец которой закреплен неподвижно, подвешен на пружине груз массой
. Упругая сила балки пропорциональна
стреле прогиба f, а сила натяжения пружины пропорциональна ее удлинению , причем жесткость балки равна
пружины равна
c . Определить период коле-
2
баний груза, пренебрегая массами балки и
c , а жесткость
1
Рис. 11.17
пружины (рис. 11.17).
.
161
11.4.4. Материальная точка совершает прямолинейные
T
D
t
v
t
колебания в вязкой среде под действием силы, пропорциональной расстоянию от этой точки до неподвижного центра О.
Сила сопротивления среды пропорциональна
скорости точки. В начальный момент
и
v 1 м/с. Зная, что период колебаний
0
2 с, а декремент затухания
x 0
0
=
0,5, найти
закон движения точки.
11.4.5. Тело массой m= 5 кг, погруженное в жидкость подвешено на пружине,
статическое удлинение которой под действием веса этого тела равно 1 см. Свободный
конец пружины совершает вертикальные колебания около неподвижной точки
2
t5sin05,0
, причем
y выражено в метрах,
A
A по закону 0AAAy
0
Рис. 11.18
- в секундах.
Сила сопротивления жидкости при движении груза про-
порциональна его скорости v и при
1 м/с равна 15,7 Н.
Найти амплитуду вынужденных колебаний (рис. 11.18).
11.4.6. Колеблющаяся масса вибрационного грохота, установленного на наклонной плоскости с углом наклона (рис.
11.19), приводится в движение при
помощи двух пружин жесткостью с
н/м каждая, соединенных с ползуном В кривошипно-ползунного механизма. Длина l шатуна АВ значительно больше длины r кривошипа
ОА, так что первой и более высоки-
Рис. 11.19
ми степенями отношения можно пренебречь, т. е. можно счи-
l/r
тать, что ползун В движется по тому же закону, что и проекция
точки А кривошипа на ось x. Масса грохота равна m. Определить закон вынужденных колебаний грохота, пренебрегая
потерями на трение, если кривошип вращается по закону
. При каком числе оборотов в минуту кривошипа насту-
162
пит резонанс?
F
F
см
11.4.7. Материальная точка массой m == 50 кг движется
по горизонтальной прямой, притягиваясь к неподвижному
центру О силой
, пропорциональной расстоянию точки от
этого центра, причем коэффициент пропорциональности с =
200 н/м. Кроме того, на точку действует возмущающая сила
, выраженная в ньютонах. Найти закон движения
t2sin2F
точки, если в начальный момент
возмущающая сила
в начале движения (при
xx 0; 0vv 1 см/сек и
0
5,0t
) сов-
падает по направлению с начальной скоростью.
11.4.8. Груз массы m= 0,14 кг колеблется на пружине с
жесткостью k= 56 Н/м с амплитудой A= 40 мм. Найти: 1)
полную механическую энергию W; 2) потенциальную энергию
в точке с координатой x= 0; 3) кинетическую энергию K в
U
той же точке; 4) скорость прохождения этой точки грузом.
11.4.9. Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой m= 100 г, то частота колебаний
уменьшится в n= 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?
11.4.10. Период вертикальных колебаний висящего на
пружине тела
од колебаний до значения
= 1 с. Увеличение его массы изменило пери-
T
01
= 1,5 с. Определить смещение
Т
02
положения равновесия конца пружины под действием дополнительного груза.
11.4.11. Как изменится период вертикальных колебаний
груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если их последовательное соединение заменить параллельным?
11.4.12. В открытые сообщающиеся сосуды с площадями
поперечного сечения S и 2S налита ртуть массой М. Столбик
ртути в одном из сосудов вывели из положения равновесия,
вследствие чего ртуть начала колебаться. Найти период колебаний ртути.
11.4.13. С какой частотой колеблется палка массой m = 2
кг и площадью поперечного сечения S= 5
2
, плавающая на
163
поверхности воды в вертикальном положении? (Принять во
внимание, что период колебания груза на пружине
0
k/m2T
, где k - коэффициент жесткости пружины).
11.4.14. После загрузки корабля период его колебаний по
вертикали увеличился с
T = 7 с до 02T = 7,5 с . Какова масса
01
груза? Сечение корабля по ватерлинии S = 500 м2.
11.4.15. Ареометр, состоящий из шарика, заполненного
дробью, и цилиндрической трубки с поперечным сечением S,
помещен в жидкость с плотностью . Найти период колеба-
ний ареометра около положения равновесия. Как будет изменяться период при увеличении его массы, уменьшении диаметра трубки, при увеличении плотности ?
11.4.16. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если его
немного погрузить в жидкость, а затем отпустить, то он начнёт
совершать колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания
ареометра гармоническими и незатухающими, найдите плотность жидкости, в которой он плавает. Радиус вертикальной
цилиндрической трубки ареометра равен 5 мм.
164
Глава 12. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
F
F
СИСТЕМЫ ТЕЛ
12.1. Механическая система. Силы внешние и внутренние
Механической системой материальных точек или тел на-
зывается совокупность существенно взаимодействующих между собой материальных точек или тел.
Материальное тело также можно рассматривать как сис-
тему материальных частиц (точек), образующих это тело.
Классическими примерами механических систем являются
солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения, а также любые машины или механизмы, в
которых все тела связаны различными геометрическими связями - шарнирами, стержнями, тросами, ремнями и т. п. Различные силы в таких системах передаются через связи.
Совокупность тел, между которыми нет никаких сущест-
венных сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механической системой не является. В дальнейшем будут рассматриваться только механические системы
тел, называемые далее просто системами.
В соответствии с изложенным, силы, действующие на точ-
ки или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние.
Внешними называются силы, действующие на точки сис-
темы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему.
Внутренними называются силы, действующие на точки
системы со стороны других точек или тел этой же системы.
Пусть
e
- внешняя сила, а
i
- внутренняя сила (индексы е и i
oт начальных букв слов exterieur - внешний и interieur - внутренний).
Как внешние, так и внутренние силы - могут быть в свою
очередь или активными, или реакциями связей. Разделение сил
на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел рассматривается. Например,
если рассматривать движение солнечной системы в целом, то
сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изу-
165
чении же движения Земли по ее орбите вокруг Солнца та же
сила должна считаться внешней.
Внутренние силы имеют следующие свойства:
1. Векторная сумма (главный вектор) всех внутренних сил
системы равна нулю. Действительно, по третьему закону динамики любые две точки системы действуют друг на друга с
равными по модулю и противоположно направленными сила-
i
F
ми
km
получается для любой другой пары точек системы. Поэтому
2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил
системы относительно любого центра или оси равен нулю.
Действительно, если взять произвольный центр О, то из рис.
12.1 видно, что
получится при вычислении моментов относительно оси. По-
этому для всей системы
Из изложенного не следует, однако, что
внутренние силы взаимно уравновешиваются и
не влияют на движение тел системы, так как
эти силы приложены к разным материальным
точкам или телам и могут вызвать взаимные
перемещения этих точек или тел. Внутренние
силы взаимно уравновешены только в абсо-
и
i
F
, сумма которых равна нулю. Такой же результат
mk
i
0F
km
i
km0
i
0Fm
km0
и
.
i
0FmFm
mk0
. Аналогичный результат
i
0Fm
kmx
.
лютно твердом теле (аксиома первая).
12.2. Масса системы. Центр масс
Движение системы зависит не только от действующих сил,
но и от ее суммарной массы и распределения масс ее тел или
материальных точек.
Масса системы равна сумме масс всех точек или тел, образующих систему
kmM
.
166
Рис. 12.1
В однородном поле тяжести, для которого g= const, сила
M
M
M
тяжести любой частицы тела пропорциональна ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. На основании формул, определяющих
координаты центра параллельных сил, с учетом того, что
gmGkk ,
MgG
после сокращения на g, получается
xm
x
c
kk
y
c
xm
kk
z
,, . (12.1)
c
В эти равенства входят только массы
точек (частиц), образующих тело, и координаты
xm
kk
m материальных
k
z,y,x
kkk
этих точек. Следовательно, положение точки С (хс, ус, zc) действительно характеризует распределение масс тела или любой
механической системе, если под
z,y,x,m понимать со-
kkkk
ответственно массы и координаты точек этой системы.
Точка С с координатами, определенными по (15.1), называется центром масс или центром инерции механической системы.
Вектор - радиус
где
r
- векторы - радиусы точек системы.
k
r
центра масс
c
1
c
rmMr
, (12.1’)
kk
Оси координат, проходящие через центр масс тела или
системы тел, называются центральными.
Хотя для небольших тел и систем тел, находящихся в однородном поле тяжести, центры масс и тяжести совпадают,
понятия эти не являются тождественными. Определение центра тяжести, как точки, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, имеет смысл только для
системы, находящейся в однородном поле тяжести. Определение же центра масс, как характеристики распределения масс в
системе, имеет смысл для любой системы материальных точек
или тел. Оно сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли система под действием сил тяжести или нет.
167
12.3. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции
Положение центра масс характеризует распределение масс
системы не полностью. Например, если в системе, изображенной на рис. 12.2, при одинаковых шарах А и В увеличить величину h, то положение центра масс
системы не изменится, но распределение масс станет другим и это
можно обнаружить при вращении
вокруг оси Oz.
Поэтому в механике использу-
ется еще одна характеристика распределения масс - момент инерции.
Моментом инерции тела (системы)
относительно данной оси Oz
Рис. 12.2
(или осевым моментом инерции)
называется скалярная величина, равная сумме произведений
масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от
этой оси
0hmJ
2
. (12.2)
kkz
Осевой момент инерции является мерой инертности тела
во вращательном движении. В дальнейшем будет показано,
что роли осевого момента инерции при вращательном движении тела и массы тела при поступательном движении аналогичны.
По определению момент инерции тела относительно неко-
торой оси равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. При удалении материальной точки на
расстояние h от оси z,
z
2
mhJ . Единицей измерения момен-
та инерции в СИ служит 1 кг*м2.
Для определения осевых моментов инерции можно рас-
стояния точек от осей выражать через их координаты
z,y,x .
kkk
168
2
2
Например, квадрат расстояния от оси Ох будет
zy
и
k
k
т. д. Тогда моменты инерции относительно осей системы Oxyz
2
2
zymJ
,
k
kkx
2
2
xzmJ , (12.3)
k
kky
2
2
yxmJ .
k
kkz
Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется
линейная величина
M/J
. (12.4)
zin
где М - масса тела.
Из определения следует, что если в некоторой точке сосредоточена масса всего тела и если момент инерции этой точки относительно оси Oz равен моменту инерции всего тела, то
радиус инерции равен расстоянию от оси до этой точки.
Формулы (12.2) и (12.3) верны как для твердого тела, так и
для системы материальных точек. При разбиении сплошного
тела объема V и плотности на элементарные части объемов
с массой
dV
dVdm
(12.2) в пределе станет интегралом
2
z
V
dmhJ или
z
V
2
. (12.5)
dVhJ
Интегрирование ведется по объему V тела, с учетом зависимости плотности и расстояния h от координат точек тела.
Аналогично для сплошных тел формулы (12.3) примут вид
x
V
22
и т. д. (12.5')
dVzyJ
При постоянной плотности выносят из-под знака интеграла.
Определим моменты инерции некоторых однородных тел.
169
12.3.1. Тонкий однородный стержень
x
Пусть продольная ось
стержня длиной l и массой М
перпендикулярна оси Az. Тогда
для любого элементарного отрезка
Рис. 12.3
длины dx величина h= x, а масса
dxdm
, где l/M1
1
единицы длины стержня. Из (12.5), получаем
l
A
0
Поскольку l/M
1
3/MlJ
2
. (12.6)
A
l
2
dxxdmxJ
1
0
2
1
3
l
.
1
3
12.3.2. Тонкое круглое однородное кольцо
Пусть кольцо имеет радиус R и массу М (рис. 12.4,а), а ось
- масса
Рис. 12.4
Cz перпендикулярна плоскости кольца и проходящей через его
центр. Так как все точки кольца находятся от оси Cz на рас-
стоянии Rh
, то формула (15.2) дает
k
2
kC
22
MRRmRmJ
k
.
Следовательно, для кольца
2
MRJ
C
. (12.7)
Очевидно, такой же результат получится для момента
инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса
R относительно ее оси.
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]