Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
ризует ту часть действия силы, которая определяет изменение
F
F
F
модуля скорости движущейся точки.
Элементарной работой силы
ремещении
точки ее приложения к телу называется ска-
rd
на бесконечно малом пе-
лярная величина
drFdA
где
F проекция силы
, (9.7)
на касательную к траектории в точке
приложения силы, направленную в сторону перемещения точки, a
- бесконечно малое перемещение точки, направленное
rd
вдоль этой касательной.
Такое определение соответствует понятию о работе, как о
характеристике действия силы,
приводящего к изменению модуля скорости точки. Действи-
тельно, если разложить силу
на составляющие
F
и
F
изменять модуль скорости точки
будет только составляющая
, то
n
Рис. 9.2
F
,
сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же
F
или изменяет направление вектора скорости
n
(сообщает
v
точке нормальное ускорение), или, при несвободном движении, действует на связь. В любом из этих случаев
дуль скорости не влияет, т. е. сила
Поскольку
cosFF , из (9.7) получаем
F
работу не производит.
n
. (9.8)
cosFdrdA
F
на мо-
n
Следовательно, элементарная работа силы равна проекции
силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение
(9.7) или элементарная работа си-
rd
лы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение модуля
и на косинус угла между направлением
rd
силы и направлением перемещения (9.8).
91
Если угол острый, то работа положительна. В частно-
F
сти, при
элементарная работа
0
.
FdrdA
Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности,
при
Если угол
0
180
элементарная работа
0
90
, т. е. если
.
FdrdA
сила направлена перпендикулярно
перемещению, то элементарная
работа силы равна нулю.
Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна,
когда касательная составляющая
силы направлена в сторону движения, т. е. когда сила ускоряет
движение тела; работа отрица-
Рис. 9.3
тельна, когда касательная составляющая силы направлена противоположно движению, т. е. когда сила замедляет движение
тела.
Скалярным произведением двух векторов
и b называ-
a
ется скалярная величина, равная произведению модулей этих
векторов на косинус угла между ними, т.е.
cosabab
Скалярное произведение можно выразить через проекции перемножаемых векторов на оси прямоугольной системы коор-
динат:
.
babababa
zzyyxx
Как известно из кинематики, вектор элементарного перемещения точки
. Если использовать понятие о скаляр-
dtvrd
ном произведении двух векторов, то (9.8) примет вид
rdFdA
. (9.9)
Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного
перемещения точки ее приложения.
Для определения элементарной работы силу
вают на составляющие (рис. 9.3)
осям. Элементарное перемещение
'
92
F,F,F
по координатным
zyx
слагается из пе-
rdMM
расклады-
.
ремещений dx, dy, dz вдоль координатных осей, где х, у, z - ко-
F
ординаты точки М. Поэтому (9.9) принимает вид
dzFdyFdxFdA
Работа силы при конечном перемещении из точки
точку
M определяется как интегральная сумма соответст-
1
. (9.10)
zyx
M в
o
вующих элементарных работ
M
1
MM
01
M
,drFA
(9.11)
0
или
M
1
01
M
0
dzFdyFdxFA . (9.12)
zyxMM
Следовательно, работа силы на
любом перемещении из точки
точку
M , равна взятому вдоль тра-
1
M в
o
ектории точки приложения силы к
телу интегралу от элементарной работы. Пределы интегрирования соответ-
Рис. 9.4
ствуют значениям переменных интегрирования в точках M0 и M1, а интеграл (9.12) берется вдоль
траектории точки и является криволинейным.
Если величина
значая путь из М0 в М1 через
F постоянна (F = const), то из (9.11), обо-
s получим
1
sFA
. (9.13)
1MM
01
Так может быть при постоянных модуле и направлении
действующей силы (
= const), при прямолинейном движении
точки приложения силы (рис. 9.4). В этом случае
constcosFF
и работа силы
cosFsA
.
10
1MM
Единицей измерения работы в СИ является джоуль (1 Дж=
1 Н*м).
Для решения основной задачи динамики важно выделить
те силы, работу которых можно определить заранее, не зная
93
закона движения точки, на которую действует сила. Из форму-
F
F
лы (9.12) видно, что такими могут быть только постоянные силы или силы, зависящие от положения (координат) движущейся точки.
Для определения работы силы, зависящей от времени или
скорости движения точки, надо дополнительно знать закон
движения точки, т. е. координаты x, у, z, как функции времени.
Тогда все переменные можно выразить через время t и определить интеграл (9.12). Не зная закона
движения точки, или не решив предварительно основную задачу динамики, работу таких сил определить
нельзя.
9.4.1. Графический способ вы-
числения работы. Если составляющая
F
силы
зависит от положения точки на траектории, то
есть от естественной координаты , и известен график )(F
(рис. 9.5), то работу силы
можно определить графически.
Пусть положению М0 соответствует координата
нию М
-
. Тогда по формуле (9.11), учитывая геометриче-
1
1
Рис. 9.5
, а положе-
0
ский смысл интеграла, получим
s
1
MM
10
s
0
dFA ,
где - величина заштрихованной площади, умноженной на
масштабный коэффициент.
9.4.2. Мощность
Мощностью называется величина, определяющая работу,
силы в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность
,t/AW1
где t1 - время, в течение которого произведена работа А.
94
В общем случае, когда направления силы и скорости точки
dt
dt
ее приложения к телу не совпадают
W
dA
drF
vFvF
.
Следовательно, мощность равна скалярному произведению составляющей силы вдоль касательной к траектории точки на скорость движения точки приложения силы.
Единицей измерения мощности в системе СИ является
Ватт (1 Вт = 1 Дж/с). В технических документах еще встречается единица мощности - 1 лошадиная сила, равная 736 Вт.
Работу, произведенную машиной, потребляющей постоянную мощность, можно измерять произведением ее мощности
на время работы. Поэтому часто применяется единица измерения работы киловатт - час (1 квт-ч = 3,6*106 Дж).
Из равенства vFW
видно, что у двигателя, имеющего
данную мощность W, сила тяги
F
будет тем больше, чем меньше
скорость движения
. Поэтому,
v
например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля
включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности
двигаться с меньшей скоростью,
Рис. 9.6
но развивать большую силу тяги.
9.5. Примеры вычисления работы
В рассмотренных ниже примерах получены формулы, которыми можно и удобно пользоваться при решении задач.
9.5.1. Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую
действует сила тяжести
, перемещается из положения
gmG
z,y,xM в положение
0000
z,y,xM . Пусть ось Oz на-
1111
правлена вертикально вверх и равна высоте z. Тогда
mgG 0, G G
, и (9.12), принимает вид
zyx
95
M
F
1
MM
10
M
0
Если точка М0 выше М1, то ,
z
1
z
0
hzz где h - вертикаль-
10
zzmgdzmgdzmgA
.
10
ное перемещение точки: если же точка М0 ниже точки М1, то
hzzzz
.
0110
Тогда
MM
10
.mghA
(9.14)
Следовательно, работа силы тяжести равна взятому с обратным знаком произведению модуля силы тяжести на проекцию перемещения точки на вертикально вверх направленную
ось. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, в противном случае.
Полученный результат означает, что работа силы тяжести
не зависит от формы траектории, по которой перемещается
точка ее приложения. Силы, имеющие такие свойства, назы-
ваются потенциальными.
9.5.2. Работа силы
упругости
Пусть легкая пружина,
висящая на неподвижной
опоре (рис. 9.7) имеет в недеформированном состоянии
Рис. 9.7
длину l0 и начало отсчета координаты х
расположено в конце недеформированной пружины. Если повесить на пружину груз, то пружина примет длину l, и на груз
будет действовать сила упругости пружины
, направленная
к точке подвеса. По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины
случае
xl
, то
lll
. Так как в данном
0
xclcF .
96
Коэффициент с называют коэффициентом жесткости пру-
F
жины. В технике обычно измеряют величину с в Н/м. Коэффициент с численно равным силе, которую надо приложить к
пружине, чтобы увеличить ее длину на 1 м.
Пусть груз переместился из положения М0 (х0) в положе-
ние М1(х1). Так как в этом перемещении cxFF
0FF
, то, после согласно (9.12) работа силой упругости
zy
x
1
x
0
2
0
MM
M
1
M
0
10
x
2
xxc5,0xdxcdxcxA
1
,
.
Этот же результат можно получить по графику зависимо-
сти )x(F , определяя площадь заштрихованной на чертеже
трапеции и учитывая знак работы. В полученной формуле х0 и
х1- это начальное
l и конечное
нач
l удлинения пружины.
кон
Следовательно,
10
2
, (9.15)
начMM
2
llc5,0A
кон
т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начальной и конечной деформаций пружины.
Работа будет положительной, когда
ll , т. е. ко-
коннач
гда длина растянутой пружины уменьшается, и отрицательной,
когда
ll , т. е. когда длина сжатой пружины увели-
коннач
чивается. Оба этих процесса при возвращении пружины к недеформированному состоянию.
Можно доказать, что формула (9.15) верна и в случаях не-
прямолинейного перемещение точки М. Таким образом, работа
силы
зависит только от величин
l
и
l
нач
и не зависит
кон
от вида траектории точки М. Следовательно, сила упругости
также является потенциальной.
97
9.5.3. Работа силы трения
F
Пусть точка движется по шероховатой поверхности. В соответствии с законом Кулона для трения, модуль действующей
на точку силы трения равен fN, где f –
коэффициент трения, а N – нормальная
реакция поверхности.
До начала движения сила трения
направлена противоположно направлению силы, сдвигающей точку. После
начала движения сила трения направлена противоположно направлению скоро-
Рис. 9.8
сти перемещению точки. Следовательно,
fNF
T
Если модуль силы трения постоянен, то
где s - длина дуги кривой M
и согласно (9.11)
M
10
M
M
1
TMM
0
0
1
1
fNdsdsFA
M
.
0
sFA
10
,
TMM
, по которой перемещается
точка.
Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги M
, соединяющей точки M0 и M1. Следовательно, сила
0
1
трения не является потенциальной силой.
9.5.4. Работа силы тяготения
Если планету Земля рассматривать как однородный шар
(или шар, состоящий из однородных концентричных слоев), то
на точку М с массы m, находящуюся вне шара или на его поверхности (рис. 9.9), будет действовать сила притяжения (тя-
готения)
, направленная к центру О шара и изменяющаяся
обратно пропорционально квадрату расстояния r от точки М
до центра О:
2
r/kmF .
Коэффициент пропорциональности k можно определить из
того условия, что, когда точка находится на поверхности Зем-
98
ли (r = R, где R - радиус Земли), сила притяжения равна mg,
'
MM
F
F
r
где g - ускорение силы тяжести на земной поверхности. Тогда
2
и
R/kmmg
2
.
gRk
Как видно из рис. 9.9, элементарное перемещение
точки М можно разложить на перемещение Ma , равное приращению
вектор - радиуса rOM
rd
и направленное вдоль
ОМ, и на перемещение Mb , перпендикулярное к ОМ, а следовательно, и к силе
бота силы
равна нулю, а перемещение Ma направлено про-
. Поскольку на втором перемещении ра-
тивоположно силе,
dr
m
kFdrdA
. (9.16)
2
Пусть точка перемещается из положения М0, для которого
r r
, в положение M
0
где
1
M
MM
10
M
. Тогда
1
0
r r
1
r
1
dr
kmdAA ,
2
r
r
0
r
1
dkm
r
0
1
r
или
1
. (9.17)
r
01
MM
10
mgR
1
2
r
1
kmA
r
1
r
01
Работа будет положительной, при
rr , т. е. когда конечное положение точ-
10
ки ближе к земной поверхности, чем начальное, и отрицательной, если
rr . Со-
10
гласно (9.17), работа силы тяготения не зависит от формы траектории, вдоль которой
Рис. 9.9
перемещается точка М. Следовательно, сила тяготения является потенциальной силой.
При определении работы силы тяготения на больших перемещениях следует учитывать зависимость этой силы от расстояния от центра Земли.
99
9.6. Теорема об изменении кинетической
drdvdtdrdrdvdt
dr
энергии точки
Пусть точка массы m, перемещается под действием приложенных к ней сил из точки
точку
M , где ее скорость равна 1v
1
M , где она имела скорость 0v
0
.
, в
Для получения зависимости кинетической энергии точки
от работы силы используем соотношение
kFvm
, выра-
жающее основной закон динамики. Проецируя это равенство
на касательную
к траектории точки М, направленную по
M
скорости точки, получим
Fma .
k
Модуль касательного ускорения представим в виде
v
a
dv
. (9.17)
Тогда
dv
mv .
F
k
Умножив это равенство на dr, и, внеся m под знак дифференциала (поскольку масса постоянна), получим выражение
теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме
2
dAmvd5,0
,
k
где drFdA
- элементарная работа силы
kk
F
.
k
Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах,
соответствующих значениям переменных в точках
M и
0
M ,
1
получим
2
1
2
A)mvmv(5,0 . (9.18)
0
MM
10
Это соотношение выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно
сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]