Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
В правой части полученного выражения первая скобка
dt
dt
dt
dt
F
F
r
r
равна нулю, так как
dx
v
, а
dy
v
x
. Вторая скобка, соглас-
y
но (9.20), равна
Тогда
Полученное соотношение выражает теорему моментов относительно оси: производная по времени от момента импульса
точки относительно некоторой оси равна моменту действующей силы относительно той же оси.
Аналогичная теорема верна и для моментов относительно
любого центра О (см. формулу 9.24)
Из (9.22) следует, что если
е. если момент действующей силы относительно некоторой
оси равен нулю, то момент импульса точки относительно этой
оси постоянен.
Пусть материальная точка движется под действием силы
и имеет импульс
(центра) О
Вектор
плоскости проходящей через векторы
- перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы
и
. Очевидно, что
d
dt
d
dt
9.8.2. Теорема моментов относительно центра
0
0
vmr
, так как по основному закону динамики
Fm
z
dv
y
m и
. Аналогично
Fm
(рис. 9.17) направлен перпендикулярно
rd
.
dt
F
y
. Момент силы относительно точки
vm
FrFm
dv
x
m .
d
mmvmm
dt
z
vd
mrvm
dt
F
x
,0Fm
0
и
zzz
то
. (9.22)
Fmv
z
.
, а вектор
constvmm
vmrvmm
amrvmv
, т.
vmm
0
vm
111
Поскольку векторное произведение двух параллельных
dtd
dt
F
F
F
векторов равно нулю,
или
Итак, доказана следующая теорема моментов относительно центра: производная по времени от момента импульса точки относительно некоторого неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Аналогичная теорема верна и для моментов вектора
силы
мент импульса точки относительно этого центра постоянен.
часть ВА которой продета сквозь вертикальную трубку. В момент, когда шарик находится на расстоянии h0 от оси z трубки,
ему сообщают начальную скорость
плоскости МВА. Одновременно нить начинают медленно втя-
относительно некоторой оси z, в чем можно убедить-
Рис. 9.18
Задача 9.8. Шарик М привязан к нити (рис. 9.18) МВА,
d
ся, проецируя обе части (9.24) на эту ось.
Математически теорема моментов относительно определяется по (9.22).
Из сравнения (9.24) и (12.4) видно,
что моменты векторов
такой же зависимостью, какой связаны
сами векторы
Из (9.24) следует, что если
0
момент действующей силы относительно
некоторого центра равен нулю, то мо-
0
0)F(m
и Fam
0vmv
, то )vm(m
Frvmr
. (9.23)
Fmvmm
. (9.24)
0
и
vm
и
vm
.
0
v
0
= const, т. е. если
, перпендикулярную к
и
vm
связаны
112
гивать в трубку. Найти, какую скорость
dt
F
F
m
v
будет иметь шарик,
1
когда его расстояние от оси z станет равно h1.
Решение. На шарик действует сила тяжести
и ре-
gmG
акция нити N. Моменты этих сил относительно оси z равны
нулю, так как сила G параллельна оси z, а сила N эту ось пе-
ресекает. Согласно (9.22),
constmvhvmm
z
hvhv . Следовательно,
1100
. Так как масса m постоянна, то
d
h/vhv , то есть по мере при-
1001
z
0vmm
, откуда
ближения шарика к оси вращения его скорость растет.
9.9. Задачи для самостоятельного решения
9.9.1. Вагонетка, масса которой вместе с полезной нагрузкой m = 100 кг, при движении по горизонтальному пути
испытывает сопротивление, величина которого составляет 0,01
от всех вертикальных нагрузок. Рабочий толкает вагонетку с
горизонтальной силой F= 200 Н. Через какое время рабочий
сообщит вагонетке скорость v = 0,6 м/сек?
9.9.2. На тело массой m = 2 кг, находящееся в покое на
горизонтальной плоскости, действует вертикальная сила
возрастающая от нуля пропорционально времени с коэффициентом пропорциональности
после начала действия силы
2 н/с. Через сколько времени
k
тело начнет двигаться? Найти
закон этого движения.
9.9.3. В тот момент, когда скорость моторного судна массы m равна
v , мотор выключается, и судно движется, испы-
0
тывая сопротивление воды, величина которого пропорциональна скорости. Коэффициент пропорциональности между
силой сопротивления и скоростью равен ; масса судна равна
. Через какой промежуток времени скорость судна умень-
шится вдвое?
9.9.4. Определить, пользуясь теоремой об изменении импульса, время, в течение которого тело, брошенное под углом
113
,
2
2
1
1
F
к горизонту с начальной скоростью
0
v
, достигает макси-
0
мальной высоты.
9.9.5. На материальную точку массой m= 2 кг действует
сила, проекции которой на координатные оси, выраженные в
Н, равны:
;
t2cos6X
где t - время в с. Определить скорость
;
t2sin6Y
v
точки в момент
,
t2sin6Z
времени
скорость
t =
v
= 3,14 с, если в момент времени
t =
имеет модуль 2 м/с и составляет с координатными
/2 ее
осями x, y, z углы, равные соответственно 30, 60 и 90.
9.9.6. Решить задачу 9.4, учитывая сопротивление воздуха, величина
которого выражается формулой
kmgvR
где k- постоянный коэф-
фициент, m - масса тела, v - его скорость.
9.9.7. Материальная точка М
перемещается по шероховатому криволинейному желобу, расположен-
Рис. 9.19
ному в вертикальной плоскости xOy ,
под действием собственной силы тяжести. Угол трения равен
. Начальная скорость этой точки, когда она занимает положение А, составляет с вертикальной осью Оу угол и по модулю равна
v , а ее конечная скорость
0
в точке В направлена по горизонтальной оси Ох и по модулю равна v.
Найти импульс нормальной реакции
N
желоба за промежуток времени t,
в течение которого, точка М переместилась из А в В (рис. 9.19).
Рис. 9.20
9.9.8. Точка М описывает эллипс под действием цен-
тральной силы
(рис. 9.20). Скорость в вершине А равна
114
v
.
0
Найти скорость
M
в вершине В, если
v
ОА= a и ОВ = b.
9.9.9. Точка М массы m описывает окружность радиуса a, притягиваясь точкой А этой окружности
(рис. 9.21). В начальный момент
точка находится в положении В и
Рис. 9.21
имеет скорость
v
. Определить ско-
0
рость v точки и силу притяжения F как функции вектора радиуса r.
9.9.10. Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик
по горизонтальному пути, действует постоянная сила F = 250
Н. Тяга образует со скоростью угол = 32°. Определить работу, совершенную силой F на пути s = 200 м.
9.9.11. Тело массой m= 2 кг передвигают по горизонтальному полу при помощи горизонтальной силы на расстояние s = 6 м. Определить работу, которую совершит при этом
сила трения, если коэффициент
трения между поверхностью тела
и полом f = 0,35.
9.9.12. Найти работу силы
тяжести при перемещении материальной точки из положения
)z,y,x(M
в положение
0000
)z,y,x(M , а также вычислить по-
Рис. 9.22
тенциальную энергию точки в положении М (рис. 9.22).
9.9.13. Определить работу силы упругости растянутого стержня, к концу которого подвешен груз М, при перемещении это-
го груза из положения
ны равна
x , в положение
0
M , для которого деформация пружи-
0
, для которого деформация пру-
жины равна x, если длина недеформированного стержня равна
l ; вычислить также потенциальную энергию точки в по-
0
ложении M.
115
9.9.14. На материальную точку действует сила, проекции
1
c
1
1
1
2
2
P
1
2
которой на координатные оси определяются выражениями
yx2X
;
2
zxY ; 1yz2Z
;
Определить работу этой силы при перемещении точки из
положения
M (1; 2; 3) в положение
0
M (2; 3; 4), если сила
выражена в Н, а координаты - в см.
9.9.15. Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от
центра этой силы, т. е. )r(fF
.
9.9.16. Один конец пружины закреплен шарнирно в точке
О, а к другому концу ее прикреплен шарик. Длина нерастяну-
той пружины ложения
l , жесткость ее
0
. Шарик перемещают из по-
M в положение 2M , причем пружина растягивает-
ся, поворачивается, но не изгибается. Определить работу силы
упругости пружины, если r OM
и r OM
.
9.9.17. Колесо радиуса R катится без скольжения по горизонтальному рельсу. Найти работу трения качения при перемещении центра колеса O на расстояние s, если вертикаль-
ная нагрузка на ось колеса равна
чения равен
f .
k
и коэффициент трения ка-
9.9.18. К валу длиною l, один конец которого закреплен
жестко, приложен на свободном конце момент, который вызывает в вале деформации кручения. Определить работу возникающих при этом сил упругости, если суммарный момент упругих сил пропорционален углу закручивания; причем коэффициент пропорциональности (коэффициент жесткости вала
на кручение) равен c. Определить также потенциальную энер-
гию этого вала в зависимости от угла закручивания.
9.9.19. Для опреде-
Рис. 9.23
ления сил натяжений
и
T ветвей конвейерной
T ,
116
ленты привод А конвейера установлен на катки и включен ди-
1
2
*
a
намометр D между приводом и неподвижной стойкой С. Определить силы натяжения
T , и
, если показание динамо-
T
метра равно P (в ньютонах), диаметр приводного барабана d,
потребляемая электродвигателем привода мощность равна N
и приводной барабан делает n оборотов в минуту (рис. 9.23).
9.9.20. Найти мощность машины, поднимающей 100 раз в
минуту молот массой m = 1000 кг на высоту
0,6 м, если
h
коэффициент полезного действия = 0,8.
9.9.21. Вагонетка движется самокатом вниз по наклонной
плоскости, образующей с горизонтом угол . Определить
скорость вагонетки в конце пути, длина которого, равна l; на-
чальная скорость вагонетки
v = 0, коэффициент общего со-
0
противления движению f .
9.9.22. Телу массой m, лежащему на горизонтальной
плоскости, сообщают начальную горизонтальную скорость
v .
0
Определить время, пройденное телом до остановки, и расстояние, пройденное телом, если коэффициент трения тела о плоскость равен f ?
9.9.23. Клеть массой m опускается на канате равномерно
со скоростью
v . Определить наибольшее удлинение каната
0
после защемления его верхнего конца, если его статическое
удлинение под действием веса клети равно
.
9.9.24. В момент, когда скорость моторного судна равна
v выключается мотор. Сила сопротивления воды определяет-
0
ся по эмпирической формуле:
2
bvavR , где
и b - постоянные. Масса судна равна m. Найти расстояние, которое
пройдет судно с момента выключения мотора до остановки.
9.9.25. Материальная точка массы m, получив началь-
ную скорость
v движется по горизонтальной, абсолютно
0
гладкой плоскости, испытывая сопротивление среды, определяемое формулой vkm R , где v - скорость точки. Найти
117
закон движения точки.
1
1
1
1
2
2
2
1
1
9.9.26. Определить для данного момента времени высоту
подъема тела М, брошенного под углом к горизонту с на-
h
чальной скоростью
образуемый скоростью
v , если в этот момент известен угол
0
с горизонтальной
v
осью x. Сопротивлением воздуха пренебречь.
9.9.27. Материальная частица массы m = 90 г, находящаяся в поле силы тяжести, отталкивается от неподвижного
центра О силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния частицы от этого центра. В начальный момент времени
частица находится в положении
M (0x =1 см; 0y = 0z = 2
0
,
см) и имеет скорость
при дальнейшем движении частица проходит через точку
(
x =2 см; 1y = 1z = 4 см). Опре-
v = 28 5 см/с, направленную так, что
0
M
делить скорость частицы в точке
M , если известно, что величина
отталкивающей силы в момент,
когда частица находится в поло-
жении
M равна 0,03 Н.
0
Рис. 9.24
9.9.28. Автомобиль массой m, имеющий в положении
M , скоростью 1v
движение самокатом и в положении
v
. Определить суммарную работу сопротивлений движению
автомобиля на участке
, (рис. 9.24), начинает с этого положения
M приобретает скорость
MM , а также среднюю величину
приведенной к центру тяжести автомобиля силы сопротивления движению. Высоты
H и 2H даны в метрах.
118
Глава 10. НЕСВОБОДНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ
1
2
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
10.1. Уравнения движения точки по заданной
неподвижной кривой
Несвободным движением материальной
точки или движением, подчиненным связям,
называется движение, сопровождающееся
постоянным взаимодействием тела с некоторыми связями.
Некоторые задачи несвободного движения можно решать с помощью общих теорем
Рис. 10.1
динамики. Рассмотрим другой метод реше-
ния этих задач, применимый при любых действующих силах и позволяющий одновременно находить и закон движения точки, и реакции связей.
Пусть материальная точка движется по заданной гладкой
a
неподвижной кривой под действием активных сил
a
F
. Определим положение движущейся точки М криволиней-
n
F
a
,
F
, ...,
ной координатой с началом отсчета в точке О (рис. 10.1).
Если, отбросив связь и заменить ее действие реакцией
N
,
то основной закон динамики примет вид
NFam
Пусть
- касательная в точке М, направленная в сторо-
M
ну положительного отсчета ,
ленная к центру кривизны кривой в точке M, а
a
. (10.1)
k
- главная нормаль, направ-
Mn
Mb
- ось, перпендикулярная к ним, называемая бинормалью. Спроецируем
обе части равенства (10.1) на эти оси. Так как кривая гладкая,
то реакция
плоскости
перпендикулярна к кривой, т. е. расположена в
N
и, следовательно,
Mbn
a
Fma
,
k
n
a
kn
N
= 0. Тогда
NFma
,
n
a
b
kb
NFma
.
b
119
По определению
dt
a
Поскольку вектор ускорения
плоскости
, 0ab . В итоге получаем следующие диффе-
Mbn
dv
dt
,
2
d
2
dt
лежит в соприкасающейся
a
2
.
n
/va
ренциальные уравнения движения точки по заданной кривой
dv
m
m
2
v
a
F
или
k
a
NF
,
kn
n
m
2
d
dt
2
kb
a
F
a
, (10.2)
k
NF0 . (10.3)
b
Эти уравнения позволяют решить обе задачи несвободного
движения, сформулированные в 10.4.
Уравнение (10.2) не содержит неизвестной реакции
N
и
позволяет определить закон движения точки вдоль кривой, т.
е. зависимость )t(. Уравнения же (10.3) служат для опреде-
ления реакции связи
(см. 10.2) и ими можно пользоваться и
N
в случае, когда соприкасающиеся поверхности не являются
гладкими. Для этого только нужно учесть силу трения.
При отсутствии связи
уравнения (10.2) и (10.3) вер-
0N
ны и описывают движение свободной точки.
Задача 10.1. Тяжелому кольцу М, нанизанному на горизонтально расположенное неподвижное гладкое проволочное
кольцо радиуса R, сообщают начальную скорость 0v, направ-
ленную по касательной к окружности большого кольца. При
движении на кольцо действует сила сопротивления vkmF ,
где m - масса кольца, v - его скорость, k - постоянный коэффициент. Определить время движения кольца до остановки.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]