Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Глава 15. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА
z
K
z
z
ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ
15.1. Главный момент импульса системы
Понятие о моменте импульса материальной точки было
введено в 9.6. Главным моментом импульса (или кинетическим моментом) системы относительно центра О называется
величина
K
, равная векторной сумме моментов импульса
o
всех точек системы относительно этого центра
)vm(mK
. (15.1)
kkoo
Аналогично определяются моменты импульса системы относительно координатных осей
)vm(mK
kkxx
kkyy
)vm(mK
kkzz
на координатные оси x, y, z.
)vm(mK
здесь
K ,
x
K ,
K - проекции
y
,
, (15.2)
,
K
o
В отличие от вектора импульса системы, который является
характеристикой ее поступательного движения (см. 14.1), век-
тор
K
является характеристикой вращательного движения
o
системы.
Следует помнить, что при вычислении вектора
всегда
нужно брать абсолютные скорости всех движущихся точек или
тел относительно данной системы.
Для выяснения смысла вектора
K
определим момент им-
o
пульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис.
15.1) его проекциями
ределения величины
K ,
K ,
K на оси координат. Для оп-
y
x
K , т. е. момента импульса вращающего-
ся тела относительно оси zвращения рассмотрим вращение
тела относительно этой оси.
Для точки тела с массой
на расстояние
h , скорость точки равна
k
m , отстоящей от оси вращения
k
hv , а момент.
kk
импульса относительно оси вращения
211
z
z
z
. Для всех
kkkkkkkz
2
hmhvm)vm(m
точек абсолютно твердого тела угловая
скорость постоянна. Поэтому для всего
тела, как системы материальных точек,
получаем
2
)hm()vm(mK
.
kkkkzz
Величина, стоящая в скобках, являет-
Рис. 15.1
ся моментом инерции тела
J относи-
тельно оси z (12.3). Тогда
JK . (15.3)
Следовательно, момент импульса вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.
Момент импульса системы, состоящей из нескольких тел,
вращающихся вокруг одной и той же оси, равен
J...JJK
. (15.4)
nnz2z21z1z
Многие формулы для импульса и момента импульса тела
по структуре аналогичны.
Импульс тела равен произведению массы тела (величины,
характеризующей инертность тела при поступательном движении) на скорость центра масс тела. Момент импульса тела
равен произведению момента инерции тела (величины, характеризующей инертность тела при вращательном движении) на
угловую скорость тела.
По определению )vm(mK
)vm(m
следует, как и при определении момента силы,
kkx
спроецировать вектор
. Для определения
vm
на плоскость Oyz, т. е. на ось у', и
kk
kkxx
взять момент этой проекции относительно точки О. Из рис.
15.1 видно, что
xcosh
,
kkk
xcosh
. Поскольку
kkk
cosv
zxmz)cosvm()vm(m
kkkkkkkkkx
kk
.
Поскольку для точек твердого тела одинакова,
.
212
))zxm((z)cosvm(K
k
kkkkkkx
k
Сумма, стоящая в скобке, есть центробежный момент
z
z
dt
dt
инерции
K , если вместо
y
J (12.5). Аналогичное выражение получится для
xz
x подставить ky . Тогда
k
JK ,
xzx
JK . (15.5)
yzy
Таким образом, момент импульса вращающегося тела от-
носительно центра О, лежащего на оси вращения Oz, является
вектором
K
, проекции которого на оси Oxyz определяются
o
формулами (15.3) и (15.5). Поскольку в общем случае
JJJ , вектор oK
yzxzz
не направлен по оси вращения Oz.
Если ось вращения Oz будет для тела главной осью инерции (в
частности, осью симметрии), то 0JJ
KK . Следовательно, если тело вращается вокруг оси, яв-
zo
и 0KK
yzxz
и
yx
ляющейся для тела главной осью инерции (или вокруг оси
симметрии тела), то вектор
и его модуль равен
K
JK .
направлен вдоль оси вращения
o
15.2. Теорема об изменении главного момента импульса
системы (теорема моментов)
Теорема моментов для материальной точки (9.8), верна
для каждой из точек системы. Для точки системы с массой
и скоростью
v
k
d
e
kokko
i
)F(m)F(m)vm(m
,
ko
m
k
где
e
F
k
i
и
F
- равнодействующие всех внешних и внутренних
k
сил, приложенных к данной точке.
Составляя такие же уравнения для всех точек системы, и
складывая их, получим
d
e
kokko
i
)F(m)F(m)vm(m
.
ko
Последняя сумма - это сумма моментов внутренних сил
системы и поэтому равна нулю. Тогда, согласно (15.1),
213
dt
Kd
dt
dt
dt
0
e
. (15.6)
)F(m
ko
Это уравнение выражает теорему моментов для системы
тел: производная по времени главного момента импульса системы относительно некоторого неподвижного центра, равна
сумме моментов относительно того же центра всех внешних
сил, приложенных к телам системы.
Поскольку момент силы относительно некоторой оси равен проекции момента этой силы на эту ось, проецируя (15.6)
на неподвижные оси Охуz, получим
dK
x
e
)F(m
,
kx
dK
dK
y
z
e
, (15.7)
)F(m
ky
e
)F(m
.
kz
Эти уравнения выражают теорему моментов относительно
неподвижной оси.
Эта теорема широко используется не только при изучении
вращательного движения тела относительно произвольной
оси, а также в теориях гироскопа и удара. В кинематике было
показано, что движение твердого тела в общем случае можно
представить суммой поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс тела, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная - с помощью
теоремы моментов. Отсюда следует важность теоремы для
изучения движения свободного тела (летящего самолета, снаряда, ракеты и т. п.) и, в частности, для изучения плоскопараллельного движения.
Ценность теоремы моментов состоит еще и в том, что она,
аналогично теореме об изменении импульса системы, позволя-
214
ет при изучении вращательного движения системы исключать
dt
dt
из рассмотрения все, заранее неизвестные, внутренние силы.
15.2.1. Теорема моментов относительно центра масс
Чтобы применять теорему моментов к изучению плоско-
параллельного движения или движения свободного твердого
тела, надо найти выражение для
момента импульса системы при
движении системы относительно
центра масс. Пусть Оxyz - неподвижные оси (рис. 15.2), относительно которых движется рассматриваемая механическая система, а:
Рис. 15.2
Сx’y’z' - оси, перемещающиеся по-
ступательно вместе с центром масс
С этой системы (рис. 15.2). При этом оси Сx’y’z' движутся поступательно с ускорением
a
, равным ускорению центра масс.
C
В 10.3 было показано, что все уравнения динамики можно составлять в подвижной системе отсчета Сx’y’z' так же, как в неподвижной системе, если к действующим на каждую точку
системы силам
e
F
k
i
и
F
прибавить силы инерции
k
ie
F
. Так как
k
оси подвижной системы отсчета Сx’y’z' движутся поступательно, переносное вращение отсутствует и кориолисовы силы
инерции равны нулю. Поэтому сила
ie
F
будет только пере-
k
носной. Следовательно, уравнение (18.6) в системе Сx’y’z'
примет вид
Kd
C
e
kC
ie
. (15.8)
)F(m)F(m
kC
При получении этого выражения учтено, что
Kd
C
'
, (15.9)
)vm(m
kkC
и сумма моментов внутренних сил относительно любой точки
равна нулю.
215
Здесь
dt
'
v
- скорости точек системы относительно осей сис-
k
темы Сх’у'z'.
Выражение (15.8) можно упростить. По определению,
ie
k
для любой из точек Вk системы переносное ускорение
Следовательно,
kC
e
amF
ie
. Так как оси Сх’у'z' движутся поступательно, то
kk
e
k
ie
k
'
kC
amF
. По определению момента силы
Ck
'
kCkCk
)ar(m)am(r)F(m
. Здесь
C
'
r
- вектор –
kC
aa
C
радиус центра масс точки относительно точки С.
По определению
'
kCk
'
rMrm
- статический момент
C
системы материальных точек относительно центра масс системы. Здесь
тельно точки С. Вынося общий множитель
'
r
- вектор – радиус центра масс системы относи-
C
a
за скобку, по-
C
лучаем
ie
kC
'
kCk
'
arM)a)rm()F(m
. (15.10)
C
CC
Поскольку точка С - начало системы координат Сх’у'z' и
'
r
= 0 (15.10) обращается в нуль. Тогда (15.8) принимает вид
C
Kd
C
e
. (15.11)
)F(m
kC
.
Из сравнения (15.11) с (15.6), следует, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром С масс системы,
теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же
вид, что и относительно неподвижного центра. Точно так же
для моментов относительно осей Сх’у'z', из (15.11) получаются
уравнения, аналогичные уравнениям (15.7).
Следует отметить, что в любой другой подвижной системе
отсчета будет или 0r
'
, или будут не равны нулю кориоли-
C
совы силы инерции. Поэтому уравнение моментов будет
сложнее, чем (15.11).
216
15.3. Закон сохранения главного момента импульса
z
z
z
z
z
Из теоремы моментов получаются важные следствия.
1) Пусть сумма моментов всех внешних сил, действующих
на систему, относительно центра О, равна нулю
e
0)F(m
Тогда из уравнения (15.6) следует, что при этом
k0
.
K
=
o
const. Следовательно, если сумма моментов всех приложенных
к системе внешних сил относительно данного центра равна
нулю, то главный момент импульса системы относительно
этого центра будет постоянен.
2) Пусть сумма моментов внешних сил относительно не-
которой неподвижной оси Oz равна нулю
e
0)F(m
Тогда из уравнений (15.7) следует, что при этом
kz
.
K =
const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих
на систему внешних сил относительно какой – либо оси равна
нулю, то главный момент импульса системы относительно
этой оси будет постоянным.
Эти результаты выражают закон сохранения главного момента импульса системы. Из них следует, что внутренние силы
главный момент импульса системы изменить не могут.
Случай вращающейся системы. Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр
масс) оси 0z. Тогда, по формуле (15.3),
случае 0)F(m
e
kz
, то
J const.
JK . Если в этом
Следовательно:
а) Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то
J = const и, следовательно,
= const, т. е. твердое тело, за-
крепленное на оси, вращается в этом случае равномерно.
б) Если система изменяема, то под действием внутренних
(или внешних) сил отдельные ее части могут изменять свое
положение относительно оси вращения, что вызовет измене-
ние
J . При увеличении расстояний точек от оси zJ увеличи-
z
217
вается, при уменьшении -
z
z
z
z
z
z
z
z
J уменьшается. Поскольку
J
const, то при увеличении
шаться, а при уменьшении
J ее угловая скорость будет умень-
J - увеличиваться. Таким образом,
внутренние силы могут изменить угловую скорость вращения
системы, так как постоянство
K , не означает вообще посто-
янства .
Рассмотрим некоторые примеры.
а) Опыты с платформой Жуковского. Для демонстрации
закона сохранения момента импульса удобно пользоваться
простым прибором, называемым «платформой Жуковского».
Это - круглая горизонтальная платформа на опорных подшипниках качения, которая может с малым трением вращаться вокруг вертикальной оси z. Для человека, стоящего на такой
платформе,
e
0)F(m
kz
и, следовательно,
J const, Если человек, разведя руки в
стороны, сообщит себе толчком вращение вокруг вертикальной оси, а затем опустит руки, то величина
J , уменьшится и,
следовательно, угловая скорость вращения возрастет. Таким
способом увеличения угловой скорости вращения широко
пользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т. п.
Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно (
0Kz ), может повернуться в любую сторону, вращая вытяну-
тую горизонтально руку в противоположном направлении. Угловая скорость вращения человека при этом будет такой, что-
бы в сумме величина
K , системы человек - платформа оста-
лась равной нулю.
б) Раскачивание качелей. Давлением ног (сила внутренняя)
человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать
это можно следующим образом. Когда качели находятся в одном из верхних положений, человек приседает. При прохождении через вертикаль он быстро выпрямляется. При этом
центр масс движущихся частей системы приближаются к оси
218
вращения z, величина
z
J , уменьшается и угловая скорость
возрастает. Это увеличение приводит к подъему качелей
выше начального уровня. В результате размахи качелей будут
возрастать. Увеличение кинетической энергии качелей происходит за счет энергии, выделяющейся в организме человека.
Происходящие при этом вынужденные колебания качелей
называются параметрическими, так как они совершаются не
под действием периодически меняющейся внешней силы, а
вследствие периодического изменения параметров системы: ее
момента инерции и положения центра масс относительно оси
вращения.
в) Вращение снаряда в канале ствола орудия. Если рассматривать ствол и снаряд как одну систему, то силы давления
пороховых газов при выстреле будут внутренними и не могут
изменить величину момента импульса системы, который до
выстрела был равен нулю. Следовательно, если при выстреле
снаряд, благодаря наличию нарезки в стволе, начнет вращаться, например, вправо, то весь ствол при этом будет стремиться
вращаться влево так, чтобы в каждый момент времени было
JJ
. Этому вращению препятствуют опоры, ко-
стстснсн
торыми ствол укреплен на лафете орудия. В результате появляется дополнительное давление на эти опоры.
г) Реактивный момент винта. Воздушный винт, установленный на вертолете, не только отбрасывает воздух вниз, но и
сообщает отбрасываемой массе воздуха вращение. Суммарный
момент импульса отбрасываемой массы воздуха и вертолета
должен при этом остаться равным нулю, так как система вначале была неподвижна, а силы взаимодействия винта с воздухом внутренние. Поэтому вертолет начинает вращаться в сторону, противоположную направлению вращения винта. Действующий при этом на вертолет вращающий момент называют
реактивным моментом.
Чтобы устранить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовой части устанавливают соот-
219
ветствующий рулевой винт. У двухвинтового вертолета несу-
1
z
z
Рис. 15.3
щие винты делают вращающимися в разные стороны.
Появление реактивного момента можно использовать для
экспериментального определения вращающего момента авиационного двигателя, так как эти моменты равны друг другу по
модулю, а реактивный момент можно измерить, установив
двигатель с вращающимся винтом на соответствующих весах.
15.4. Решение задач
Теоремой моментов пользуются для изучения вращательного движения тел или для изучения движения систем, включающих вращающиеся и поступательно движущиеся тела.
Закон сохранения момента импульса позволяет по величине скорости перемещения одной части системы определить
изменение угловой скорости, или угол поворота другой ее части. При этом из рассмотрения исключаются все, как правило,
неизвестные внутренние силы, а также внешние силы, не создающие моменты относительно оси вращения, то есть пересекающие ось вращения или параллельные этой оси.
Задача 15.1. Два диска насажены на общий вал (рис. 15.3).
В некоторый момент времени вал слегка закручивают и предоставляют самому себе. Пренебрегая массой вала, определить
зависимость между угловыми скоростями и углами поворотов
дисков при их крутильных колебаниях, если моменты инерции
дисков
J , и 2J , относительно оси z известны.
Решение. Чтобы исключить неизвестные упругие силы,
вызывающие колебания дисков, рассмотрим оба диска и вал
как одну систему.
Действующие на эту систему
внешние силы (реакции подшипников
и сила тяжести) пересекают ось z; по-
этому 0)F(m
скольку в начале движения
e
и,
kz
K = const. По-
K = 0, то
и во все время колебаний сумма мо-
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]