Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
8.6. Прямолинейное движение точки
dt
dt
dxdvdtdxdxdvdt
Из кинематики известно, что при прямолинейном движении скорость и ускорение точки всегда направлены вдоль одной и той же прямой. Так как направление действия силы и
ускорения совпадают, при постоянном направлении силы свободная МТ будет двигаться прямолинейно. Скорость точки
также будет направлена же вдоль силы.
Пусть МТ, движется прямолинейно под действием приложенной к ней силы
kFR
. Положение точки на траектории
определим ее координатой х (рис. 8.5). Основная задача динамики в этом случае состоит в определении закона движения
точки, т. е. функции f(t)x
по функции )t(R. Проецируя обе
части уравнения (8.3) на ось Ох, получим
FRma .
kxxx
2
xd
,
2
. (8.6)
Рис. 8.5
Поскольку x
2
xd
m
2
a
x
Fxm
kx
Уравнение (8.6) называется дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Часто уравнение (8.6)
удобно заменять системой дифференциальных уравнений первого порядка
dv
x
m
dt
dx
dt
.xv
x
,Fvm
kxx
, (8.7)
Для определения зависимости скорости непосредственно
от координаты х, а не от времени t, а также при силах, зависящих от x, первое уравнение (8.7) преобразуют к переменной
v (x)
x
dv
xxx
.
v
x
71
Тогда вместо первого уравнения (11.7) получим
dx
1
2
2
1
1
dv
mv . (8.8)
x
F
x
kx
Решение основной задачи динамики состоит в определении по известным силам закона движения точки, т. е. x= f(t).
путем интегрирования соответствующих дифференциальных
уравнений.
Силы, входящие в правую часть (8.6) могут зависеть от
времени t, от координаты точки x и от ее скорости, т. е. от
xv
, (см. задачу 8.1). Следовательно, в общем случае урав-
x
нение (8.6) является дифференциальным уравнением 2-го порядка
)x,x,t(x
. (8.9)
Решение этого уравнения определяется по структуре его
правой части. При интегрировании уравнения (11.9) в решение
войдут две произвольные постоянные интегрирования
C и
C и общее решение уравнения (8.9) будет
)C ,C f(t, x
Для определения
. (8.10)
C и 2C используются так называемые
начальные условия (условия Коши).
Всякое движение начинается или рассматривается с некоторого начального момента времени. От этого момента обычно
отсчитывают время движения, считая, что в начальный момент
t = 0. Начальные условия движения точки определяются ее положением и скоростью при t = 0, называемыми начальным положением и начальной скоростью точки. Если в начальный
момент точка двигалась, то ее начальная скорость отлична от
нуля. Следовательно, для решения основной задачи динамики
необходимо, кроме действующих сил, знать еще и начальные
условия движения точки.
В случае прямолинейного движения начальные условия
задаются в виде
при
0t
xx ,
0
vv . (8.11)
0x
72
По начальным условиям можно определить постоянные
1
1
const
const
C и 2C и найти частное решение уравнения (8.9) в виде
).v ,x f(t, x00 (8.12)
Пример. Пусть на точку действует постоянная сила Q. Тогда уравнение (8.7) принимает вид
Qvm .
xx
Так как Q= const, то, умножая обе части уравнения на dt и
интегрируя, получим
m/tQCv
. (8.13)
x1x
Подставляя выражение для xv во второе уравнение (8.7),
получим m/tQCx
.
x1
Умножение обеих частей этого уравнения на dt и интегрирование, дает
m/tQ5,0tCCx
. (8.14)
2
x12
Эта функция называется общим решением уравнения (8.9)
для данной задачи.
Для определения постоянных интегрирования используем
начальные условия в виде (8.11). Решения (8.13) и (8.14) должны быть верны в любой момент времени, включая и t= 0. Поэтому, подставляя в (8.13) и (8.14) вместо t нуль, получаем
Cv ,
10
Подстановка
m/tQ5,0tvxx
Cx .
20
C и 2C в (8.14), дает закон движения
. (8.15)
2
x00
Как видно из (8.15), точка под действием постоянной силы
совершает равнопеременное движение, что можно было пред-
сказать заранее, так как если Q=
, то и
=
a
. В ча-
стности, таким является движение точки под действием силы
тяжести при небольших перемещениях. Если ось Ох направить
вертикально вниз, то уравнение (8.15) для свободно падающей
материальной точки
x00
2
gt5,0tvxx .
73
8.7. Решение задач
Решение задач динамики интегрированием дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям.
1. Составление дифференциального уравнения движения.
Для чего необходимо:
а) Выбрать начало отсчета, как правило, совместив его с
начальным положением точки. Если под действием приложенных сил точка может находиться в каком - либо положении в
равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положении
равновесия. Выбрать координатную ось вдоль линии движения, направляя ее, как правило, в сторону движения.
б) Изобразить движущуюся точку в произвольном положении, проще всего при
на точку силы.
в) Сумму проекций всех сил на координатную ось подставить в правую часть дифференциального уравнения движения.
При этом все функции, входящие в уравнение, следует выразить через те величины (t, х или v), oт которых зависят силы.
Силы, зависящие от скорости, следует перенести в левую часть
и выразить скорость через t или х.
2. Интегрирование дифференциального уравнения движения. Оно производится методами, известными из курса высшей математики в зависимости от свойств уравнения и вида
его правой части (8.9). В тех случаях, когда на точку, кроме
постоянных сил, действует одна переменная сила, зависящая
только от одной из переменных t, х или v, уравнение прямолинейного движения можно проинтегрировать методом разделения переменных (см. задачи 8.5- 8.7). Если в задаче требуется определить только скорость движения, то часто можно ограничиться интегрированием уравнения (8.7) или (8.8).
3. Определение произвольных постоянных интегрирования. Для этого надо по данным задачи установить начальные
условия в виде (8.11). Значения постоянных по начальным условиям находятся так же, как в 8.6.
, и обозначить все действующие
0x
74
Если дифференциальное уравнение движения является
R
1
2
уравнением с разделяющимися переменными, то вместо введения постоянных интегрирования можно брать сразу от обеих
частей равенства определенные интегралы в соответствующих
пределах. Такой подход использован в задаче 8.7.
4. Определение искомых величин и исследование полученных результатов. Для исследования решения, а также косвенной проверки результатов методом размерностей, надо все
решение проводить до конца в алгебраическом виде, подставляя числовые данные только в конечные формулы.
Изложенные выше методики применимы и к криволиней-
ному движению.
Примеры решения задач.
8.7.1. Сила зависит от времени
Задача 8.5. Тело массой m начинает движение из состоя-
ния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы
ни по закону
, модуль которой растет пропорционально време-
. Определить закон движения тела.
ktR
Решение. Пусть начало отсчета О совпадает с начальном
положением тела и ось Ох направлена в сторону движения (см.
рис. 8.5). Тогда начальные условия будут: при t= 0 х= 0, xv = 0.
Изображаем в произвольном положении тело и действующие
на него силы. В данном случае ktRR
и (8.7) имеет вид
x
ktvmx.
Разделяя переменные умножением обеих частей равенства
на dt, и, интегрируя, получим m/kt5,0Cv
Из начальных условий, следует, что 0C
получим m/kt5,0x
x
2
.
.
1x
2
. Заменяя
v на
x
Умножая обе части этого равенства на dt, снова разделим
переменные и, интегрируя, определим m6/ktCx
3
.
75
Из начальных данных следует 0C
2
F
a
x
F
x
cos
r
dx
, и закон движения
тела принимает вид
.
m6/ktx3
8.7.2. Сила зависит от расстояния
Задача 8.6. Пренебрегая трением и сопротивлением возду-
ха, определить, в время прохождения
тела по прорытому сквозь Землю вдоль
хорды АВ каналу от его начала А до
конца В (рис. 8.6). Считать, что радиус
Земли R= 6370 км.
Указание. В теории притяжения
доказывается, что тело, находящееся
внутри Земли, притягивается к ее цен-
Рис. 8.6
тру с силой
, прямо пропорциональной расстоянию r до этого центра. Поскольку при r= R (т. е. на
поверхности Земли) сила F равна силе тяжести тела mgG
получим, что внутри Земли R/mgrF
, где
- расстоя-
MCr
ние от точки М до центра Земли.
Решение. Поместим начало отсчета О в середине хорды
АВ. Тело находящееся в покое в этой точке, было бы в равновесии. Направим ось Ох вдоль линии ОА. Пусть 2а -длина хорды АВ. Движение начнется при условиях: при
0t
0vx .
,
,
В произвольном положении на тело действуют силы
. Из рис. 8.6 видно, что
N
kx
. Тогда,
R/mgxR/cosmgrcosFF
.
и
Как видно, действующая сила зависит только от координаты x точки М. Для разделения переменных в дифференциальном уравнении движения, представим его в виде (8.8). Тогда,
сокращая на m и обозначая R/gk
2
, получим
dv
x
v
x
2
xk
.
76
Умножением обеих частей этого равенства на dx перемен-
1
1
2
2
1
1
1
1
1
ные разделяются. Интегрируя, находим
По начальным условиям определяем
x
22
ak5,0C .
222
Cxk5,0v5,0 .
1
Подставляя
C , получаем
x
22
xakv .
Поскольку в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е., 0vx , берем перед корнем знак ми-
нус. Заменяя xv через
Интегрируя, получаем
, получим
x
22
xakx
, или kdtdx)xa(
5,022
.
C)a/xarccos(kt .
Подставляя сюда начальные данные (при t = 0 х = а), находим, что 0C
вид
и закон движения тела в канале принимает
.
ktcosax
Следовательно, тело в канале АВ совершает гармонические колебания с амплитудой а (см. гл. 11) относительно точки
О.
Для определения времени
t движения тела до конца В
канала подставим координату точки В хВ = - а в уравнение
движения. Тогда 1ktcos
Поскольку R/gk , g/Rt
Как видно, время движения
,
kt и k/t
1
t по каналу АВ при условиях
.
42 мин 11 с.
задачи не зависит от его длины.
Из выражения для xv видно, что
vv при x= 0, т. е.
xmax
в точке О R/gakav
max
.
8.7.3. Сила зависит от скорости
Задача 8.7. Лодке, массой m= 40 кг, толчком, сообщают
начальную скорость 0v = 0,5 м/сек. Сила сопротивления воды
при малых скоростях пропорциональна первой степени модуля
скорости и изменяется по закону vR
77
, где коэффициент со-
противления = 91 Н/с. Определить, через какое время ско-
R
dt
m
v
рость лодки уменьшится вдвое и какой она за это время пройдет путь. Найти также путь, пройденный лодкой до потери
скорости.
Решение. Совместим начало отсчета O с начальным положением лодки и направим ось Ох в сторону движения (рис.
8.7). Тогда начальные условия
vv
примут вид: при t =0 х= 0,
0x
.
Чтобы правильно определять,
какие силы действительно действуют на тело при ее движении, на-
Рис. 8.7
до помнить, что силы есть резуль-
таты взаимодействия данного тела с
другими телами. Если никакие другие тела на лодку при ее
движении не действуют, значит, никаких других действующих
сил нет. В данном случае на лодку действует сила тяжести
gm
, вызванная действием на лодку Земли. Вода действует на
лодку с силой сопротивления
и выталкивающей силой
N
являющейся вертикальной силой реакции воды. Сила, толкнувшая лодку, действовала на лодку до момента t= 0. Результат этого действия учитывается заданием начальной скорости
v , которую сила сообщила лодке за время толчка. Поэтому
0
эту силу при рассмотрении движения лодки учитывать не
нужно.
Проекция равнодействующий силы на направление скоро-
сти
vRF
kx
.
Поскольку в данном случае vvx , получим, дифференци-
альное уравнение (8.7) имеет вид
m
dv
v
, или dt
dv
.
С учетом начальных условий при t = 0 0vv .
Левая часть интегрируется по v, а правая - по t. Тогда
78
,
v
m
1
1
dx
m
t
2
dv
v
0
t
dt
, или t
mv
0
vlnvln
0
.
Следовательно,
Искомое время
. (а)
v
t , определим, положив
v5,0v . Это
v
m
0
ln
t
время, очевидно, не зависит от величины 0v . Так как
0
=
2ln
0,693, то 2ln)/m(t
3 с.
Для определения пройденного пути целесообразнее использовать дифференциальное уравнение движения в виде
(8.8), так как это уравнение позволяет сразу установить зависимость между x и v. Тогда
Отсюда, сокращая на
dv
mv
, разделяя переменные, и учи-
0v
v
.
тывая, что при х = 0 0vv , получим
v
dv
v
0
Следовательно,
При
v5,0v искомый путь
0
x
dx
m
, или x
0
.
0
vv
.
0
/)vv(mx
/mv5,0x
01
1,1 м.
Чтобы найти путь, пройденный лодкой до остановки, следует в этом равенстве положить
/mvx
02
2,2 м.
Из (а) следует, что скорости
. Тогда получим, что
0v
0v
соответствует время
. Это означает, что при принятом линейном законе со-
противления
лодка будет к своей конечной координате
ktR
x , приближаться асимптотически вдоль оси времени. Оче-
видно, что в действительности время движения лодки до остановки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон
)t(R может измениться.
79
8.8. Криволинейное движение точки
1
2
z
Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся
под действием сил
F
,
F
,
F
. Выберем неподвижные коор-
n
динатные оси Oxyz (рис. 8.8). Проецируя обе части равенства
kFam
на эти оси и учитывая, что xa
и другие соот-
x
ношения, получим дифференциальные уравнения криволинейного движения точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат
kxFxm
,
kyFym
, kzFzm
. (8.16)
Так как действующие на точку силы могут зависеть от
времени, положения точки и ее скорости, то, как и в уравнении
(8.9), правые части уравнений (8.16) могут содержать время t,
координаты точки х, у, z и проекции ее
скорости xv
, yv
x
, zv
y
.
Уравнения (8.16) позволяют решать
любую из задач динамики. Чтобы с помощью этих уравнений решить основную
задачу динамики, надо, кроме действующих сил, учесть начальные условия, т. е.
положение и скорость точки в начальный
Рис. 8.8
момент. В координатных осях Oxyz на-
чальные условия задаются в виде: при t= 0
,zz,yy,xx
000
(8.17)
.vv,vv,vv
0zz0yy0xx
Зная действующие силы, после интегрирования уравнений
(8.16) найдем координаты х, у, z движущейся точки, как функции времени t, т. е. найдем закон движения точки. Эти функции будут содержать шесть постоянных интегрирования
6,2,1iC
i
, величины которых должны определяться по
начальным условиям движения (8.17). Пример интегрирования
уравнений (8.16) приводится в 8.9.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]