Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Пусть M - масса стержня. По формулам (16.3) и (12.1) на-
Рис. 16.9
ходим
В конечном положении
0A0
.
0
и
T = 0.
1
2022
6/MlJ5,0T
Наложенная на движение стержня связь – шарнир А является идеальной. Поэтому на перемещениях точек стержня совершают работу только активная сила тяжести
работа
Тогда
e
C
202
2/MglGhA
.
2/Mgl6/Ml
и
0
l/g3
MgG
и ее
.
Задача 16.5. Шкивы А
и В, соединенные ремнем
(рис. 16.9), вращаются после выключения двигателя
так, что шкив А имеет угловую скорость
. Общая
0
масса шкивов равна M , а
вес ремня m . Чтобы затормозить вращение, к шкиву А радиуса R прижимают, с силой
Q
тормозную колодку. Коэффициент трения колодки о шкив
равен f. Пренебрегая трением в осях и считая шкивы сплошными дисками, найти количество оборотов n шкива А до остановки.
Решение. Для определения числа n оборотов воспользуемся уравнением (16.14)
По условиям задачи 0T
, а
1
e
ATT . (а)
k0!
TTTT . Поскольку
PBA0
при отсутствии скольжения ремня по шкивам начальные скорости всех точек ремня одинаковы и равны
RRv
,
BB000P
по (16.3) и (16.10) получим
2
B0BB
2
0AA
2B02
,
BB
202
Rm25,0)J5,0(5,0T
A
,
202
Rm25,0Rm25,0)J5,0(5,0T
B
241
2022
.
202
R)m2M(25,0T
.
Поскольку
0PP
mmM ,
BA
0
mR25,0mv5,0T
Поскольку в конечном положении скорость стержня равна
нулю, 0T
1
.
В данной системе работа сил тяжести равна нулю, так как
центры тяжести колес и ремня при движении системы не перемещаются. Согласно (16.9), работа силы трения fQF
n2fQR)fQR(A
.
1T
Из уравнения (а) получаем
2
0
T
).fQ8/(R)m2M(n
Задача 16.6. Платформу тянут вверх по наклонной плоско-
сти, образующей угол = 30 с горизонтом, приложив к ней
постоянную силу Q = 160 Н (рис. 16.10). Масса поступательно
движущихся частей платформы
m 18 кг, массы каждого
v
из четырех ее сплошных колес
m = 2 кг. Колеса катятся без
скольжения, а сопротивление
качению мало. Определить:
Рис. 16.10
1) какую поступательную
скорость
платформа, пройдя путь
4 м, если
l
v = 0;
2) с каким ускорением движется платформа.
Решение. 1) Для определения
В данном случае 0T
2
vm75,0T
- кинетические энергии платформы и колеса (см.
1
0
, а
v , воспользуемся (16.14)
1
e
ATT . (а)
k0!
, где
v1
решение задачи 16.1). Тогда
242
v будет иметь
1
0
T4TT
2
v)m6m(5,0T
.
1v1
2
vm5,0T
и
1vv
Работу совершают сила Q и сила тяжести, равная
dt
dt
dt
dt
v
g)m4m(G
. Работа силы трения, препятствующей
скольжению, и нормальных реакций плоскости равна нулю.
Тогда
Ql)Q(A
,
.
v
singl)m4m()G(A
Подставляя полученные выражения в (а), получаем
2
8,2
м/с.
v)m6m(5,0l)sing)m4m(Q(
, (б)
1vv
откуда
v
1
v
m6m
v
l)sing)m4m(Q(2
2) Для определения ускорения w будем считать в равенст-
ве (б) величины
v и
1
переменными. Величина l определяет
l
положение всей системы и может считаться параметром.
Продифференцировав по времени (б), получим
v2)m6m(5,0
0v
dv
, получаем
w
dl
, w
Поскольку v
dl
)sing)m4m(Q(
dv
, сокращая на
sing)m4m(Q
v
m6m
v
.
vv
0,98 м/с2.
Задача 16.7. На цилиндрический каток радиуса R и массы
m намотана нить, перекинутая через блок О (рис. 16.11) и не-
сущая на конце груз D массой
ускорение
w центра С катка в конце пути
C
m . Определить скорость Cv и
v
, если 0v
0C
.
Коэффициент трения качения катка равен k, его радиус инерции относительно его оси равен . Массой нити и блока О
пренебречь.
Решение. 1) Для определения скорости
v воспользуемся
C
соотношением
243
В данном случае 0T
(16.5) и (12.5) получаем
2
vm5,0T
,
vv
e
AATT
. (а)
k0!
TTT
. По формулам (16.2),
v
)m(5,0vm5,0T
C
222
.
0
,
Поскольку точка В является
мгновенным центром скоростей,
v2vv . Тогда,
CA
v
Работу совершают сила Q и
2
22
v))R/1(mm4(5,0T
.
C
пара сил ( N и gm
Рис. 16.11
2h
, где - перемещение центра С катка, и
v2v , перемещение груза
C
). Поскольку
Q
.
равно
2gm)Q(A
v
Работа сил сопротивления качению определяется по (16.11).
Поскольку
гда R/gkmQ2A
e
k
constgmN
, R/gkmkNMA
.
C
. То-
Подставляя выражения T и Aв (а), получим
2
22
откуда
v
.
C
2) Для определения
v
)gkmQR2(
v
w , как и в предыдущей задаче, диф-
C
222
)R(mRm4
v))R/1(mm4(5,0)R/gkmQ2(
C
, (б)
ференцируем обе части равенства (б) по t, как по параметру,
определяющему положение тел системы. Поскольку
dt/dv
, получим
C
R)gkmQR2(
w
.
C
v
222
)R(mRm4
Задача 16.8. Шестерня 1 радиуса r и массы
m , насажен-
1
ная на ось, находящуюся на кривошипе ОС 3 длины l и массы
m , и связанная с ним спиральной пружиной, может пере-
3
244
катываться по неподвижной шестерне
2 радиуса
мент сил упругости пружины
(рис. 16.12). Мо-
rlR
,
cM
где - угол поворота шестерни 1 относительно кривошипа. Пренебрегая
трением в осях, найти период колебаний системы, если ее вывести из положения равновесия. Движения всех
частей механизма происходят в гори-
зонтальной плоскости.
Решение. Определим положение
Рис. 16.12
кривошипа углом , отсчитываемым oт оси кривошипа в положении равновесия. Чтобы исключить из рассмотрения неиз-
вестную реакцию оси С, рассмотрим шестерню 1 и кривошип
как одну систему и составим дифференциальное уравнение ее
движения в виде (16.12).
Сначала определяем кинетическую энергию Т системы,
выражая ее через угловую скорость
кривошипа, по-
3
скольку требуется определить закон движения кривошипа
2
0313
2
.
C1
2
)JvmJ(5,0TTT
11C
Считая кривошип однородным стержнем, а шестерню диском и учитывая, что точка касания является для шестерни 1
мгновенным центром скоростей, получим
03
2
3/mlJ
,
2
rm5,0J
, lv
11C
, r/lr/v
C
C1
.
Следует отметить, что в формуле (16.5), по которой вычисляется Т, используются только угловые скорости тел относительно одной и той же системы. Поэтому угловая скорость
шестерни определялась относительно колеса, как неподвижного тела, а не относительно кривошипа. Подставляя полученные
22
12/l)m9m2(T
выражения в (а), находим
13
.
При вычислении элементарной работы следует учесть, что
внешние силы в данном случае работу не производят и, следо-
вательно, 0dA
e
. Элементарная работа силы упругости пру-
245
жины (внутренняя сила) при повороте шестерни вокруг кри-
6
вошипа на угол равна
i
dcMddA
. Знак минус
здесь вызван тем, что, что момент сил упругости на угловом
перемещении шестерни совершает отрицательную работу. Для
определения закона движения кривошипа выразим угол че-
рез . Поскольку
Поскольку
1
13
ba
=
ba
2
r/)rl(
и
dAdT ,
,
1
i
rR
или
2i
.
.
d)r/l1(cdA
22
d)r/l1(cdl)m9m2(
r)rl(
. Тогда
Деля обе части этого равенства на dt, и учитывая, что
dtd
и
, получим дифференциальное
22
dt/ddt/d
уравнение движения системы в виде
2
d
2
0k
,
где
2
dt
2
)rl(c6
2
k
13
- постоянная для рассматриваемой
22
rl)m9m2(
системы величина.
Получено дифференциальное уравнение rapмонических
колебаний (11.1). Следовательно, кривошип, выведенный из
положения равновесия, будет совершать гармонические колебания с периодом
m9m2
2
k
lr2
rl
13
.
c6
16.5. Потенциальное силовое поле и силовая функция
Задачи, рассмотренные в предыдущем параграфе (и в 9.7),
решались с помощью теоремы об изменении кинетической
энергии потому, что во всех случаях работу действующих сил
можно было определить, не зная заранее закона движения системы. Определим виды сил, имеющих это свойство.
246
Работа на перемещении
F
F
MM силы
21
, приложенной к
телу в точке М, вычисляется по формуле (12.12) из 9.4
M
)MM(
21
M
M
2
1
2
M
1
)dzFdyFdxF(dAA . (16.17)
zyx
Как отмечалось в 9.4, вычислить стоящий справа интеграл,
не зная закона движения, т. е. зависимости координат х, у, z от
времени t, можно только в случае, когда сила зависит только
от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z. Про такие силы говорят, что они образуют силовое поле. Силовым полем
называется область пространства, в каждой точке которой на
помещенную туда материальную частицу действует определенная сила, зависящая от положения частицы.
Примером силового поля служит поле тяготения планет и
звезд, а также электрическое поле точечного уединенного
электрического заряда. Поскольку сила определяется ее проекциями на оси координат, силовое поле, можно задать уравнениями
)z,y,x(F),z,y,x(F),z,y,x(F
. (16.18)
3z2y1x
Для определения работы таких сил надо в формуле (16.17)
все величины под знаком интеграла выразить через один аргумент. Для этого можно использовать зависимости типа y=f (х)
и z= f (х). Эти уравнения, определяют в пространстве уравнение кривой, являющейся траекторией точки М. Следовательно,
в общем случае, работа сил силового поля, зависит от траектории, вдоль которой перемещается точка приложения силы.
Пусть выражение, стоящее в (16.17) под знаком интеграла
и определяющее элементарную работу силы
, является пол-
ным дифференциалом некоторой функции U(x,у,z). Тогда
z)y, dU(x,dA
или
)z,y,x(dUdzFdyFdxF
и работу
A можно определить, не зная заранее траекто-
)MM(
21
, (16.19)
zyx
рию точки М, а также закон движения.
247
Функция U координат х, у, z, дифференциал которой равен
элементарной работе соответствующей силы, называется силовой функцией. Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем, а
силы, действующие в этом поле, - потенциальными (консервативными) силами. В дальнейшем силовая функция считается
однозначной функцией координат.
Если в формулу (16.17) подставить выражение dA из
(16.19), то
M
2
где )z,y,x(UU
, )z,y,x(UU
функции в точках
21
M
1
1111
M и 2M поля соответственно.
1
- значения силовой
UU)z,y,x(dUA . (16.20)
12)MM(
2222
Следовательно, работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках
траектории и от вида траектории движущейся точки не зави-
сит. При перемещении по замкнутой траектории
UU и
21
работа потенциальной силы равна нулю.
Основным свойством потенциального силового поля является зависимость работы сил поля при движении в нем материальной точки, только от начального и конечного положений
этой точки, а ни от вида траектории, вдоль которой точка перемещается и от закона ее движения.
Силы, работа которых зависит от вида траектории или от
закона движения точки приложения силы, называются диссипативными (не потенциальными). К таким силам относятся
силы трения и сопротивления сплошных сред - газа, жидкости,
а также силы, сопровождающие движение электропроводных
тел в переменных электрических и магнитных полях.
Если установлено, что (19.19) выполняется, то силовая
функция находится из равенства:
CdAU
или C)dzFdyFdxF(U
zyx
. (16.21)
Постоянная С здесь может иметь любое значение. Как
видно из формулы (16.20), работа от С не зависит. Однако
248
обычно условливаются считать в некоторой точке О, называе-
мой «нулевой точкой», величину 0U
и определяют С, ис-
0
ходя из этого условия.
Примерами потенциальных сил являются силы тяжести,
упругости и тяготения 9.5). Покажем, что для этих сил действительно существуют силовые функции и определим их. Поскольку под знаком интегралов, из которых в 9.5 были получены формулы (9.14), (9.15) и (9.17), стоят элементарные работы
соответствующих сил, то:
1) для силы тяжести, если ось z направлена вертикально
вверх, dA= - Pdz. Тогда, считая
при z= 0 (нулевая точка
0U
в начале координат), находим:
mgzU
. (16.22)
2) для силы упругости, действующей вдоль оси Ox,
. Считая U= 0 при х= 0, находим
cxdxdA
3) для силы тяготения )r/1(dmgR kmd(1/r)dU
Считая, что
при r = (нулевая точка находится в беско-
0U
2
. (16.23)
cx5,0U
.
2
нечности) находим
/rmgR U
где
222
zyxr - расстояние до материальной точки.
. (16.24)
2
Используя выражения для функций U, можно по формуле
(16.20) получить те же выражения для работ соответствующих
сил (9.14), (9.15) и (9.17) в 9.5.
Зная силовую функцию, можно определить силу, действующую в любой точке поля. По (16.19), определяют дифференциал функции U(x, у, z)
dx
U
dy
y
dzFdyFdxF
zyx
U
.
x
U
dz
z
Это соотношение должно выполняться при любых дифференциалах координат. Это возможно только при равенстве
множителей при дифференциалах одинаковых координат в
249
правой и левой частях этого равенства. Приравнивая коэффи-
F
gradU
циенты при dx, dy, dz в обеих частях равенства, находим
F
U
. (16.25)
F,
x
U
F,
y
U
zyx
z
Следовательно, в потенциальном силовом поле проекции
силы на оси координат равны частным производным от
силовой функции по этим координатам. Вектор, проекции
которого определяются равенствами вида (16.25), называют
градиентом скалярной функции U(x, у, z). Тогда
=
.
Из равенств (16.25) следует
2
F
x
y
U
F
,
xy
x
2
U
y
yx
и т. д.
Следовательно, если для данного поля существует силовая
функция, то проекции силы на оси координат удовлетворяют
соотношениям
F
F
x
y
x
F
,
F
yy
z
y
F
,
F
zz
x
x
. (19.26)
z
Можно показать, что верно и обратное утверждение: если
выполнены равенства (16.26), то для поля существует силовая
функция U. Следовательно, условия (16.26) являются необходимыми и достаточными условиями потенциальности силового поля. Таким образом, если силовое поле задано уравнениями (16.18), то по (16.26) можно проверить потенциально ли
оно. Если поле потенциально, то выражение (16.21) определяет
его силовую функцию, а формула (16.14) - работу сил поля.
Наоборот, если силовая функция известна, то по формулам
(16.25) можно определить характеристики этого поля.
250
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]