Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Ударный импульс силы
~
F
0
~
F
dtFp
uu
u
является конечной величиной. Импульсы прочих сил за время
обычно очень малы и ими, обычно, пренебрегают.
Пусть и - скорости точки в начале и в конце удара.
vu
Тогда теорема об изменении импульса точки при ударе примет
вид
, (17.1)
p)vu(m
uk
т. е. изменение импульса материальной точки за время удара
равно сумме действующих на материальную точку ударных
импульсов.
Уравнение (17.1) является основным уравнением теории
удара. Его значение в теории удара так же велико, как велико
значение основного закона динамики (второго закона Ньютона) в изучении обычных движений.
Поскольку перемещение точки за время удара, равное ,
v
является очень малым, им также можно пренебречь.
Из полученных результатов следует, что:
1) действием неударных сил, таких, например, как сила
тяжести, трения и других за время удара можно пренебречь;
2) перемещениями точек тела за время удара можно пре-
небречь и считать тела во время удара неподвижными;
3) изменения скоростей точек тела за время удара опреде-
ляются основным уравнением теории удара (17.1).
Поскольку при описании ударных явлений импульсы не-
ударных сил не учитываются, далее импульсы ударных сил и
ударные силы обозначаются прежними символами и .
p
17.2. Общие теоремы теории удара
Эти теоремы являются следствиями из общих теорем ди-
намики для удара в системе материальных точек.
261
17.2.1. Теорема об изменении импульса системы при ударе
Полученное в гл. 14 уравнение (14.5)
применимо и для удара. Здесь и - суммарные импульсы
L
системы тел после и до удара; - внешние для системы си-
e
dtFLL
,
k01
0
L
1
0
e
F
k
лы. Так как импульсы обычных сил при ударе не учитывают,
то в правую часть включают только ударные импульсы – им-
пульсы ударных внешних сил . Поэтому
, (17.2)
e
F
k
e
k01
0
e
pdtFLL
k
т. е. изменение импульса системы за время удара равно сумме
e
всех внешних ударных импульсов сил, действующих на
p
k
системy.
В проекциях на ось х
. (17.3)
e
pLL
kxx0x1
Если сумма всех векторов внешних ударных импульсов
равна нулю, то, как видно из (17.2), импульс системы за время
удара не изменится.
Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут
изменить импульс всей системы.
17.2.2. Теорема об изменении главного момента импульса
системы (теорема моментов) при ударе
e
Пусть система, состоит из n материальных точек, а и
i
p
- равнодействующие внешних и внутренних ударных им-
k
пульсов, действующих на точку с массой . Тогда, согласно
m
k
p
k
(17.1), для этой точки
i
e
pp)vu(m
k
kkkk
или
262
i
1
dt
K
e
ppvmum
.
k
kkkkk
Входящие в это равенство векторы определены для точки,
остающейся неподвижной за время удара. Тогда, моменты
этих векторов относительно какого - либо центра О, по теореме Вариньона, верной для моментов любых векторов, будут
равны
e
kokkokko
i
)p(m)p(m)vm(m)um(m
.
ko
Складывая такие же равенства для всех точек системы,
получим
e
kokkokko
Пусть и -суммы, стоящие слева, то есть главные
K
K
0
i
)p(m)p(m)vm(m)um(m
.
ko
моменты импульса системы относительно центра О после и до
удара. Стоящая справа сумма моментов ударных импульсов
внутренних сил равна нулю. Поэтому
e
, (17.4)
)p(mKK
koo1
т. е. за время удара изменение главного момента импульса
системы относительно какого- либо центра равно сумме моментов относительно того же центра всех действующих на
систему внешних ударных импульсов.
Теорема (17.4) может быть получена на основе доказанной
выше теоремы 15.2 об изменении главного момента импульса
для системы
Kd
e
,
)F(m
ko
где и - главный суммарные момент импульса системы и момент силы относительно неподвижной точки О.
e
)F(m
ko
e
F
k
Интегрируя это выражение в течение времени удара , и
учитывая, что плечи сил за время удара не изменяются, поскольку точки и тела системы за время удара не перемещаются, получим
0
e
ko01
263
e
ko
0
)dtF(mdt)F(mKK
~()~
e
(
ko
e
ko
e
.
)()
pmFmFm
ko
Проецируя (20.4) на ось х получаем
e
. (17.5)
)p(mKK
kxoxx1
Из этих соотношений следует, что если сумма моментов
внешних ударных импульсов относительно какого - либо центра (или оси) равна, нулю, то главный момент импульса системы относительно этого центра (или оси) за время удара не
изменяется.
Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут
изменить главный момент импульса системы.
Теорема об изменении кинетической энергии для решения
основной задачи динамики в теории удара не применяется, так
как точки тел за время удара считаются неподвижными и поэтому работы всех приложенных к системе сил равны нулю;
вместо самих ударных сил рассматриваются их ударные
импульсы.
Поскольку ударные силы велики, а перемещения за время
удара очень малы, определить работу ударных сил непосредственно по силе и перемещению нельзя. Работу этих сил оценивают только по изменению кинетической энергии системы
тел за время удара.
17.3. Коэффициент восстановления при ударе
Величина ударного импульса, возникающего при соударении двух тел, зависит не только от их импульсов до удара,
но и от свойств соударяющихся тел, в основном от их упругости. Проявление этих свойств при ударе характеризуются коэффициентом восстановления.
Рассмотрим прямой удар вертикально поступательно падающего шара о неподвижную, горизонтальную жесткую плиту (рис. 17.1). При таком ударе можно различить две стадии.
На первой стадии скорости частиц шара, равные в начале удара , убывают до нуля. Шар при этом деформируется и вся его
v
начальная кинетическая энергия, равная , переходит в
2
Mv5,0
его внутреннюю потенциальную энергию деформирования. На
264
второй стадии удара шар и плита под действием внутренних
v
сил упругости, возникающих в них, восстанавливает свою
форму. При этом внутренняя потенциальная энергия деформирования шара переходит в кинетическую энергию движения
его частиц, если не учитывать перемещение
плиты. В конце удара скорости частиц будут
равны , а кинетическая энергия шара -
u
2
. Однако, часть механической энергии
Mu5,0
шара тратится на нагревание шара и плиты и
сообщение им остаточных деформаций. Поэтому скорость будет меньше .
u
Величина k, равная отношению модуля
Рис. 17.1
скорости тела в конце прямого удара тела о
неподвижную преграду к модулю скорости
тела в начале удара, называется коэффициентом восстановления при ударе
. (17.6)
v/uk
Величины коэффициента восстановления для
разных тел определяется опытным путем. По
данным экспериментов при изменении скорости
не в очень больших пределах, величина k зави-
v
сит только от материалов соударяющихся тел.
В качестве предельных случаев рассматривают абсолютно упругий удар (k =1), при котором механическая энергия тела после удара полностью сохраняется, и абсолютно неупругий удар
Рис. 17.2
(k = 0), когда удар заканчивается на первой стадии и вся механическая энергия тела затрачива-
ется на его деформирование и нагревание.
Экспериментально величину k можно найти, если рассмотреть шар, свободно падающий на плиту с известной высоты Н, и определить с помощью линейки (рис. 17.2) высоту его
подъема h после удара. При этом не учитывается сопротивления воздуха, уменьшающее расчетную величину . Для этого
k
по известным формулам определяются скорости шара перед
265
ударом и после удара . Тогда коэффици-
gH2v gh2u
ент восстановления
.
1H/hv/uk
В таблице 1 приведены значения коэффициента восстановления для некоторых материалов, при скоростях соударения около 3 м/c.
Таблица 1
Материалы соударяющихся тел k
Дерево о дерево 1/2
Сталь о сталь 5/9
Слоновая кость о слоновую
8/9
кость
Стекло о стекло 15/16
Как видно из таблицы, чем выше твердость соударяющихся тел, тем выше и ближе к 1 коэффициент восстановления при
ударе.
17.4. Удар тела о неподвижную преграду
Пусть тело (шар) массы М, ударяется о неподвижную плиту.
Действующей на тело ударной силой будет реакция плиты.
Пусть импульс этой силы за время удара равен , а нормаль к
S
поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через
центр масс тела. Для шара это условие будет выполняться всегда. Такой удар тела называется центральным. Если скорость
центра масс тела в начале удара направлена вдоль нормали
v
к плите, то удар будет прямым. В противном случае удар
n
называется косым.
17.4.1. Прямой удар
Составляя в этом случае уравнение (17.3) в проекциях на
нормаль (см. рис. 17.1) с учетом того, что , а
1
n
uMp
, получим
266
vMp
0
.
p)vu(MMvMupp
nnnnnn0n1
При прямом ударе , , . Следователь-
p
p
~
n
uun vvn ppn
но, .
p)vu(M
Второе уравнение, необходимое для решения задачи
, дает равенство (17.6).
kvu
Из полученных уравнений, зная М, v, k, найдем неизвест-
ные величины u и . При этом .
v 1)(kMp
Как видно, ударный импульс будет тем больше, чем
больше коэффициент восстановления k. На эту зависимость
от k и было указано в 17.3.
Для определения средней величины ударной силы (реакции) необходимо дополнительно знать время удара , которое
надежно можно найти только экспериментально.
Пример. При падении стального шара массой М= 1 кг с
высоты Н= З м на стальную плиту (k= 5/9) получим
381,92gH2v
7,7 м/с 4,3 м/с.
kvu
Ударный импульс будет равен
1,2 кг*м/с.
)k1(Mvp
Если время удара = 0,0005 с, то средняя величина ударной реакции 2400 Н.
0005,0/2,1/pN
17.4.2. Косой удар
Косой удар происходит если нормаль к поверхности ударяющегося тела
в точке начального касания не проходит
через центр масс этого тела. Пусть в
этом случае скорость центра масс тела
v
в начале удара образует с нормалью к
плите угол , а скорость после удара
u
- угол (рис. 17.3). Тогда уравнения
Рис. 17.3
(17.2) в проекциях на касательную и
нормаль примут вид
, .
0)vu(M
p)vu(M
nn
267
Так как в данном случае влияние трения не учитывается,
v
Рис. 17.4
ударные силы направлены вдоль нормали к поверхности и, коэффициент восстановления равен отношению модулей проек-
ций скоростей после и до удара и . Тогда с учетом знаков проекций получим . В итоге получается
, , .
vu
v
kvu
nn
kvu
nn
u
n
n
)k1(vMp
n
Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в конце удара и ударный импульс, если известны величины М, , k и . Поскольку , а
, из первого равенства получаем
tguun
,
tgvtgu
nn
tgvvn
откуда
u
n
k
v
n
tg
tg
.
Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла
падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как , то , т. е. угол падения
1k
всегда меньше угла отражения .
17.5. Прямой центральный удар двух тел (удар шаров)
При соударении двух тел
удар называется прямым и центральным, когда общая нормаль к
поверхностям тел в точке касания
проходит через их центры масс и
когда скорости центров масс в
начале удара направлены по этой
общей нормали. Таким, в частно-
сти, будет удар двух однородных
шаров, центры которых до удара движутся вдоль одной и той
же прямой.
268
Пусть массы соударяющихся тел равны , и , а ско-
1M2M1v2v1u2
рости их центров масс в начале удара и , а в конце удара
u
и , Пусть координатная ось С1х проходит через центры
масс С1, С2 и направлена всегда от С1 к С2 (рис. 17.4). Удар
может произойти только при , иначе первое тело не
vv
x2x1
догонит второе. Кроме того, должно выполняться неравенство
, так как ударившее тело не может опередить ударяе-
uu
x2x1
мое.
x1
M2M
1
u
x2
v
v
x1
x2
Считая шары системой, а , , , и k извест-
ными, для определения и используем теорему об из-
u
менении импульса для соударяющихся тел. Тогда ударные силы, действующие между телами, станут внутренними, и
e
0p
. (17.7)
.
k
Уравнение (17.3) дает или
QQ
x0x1
vMvMuMuM
x22x11x22x11
Второе уравнение получим из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность
удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения
скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющего тела превышает скорость ударяемого, т. е. от разно-
сти . Поскольку всегда , а , при
vv
x2x1
vv
x2x1
uu
x2x1
ударе двух тел получается
uu
(17.8)
k
x2x1
vv
x2x1
uu
x2x1
vv
x2x1
или
. (17.9)
)vv(kuu
x2x1x2x1
Система уравнений (17.7) и (17.8) позволяет решить задачу об ударе двух тел. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, из уравнения (17.3), составленного
для какого - либо из тел, например для первого. Тогда
, . (17.10)
)vu(Mp
x1x11x1
pp
x1x2
269
Рассмотрим два предельных случая.
1v2
Рис. 17.5
а) Абсолютно неупругий удар (k= 0). В этом случае из
(17.6) и (17.5) следует
, (17.11)
)MM/()vMvM(uu
21x22x11x2x1
то есть, оба тела после абсолютно неупругого удара движутся
с одной и той же скоростью.
Действующий на тела ударный импульс равен
.
)MM/()vv(MMpp
21x2x121x1x2
б) Абсолютно упругий удар (k=1). В этом случае из урав-
нений (17.7) и (17.8) получается
),MM/()vv(M2vu
(17.12)
21x2x12x1x1
).MM/()vv(M2vu
21x2x11x2x2
Действующий на тела ударный импульс равен
.
)MM/()vv(MM2pp
21x2x121x1x2
Как видно, при абсолютно упругом ударе ударный им-
пульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом.
В частном случае, когда М1= М2 получаем из уравнений
(17.12) и . Таким
vu
x2x1
vu
x1x2
образом, два тела одинаковой массы
при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.
Задача 17.1. Два шара масс М1 и
М2, подвешены согласно рис. 17.5.
Первый шар отклоняют на угол и
отпускают без начальной скорости.
После удара второй шар отклоняется
на угол . Найти коэффициент восстановления для шаров при ударе.
Решение. По данным задачи можно определить скорость
, центра первого шара в начале удара и скорость центра
u
второго шара после удара. Из теоремы об изменении кинети-
270
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]