Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
ческой энергии на перемещении В0В
2
22111
1
дим
2
11
11
,
)cos1(glMghMvM5,0
где l - расстояние центра первого шара от точки подвеса.
Отсюда
.
1
5,0singl2)cos1(gl2v
Аналогично определяется
.
2
Так как в данном случае = 0, уравнения (17.7) и (17.8)
v
5,0singl2)cos1(gl2u
дают
, .
vMuMuM
x11x22x11
Исключая из этих уравнений , с учетом очевидных ра-
венств и , получаем
vv
1x1
uu
2x2
u
x1
kvuu
x1x1x2
u)MM()k1(vM
.
Отсюда следует
u)MM(
221
k
vM
11
1
21
1
5,0sin)MM(
5,0sinM
.
1
17.6. Потери кинетической энергии при
неупругом ударе двух тел. Теорема Карно
Из изложенного в 17.3, следует, что при неупругом ударе
происходит уменьшение кинетической энергии соударяющихся тел. Наибольшее количество энергии теряется при абсолютно неупругом ударе.
Пусть соударяющиеся тела движутся поступательно, а их
общая скорость после абсолютно неупругого удара равна .
u
Кинетические энергии системы в начале и в конце удара равны
, . (17.13)
2
x110
2
)vMvM(5,0T
x22
2
u)MM(5,0T
x211
Потерянная при ударе кинетическая энергия равна разности
T0 — Т1 = Т0 — 2Т1+ Т1. (17.14)
Из формулы (17.11) следует, что
271
.
k
1
2
211
1
vMvMu)MM(
x22x11x21
Тогда
. (17.15)
2
x211
u)vMvM(u)MM(T2
xx22x11
Подставляя в правую часть (17.14) Т0 и Т1, из (17.13), а
вместо 2Т1 - правую часть (17.15), получим
2
x1110
2
x22
2
x1xx22
2
,
)uMuMuvM2
x2
uvM2vMvM(5,0TT
xx11
или
. (17.16)
110
x1
2
x
2
x2
2
)uv(M5,0)uv(M5,0TT
x
Разности и определяют
x
x1
uvuv
uvuv
1
x
x2
2
уменьшение скорости каждого из соударяющихся тел за счет
удара и называются потерянными при ударе скоростями. Тогда
из формулы (17.16) вытекает следующая терема Л. Карно: кинетическая энергия, потерянная системой тел при абсолютно
неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую
имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными
скоростями.
Если удар не является абсолютно неупругим, то и
. Аналогичными преобразованиями можно устано-
uu
x2x1
0k
вить, что кинетическая энергия, потерянная при не абсолютно
неупругом ударе двух тел, равна
. (17.17)
TT
k1
110
x1
2
x1
2
x2
2
)uv(M)uv(M5,0
x2
Рассмотрим частный случай абсолютно неупругого удара
по первоначально неподвижному телу. В этом случае = 0 и
2
, .
vM5,0T
110
Тогда
)M
2
2
211
M
1
MM
21
212
M/(vM5,0u)MM(5,0T
1
vM
1
1
2
1
,
2
v
)MM/(vMu
или
272
. (17.18)
2
1
121
211
Рис. 17.6
)MM/(TMT
21011
Формула (17.14) показывает, какая часть начальной энергии системы остается у системы после удара.
Рассмотрим два предельных случая.
а) Масса ударяющего тела много больше массы ударяемого . В этом случае можно считать и
MM
MMM
из (20.18) следует . Следовательно, не смотря на абсо-
TT
01
лютно неупругий удар, кинетическая энергия при ударе почти
не теряется и система после удара имеет почти ту же кинетическую энергию, которую она имела до удара.
На практике такой результат
нужно, очевидно, получать при
забивании гвоздей, свай и т. п.
Следовательно, в этом случае
нужно, чтобы масса молотка была
намного больше массы гвоздя
(рис. 17.6, а).
б) Масса ударяемого тела
много больше массы ударяющего
( ). В этом случае мож-
MM
21
но считать
0)MM/(M
,
и формула (17.18) дает Т1= 0. В данном случае при ударе почти
вся кинетическая энергия расходуется на деформации соударяющихся тел и по окончании удара тела можно считать неподвижными.
Такой результат надо, очевидно, получать при ковке,
клепке и т. п. Для достижения наибольшего эффекта, в этих
случаях нужно, чтобы масса поковки вместе с наковальней
(или масса заклепки вместе с поддержкой) была много больше
массы молота (рис. 17.6, б).
17.7. Удар по вращающемуся телу
Рассмотрим тело, имеющее неподвижную ось вращения z
273
(рис. 17.7). Пусть в некоторый момент времени к телу при-
A
B
1
1zz
1
A
B
ложен ударный импульс . Тогда из
S
уравнения (17.5) следует
,
)p(mKK
zozz1
так как моменты относительно оси z
импульсных реакций и , воз-
R
R
никающих в подшипниках, будут
равны нулю. Если в начале удара
тело имело угловую скорость , а
Рис. 17.7
стала равна , то , ,
(17.19)
в конце удара его угловая скорость
JK
0zz0
JK
)p(m)(J
zo1z
0
или
. (17.20)
J/)p(m
zzo1
Эта формула определяет изменение угловой скорости тела
при ударе. Из нее следует, что угловая скорость тела за время
удара изменяется на
величину, равную отношению момента
ударного импульса к
моменту инерции тела
относительно оси вра-
Рис. 17.8
щения.
17.7.1. Импульсные реакции
Пусть оси системы координат Axyz таковы, что скорость
центра масс С параллельна оси Ах (рис. 17.8, а). Тогда центр
масс С тела расположится в плоскости Ayz. Разложим иско-
мые импульсные реакции и на составляющие вдоль
R
R
этих осей.
274
Пусть АВ= b, а расстояние точки С от оси Az равно а. Со-
Bz
Az
Az
B
A
ставим уравнения (17.3) в проекциях на все оси, а уравнения
(17.5) в проекциях на оси Ах и Ау (уравнение в проекциях на
ось Аz уже использовано при получении равенства (17.19)).
Поскольку тело за время удара не перемещается, векторы и
будут параллельны оси Ах. Следовательно,
u
C
MaMvL
, , .
0Cx0
MaMuL
1Cx1
zy
v
C
0LL
Используя одновременно при составлении уравнений
(17.5) формулы и , получим
JK
xzx
JK
yzy
,
pRR)(Ma
xBxAx01
pRR0
,
yByAy
, (17.21)
RR0
)p(mbR)(J
,
xBy01xz
)p(mbR)(J
.
yBx01yz
Эти уравнения применяются для определения неизвест-
R
ных импульсных реакций , , и . Входя-
R
R
Ax
Ay
R
щая в (17.21) разность угловых скоростей , определя-
Bx
R
By
01
ется из (17.19).
17.7.2. Центр удара
Появление при ударе импульсных реакций в некоторых
случаях нежелательно. Во многих случаях импульсные реакции желательно максимально уменьшить. Можно ли точку
приложения и направление ударного импульса подобрать так,
чтобы импульсные реакции не возникли? Для этого положим в
0RR
уравнениях (17.21) . При этом 2- 3 уравнения системы (17.21) дадут , то есть направление ударного
0pp
zy
импульса должно быть перпендикулярно плоскости Аyz, проходящей через ось вращения и центр масс тела. Пусть импульс
имеет такое направление (рис. 17.8, б).
p
275
Поскольку при вид системы (17.21) не зави-
B
A
B
A
z
0RR
сит от выбора на оси Az начала координат, то есть не зависит
от a и b, для упрощения дальнейших действий расположим
плоскость Оху так, чтобы вектор ударного импульса лежал
0)p(m)p(m
в этой плоскости. Тогда и последние два
уравнения системы (17.21) дадут . Это означает,
что плоскость Оху, в которой лежит импульс , должна про-
yx
0JJ
yzxz
p
p
ходить через такую точку О, для которой ось z является главной осью инерции тела.
0JJ
В частности, как показано в 12.5, условия
yzxz
будут выполняться, если плоскость Оху будет для тела плоскостью симметрии.
Поскольку и
(см. рис. 17.8, б), пер-
ppx
0RR
вое из уравнений (17.21) принимает вид
Рис. 17.9
Так как в данном случае , из уравнения
01
ph)p(m
. (а)
p)(Ma
(17.19) следует,
. (б)
Исключая из соотношений (а) и (б) разность , на-
ph)(J
o1z
o1
ходим
. (17.22)
Ma/Jhz
По этой формуле определяется расстояние h от оси вра-
щения z, на котором должен быть приложен ударный импульс.
Следовательно, для того чтобы при ударе по телу, закрепленному на оси z, в точках закрепления этой оси не возникло
импульсных реакций, необходимо чтобы:
1) ударный импульс был расположен в плоскости Оху,
перпендикулярной к оси вращения z и проходящей через такую точку О тела, для которой ось z является главной осью
276
инерции (в частности, плоскость Оху может быть плоскостью
z
симметрии тела);
2) удар был направлен перпендикулярно к плоскости,
проходящей через ось вращения и центр масс С тела;
3) ударный импульс был приложен на расстоянии
Ma/Jhz
от оси z по ту сторону от оси, где находится центр
масс.
Точка К, через которую должен при этих условиях проходить ударный импульс, не вызывающий ударных реакций в
точках закрепления оси, называется центром удара.
2
По теореме Гюйгенса . Следовательно,
и расстояние от оси вращения до центра
aMa/Jah
C
MaJJ
Cz
удара больше, чем до центра масс.
Если ось вращения проходит через центр масс тела, то а =
О, и . В этом случае центра удара на конечном расстоя-
h
нии не существует, и любой удар по телу будет передаваться
на ось.
Важность полученных результатов видна из следующих
примеров:
1. При конструировании вращающегося курка (см. задачу
1) или маятникового копра - прибора в виде маятника, применяемого для испытания материалов на удар, и т. п. надо ось
вращения располагать так, чтобы точка тела, производящая
удар, была по отношению к этой оси центром удара.
2. При работе ручным молотом его надо брать за рукоятку
в таком месте, чтобы точка, которой производится удар, была
относительно руки центром удара. В противном случае рука
будет получать быстрый и сильный удар от рукоятки.
3. При ударе палкой, чтобы не получить сильный удар по
руке (рис. 17.9), надо ударять тем местом, которое по отношению к месту удержания палки рукой будет центром удара. Если палку считать однородным стержнем длины l, а ось враще-
2
ния совпадающей с его концом, то тогда .
3/l2Ma/Jh
и .
2/la
z
3/MlJ
277
Следовательно, в случае, изображенном на рис. 17.9, удар
A
1
2
2
1
DvD
1
D
BDB
D
1
A
надо производить тем местом стержня, которое находится на
расстоянии от руки или на расстоянии от другого
3/l2 3/l
конца стержня.
Задача 17.1. Вращающийся курок AD в момент начала
удара по ударнику В (рис. 17.10) имеет угловую скорость .
0
Определить скорость ударника в
конце удара и импульсное давление
на ось А. Массы М и m курка и
ударника, момент инерций курка
J
относительно оси А и расстояния a и
b известны. Центр масс курка находится в точке С.
Решение. Обозначим ударные
импульсы, действующие на курок и
Рис. 17.10
Тогда, учитывая, что , а , из уравнения
ударник при ударе через и .
SSS
0vB
S
S
(17.15) для курка и из уравнения (17.3) для ударника, получим
, . (а)
01A
Sb)(J
SmuB
Момент Sb взят со знаком минус потому, что этот момент на-
правлен противоположно направлению вращения курка. Пусть
u
и - скорости точки D до и после удара. Очевидно, что
bu
и . По формуле (17.8), определяющей коэф-
bv
0D
фициент восстановления при прямом ударе двух тел, определяем
)vv(kuu
или .
Подставляя сюда и из уравнений (а), найдем ско-
S
bkub
0B1
рость ударника в конце удара
2
.
A0AB
Для определения импульсной реакции оси на курок,
)mbJ/()k1(Ju
R
составляем уравнение (17.2) в проекциях на оси Ах и Ау. Учитывая, что
278
aMMuL
B
A
A
m
H
v
m
v
u
m
v
0Cxx0
1Cxx1
aMMvL
получим
, . (б)
RS)(Ma
Ax01
0RAy
Из уравнений (а) получаем
muS
, .
J/mbu
AB01
Подставляя эти величины в равенство (б), получим
2
.
Отсюда видно, что если , то точка D является
Ma/JbA
A0AAx
)mbJ/()k1(mb)MabJ(R
центром удара и величина =О. При , т. е.
R
Ax
JMab
0RAx
импульсное давление на курок направлено влево, а давление на
ось - вправо. При давление на ось направлено влево.
JMab
17.8. Задачи для самостоятельного решения
17.8.1. Мяч массой отпустили на высоте над полом.
Какую часть энергии потерял мяч при ударе, если между первым и вторым ударами прошло время ?
t
17.8.2. По рельсам катится массивная тележка с постоянной скоростью . Летящий вслед за тележкой горизонтально
v
0
со скоростью мяч массой упруго ударяется о тележку.
Найти скорость мяча после удара.
17.8.3. Шарик, падающий вертикально со скоростью = 4
м/с, ударяется о горизонтальную платформу, движущуюся горизонтально со скоростью = 3 м/с. Определить скорость
движения шарика после удара и её направление относительно
платформы. Удар абсолютно упругий.
17.8.4. Два тела с одинаковыми массами движутся навстречу друг другу во взаимно перпендикулярных направлениях со ско-
ростями и . В результате соударения тела слипаются. Опреде-
v2v
1
лить потери механической энергии системы за время удара.
17.8.5. Свинцовый шар массой = 500 г, движущийся со
m
1
скоростью = 10 м/с, соударяется с подвижным шаром из вос-
279
ка, имеющим массу = 200 г, после чего оба шара движутся
K
n
l
v
m
v
l
M
v
m
m
M
l
вместе. Найти кинетическую энергию шаров после соударения.
17.8.6. Мяч, летящий со скоростью = 20 м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью = 15 м/с. Найти, чему равно изменение импульса
мяча, если изменение его кинетической энергии при этом рав-
но = 8,75 Дж.
вешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в
нем. Масса пули в = 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара = 1 м. Найти
скорость пули , если известно, что стержень с шаром откло-
нились от удара пули на угол = 10 .
v
2
17.8.7. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, под-
17.8.8. Шар массы , движущийся со скоростью
, налетает на покоящийся шар массы и после
упругого удара продолжает двигаться под углом =
30 к направлению своего первоначального движения. Найти скорости шаров после столкновения.
17.8.9. Маятник (рис. 17.11) представляет собой
m
2
v
1
2/m
Рис. 17.11
кг. В шар попадает летящий горизонтально со скоростью =
50 м/с стальной шарик массы = 20 г. Определить угол максимального отклонения маятника, считая удар упругим и центральным. Массой стержня пренебречь.
17.8.10. Молот массы = 1,5 т ударяет по раскаленной
болванке, лежащей на наковальне, и деформирует ее. Масса
наковальни вместе с болванкой = 20 т. Определить коэффициент полезного действия при ударе молота, считая удар
неупругим. Считать работу, совершенную при деформировании болванки, полезной.
17.8.11. Два груза массами = 10 кг и = 15 кг подвешены на нитях длиной = 2 м так, что соприкасаются между
прямой тонкий стержень длины = 1,5 м, на конце которого находится стальной шар массы = 1
m
280
1
m
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]