Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
10.4.1. Относительный покой на поверхности Земли. Сила
F
F
const
F
F
F
F
F
F
тяжести
Пусть материальная точка неподвижно висит на нити (рис. 10.9).
Условие ее равновесия относительно
Земли, согласно (10.6), имеет вид
ie
Рис. 10.9
, где
0FNF
тяжения Земли,
ie
- переносная сила инерции. Так
как
N
, то сила
только нормальную составляющую,
- сила при-
- реакция нити,
ie
, имеет
направленную перпендикулярно к оси вращения Земли. Пусть
ie
.
FFG
Сила
называется силой тяжести. Эта сила направле-
G
на вдоль нити, натянутой висящим грузом и линия ее действия не проходит через центр Земли.
Тогда на точку М будут действовать две силы
уравновешивающие друг друга. Модуль силы
ie
G
и
N
2ie
rmF
(r - расстояние точки М от земной оси) мал по сравнению с
так как величина
2
очень мала. Величина
ie
максимальна
на экваторе, где r =R. Здесь ее значение составляет около
0,34%, силы притяжения
.
Максимальная разность показанных на рис. 10.9 углов и
,
достигается при = 45 и составляет 11'. Поэтому направ-
ление силы
мало отличается от направления
G
.
Весом тела называется сила, с которой тело давит на
опору. При неподвижной опоре вес тела равен силе тяжести
тела. При движении опоры вместе с телом вес тела зависит
от закона движения опоры и поэтому может иметь любую
конечную величину и любое направление.
При взвешивании тела определяется сила
, так как
G
именно с такой силой тело действует на механизм весов. Сле-
131
довательно, введение в уравнения равновесия силы тяжести
F
F
F
F
F
F
, фактически учитывает влияние силы
G
ie
, вызванной вращением Земли и уравнение равновесия тела выглядит как
уравнение равновесия относительно инерциальной системы.
Поэтому при составлении уравнений равновесия тела относительно Земли никаких поправок на вращение Земли вводить не
надо.
10.4.2. Относительное движение вблизи поверхности Земли
Для учета вращения системы координат, связанной с Зем-
лей, надо к действующим на точку силам прибавить силы
ik
и
. Однако сила
ie
входит в силу тяжести
ется вместе с
. Следовательно, ко-
G
и учитыва-
G
ie
гда система, связанная с Землей, считается неподвижной, тo фактически
не учитывается только кориолисово-
ва сила инерции
rik
sinvm2F
где - угловая скорость вращения
Земли, - угол между относитель-
ной скоростью
r
точки и осью вра-
v
щения Земли.
Так как величина очень мала,
Рис. 10.10
можно пренебречь. Например, даже при
то при не очень больших
ik
по сравнению с силой тяжести
r
= 700 м/сек (ско-
v
рость обычного артиллерийского снаряда) и = 90 сила
r
силой
v
ik
,
составляет только около 1% от силы
. Поэтому в большин-
G
стве расчетов при изучении движения тел вблизи земной поверхности систему отсчета, связанную с Землей, можно действительно считать инерциальной.
Учет влияния вращения Земли необходим или при очень
больших скоростях движения (полет ракет дальнего дейст-
132
вия), или для движений, длящихся очень долго (течение рек,
F
F
F
воздушные и морские течения).
Рассмотрим качественное влияние вращения Земли на
движение тел.
10.4.2.1. Движение по земной поверхности
При движении точки по меридиану в северном полушарии
с севера на юг кориолисово ускорение
ток, а сила
ik
будет, очевидно, направлена на вос-
ik
- на запад. При движении с юга на север сила
k
направлено на вос-
a
ток. Следовательно, в обоих случаях, эта
сила будет отклонять точку вправо от направления ее движения.
Если точка движется по параллели на
восток, то ускорение
k
будет направлено
a
вдоль радиуса МС параллели (рис. 10.10),
а сила
ik
в противоположную сторону.
Вертикальная составляющая этой силы
(вдоль ОМ) будет несколько изменять вес
тела, а горизонтальная составляющая будет направлена к югу и будет отклонять
Рис. 10.11
точку вправо от направления движения.
Аналогичный результат получается при движении по параллели на запад.
Следовательно, в северном полушарии тело, движущееся
вдоль земной поверхности по любому направлению, будет
вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления движения. В южном полушарии отклонение будет происходить влево.
Этим обстоятельством объясняется рис. 10.10, то, что реки, текущие в северном полушарии, подмывают правый берег,
если смотреть вниз по течению. В этом же причина отклонений ветров постоянного направления (пассаты) и морских течений.
133
10.4.2.2. Свободное падение
F
F
F
Для определения направления кориолисовой силы инерции
знать направление относительной скорости
сила
вом приближении можно считать вектор
ik
, действующей на свободно падающую точку, надо
r
точки, Так как
v
ik
очень мала в сравнении с силой тяжести
r
направленным по
v
, то в пер-
G
вертикали, т. е, вдоль линии OM0 (см. рис. 10.11). Тогда вектор
k
будет направлен на запад, а сила
a
ik
- на восток (на
рис. 10.11). Следовательно, в первом приближении свободно
падающая точка (тело) отклоняется вследствие вращения Земли от вертикали к востоку. Тело, брошенное вертикально
вверх, будет, очевидно, отклоняться к западу. Величины этих
отклонений очень малы и заметны только при достаточно
большой высоте падения или подъема.
10.5. Задачи для самостоятельного решения
10.5.1. Центробежный регулятор состоит из двух шаров А и В массой m каждый, муфты С массой M и четырех одинаковых невесомых стержней АС = BC = DA
= DB = l, закрепленных по концам шарнирно. Регулятор вращается вокруг неподвижной вертикальной оси z. Определить
усилия в стержнях и угловую скорость регулятора, предполагая, что угол , образуемый каждым из стержней с вертикалью
сохраняет свое значение (рис. 10.12).
Рис. 10.12
10.5.2. Известно, что на прямолиней-
ном участке железнодорожного пути с углом наклона вагон, получив некоторую начальную скорость
вниз по уклону, движется затем равномерно. Считая сопротивление движению пропорциональным нормальному давлению
колес на рельсы, определить закон движения этого вагона, ес-
134
ли он будет двигаться вниз без на-
чальной скорости по прямолинейному участку пути с углом наклона
.
10.5.3. Материальная точка
массой m= 0,2 кг, лежащая на горизонтальной поверхности стола,
привязана к неподвижной точке О
нитью длиной l = 35 см. Точке сообщена начальная скорость 0v = 4,9
Рис. 10.13
м/с, перпендикулярная к направле-
нию натянутой нити, вследствие
чего точка описывает на столе окружность. Найти скорость
точки и, силу натяжения нити через 1 с после начала движения, если коэффициент трения f = 0,25.
10.5.4. Материальная точка М движется по гладкой наклонной плоскости с
углом наклона под действием собственной силы тяжести gm; ее начальная
горизонтальная скорость 0v
перпендику-
лярна к линии наибольшего ската этой
плоскости. Определить закон движения
этой точки и ее траекторию, а также реакцию наклонной плоскости (рис. 10.13).
10.5.5. Тяжелая материальная час-
Рис. 10.14
тица массы m движется по внутренней поверхности шерохо-
ватого круглого цилиндра
222
Ryx .
Коэффициент трения между частицей и
цилиндром равен k. В начальный момент частица находится на оси Ох и по-
Рис. 10.15
лучает скорость 0v перпендикулярную к
оси Ох и составляющую с плоскостью
хОу угол . Составить дифференциальные уравнения движе-
ния частицы и определить ее давление на связь. Проинтегри-
135
ровать полученные уравнения в случае гладкой поверхности
F
Рис. 10.16
(k= 0) (рис. 10.14).
10.5.6. Тело массой m движется
прямолинейно с данным ускорением
a
по горизонтальной плоскости под действием некоторой силы
, образующей
с горизонтом угол . Определить модуль этой силы, если коэффициент трения между передвигаемым телом и
плоскостью равен f (рис. 10.15).
10.5.7. Полая сферическая поверхность
радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг своей вертикально расположенной оси
симметрии, делая 30 об/мин. Внутри этой
поверхности находится шарик массой m =
200 г. Найти высоту h, соответствующую
положению равновесия шарика относительно
Рис. 10.17
нижней точки этой поверхности и ее реакцию
в этом положении (рис. 10.16).
N
10.5.8. Лента ленточного конвейера наклонена к горизонту под углом . Определить минимальную скорость ленты,
при которой переносимая лентой частица руды отделится от
поверхности ленты в месте набегания ленты на барабан, если
радиус барабана равен R (рис. 10.17).
10.5.9. Математический маятник длиной l и массой m
отвели на угол
от положения равновесия и
0
сообщили ему начальную скорость 0v, направленную перпендикулярно к нити вверх.
Найти натяжение нити маятника в зависимости от угла , образованного нитью с верти-
калью (рис. 10.18).
Рис. 10.18
136
10.5.10. Материальная частица находится внутри неподвижного цилиндра радиусом R. В начальный
момент времени частица находится
в положении 0M и получает верти-
кальную скорость 0v. Коэффициент
трения частицы о поверхность ци-
линдра равен f . Пренебрегая дей-
Рис. 10.19
углом , определяющим ее положение внутри цилиндра (рис.
10.19).
ствием силы тяжести, найти зависимость между скоростью v частицы и
137
F
F
F
Глава 11. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
11.1. Свободные колебания без учета
сил сопротивления
Одному ученому принадлежит фраза: «Колебания - это
единственная форма постоянства, доступная природе». Это
означает, что не может быть ничего постоянного, постоянны
только процессы изменений.
Механическими колебаниями называется всякий механический процесс периодического изменения положения тела.
Колебания составляет основу многих явлений, изучаемых
физикой и техникой. Колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и
др., отличаются друг от друга по своей физической природе,
но, основные законы этих колебаний во всех случаях одинаковы. Поэтому изучение механических колебаний важно не
только потому, что такие колебания очень часто происходят,
но и потому, что законы, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения колебательных явлений в различных областях естествознания и
техники.
Рассмотрим свободные прямолинейные колебания точки
М массой т без учета сил сопротивления под
действием только одной восстанавливаю-
щей силы
, направленной к неподвижно-
му центру 0 и пропорциональной расстоя-
Рис. 11.1
нию от этого центра. Проекция силы
на
ось Ох (рис. 11.1) равна
cxF
Сила
, как видно из (11.1), всегда направлена противо-
. (11.1)
x
положно смещению x от центра О, то есть стремится вернуть
точку в положение равновесия О, где 0F . По этой причине
138
и используется термин «восстанавливающая» сила. Примером
n
такой силы является сила упругости пружины.
Колебательной системой называется система тел, которая
включает колеблющееся тело, тела, создающие восстанавливающую силу и другие тела.
Закон движения точки М определяется из решения дифференциального, уравнения движения точки
2
xd
m
dt
2
cxxv
,
где t - время.
Пусть
. (11.2)
m/ck
Тогда
2
0xkx
. (11.3)
Уравнение (11.3) является дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки при отсутствии
сил сопротивления. Решение этого линейного, однородного
дифференциального уравнения второго порядка ищется в виде
nt
ex , где
Полагая в уравнении (11.3)
характеристика колеблющейся системы.
nt
ex , получим для опреде-
ления n характеристическое уравнение
2
Поскольку это уравнение имеет мнимые корни ikn
01n
.
,
2,1
то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (11.3) имеет вид
kt, cos C kt sinC x
где
C и 2C - постоянные интегрирования.
1
Если вместо
cosaC1 и
C и 2C ввести постоянные, а и
1
sinaC2 , то
(11.4)
21
, такие, что
osc kt (sin ax ) sinktosc
или
)(kt sinax
. (11.5)
Этому решению удобнее придавать физический смысл.
139
Колебания, совершаемые точкой по закону (11.5), назы-
dt
ваются гармоническими колебаниями.
График таких колебаний при
- показан на рис.
2/
11.2.
Проекции на ось х скорости точки
dx
v
x
) cos(kt ak
. (11.6)
Всем характеристикам этого движе-
ния можно дать наглядную физическую
интерпретацию.
Пусть точка В движется равномерно
по окружности радиуса а из положения
B , определяемого углом
0
DOB (рис.
0
11.3) с угловой скоростью = k. Тогда в
произвольный момент времени t угол
ktDOB
. Очевидно, что проек-
ция М точки В на прямую, перпендикулярную DE, изменяется по закону
) sin(kta x
, т. е. совершает гармо-
нические колебания.
Рис. 11.2
Точка О, относительно которой отсчитываются отклонения точки В, называется центром колебаний.
Величина а, равная наибольшему отклонению точки М от
центра колебаний О, называется амплитудой колебаний.
Величина
kt
называется фазой колебаний. Фаза ,
в отличие от координаты х, определяет не только положение
точки в данный момент, но и направление ее движения. Например, из положения М при фазе, равной - точка В движет-
ся вправо, а при фазе, равной
, - влево. Фазы, отличаю-
щиеся на 2, считаются одинаковыми (на рис. 11.2 светлыми
точками отмечены одинаковые фазы).
Величина определяет фазу в начале колебаний и назы-
вается начальной фазой.
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]