Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики. Учебное пособие
.pdf
Поступательная часть движения плоской фигуры S харак-
dt
dt
r
dtrddtrddt
теризуется поступательным движением одной из точек тела,
например полюса А, и определяется уравнениями: x01 = x01(t),
y01 = y01(t). Отрезок АВ за время t поворачивается вместе с фигурой S вокруг полюса А (относительно подвижной системы
координат) на некоторый угол . Вращение плоской фигуры S
относительно полюса А определяется функцией = (t).
Уравнениями (законом) плоскопараллельного движения
тела называют уравнения
x01 = x01(t), y01 = y01(t), = (t). (3.1)
Очевидно, что если взять за полюс некоторую другую
точку С сечения S и провести из полюса С параллельно отрезку АВ другой отрезок, то за время t он повернется на тот же
угол , что и отрезок АВ, так как эти отрезки по построению
остаются все время параллельными друг другу. Таким образом, угол поворота плоской фигуры вокруг любого полюса не
зависит от выбора этого полюса.
3.2. Скорости точек тела в плоскопараллельном движении
Поскольку угол поворота плоской фигуры вокруг любого
полюса не зависит от выбора этого полюса, угловые скорость
d
и ускорение
d
плоской
Рис. 3.4
определению скорости
v
фигуры в ее вращении вокруг полюса
не зависят от выбора этого полюса.
Положение некоторой точки В се-
чения S относительно точки О определяется вектор - радиусом rrr
где
r
вектор – радиус точки А отно-
A
сительно точки О, а
- вектор – ради-
A
ус точки В относительно точки А. По
rd
B
A
.
21
,
В этом выражении вектор
dt
dt
r
rd
A
v
характеризует измене-
A
ние вектора
полюса А в этой системе координат. Величина
рактеризует изменение вектора
r
в системе координат Оху и определяет скорость
A
rd
v
BA
в системе координат Ах1у1 и
ха-
определяет скорость точки В относительно точки А, то есть
скорость точки В относительно полюса
(рис.3.5).
Следовательно
vvv
.
BAAB
Итак, скорость любой точки тела,
совершающего плоское движение, равна
векторной суммы вектора скорости по-
Рис. 3.5
При вращательном движении ABv
люса и вектора скорости этой же точки
относительно полюса.
BA
, и согласно (2.9)
vBA=AB. Тогда
BABAABAB
ABv;ABv;vvv
. (3.2)
Спроецировав (3.2) на отрезок AB, и учитывая, что
ABvBA
получим 0vnp
. Тогда
BAAB
. (3.3)
vnpvnp
AABBAB
Проекции скоростей любых двух точек плоской фигуры,
движущейся в своей плоскости, на прямую, соединяющую эти
точки, равны. Это утверждение верно только для абсолютно
твердого тела, поскольку в деформируемом теле точки А и В
могут двигаться друг относительно друга за счет деформаций.
3.2.1. Мгновенный центр скоростей
В каждый момент времени, ко-
гда угловая скорость плоской фигуры, движущейся в своей плоскости,
не равна нулю, в плоскости фигуры
существует точка P, называемая
Рис. 3.6
мгновенным центром скоростей,
22
скорость которой в этот момент равна нулю.
Для определения положения мгновенного центра скоро-
стей, надо вектор скорости
v
повернуть на 90° в сторону
A
вращения фигуры и отложить в его направлении отрезок
/vAPA . (3.4)
Применяя (3.4) для точек А и В, получаем
BPv
B
. Отсюда
v
AP
A
. (3.5)
BP
v
B
A
APv
и
Скорости точек плоской фигуры прямо пропорциональны
их расстояниям от мгновенного центра скоростей. На рис. 3.7,
а - в даны примеры определения
полюса P по двум
заданным векторам скоростей
двух точек тела
для частных слу-
Рис. 3.7
чаев.
Если скоро-
сти
v
и
v
A
двух точек плоской фигуры, движущейся в своей
B
плоскости, в данный момент параллельны, то скорости всех
точек плоской фигуры в данный момент равны между собой, и
угловая скорость фигуры равна нулю, т. е. мгновенный центр
скоростей P не существует.
С течением времени мгновенный центр скоростей меняет
свое положение относительно фигуры S. Движение фигуры S
можно представить как последовательность бесконечно малых
поворотов вокруг постоянно меняющихся мгновенных центров
скоростей.
3.3. Ускорения точек тела в плоскопараллельном движении
Дифференцируя первое выражение (3.2) по времени, по-
23
2
лучаем ускорение точки В
aaa
, где Aa
BAAB
vd
A
=
dt
rd
A
-
2
dt
ускорение точки А относительно неподвижной системы (рис.
2
3.8);
vd
a
BA
BA
=
dt
rd
- ускорение точки В относительно под-
2
dt
вижной системы (рис. 3.8).
Поскольку ускорение
a
можно разложить на нормаль-
BA
ное и касательное ускорения, получаем
Ускорение
n
a
направлено из точки В в точку А (рис. 3.8),
BA
а ускорение
n
aaaa
. (3.6)
BA
BAAB
a
перпендикулярно от-
BA
резку АВ. Эти ускорения определяются по формулам
BA
2n
BA
ABa,ABa
.
Итак, ускорение любой точки
тела, совершающего плоское движение, можно представить в виде векторной суммы вектора ускорения по-
Рис. 3.8
люса и вектора ускорение этой же
точки относительно полюса, которое в
свою очередь можно представить в виде суммы векторов нормального и касательного ускорений точки относительно полюса.
24
Глава 4. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ
НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1. Движение твердого тела, имеющего
одну неподвижную точку
Пусть твердое тело закреплено так, что одна его точка О
остается во все время движения неподвижной относительно
неподвижной системы отсчета
zyOx . Такое движение совершает,
111
например, волчок, у которого неподвижна только его опорная точка о
плоскость, или любое другое тело, закрепленное в точке О шаровым шарниром.
Для определения положения тела
Рис. 4.1
в пространстве с телом жестко связывают систему координат Oxyz, по положе-
нию которой можно судить о положении тела (рис. 4.1). Линия
ОК, вдоль которой пересекаются плоскости
Oxy
и
yOx , на-
11
зывается линией узлов.
Положение осей системы
Oxyz
относительно осей систе-
мы
zyOx , как и положение тела, можно определить углами:
111
KOx
, OKx
1
, Ozz
.
1
Эти углы называемые углами Эйлера, имеют следующие
названия, взятые из небесной механики: φ - угол собственного
вращения, ψ - угол прецессии, θ - угол нутации. Положительные направления отсчета этих углов показаны на рис. 4.1
стрелками. При изменении угла φ тело совершает поворот вокруг оси Oz (собственное вращение), при изменении угла ψ –
происходит поворот тела вокруг оси
Oz (прецессия) и при
1
изменении угла θ – тело поворачивается вокруг линии узлов
ОК (нутация).
Чтобы знать движение тела, надо знать его положение
25
относительно осей
zyOx в любой момент времени, т. е.
111
знать зависимости:
)t(f
1
, )t(f
, )t(f3
2
. (4.1)
Функции (4.1) определяют закон движения твердого тела
относительно неподвижной точки.
Согласно теореме Эйлера - Даламбера: всякое элементарное перемещение
тела, имеющего неподвижную точку, является элементарным, поворотом вокруг
некоторой оси вращении, проходящей
через эту точку.
Ось ОР, элементарным поворотом
вокруг которой тело перемещается из
Рис. 4.2
данного положения в соседнее положение, бесконечно близкое к данному, на-
зывается мгновенной осью вращения.
Скорости всех точек тела, лежащих
на мгновенной оси вращения, равны
в данный момент времени нулю. От
неподвижной оси мгновенная ось
вращения отличается тем, что ее направление и в пространстве и относительно самого тела все время меняет-
Рис. 4.3
ся. Переместившись поворотом вокруг
оси ОР в соседнее положение, тело из
этого положения в соседнее положение перемещается поворотом вокруг новой мгновенной оси вращения
OP и т. д. Таким
1
образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки
сводится к серии последовательных элементарных поворотов
вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту неподвижную точку (рис. 4.2).
Следует помнить, что конечный угол поворота тела не
является вектором. Вектором может быть только бесконечно
малый угол поворота тела.
Поворот вокруг мгновенной оси
26
можно представит в
OP
виде суммы элементарных поворотов на углы
dt
вокруг соответствующих осей (рис.(4.3).
Рассмотрим кинематические характеристики этого движения.
1) Угловая скорость
ментарный поворот вокруг мгновенной оси вращения, называется угловой скоростью тела в данный момент времени или
мгновенной угловой скоростью тела. Мгновенную угловую
скорость можно изобразить соответствующим вектором
направленным вдоль оси ОР. Поскольку направление оси ОР
непрерывно изменяется, модуль и направление вектора
также изменяться и его конец А описывает в пространстве некоторую кривую AD, являющуюся годографом вектора
(рис. 4.2).
2) Угловое ускорение тела в данный момент времени или
мгновенное угловое ускорение
изменение вектора угловой скорости
, с которой тело совершает эле-
определяет в данном случае
и является вектором
d
.
a,d,d
,
Угловое ускорение
которой конец вектора
рис. 4.2). В частности, направление
ем касательной к кривой АD в соответствующей точке. Следовательно, при вращении тела относительно неподвижной точки, в отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной
оси, направления векторов
Векторы
характеристиками движения тела вокруг неподвижной точки.
Интегрирование этих векторов дает законы изменения угловой
скорости и угла поворота тела относительно мгновенной оси.
Так как при движении вокруг неподвижной точки тело
имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения
ОР, модуль скорости некоторой его точки М (рис. 4.4) будет в
и
4.2. Скорости и ускорения точек тела
можно определять как скорость, с
перемешается вдоль кривой AD (см.
совпадает с направлени-
и
различны.
являются основными кинематическими
27
этот момент определяться равенством
r
где
- угловая скорость тела, h - расстояние от точки М до
, (4.2)
hv
мгновенной оси вращения.
Вектор скорости
направлен перпендикулярно плоскости
v
МОР, проходящей через мгновенную ось
ОР и точку М, в сторону вращения тела.
Формулой (4.2) не всегда удобно
пользоваться для определения
, так как
v
за счет перемещения тела относительно
вектора
входящая в нее величина h зависит от времени. По этой же причине из
формулы (4.2) нельзя получить выражение
для ускорения точки М дифференцированием скорости этой точки, как это делается при постоянном h.
Рис. 4.4
Для определения вектора скорости
v
точки М используется формула
где
- вектор - радиус, проходящий из неподвижной точки О
, (4.3)
rv
в точку М
Вектор
определяется по его проекциям на оси коорди-
v
нат, например на оси Oxyz , жестко связанные с телом и движущиеся вместе с ним (см. рис. 4.4). Эти оси имеют то пре-
имущество, что в них координаты х, у, z точки М будут постоянными величинами, не зависящими от времени. Учитывая,
что xrx , yr
, zr,
y
, по известной формуле векторной
z
алгебры получим
kji
rv
.
zyx
zyx
Отсюда следуют выражения для проекций вектора скоро-
сти точки М на оси подвижной системы координат Oxyz :
28
dt
dtrd
,yzv
zyx
,zxv
. (4.4)
xzy
.xyv
yxz
Формулы (4.3) и (4.4) называют формулами Эйлера.
По определению
Так как
a
dt
d
=
, а
d
vd
=
dt
v
то
r
rd
dt
.
)v()r(a
Ускорение ra
корение va
Вектор
a
2
направлен перпендикулярно плоскости, проходя-
1
1
- осестремительным ускорением точки М.
щей через точку M и вектор
дуль равен hsinra
расстояние от точки М до вектора
тор же
менно к векторам
называется вращательным, а ус-
1
a
, перпендикулярный одновре-
2
. (4.5)
и
v
, будет направлен
. Его мо-
, где
h -
1
. Век-
вдоль МС (см. рис. 4.4 и 4.5). Модуль это-
2
, так как
Рис. 4.5
го вектора h90sinva
. Формулы (4.3) и (4.5) верны, ко-
hv
2
нечно, и при вращении тела вокруг неподвижной оси, когда
оба вектора
и
будут направлены вдоль оси вращения.
4.3. Производные от ортов подвиж-
ных осей
При решении задач механики в ряде
случаев, в частности при изучении сложного
движения (см. гл. 5), пользуются подвижны-
Рис. 4.6
ми осями Oxyz . Когда такие оси движутся
29
поступательно, их орты i, j,
dtrddt
dt
dt
dt
не изменяются. Если же сис-
k
тема координат Oxyz (рис. 4.6) вращается, кроме того, вокруг
какой - либо оси ОР, то орты осей системы станут переменны-
ми величинами, так как их направления будут зависеть от времени. В этом случае для определения производной от какого либо заданного проекциями на оси Oxyz вектора
kujuiuu
надо знать производные от ортов i
zyx
, j,
k
.
Орт i можно рассматривать как вектор - радиус- ir
точки
A
А, лежащей на оси Ох на расстоянии единицы длины от начала
О.
Тогда
id
Согласно (4.3), irv
A
v
.
A
AA
, где
- угловая ско-
рость поворота вокруг оси ОР. Аналогичные соотношения получаются и для производных от j и
jd
, j
i
id
. В результате получаем
k
kd
, k
. (4.6)
Выражения (4.6) называют формулами Пуассона.
4.4. Общий случай движения свободного твердого тела
Рассмотрим наиболее общий слу-
чай движения твердого тела, когда оно
является свободным и может произвольно перемещаться относительно
системы отсчета
zyOx (рис. 4.7). Для
111
составления уравнения, определяющего
закон рассматриваемого движения выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси
Рис. 4.7
Axyz , которые при движении тела бу-
дут перемещаться вместе с полюсом
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]