Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
при умножении и делении приближенных чисел нет смысла
сохранять в менее точных данных излишнее количество значащих цифр.
Для удобства все формулы для вычисления погрешностей арифметических действий сведем в общую таблицу 3.1.
Знак Θ в таблице обозначает одну из операций +, –, *, /.
3.6. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
Вычисления по формулам нередко предполагают нахождение значений элементарных функций. Используя для
Таблица 3.1
Формулы для вычисления погрешностей арифметических действий
Х Θ у Δ(Х Θ у) δ(Х Θ у)
х + у Δх + Δу
x
yx
+
y
x
y
δδ++
yx
x
δx + δy
y
y
δδ−+
yx
х – у Δх + Δу
х · у xΔх + yΔу δx + δy
х / у
yyxx Δ+Δ
2
y
x
yx
−
расчетов микрокалькулятор или персональный компьютер,
вычислитель в этом случае преобразует вычисляемое выражение так, чтобы оно содержало только те функции, которые
имеются на клавиатуре калькулятора или в списке стандартных функций компьютера. При этом становится актуальным
вопрос о методах подсчета погрешностей значений элементарных функций.
Пусть функция f (x) дифференцируема в некоторой окрест-
ности приближенного значения аргумента х, а Еx – абсолютная ошибка значения аргумента. Тогда абсолютная
141
ошибка значения функции E
=| f (x+Ex) – f (x)|. Поскольку на
f
практике ошибка Ех обычно существенно мала по сравнению со значением х, воспользуемся приближенным равенством Ef = |df | = | f '(x)|∙Ex.
Заменим Ех на Δх
Ef ≤ | f '(x)|∙Δx
Это означает, что можно принять
Δf = | f '(x)| ∙Δx (3.20)
Равенство (3.20) позволяет получить целую серию формул для оценки границ абсолютных погрешностей значений
элементарных функций. Пусть, например,
()fx x=
Тогда:
x
′
=Δ
)()(
Δ
xxx
=Δ⋅
x
⋅
2
Или аналогично:
Δ(sin x) = |(sin x)'|∙Δx = |cos x|∙Δx;
Δ(cos x)=|(cos x)'| ∙Δx = |–sin x|∙ Δx = |sin x| ∙Δx;
()
=Δ
()
=Δ
′
)(
′
)(
=Δ )(lg)(lg
1
xtgxtgx
xctgxctgx
x
1
x
x
Δ
′
(x>0);
xxx
=Δ⋅
x
x
Δ
x
=Δ⋅=Δ⋅
22
x
coscos
x
Δ
x
=Δ⋅−=Δ⋅
22
x
sinsin
Δ(ex) = |(e x)'|·Δx = e x·Δx и т.д.
Для вывода формулы погрешности функции хy воспользуемся представлением xy = e
ylg x
, а затем формулами по-
грешностей экспо ненты и произведения (предполагается,
что х > 0):
yx
⋅Δ
yyxyx y
xeeyxx xy
Δ =Δ = ⋅Δ ⋅ = ⋅ + ⋅Δ
() ( )
lg lg
⋅⋅
(ln) ln .
⎛⎞
⎜⎟
x
⎝⎠
142
Формула (3.20) позволяет сделать важные для практики
вычислений наблюдения. Если значение модуля производной функции f(x) в точке х меньше единицы, то Δf < Δх, т. е.
абсолютная ошибка значения функции оказывается меньше
абсолютной ошибки значения аргумента. Если же | f '(x)| >1,
то значение функции будет иметь ошибку, большую ошибки
аргумента. Этот факт имеет про
стое геометрическое толкование: | f '(x)| <1 – функция изменяется медленно, т.е. «кори-
дор» колебаний значений функции меньше соответствующего «коридора» изменений аргумента (рис. 3.1). Второй случай
при достаточно больших значениях | f '(x)| приводит к резкой
потере точности и потому должен особо учитываться в практике вычислений.
Рис. 3.1. График функции | f ' (x)|: а) при | f ' (x)| < 1; б) при | f ' (x)| >1
Формулы для вычисления границ абсолютных погрешностей значений некоторых функций одной переменной
приведены в табл. 3.2.
Во всех случаях предполагается, что значения х принадлежат области допустимых значений аргумента. Получаемые в результате вычислений значения границ погрешностей округляются для последующего использования до
одной – двух значимых цифр (по избытку).
Пример. С помощью микрокалькулятора получаем
lg1,9 = 0,641854. Если 1,9 – точное значение, то в соответ-
ствии с точностью вычислительного прибора полученный
результат имеет точность ±10–6. Если же 1,9 – приближенное значение, у которого цифра 9 верна, например, в строгом
143
Таблица 3.2
Формулы для вычисления границ абсолютных погрешностей значений
некоторых функций одной переменной
f(x) Δf(x) δf(x)
x
1
x
sin x
cos x
tg x
ñtg x
ln x
lg x
x
e
x
10
arcsin x
arccos x
arctg x
y
x
(2 )xxΔ⋅
xxΔ
2
|c
os |xxΔ |ctg|xxxδ
|sin |xxΔ
Δ
2
cosxx
Δ
2
sinxx
xxΔ
xxΔ
ln10
⋅
x
exΔ
10 ln10xxΔ
2
1xxΔ−
2
1xxΔ−
2
1xxΔ+
x
Δ
y
xy xy
(| | | ln | )
+⋅Δ
x
½δx
δx
|tg|xxxδ
2| |
x
⋅
⋅δ
sin2
x
2| |
x
⋅
⋅δ
sin2
x
δ
|ln |xx
xxδ
|lg ||ln10|
||xxδ
||lnxxδ
||
xx
⋅δ
|arcsin | 1
xx
⋅−
||
xx
⋅δ
| arccos | 1
xx
⋅−
||
xx
⋅δ
|arctg | 1
xx
⋅+
|ln | | |yx
yyxδ+ δ
x
x
2
2
2
144
смысле, то граница абсолютной погрешности значения аргумента х = 0,05, а погрешность полученного значения лога-
рифма в соответствии с формулой оценки границы абсолютной погрешности будет:
x
(lg ) 0,05/ 0,9 0,03.
Δ== <
Δ
x
x
Отсюда следует, что во втором случае полученное на
микро калькуляторе значение lg1,9 = 0,641854 имеет лишь
одну верную значащую цифру. Округляя результат с одной
запасной цифрой, получим 0,64.
В тех случаях, когда производная функции вблизи приближенного значения аргумента имеет большие по модулю
значения, произойдет большая потеря точности (так называемый случай катастрофической потери точности).
Пример. Пусть х = 0,03, причем Δх = 0,005, т.е. цифра 3
в числе х верна в строгом смысле. Нужно вычислить ctg x.
С помощью микрокалькулятора получаем ctg 0,03 = 33,323 336.
Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность:
ctgx
x
)(
=Δ
2
sin
x
6,50009,0/0005,0
≈≈
Δ
откуда следует, что в полученном значении 33,323 336 ни
одну цифру нельзя считать верной (в строгом смысле).
Прокомментируем полученный результат. Заданная точность исходного значения аргумента определяет «коридор»
его возможных значений: 0,025<х<0,035. Найдем на микрокалькуляторе значение ctg x для граничных значений х из
этого «коридора»:
ctg 0,025 = 39,992001;
ctg 0,035 = 28,560004.
Как видно, диапазон изменения ctg x составляет более 10
единиц, что подтверждает отсутствие смысла в полученном
выше результате вычислений.
В подобных случаях надо использовать все имеющиеся
для этого возможности и увеличить число верных знаков
145
в исходном данном (например, использовать более точный
измерительный прибор, если исходное данное получается
в результате измерений).
Пусть в условиях рассмотренного выше примера
x = 0,0295; Δх = 0,00005. Тогда ctg x = ctg 0,0295 = 33,889114,
Δ(ctg x)<0,000 05/0,0008<0,063, т.е в полученном результате
в строгом смысле верны 2 цифры. Округляя его с одной запасной цифрой, получим 33,9.
Из формулы (3.20) легко по
лучается оценка границы от-
носительной погрешности аргумента:
'( ) '( ) '( )
fx x fx fx
x
Δ
fxxx
δ= = = ⋅ = ⋅ ⋅δ
() () () ()
fx fx fx fx
⋅Δ
'( )
fx
fxx
δ= ⋅ ⋅δ
()
fx
(3.21)
,
,
т.е.
'( )
fx
fx
δ= ⋅Δ
()
fx
(3.22)
.
Так, пользуясь формулами (3.21) и (3.22), можно, например, получить:
1
x
⎞
⎛
⎟
⎜
⎝
()
sin xctgxxctgxxxx
yyx
x e yx yx
δ=δ =⋅⋅δ⋅=
() ( )
cos
x Δ⋅=⋅⋅=⋅⋅= δδδ
sin
()
e
δ= =⋅δ
()
2
x
x
⎠
x
x
x
e
x
x
e
xx
ln
xx
ln
⋅
⋅δ
ln ln
xx x
⋅
ln ln
()
x
Δ
;
xxx
==⋅⋅=
δδδ
x
;
;
xxxxx
Δ=⋅=⋅⋅= δδδ
1
ln ln ln ln
yxy x xyy x
=⋅ ⋅⎡δ+δ ⎤= ⋅Δ+⋅Δ =
ln .
yxyyx
=⋅ ⋅δ+⋅δ
() ()
⎣⎦
и т.д.
В зависимости от способа задания исходных данных
(с абсолютными или относительными погрешностями) вы-
146
числитель может использовать для подсчета границ относительных погрешностей тот или иной вариант формулы. Некоторые из этих формул приведены в табл. 3.2.
Пример. Значение аргумента х=0,63 имеет относитель-
ную ошибку около 0,1%. Оценить величину относительной
ошибки sin 0,63.
Используя соответствующую формулу из табл. 3.2 с по-
мощью микрокалькулятора, получим:
δ(sin 0,63)=| 0,63∙ctg 0,63|∙ 0,0010 ≈ 0,000864 ≈ 0,08%.
Используя величину найденной относительной погрешности, можно оценить количество верных в строгом смысле
значащих цифр в искомом значении sin 0,63. Поскольку имеет место 0,0000864 <10–3, то (см. формулу 3.10) можно сделать вывод, что в числе sin 0,63 = 0,589145 по крайней мере
две цифры после запятой верны в строгом смысле.
Формулу оценки погрешности значения функции можно
получить для общего случая.
Пусть f – дифференцируемая функция п переменных Х, X1, X2, X3, ..., Xn – точные значения; x1, x2, x3, хп – приближенные зна чения переменных, a Exi(i=1, 2, ..., n) – их
абсолютные погрешности. Тогда абсолютная погрешность
значения функции f в точке (х
ние Ef= | f(X1, X2, X3, …, Xn ) – f (х
Считая что погрешности E
лютных величин значений х
…, хп) – это ее прираще-
1 х2 х3
,…, xn)|.
1 х2 х3
значительно меньше абсо-
xi
1 х2 х3 ... xп
, заменим приращение
функции Еf ее дифференциалом:
nn
Edfxxxx E E
( , , ... )
≈=⋅≤⋅
f n xi xi
123
df df
∑∑
dx dx
ii
==
11
ii
Это неравенство усиливается после замены абсолютных погрешностей Exi границами абсолютных погрешностей Δxi:
n
Ex
df
≤⋅Δ
∑
fi
dx
1
i
=
i
Отсюда следует, что можно принять
147
n
df
fx
Δ= ⋅Δ
∑
i
dx
1
=
i
i
Формула (3.23) имеет общий характер. Из нее можно получить не только все формулы для вычисления границ абсолютных погрешностей элементарных функций (см. табл. 3.2),
но и формулы для границ абсолютных погрешностей арифметических действий. Пусть для примера f (x
df df
fxxxxxx
Δ = ⋅Δ + ⋅Δ = ⋅Δ + ⋅Δ
122112
dx dx
, x2)=x1·x2. Тогда
1
что в точности совпадает с формулой (3.18).
Получим общую формулу для относительной погрешности функции:
fdf df
fxx
δ= = ⋅ ⋅Δ = ⋅Δ
Δ
( , ,..., )
fxx x dx f dx
12 1 1
nn
∑∑
==
ii
n
1ln
11
11
(3.24)
Для выражения δf через относительные погрешности
аргументов формулу (3.24) можно переписать в виде:
n
fx dx
δ= ⋅ ⋅
∑
1
=
i
ln
df
ii
dx
(3.25)
i
Предположив, что в формуле (3.23) все частные дифференциалы одинаково влияют на образование погрешности
Af, получим:
Δ=⋅ ⋅Δ
dx
,
i
i
df
fn x
Откуда
Δ
Δ= =
xin
f
df
⋅
n
dx
( 1,2,..., )
i
i
(3.26)
Формула (3.26) позволяет решать так называемую обратную задачу теории погрешностей: по заданной точно-
сти значения функции находить необходимые для достижения этой точности допустимые величины погрешностей
значений аргументов.
148
Пример. Пусть х близко к значению
Установить, какова должна быть точность x, чтобы sin х
π
= 0,7853981...
4
мог быть получен на микрокалькуляторе с максимальной
(машинной) точностью ±106.
Для f(x)=sin x формуле (3.26) имеем (n=1)
fxΔ
cos x
,
=Δ
т.е.
6
−
10
x
Δ= ≈ ⋅
cos
π
4
0,14 10
Отсюда следует, что для получения максимальной точности значений синуса при х, близких к
мента должны иметь не менее 5 верных (в строгом смысле)
5
−
π
, значения аргу-
4
знаков после запятой.
3.7. СПОСОБЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Наиболее распространенный вид вычислений – это вычисления по готовой формуле. В персональном компьютере
вычисления при любой громоздкости формулы обеспечивается, как правило, одной командой (оператором). Если при
этом программно не предусматривается контроль над вычислительными погрешностями, вычислитель анализирует
результат в конце счета.
Иногда условия вычислительной задачи заставляют вести
по операционный учет движения вычислительной погрешности. До появления калькуляторов и персональных компьютеров пооперационной подход к оценке точности вычислений по необходимости рассматривался еще и как способ
рационализации вычислений, ибо позволял на каждом шагу
избавляться от сомнительных цифр, способных лишь загромождать и, что было особенно неприятно, удлинять процесс
ручных вычислений. Однако то, ради чего преимущественно
использовался пооперационный подход – исключение сомнительных цифр из последующих вычислений, при широком распространении быстродействующих вычислительных
149
устройств с памятью утратило свой изначальный смысл, т.к.
при умелом использовании дополнительных регистров памяти и других возможностей, представляемых современной
вычислительной техникой, нет необходимости выписывать
и заново вводить промежуточные результаты даже в случаях
вычислений по громоздким формулам. Не говоря уже о том,
что для персональных компьютеров этих проблем вовсе не
с
уществует. И все же возможны ситуации (или потому что
этого требуют особенности вычислительной задачи, или это
связано с желанием самого вычислителя), когда пооперационный учет движения ошибок необходим. Рассматривая
в дальнейшем приемы вычислений, мы будем учитывать как
пооперационную, так и итоговую методику оценки точности [6].
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]