Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 294 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Обычно при записи формул физических уравнений опускает ся подобное обозначение коэффициента, содержащее, по суще ству, определение производной единицы, так что, например, вто рой закон Ньютона приобретает вид:

F = ma (1.7в)

Следует, однако, иметь в виду, что в действительности в каж дой такой формуле коэффициент пропорциональности «незримо присутствует. Забвение этого обстоятельства нередко приводит к недоразумениям и серьезным ошибкам.

Способ установления производной единицы отражается в ее наименовании и обозначении, которое строится путем группиро вания по обычным алгебраическим правилам единиц, на которых основано ее определение. Так образуются единицы: площади – квадратный метр (м2), ускорение – метр на секунду в квадрате, или метр в секунду за секунду (м/с2) и т.д.

Исключение составляют единицы, которым присвоены собственные наименования – ньютон, паскаль и т.д. Наименования и обозначения этих единиц, так же, как наименования и обозначения основных единиц, могут входить в наименование и обозначение производной единицы. В качестве примера приведем наименование и обозначение единицы момента силы: нью тон-метр (Н·м).

1.5. ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешность измерений. Результаты измерений той или

иной величины дают лишь приближенное ее значение. Раз- ность между полученным при измерении значением и действительным значением измеряемой величины называется погрешностью результата измерения. Иногда для характеристики результата измерения пользуются термином «точ- ность измерения», под которым понимается степень прибли-

жения результата измерения к действительному значению измеряемой величины.

Погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины, называется абсолютной погрешностью, а выраженная

в процентах (или долях) от действительного значения – относительной погрешностью. Погрешности считаются по-

ложительными, если результат измерения превышает действительное значение. В противном случае погрешности являются отрицательными.

Причины возникновения погрешностей и их характер весьма различны. Погрешности возникают вследствие несовершенства измерительных приборов; из-за непостоянства условий, в которых происходит измерение; в ре ошибок экспериментатора и т.д.

Для получения хороших результатов измерения, естественно, следует стремиться к уменьшению отдельных погрешностей. Все погрешности могут быть разделены на три класса:

– систематические – постоянные или изменяющиеся по определенному закону;

– случайные, закономерность которых неизвестна;

– промахи (например, неправильный отсчет по шкале

прибора, пропуски в наб

Результаты измерения, содержащие промахи, должны быть отброшены как не заслуживающие доверия.

Систематические погрешности обуславливаются допущениями, принятыми при выводе формул, связывающих измеряемую величину с другими величинами, погрешностью прибора, влиянием внешних факторов (температура, давление, магнитные и электрические поля и т.д.) на показания прибора и пр. Эт ной постановке опыта могут быть учтены и даже устранены на основе детального изучения свойств измерительного устройства, а также путем параллельных опытов, проводимых другими методами и приборами.

Для учета и исключения систематических погрешностей необходимо уже в самом процессе измерения располагать возможно более конкретными данными о на ных видов погрешностей и причинах их возникновения.

Различаются следующие систематические погрешности:

людениях и т.п.) [7].

ого рода погрешности при тщатель-

зультате

личии отдель-

– инструментальные погрешности, являющиеся след- ствием конструктивных недостатков измерительной аппаратуры, ее неисправности или неправильной градуировки;

– погрешности установки, возникающие из-за непра- вильного рас положения измерительной аппаратуры, например присутствия вблизи электроизмерительных приборов проводов, несущих сильные токи, магнитное поле которых может исказить показания приборов, и т.п.;

– личные погрешности, вызываемые индивидуальными о

собенностями наблюдателя;

– погрешности метода, или теоретические погрешности, являющиеся следствием недостаточной теоретической

обоснованности метода измерения или применения приближенных формул.

По характеру проявления систематические погрешности разделяются на постоянные, т.е. погрешности, сохраняющие в процессе измерений свой знак и величину, и переменные погрешности, изменяющиеся по величине, а иногда и по знаку. Примером переменной систематической погрешности может служить погрешность, обусловленная изменением напряжения вспомогательного источника питания, если результат измерения зависит от этого напряжения [19].

Систематические погрешности могут быть исключены устранением самих источников погрешностей, например правильным расположением измерительной аппаратуры, стабилизацией напряжения вспомогательного источника питания и т.д. Систематические погрешности можно устранить и введением поправок, устанавливаемых на основании предварительного изучения погрешностей путем поверки мер и приборов, используемых при измерении, введением поправочных формул и кривых, выражающих за висимость показаний приборов от внешних условий (например, температуры, влажности) и т.д.

Систематические погрешности могут быть также исключены путем нескольких проведенных определенным образом измерений. Одним из таких приемов является так называемый способ замещения, который заключается в том, что

сначала измеряется искомая величина, а затем вместо нее включается регулируемая образцовая величина того же рода. Значение последней подбирается таким, чтобы получить показание (прибора, измерительной установки), равное показанию при включенной измеряемой величине, и значение измеряемой величины принимается равным подо бранному значению образцовой величины. Очевидно, что при этом исключается влияние на ре

зультат измерения всех системати-

ческих постоянных погрешностей.

Возможны и другие приемы исключения систематических по грешностей. Применение того или иного способа устранения сис тематических погрешностей зависит от измеряемой величины, требуемой точности, условий проведения эксперимента, наличия поправочных формул и других причин.

Случайными погрешностями называются неопреде- ленные по своей величине и природе погрешности, в появлении которых не наблюдается какой-либо закономерности.

Случайные погрешности обнаруживаются при многократном измерении искомой величины, т.к. результаты отдельных измерений отличаются друг от друга даже в тех случаях, когда повторные измерения проводятся одинаково тщательно и, казалось бы, при одних и тех же условиях. Другими словами, случайные погрешности неизбежны, и поэтому действительное значение измеряемой величины находится с некоторым приближением [6].

Случайные погрешности нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат измерения может быть теоретически учтено путем применения при обработке результатов измерений теории вероятностей и методов статистики.

Нормальное (классическое) распределение случайных погрешностей (закон Гаусса) подчиняется уравнению:

=⋅

σ⋅ π

(1.8)

где у – вероятность получения погрешностей 6 (частота появления случайных погрешностей 8); σ – средняя квадратическая погрешность ряда измерений; е – основание натурального логарифма; Δ – Величина погрешности – текущая координата.

Характер кривых, описываемых уравнением (1.8) для

двух значений σ, показан на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Закон Гаусса для двух значений σ

Из уравнения (1.8) и рис. 1.2 следует, что погрешности разных знаков встречаются одинаково часто и малые погрешности встречаются чаще, чем большие. Однако это справедливо лишь при большом числе измерений.

Средняя квадратическая погрешность а определяется формулой:

∑

−

Δ++Δ+Δ

...

(1.9)

−

где Δi – случайная погрешность, т.е. разность между измеренным и действительным значениями измеряемой величины при условии, что систематические погрешности исключены; n – число измерений.

Из уравнения (1.9) следует, что средняя квадратическая погрешность σ может вполне определенно и однозначно характеризовать точность данного ряда измерений, т.е. степень приближения измеряемой величины к действительному значению. Чем меньше σ, тем чаще в данном ряде измерений

встречаются малые погрешности, т.е. тем точнее выполнены измерения (рис. 1.2).

При практических измерениях действительное значение измеряемой величины не известно и поэтому определить значение σ по формуле (1.9) не представляется возможным.

Взамен действительного значения измеряемой величины принимается наиболее достоверное ее значение. В теории вероятностей доказывается, что наиболее достоверным значением в ряду из

мерений одинакового достоинства является

среднее арифметическое, определяемое как

xxx

+++

...

(1.10)

где х1, х2, ..., хn – результаты отдельных измерений; n – число измерений.

Отклонения между каждым из отдельных измерений и средним арифметическим, т.е. их разности: р1= х1– т;

p2=х2 – т; рn= хn–т, называются остаточными погрешно- стями. Они могут иметь как положительный, так и отрица-

тельный знак.

Одним из свойств арифметического среднего является то, что алгебраическая сумма остаточных погрешностей равна нулю, т.е. ∑pj = 0; этим следует пользоваться для контроля правильности подсчета m, а также остаточных погрешностей. При неограниченно большом числе измерений m стремится к истинному значению измеряемой величины, а остаточные погрешности – к равенству с соответствующими случайными погрешностями.

Согласно теории вероятностей средняя квадратическая погрешность σ ряда измерений может быть выражена через остаточные погрешности так:

∑

−

...

+++

PPP

−

(1.11)

−

Кроме средней квадратической погрешности для оценки точности ряда измерений принимается еще так называемая вероятная погрешность ряда измерений (или срединная по-

грешность). Вероятной погрешностью ряда измерений называется такая погрешность, относительно которой при повторных измерениях какой-либо величины имеются случайные погрешнос ти, одна половина которых по абсолютной величине меньше вероятной погрешности, а другая – больше ее. Согласно теории вероятностей вероятная погрешность ряда измерений может быть найдена из выражения:

∑

≈≈

(1.12)

−

Наряду с этими двумя погрешностями σ и ε теории случайных погрешностей рассматривается еще средняя арифметическая погрешность ряда измерений, определяемая формулой:

≈≈

σα

−

≈

∑∑

()

−⋅

(1.13)

Формула (1.13) показывает, что средняя арифметическая погрешность может быть вычислена по результатам измерений без возведения в квадрат остаточных погрешностей. По этой причине практически значительно удобнее вычислить среднюю арифметическую погрешность и по ней найти среднюю квадратическую (σ = 1,25 α).

Формулы (1.11), (1.12), (1.13) позволяют оценить точность ряда повторных измерений какой-либо величины.

Большой интерес пре

дставляет оценка точности результата измерений, который обычно записывается в следующем виде:

X = m ± φ (1.14)

где Х – измеряемая величина; φ – погрешность результата измерений – одна из трех величин: вероятная погрешность результата E, средняя квадратическая погрешность результата

S или средняя арифметическая погрешность результата М.

Для определения этих величин теория вероятности дает

сле дующие формулы:

=≈⋅ ≈⋅

211 3113

nnn

∑∑

⋅−

()

(1.15)

−

≈=

−⋅

∑∑

⋅≈

53)1(

(1.16)

−

а для средней арифметической погрешности результата

⋅≈=

)1(5

−⋅

∑∑

≈

(1.17)

−

Из этих выражений следует, что точность результата увеличивается по мере роста числа отдельных измерений, но значительно меньше этого роста. Например, для того чтобы в числе, указывающем результаты, получить для измеряемой величины достоверный лишний знак, надо увеличить число измерений в 100 раз.

Далее теория вероятностей показывает, что вероятность превышения всех возможных случайных погрешностей данного ряда измерений величины 3σ и, соответственно, 3S, а для вероятных погрешностей – 4,5ε и 4,5E весьма мала, а именно: из 370 случайных погрешностей только одна погрешность оказывается больше 3δ. Поэтому если в главном ряду остаточных погрешностей Р будут обнаружены отдельные погрешности, по абсолютной величине превышающие 3σ, то их не следует учитывать, так как они, очевидно, обусловлены каким-либо промахом во время измерения. Пример обработки результатов измерения [6, 25].

В процессе десятикратного измерения бицепса одного спортс мена получен ряд его значений, по ним подсчитаны среднее арифметическое Lср, остаточные погрешности и их квадраты. Эти данные сведены в табл. 1.2.

Чтобы оценить точность измерения, подсчитаем среднюю квадратическую погрешность ряда, т.е.:

Таблица 1.2

L(см) Р P

40,62 –0,16 0,0256 40,82 0,04 0,0016 40,78 0 0,0000 40,70 –0,08 0,0064 40,82 0,04 0,0016 40,78 0 0,0000 40,84 0,06 0,0036 40,78 0 0,0000 40,85 0,07 0,0049 40,81 0,03 0,0009

ср

= 40,78

= –0,24+0,24=0 Σ

∑

σ= = =

−

0,0466

0,070

(см),

=0,0446

вероятную погрешность ряда:

ε= ⋅σ=

0,047

(см)

и, наконец, среднюю арифметическую погрешность рада:

= 0,056

α⋅σ=

(см)

Для оценки точности результата воспользуемся выраже-

нием для вероятной погрешности, т.е.

= 0,015E

(см)

Отсюда искомым значением будет

L = 40,780 ± 0,015 (см)

и в худшем случае

L = 40,780±4,5E = 40,780±0,07 (см)

Полученные данные надо понимать следующим образом: если принять за значение измеряемой величины среднее арифметическое L=40,78 (см), то мы допускаем одинаковую возможность появления в нем погрешности как большей,

так и меньшей по абсолютному значению E = 0,15(см), но во всяком случае едва ли превышающий 4,5E = ±0,07(см).

Если результат должен быть написан без указания погрешности, то в этом случае рекомендуется округлить числовые значения так, чтобы в нем остались достоверные цифры. В нашем примере возможная наибольшая погрешность результата равна 0,07 (см), по написать L'=40,8 (см), при этом возможная наибольшая погрешность результата не превосходит единицы последнего оставленного десятичного знака.

Единство измерений. Под единством измерений понимается такое их состояние, при котором обеспечивается достоверность измерений, а значения измеряемых величин выражаются в узаконенных единицах.

В 2008 году вступил в силу обновленный закон РФ «Об обеспечении единства измерений». До этого правовые нормы устанавливались постановлениями правительства. По сравнению с положениями этих постановлений Закон установил ряд нововведений – от терминологии до лицензирования метрологической деятельности в стране. Четко разделены функции государственного метрологического контроля и надзора; пересмотрены правила калибровки, введена добровольная сертификация средств измерений и др.

Метрология относится к такой сфере деятельности, в которой основные положения обязательно должны быть закреплены именно законом, принимаемым высшим законодательным органом страны. Юридические нормы, непосредственно направленные на защиту интересов и прав потребителей, в правовом государстве регулируются стабильными законодательными актами, и поэтому положения по метрологии, действовавшие до введения закона «Об обеспечении единства измерений применяют лишь в части, не противоречащей ему» [5].

Этот закон устанавливает и законодательно закрепляет основные понятия, принимаемые для целей Закона: единство измерений, средство измерений, эталон единицы величины, государственный эталон единицы величины, нор-

этому можно

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 294 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]