Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
Число Δх в этом случае называют границей абсолютной
погреш ности (или предельной абсолютной погрешностью)
приближения х.
Пример. Возьмем число π = 3,141 592 653 88... Если же
вызвать число π на индикатор 8-разрядного микрокалькулятора, получим приближение этого числа π =3,141 592 6.
Выразим абсолютную погрешность значения π':
Еπ= π – π' = 0,00000005358...
Получили бесконечную дробь, непригодную для практических расчетов. Очевидно, что Eπ'<0,00000006 = Δπ',
следовательно, число π' = 0,6 ∙10–7 можно считать границей
абсолютной погрешности приближения, используемого микрокалькулятором вместо числа тс.
Неравенство (3.2) позволяет установить приближения
к точному значению Х по недостатку и по избытку.
x – Δx ≤ X ≤ x + Δx (3.3)
которые называют также соответственно нижней (НГ ) и верх-
ней границей (ВГ ) приближения х
НГх = х – Δх; ВГх = х + Δх (3.4)
Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется
как отношение ошибки Еx к модулю значения X (когда оно
неизвестно – к модулю приближения х). Границей относительной погрешности δх приближенного числа называется
отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:
Δ
δ=
(3.5)
||xx
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
Пример. Вычислим границу относительной погрешно-
сти приближения к числу е (основание натурального логарифма), используемого микрокалькулятором МК-61.
131
Значение е, записанное 8 значащими цифрами, равно
2,718 281 8... Вычислив еx при х = 1, получим приближение,
выраженное 7 значащими цифрами: е'=2,718 288 1. Это означает, что граница абсолютной погрешности
Тогда:
Δе' = 0,9∙10
0,9 15
⋅
′
e
δ= ⋅
2,718281
6
−
< 0,4 10
–6
-6
т.е. можно принять δe' = 0,00004%. Это чрезвычайно высокая
точность, если учесть, что для ординарных технических расчетов считается приемлемым уровень точности от 0,1 до 5%.
Цифра числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра. Значащими цифрами в записи числа
называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце выражения верных знаков.
Запись приближенного числа только верными знаками называют его правильной записью.
Пример. Приближенное число х = 308,7060 дано в пра-
вильной записи. Отсюда следует, что в числе 7 значащих
цифр, а его абсолютная погрешность не превышает единицы
4-го разряда после запятой, т.е. за границу абсолютной погрешности можно принять Δх = 0,0001.
Исключение из последующих вычислений неверных
цифр производится путем округления приближенных чисел.
Округление – это замена числа его значением с меньшим
количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х –
данное число, а х1 – результат его округления. Погрешность
округления определяется как модуль разности прежнего
и нового значений числа:
Δ
В отдельных случаях вместо Δ
вать ее верхнюю оценку.
= |x – x1|
окр
132
приходится использо-
окр
Пример. Выполним на микрокалькуляторе действие 5:6.
На индикаторе высветится число 0,8333333. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби
0,8(3) до количества разрядов, вмещающихся в регистре
микрокалькулятора. При этом можно принять Δ
= 0,4∙10–7.
окр
Рассмотренный пример «принудительного» округления называют округлением методом отбрасывания. Очевидно, что
сам по себе метод отбрасывания оставляет все сохраняемые цифры округленного числа верными, т.к. то, что отбрасывается, не может быть больше единицы последнего сохраняемого разряда.
Если вычисления ведутся в пределах разрядной сетки
микро калькулятора, т.е. с т
очностью, меньшей, чем машинная точность микрокалькулятора, целесообразнее пользоваться способом симметричного округления, который приводит к меньшей величине ошибки округления, чем способ
отбрасывания. Симметричное округление выполняется по
правилам:
Если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то
со храняемые десятичные знаки остаются без изменения.
Если первая слева из отбрасываемых цифр больше или
равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на
единицу.
Из правил симметричного округления следует, что его
погрешность не превышает половины единицы последнего
сохраняемого разряда. Это обстоятельство позволяет вести
счете точностью большей, чем единица последнего сохраняемого разряда. По этой причине наряду с понятием «верная цифра», соответствующим методике округления путем
отбрасывания, используется понятие «цифра, верная в строгом смысле», применяемое в вычислениях с симметричным
округлением.
Цифра числа, называемая верной в строгом смысле, если
абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Пример. Вычислим на микрокалькуляторе
561=x
Получим х = 23,685438. Округлим результат до десятых
.
133
методом симметричного округления: х = 23,7. Очевидно, что
можно принять Δx
= 0,02. Оказалось таким образом, что все
1
цифры округленного числа x1 верны в строгом смысле.
Абсолютная погрешность числа х1 получаемого в результате округления приближенного значения х, складыва ется из абсолютной погрешности первоначального
числа х и погрешности округления. Действительно, из неравенства
|X–x1| ≤ |X–x| + |X–x1| ≤ Δx + Δ
окр
,
следует, что если в результате округления приближенного
числа х получено значение х1, можно считать сумму границы абсолютной погрешности числах и погрешности округления.
Пример. Пусть в приближенном значении числа а = 16,395
все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых:
а
= 16,40. Погрешность округления Δ
1
= 0,005. Для нахож-
окр.
дения полной погрешности исходного значения а, которая
находится из условия, что все цифры в значении а верны,
Δа = 0,001. Таким образом, Δа = Δа + Δ
= 0,001+ 0,005 = 0,006.
окр
Отсюда следует, между прочим, что в значении а1= 16,40,
цифра 0 неверна в строгом смысле.
3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ВЕРНЫХ
ЦИФР ПО ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ
ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА
Количество верных значащих цифр в приближенном
числе и величина относительной погрешности этого числа
взаимосвязаны. Эта связь со всей очевидностью вытекает
уже из того, что по величине δx, учитывая формулу (3.5),
можно вычислять абсолютную погрешность
Δх = |х| – δх (3.7)
величина которой, как следует из определения верных значащих цифр, явно влияет на их количество в приближенном
числе. Впрочем, иногда на практике удобнее пользоваться правилом, устанавливающим взаимосвязь количества
134
верных цифр непосредственно с величиной относительной погрешности. Рассмотрим этот вопрос применительно
к приближенному числу х, записанному в форме числа с плавающей запятой:
x = М∙10p (3.8)
в предположении, что мантисса М удовлетворяет условию
0,1<M<1 (число х в этом случае называют нормализованным).
У нормализованного числа первый разряд мантиссы после за пятой всегда отличен от нуля. Очевидно, что хранение
в машине чисел в нормализованном виде позволяет сохранить больше значащих цифр мантиссы. Заметим также, что
для нормализованного числах вида (3.8) справедливо
|x| <10p (3.9)
Итак, имеется приближенное число х и его относительная погрешность δx. Нужно установить количество верных
в строгом смысле значащих цифр в числе х.
Для каждого известного значения х можно подобрать
такое наибольшее натуральное n, чтобы имело место
δx ≤10–n (3.10)
тогда ΔX ≤ | x|∙10
ΔX < 0,5∙10
–n
<10p∙10–n=10
p–n
< 0,5∙10
p–(n–1)
, т.е.
p–(n–1)
(3.10)
Сопоставляя теперь (3.7) и (3.11) и используя определение цифры, верной в строгом смысле, можно сделать вывод,
что в мантиссе приближенного числа х верны по крайней
мере п –1 цифр после запятой (а поскольку х нормализовано, то все эти цифры значащие). Таким образом, для того
чтобы по заданной величине относительной погрешности δx найти количество верных значащих цифр в числе х,
достаточно подобрать наибольшее натуральное n так, чтобы
имело место неравенство δx ≤ 10–n, а потом полученное значение уменьшить на единицу.
Пример. Пусть х = 897, δx = 0,009.
135
Очевидно, что 0,009 ≤ 10
–2
. Это означает, что число х име-
ет по крайней мере одну верную в строгом смысле цифру (это
первая слева цифра 8). Полученный результат легко подтвердить, используя определение цифры, верной в строгом смысле. На микрокалькуляторе вычислим Δх = 897∙0,009 = 8,073,
откуда следует, что в числе 897 цифра 8 действительно верна
в строгом смысле.
Полученное правило в о
тдельных случаях проявляет завышенную «осторожность» – при выполнении условия (3.10)
в числе х могут оказаться верными все п цифр. Зависит это
от величины первых значащих цифр числа х.
Пример. Пусть х = 286, δx = 0,007 ≤10–2 (т.е. n = 2). Со-
гласно пра вилу в числе 286 лишь одна верная в строгом
смысле цифра (n–1 = 2–1=1). Вычислим Δх = 286∙0,007 < 2,1.
Как показывает величина пре дельной абсолютной погрешности, в числе верны в строгом смысле две цифры: 2 и 8.
В отдельных случаях, когда первая значащая цифра в относительной погрешности δx меньше 5, вместо условия
(3.10) удается установить более сильное условие:
1
δ≤ ⋅
nx−
(3.12)
10
2
Легко показать, что в этом случае число х имеет по крайней мере п верных в строгом смысле цифр. Действительно,
с учетом (3.7), (3.9) и (3.12) имеем:
т.е. Δ x <
1
2
∙10
Δx =
p–n
1
∙|x|∙10–n <
2
1
∙10 p∙10
2
1
–n
=
p–n
∙10
2
а это означает, что мантисса М нормализованного числах
(см. 3.8) имеет по меньшей мере п верных в строгом смысле цифр.
Пример. Пусть х = 94,27, δx = 0,0002.
Имеем 0,0002 < 0,0005 = 0,5∙10–3, т.е. в числе х верны в строгом смысле 3 цифры. Действительно, в данном случае
Δ х = 94,27∙ 0,0002 = 0,19, что подтверждает полученный ре-
зультат.
136
3.5. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ДЕЙСТВИЙ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ
Большое практическое значение имеет задача, возникающая в ходе приближенных вычислений и состоящая в следующем: как влияют на точность конечных результатов
вычислений по формулам погрешности исходных данных?
Этот вопрос мы рассмотрим последовательно для четырех
основных арифметических действий и элементарных функций [5].
Сложение и вычитание
Пусть S=X+Y – сумма точных чисел, среди которых могут
быть ка
сумма их приближений. Составим разность:
или, переходя к модулям:
к положительные, так и отрицательные, a s = x + y –
S – s = (X– x)+(Y– y),
|S–s| ≤ |X–x| – |Y–y|, т.е.
ES ≤ EX+EY или тем более
ES ≤ Δх+Δу.
Отсюда следует, что можно принять
Δs = Δх + Δу (3.13)
т.е. границей абсолютной погрешности алгебраической суммы можно считать сумму границ абсолютных погрешностей
слагаемых.
Пример. Даны приближенные значения х = 854,2
и у = 17,2138, у которых все цифры являются верными в ши-
роком смысле. Найдем на микрокалькуляторе их сумму:
S = 854,2 + 17,2138 = 871,4138.
Для оценки точности результата вычислим сумму погрешностей слагаемых:
–1
10
+ 10–4 = 0,1001< 0,11= Δs
137
Величина ошибки показывает, что в результате уже первый знак после запятой является сомнительным. Стоило ли
терять время на учет в вычислениях всех знаков после запятой у второго слагаемого?
Из рассмотренного примера следует поучительный вывод: при вычислении сумм и разностей чисел с сильно различающимися абсолютными ошибками с целью эк
ономии
времени целесообразно «уравнивать» точность исходных
данных путем округления более точных до точности менее
точных (с одной-двумя запасными цифрами). Так, в рассмотренном выше примере имело смысл перед выполнением
действия сложения округлить у до сотых – 17,21.
Руководствуясь только что указанным правилом, следует
иметь в виду, что при последовательном вычитании и сложении нескольких чисел выгоднее производить действия над
числами в порядке возрастания их абсолютных величин.
Относительные погрешности суммы и разности можно
вычислить через абсолютные, пользуясь формулой (3.5), но
можно использовать и специальные формулы. Получим их:
()|| ||
xy x x y y
()
xy
δ+ = = ⋅ + ⋅ =
Δ+Δ Δ Δ
||||||||||
xy xy x xy y
++ +
|| ||
xy
=⋅δ+⋅δ
||||
xy xy
xy
++
(3.14)
()|| ||
xy x x y y
()
xy
δ− = = ⋅ + ⋅ =
Δ+Δ Δ Δ
||||||||||
xy xy x xy y
−− −
|| ||
xy
=⋅δ+⋅δ
||||
xy xy
xy
−−
Формулы (3.14) и (3.15) позволяют сделать полезные для
практического использования выводы.
Пусть слагаемые х и у одного знака, а δ=тах(δх, δу).
Тогда из (3.14) следует:
()
δ =
δ
≤+
yx
+
,
δ
yxyx)(
+⋅
138
(3.15)
т.е.
()
.
δδ =+ yx
Это означает, что если приближенные слагаемые имеют
одинаковый знак, то граница относительной погрешности их
суммы не превышает наибольшей из границ относительных
погрешностей слагаемых.
Как видно из формулы (3.15), при вычитании близких
чисел может произойти большая потеря точности. Действительно, когда вычитаемые числа почти одинаковы, то даже
при условии, что их собственные ошибки ма
лы, относитель-
ная ошибка может ока заться большой.
Пример. Найдем разность чисел х = 274,598 и у=274,581,
у которых все цифры верны в строгом смысле. Имеем
х – у = 274,598 – 274,581= 0,017.
Граница абсолютной погрешности разности:
Δ(х – у) = 0,0005 + 0,0005 = 0,001,
поэтому в числе 0,017 из двух значащих цифр в строгом
смысле верна лишь одна. Сравним границы относительных
погрешностей результата и исходных данных:
Δ х= 0,0005/274,598 0,000002;
Δу = 0,0005/274,581 0,000002;
Δ(х – у) = 0,001/0,017 0,0588.
Таким образом, в данном случае граница относительной
погрешности разности оказалась почти в 30 тысяч раз больше границы относительной погрешности исходных данных.
Это означает, что в приближенных вычислениях нужно исключать вычитание близких по величине значений (например, путем преобразования вычисляемых выражений).
Умножение и деление
Пусть р=х·у – произведение двух приближенных чисел,
a – их частное. Знаки чисел х и у не влияют на величину
ошибки, поэтому для простоты примем х, у > 0. Имеем:
139
lnp = lnx + lny, In q = In х – In у
Принимая во внимание (3.13), а также используя прибли-
женную формулу:
Δ ln z ≈ d ln z =
Δ ln p = Δ ln q = Δ ln x = Δ ln y, т.е.
pq x y
ΔΔ Δ Δ
=
pq x y
zΔ
, получим:
z
==
(3.16)
откуда следует:
δ(х·y) = δ(
x
)= δx + δy (3.17)
y
т.е. границей относительной погрешности произведения
(частного) можно считать сумму границ относительных по-
грешностей сомножителей (делимого и делителя).
Из формулы (3.16) легко получаются формулы для вычисления границ абсолютных погрешностей произведения
и частного.
Δ(x·y) = x ∙Δx + y ∙Δy (3.18)
x Δ⋅+Δ⋅
=Δ
y
yyxx
(3.19)
2
y
Пример. Числа 74,9 и 128 заданы верными цифрами.
Найдем на микрокалькуляторе их частное: q = 0,585 156 2.
Для определения числа верных знаков результата вычислим:
Δq = (74,9∙1 + 128∙0,1)/1282 = 87,7/163 84 = 0,005 352 7.
Частное q имеет два верных знака. Округляя с одной запасной, получим q = 0,535.
Как следует из формулы (3.17), относительная погрешность произведения и частного не может быть меньше, чем
относитель ная погрешность наименее точного из компонентов действий. По аналогии с тем, как при нахождении
алгебраической суммы не имеет смысла сохранять в более
очных слагаемых излишнее количество десятичных знаков,
т
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]