Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
При помощи t-критерия Стьюдента установить, достоверны ли разли чия показателей скоростно-силовой подготовленности легкоатлетов.
Решение.
1. Сформулируем нулевую гипотезу, как предположение о том, что результаты, показанные спринтерами и стайерами в прыжке в длину с места, не имеют достоверных
различий.
Н0: μx = μy.
2. С формулируем альтернативную гипотезу, как предположение о что результаты, показанные спринтерами и стайерами в прыжке в длину с места, различны.
Н1: μx ≠ μy.
3. Пусть уровень значимости составляет α = 0,05.
4. Выборочные средние, выборочные дисперсии даны
в условии задачи. Найдем количество степеней свободы
v =10+8–2.
5. Вычислим эмпирическое значение t-критерия Стью-
дента
| | |248 242 |
xy
tt
−−
===
2
2
s
s
y
x
−
nn
xy
16 20
−
810
3
6. По таблице критических значений t-критерия Стьюдента определяем t
0,05
vt=
α=
16
0, 05
0,05
2,120
⇒=
7. Сравниваем эмпирическое и критическое значения
t-критерия:
t >t
(3>2,120)
0,05
Так как эмпирическое значение t-критерия оказалось
больше критического значения, то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная, то есть различия между
191
выборочными средними считаются статистически достоверными. Результаты проведенного исследования свидетельствуют, что у бегунов на короткие дистанции уровень развития скоростно–силовых способностей выше, чем у бегунов
на длинные дистанции. Вероятность ошибочности данного
утверждения составляет α = 0,05.
В алгоритмах проверки гипотез указано, что уровень зна-
чимости должен выбираться исследователем до проведения
рас
четов. Однако иногда степень различий бывает настолько
высока, так что заданный уровень значимости оказывается
заниженным.
В предыдущем примере по выборочным данным получено эмпири ческое значение критерия t = 3.0. На уровне значимости α = 0,05 при количестве степеней свободы v =16
критическое значение t
= 2,120. Так как эмпирическое
0,05
значение критерия оказалось больше критического, была
принята альтернативная гипотеза с вероятностью ошибки
0,05. Однако по таблице видно, что при уровне значимости
0,01 и 0,001 критические значения критерия составляют
2,921 и 4,015, соответственно, то есть если бы был задан
уровень значимости α = 0,15, то различия можно было бы
считать достоверными с вероятностью ошибки 0,01. При
уровне значимо сти 0,001 была бы принята нулевая гипотеза [3].
Поэтому на практике часто поступают следующим образом: уровень значимости до эксперимента не выбирается,
а проводятся расчеты, и вы числяется эмпирическое значение
критерия. После этого сравнивают эмпирическое значение
критерия с критическим при уровнях значимости 0,05; 0,01;
0,001. Если эмпирическое значение критерия меньше критического при уровне значимости 0,05, считается, что различия
статистиче ски незначимы. Если вычисленное значение критерия оказывается больше. чем критическое при α = 0,05, но
меньше, чем критическое при α = 0,01, говорят, что различия
достоверны на уровне значимости 0,05, (записывают
р < 0,05); если вычисленное значение критерия превосходит
критическое при α = 0,01, считается, что различия достоверны
192
на уровне значимости 0,01, (записывают р < 0,01) если
вычисленное значение критерия больше критического
при α = 0,001, говорят, что различия достоверны на уровне
значимости 0,001. (записывают р < 0,001). В этом случае р
является экспериментальным значением уровня значимости
[4, 10].
Пример 22. В таблице 5.2 представлены результаты те-
стирования двух групп юных спортс менов. Определить, достоверны ли различия в уровне развития физиче
ских качеств
у участников исследования, если группа А состоит из 8 человек, группа В – из 7 человек.
Таблица 5.2
Результаты тестирования двух групп юных спортс менов
Контрольные
упражнения
A
x ± m
B
y ± m
x
y
tp
Бег 30 м, с 5,3±0,2 5,0±0,1 1,342 >0,05
Бросок набивного
мяча, м
10,3±0,3 11,4±0,4 2,200 <0,05
Глубина наклона, см 3,1±0,2 5,4±0,3 6,379 <0,001
Подъем туловища
из положения лежа,
18,7±1,9 26,7±1,4 3,390 <0,01
кол-во раз
Результаты тестирования представляются в виде x ± m
x
где x – выборочное среднее, mx – статистическая ошибка
выборочной средней.
mm
xx
ss
==
,òîãäà
n
2
2
n
Следовательно, формулу для расчета t-критерия Стью-
дента можно переписать в следующем виде:
||||
xy xy
t
−−
==
222
2
smm
s
yxy
x
−
22
nn
xy
−
,
193
Вычислим эмпирические значения t-критерия Стьюдента для каждо го теста и внесем полученные значения в четвертый столбец таблицы.
|||5,35,0| |10,311,4|
xy
tt
12
−− −
== = = =
22
mm
−
xy
tt
====
34
0, 04 0, 01 0, 09 0,16
++
|3,1 5,4| |18,7 26,7|
−−
0,04 0,09 3,61 1,96
++
1,324 2,200
6,379 3,390
Так как количество участников эксперимента составляет
15 человек, то количество степеней свободы v = 8+7–2 = 13.
В этом случае критические значения t-критерия Стьюдента на уровне значимости 0,05; 0,01; 0,001 составляют
2,160; 3,012; 4,221, соответственно.
Эмпирическое значение t-критерия для бега на 30 м составляет 1,342, это меньше чем t
=2,160. Следовательно,
0,05
в показателях быстроты между участниками исследуемых
групп нет достоверных различий, в четвертый столбец запишем р > 0,05.
Эмпирическое значение t-критерия для результатов
броска набивного мяча составляет 2,200, это больше чем
t
= 2,160, но меньше, чем t
0,05
=3,012. Следовательно, мож-
0,05
но сделать вывод, что в уровне развития скоростно-силовых
качеств мышц плечевого пояса между участниками исследуемых групп есть достоверные различия, вероятность ошибочности такого утверждения 0,05, в четвертый столбец запишем р < 0,05.
Эмпирическое значение t-критерия для показателей гибкости составляет 6,379. Это значение превосходит критические значения при всех уровнях значимости. Значит, можно
сказать, что у юных спортс менов группы В отмечен достоверно более высокий уровень развития гибкости, причем вероятность ошибочности вывода составляет 0,001, в четвертый столбец запишем р<0,001.
Экспериментальное значение t-критерия для результатов последнего госта составляет 3,390, это больше
194
чем t
t
0,001
= 2,160, больше, чем t
0,05
= 3,012, но меньше, чем
0,01
= 4,221. Следовательно, по уровню развития силовой вы-
носливости участники группы В, достоверно превосходят
своих сверстников из группы А, на уровне значимости 0,01,
в четвертый столбец запишем р < 0,01.
По результатам расчетов можно сделать вывод, что методика тре нировки, применяемая с юными спортс менами
группы В способствует достоверно более интенсивному
развитию скоростно-силовых качеств мышц пле
чевого пояса ( р<0,05), гибкости (р<0,001), силовой выносливости
(р<0,01), причем вероятность ошибочности таких утверждений составляет 0,05; 0,001; 0,01, соответственно. В уровне
развития быстроты у исследуемых групп юных спортс менов
достоверных различий не обнаружено.
5.3. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ ДЛЯ
СВЯЗАННЫХ ВЫБОРОК
В практике спорта существует множество задач, в которых требуется оценить значимость прироста некоторого показателя за определенный промежуток времени. Например,
формируют экспериментальную группу спортс менов, которая тренируется по новой методике. Для оценки эффективности данной методики проводят двукратное тестирование –
до начала педагогического эксперимента и по его окончании,
затем оценивают прирост результатов тестирования.
Результаты измерений в таком случае представлены связанными парами значений: показателями первого и второго
тестирования. Эти пары называются сопряженными порами.
Каждая пара относится к одному объекту выборки, и разбивать их в процессе вычисления статистических показателей
нельзя [11, 24].
Для того, чтобы ответить на вопрос, достоверно ли изменение ис следуемых показателей используют модифицированный t-критерий Стьюдента для связанных выборок. Применение данного критерия допустимо при предположении
нормальности распределения прироста результатов.
195
Алгоритм проверки гипотезы
1. Формулируется нулевая гипотеза, как предположе-
ние о том, что средний прирост результатов равен нулю. Н
0
μd = 0.
2. Формулируется альтернативная гипотеза, как предположение о том, что среднее значение прироста отлично от
нуля. Н
: μd ≠ 0.
1
3. Выбирается уровень значимости а (обычно 0,05).
4. Составляют выборку, представленную парами значе-
ний х и у (х – значение до эксперимента, у – после экспе-
римента), определяют прирост результата у каждого испытуемого di= уi– хi.
5. Вычисляют среднее значение прироста d (учитываются положительные и отрицательные значения), среднее
квадратическое отклонение Sd, количество степеней свободы v = n – 1.
6. Вычисляется значение модифицированного t-критерия
Стьюдента
dn
⋅
t
=
S
d
7. В зависимости от выбранного уровня значимости
и количества степеней свободы определяется критическое
значение t-критерия Стьюдента.
8. Если эмпирическое значение t-критерия оказалось
меньше критического, принимается нулевая гипотеза. Это
значит, что прирост результата нельзя считать статистически
достоверным, он может быть обусловлен воздействием случайных факторов. Если вычисленное значение t-критерия
оказалось больше критического, то принимается альтернативная, то есть прирост результата считается статистически
достоверными с вероятностью ошибки α.
Пример 23. В группе волейболистов, состоящей из 9 че-
ловек, проведено двукратное тестирование: до начала эксперимента (X) и после трех месяцев тренировок (Y). Определялись результаты, показанные в прыжке в высоту. Можно ли
утверждать, что за данный период скоростно-силовая подго-
:
196
товленность спортс менов достоверно повысилась? Результаты тестирования указаны во втором и третьем столбцах расчетной таблицы (табл. 5.3).
Решение.
1. Сформулируем нулевую гипотезу, как предположение
о том, что среднее значение прироста равно нулю. Н
: μd = 0.
0
2. Сформулируем альтернативную гипотезу, как предпо-
ложение о том, что среднее значение прироста отлично от
нуля. Н1: μd ≠ 0.
3. Выберем уровень значимости α = 0,05.
4. Вычислим прирост исследуемых показателей, его
среднее значение d и среднее квадратическое отклонение sd. Для этого соста вим расчетную таблицу, в первом
столбце которой указаны номе ра испытуемых, во втором –
результаты исходного тестирования, в третьем – результаты
повторного тестирования, в четвертом – прирост результатов, то есть разность конечного и начального значений.
Таблица 5.3
Расчетная таблица для решения задачи
№ испы-
туемого
1 23456
15558324
2 56615 416
35254211
4 5350–3–416
5 58 58 0 –1 1
65657100
76365211
8 6260–2–3 9
9 57 58 1 0 0
Σ 948
xydd – d (d – d )
2
197
Для вычисления среднего значения прироста результатов
сложим индивидуальные разности d и разделим на количество испытуемых d = 9/9 = 1 см.
Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение
прироста.
48
s ==
d
2,4 ñì
8
5. Вычислим количество степеней свободы
v = n –1 = 9 –1 = 8
6. Вычислим эмпирическое значение t-критерия Стью-
дента
d
tn
=⋅ = ⋅=
s
d
1
2,4
31,25
7. По таблице критических значений двустороннего кри-
терия Стьюдента найдем коитическую точку t
8
v
=
α=
0,95
⎫
⎬
⎭
2,306
t
⇒=
α
0,05
.
8. Сравним эмпирическое и критическое значения
t-критерия Стьюдента.
t < t
0,05
(1,25 < 2,306)
Поскольку эмпирическое значение t-критерия Стьюдента
оказалось меньше критического, принимается нулевая гипотеза, то есть имеющиеся в нашем распоряжении выборочные
данные не позволяют утверждать, что скоростно-силовая
подготовленность спортс менов повысилась достоверно.
5.4. СРАВНЕНИЕ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК
ПРИ ПОМОЩИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ
ВИЛКОКСОНА
Критерий Вилкоксона является непараметрическим
аналогом t-критерия Стьюдента и позволяет сравнить две
независимые выборки. Применение критерия Стьюдента
основано на сравнении выборочных средних. Если распре-
198
деление генеральной совокупности нельзя считать нормальным, то более информативной характеристикой положения
является не выборочное среднее, а медиана. Критерий Вилкоксона позволяет сравнить положение медиан в двух выборках и на основании этого заключить, извлечены ли эти
выборки из одной генеральной совокупности. Поэтому в качестве гипотезы выдвигается предположение о равенстве соо
тветствующих медиан.
Алгоритм проверки гипотезы
1.
Формулируется нулевая гипотеза, как предположение
о равенстве медиан генеральных совокупностей. Н0: Mex= Mey.
2. Формулируется альтернативная гипотеза как предпо-
ложение о нера венстве генеральных медиан. Н1: Mex ≠ Mey.
3. Выбирается уровень значимости (обычно 0,05).
4. Объединяются две выборки в одну, определяются
ранги элементов объединенной выборки, отмечаются ранги
первой выборки.
5. Находится сумма рангов элементов первой и второй
выборок, то есть находятся суммы ΣRx и ΣRy. Для проверки правильности проведенных операций находят общую
сумму рангов, которая должна равняться величине n(n+1)/2
где n – объем объединенной выборки.
Rx+ Ry= n(n+1)/2
6. Меньшая из сумм рангов является эмпирическим значением W-критерия Вилкоксона.
7. Исходя из объемов выборочных совокупностей nx
и ny а также выбранного уровня значимости а, определяется критическое значение W-критерия Вилкоксона.
⎫
n
x
⎪
⇒
nW
⎬
y
α
α
⎪
⎭
8. Если эмпирическое значение W-критерия оказалось
больше критиче ского, то принимается нулевая гипотеза.
Это значит, что имеющиеся выборки извлечены из одной
199
генеральной совокупности, достоверных различий между
ними нет. Если эмпирическое значение W-критерия оказалось меньше критического, то нулевая гипотеза отвергается,
и на выбранном уровне значимости принимается альтернативная, то есть различия между медианами считаются статистически достоверными с вероятностью ошибки α [24].
Пример 24. Определить при помощи W-критерия Вил-
коксона, различаются ли по уровню силы спор
тс мены двух
групп, если X – количество подтягиваний на перекладине,
выполненных спортс менами первой группы, Y – количество
подтягиваний на перекладине, выполненных, спортс менами
второй группы. Результаты тестирования записаны в первом
и втором столбцах расчетной таблицы (табл. 5.4).
Таблица 5.4
Расчетная таблица с результатами тестирования
xyRxR
1234
15 18 9,5 5,5
16 19 8 3
18 14 5,5 12
15 14 9,5 12
13 20 14,5 1
12 19 16 3
14 19 12 3
17 7
13 14,5
ΣR
= 96,5 ΣRy= 96,5
x
y
Решение.
1. Сформулируем нулевую гипотезу, как предположение
о равенстве медиан генеральных совокупностей. Н0: Mex = Mey.
2. Сформулируем альтернативную гипотезу как предпо-
ложение о нера венстве генеральных медиан. Н1: Mex ≠ Mey.
3. Выберем уровень значимости α = 0,05.
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]