Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
Пример 33. В четырех группах испытуемых, по 17 че-
ловек в каждой, проводилось изучение времени реакции на
звуковой стимул. Интенсивность стимула составила 40, 60,
80 и 100 дБ, причем в каждой группе предъявлялись стимулы
только одной интенсивности. Проверялась гипотеза о том,
что среднее время реакции уменьшается по мере увеличения
громкости звука.
Теперь переформулируем условия задачи в тер
минах
однофакторного дисперсионного анализа. В этой задаче регулируемым фактором (т.е. тем фактором, который меняет
педагог) является сила звука, а её уровни рассматриваются
как градации фактора. Таким образом, фактор «сила звука»
выступает как независимая переменная, а время реакции как
результативный признак, или как зависимая переменная.
Проверяется гипотеза H0, согласно которой средние и дисперсии в группах обусловлены случайными влияниями и не
зависят от действия регулируемого фактора.
Решение. Представим исходные данные для работы с од-
нофакторным дисперсионным анализом в виде таблицы 9.3,
в которую внесены некоторые дополнительные расчетные
данные.
Вычисления по методу однофакторного дисперсионного
анализа достаточно трудоемки и требуют пристального внимания, во избежание возможных ошибок.
Алгоритм вычислений по методу однофакторного дисперсионного анализа для несвязанных выборок таков:
1. Рассчитываем суммы элементов по каждому столбцу
и заносим их в соответствующие ячейки таблицы 9.3.
2. Рассчитываем средние по каждому столбцу, разделив
соответствующие суммы по столбцам на общее число испытуемых в каждой группе, – 17. Полученные данные заносим
в соответствующие ячейки таблицы 9.3.
3. Для получения величины, обозначенной выше как G,
вычисляем общую сумму всех экспериментальных данных:
G = 4512 + 4247 + 3070 + 2786 = 14615
251
Таблица 9.3
Расчетная таблица для работы с однофакторным дисперсионным анализом
Испытуемые
п/п
Группа 1 Группа 2 Группа 3 Группа 4
40 дб. 60 дб. 80 дб. 100 дб.
1 304 272 202 180
2 268 264 178 160
3 272 256 181 157
4 262 269 183 167
5 283 285 187 180
6 265 247 186 167
7 286 250 190 187
8 257 245 167 156
9 279 251 156 159
10 275 261 183 171
11 268 250 167 155
12 254 228 176 158
13 245 257 186 163
14 253 214 192 161
15 235 242 168 157
16 260 222 176 150
17 246 234 192 158
∑ x – сумма
по столбцам
X – среднее
по столбцам
2
∑ x
– сумма
по столбцам
4512 4247 3070 2786
265 250 181 164
1 202 208 1 066 391 556 506 458 246
4. Вычисляем квадрат суммы всех экспериментальных
данных (∑∑x
2
)
i j
2
G
= 14615 ∙ 14615 = 213598225
Делим полученную величину на общее число экспе-
риментальных данных:
213598225
(17 4)=⋅
3141150,4
252
Получилась величина, обозначенная выше как
величина используется в формулах (9.9) и (9.10).
5. Рассчитываем сумму квадратов суммарных значений
по каждому столбцу:
45 1 22 + 42 472 + 30 702 + 27 862 =
= 20358144 + 18037009 + 9424900 + 7761796 = 55581849
6. Делим эту величину на число испытуемых в группе
(столбце):
55581849 : 17 = 3269520,5
Получилась величина, обозначенная выше как:
2
T
j
∑
n
j
7. У нас все готово для вычисления величины Q2 по фор-
муле (9.9). Она равна:
Q2 = 3269520,5 – 3141150,4 = 128370,1
8. По таблице 9.2 определяем число степеней свободы
для Q2, оно равно p – 1 = 4 – 1 = 3.
9. Вычисляем величину S
128370,1
2
S ==
2
2
, равную
2
3
42790,0
Q
2
,
3
10. Вычисляем сумму квадратов значений всех экспери-
2
ментальных данных, т.е.
∑∑
x
ij
2
G
. Эта
N
304 · 304 + 268 · 268 + 272 · 272 +……+ 150 · 150 + 158 · 158 =
= 1202208 + 1066391 + 556506 + 458246 = 3283351
11. Вычисляем величину Qo по формуле (9.9):
3283351 – 3141150,4 = 142200,6
12. Вычисляем величину Q1 = Q0 – Q
2
142200,6 – 128370,1 = 13830,5
253
13. По таблице 9.2 определяем число степеней свободы
для Q
, оно равно N – p = 68 – 4 = 64.
1
14. Вычисляем величину
Q
2
S
1
1
==
()
Np
42790,0
−
15. Осталось применить к полученным величинам кри-
терий F Фишера.
2
S
42790,0
ýìï
2
2
216,1
1
FS== =
197
16. Находим критические точки Fкp. По таблице Приложения 6 для F критерия; при степенях свободы равных 64
и 3 находим Fкp.
2,76 äëÿ 0,05
⎧
F
=
⎨
êð
4,13 äëÿ 0,01
⎩
Таким образом, полученная величина F
P
≤
P
≤
попала в зону
эмп
значимости. В терминах статистических гипотез можно
утверждать, что Н0 гипотеза об отсутствии различий отвергается, а принимается Н1. Педагог может быть уверенным,
что при увеличении силы звука скорость реакции значительно увеличивается. Или регулируемый фактор – сила звука
оказывает существенное влияние на независимую переменную – скорость реакции.
Дополнение к расчетам по методу однофакторного
дисперсионного анализа.
Величину Q2 И, соответственно, S
2
можно подсчитать
2
и по-другому, согласно ее определению по следующей формуле:
QnXX=⋅−
2
()
∑
j
2
j
Иными словами, вычисляются общее среднее всей выборки и групповые средние. Из групповых средних вычитается общее среднее, полученная разность возводится в квадрат и умножается на число членов в группе. Полученные
произведения суммируются. Итак:
254
265 250 181 164
X
+++
==
4
215
1. Вычисляем общее среднее по всем эксперименталь-
ным данным:
2. Находим разность между каждым средним по груп-
пам (столбцам) и общим средним:
d1= 265–215= +50
d2= 250–215= +35
d3= 181–215= –34
d4= 164–215= –51
3. Находим межгрупповую сумму квадратов (обозначе-
ние Q2) следующим образом:
Q2 = 17·(502+352+342+512) = 17·(2500+1225+1156+2601)=
=17·7482=127194
4. Зная число степеней свободы 3, находим теперь S
Q
2
S == =
2
Полученное значение S
127194
2
33
2
оказалось несколько меньше
2
42398
2
.
2
предыдущего, что связано с погрешностями вычислений, поскольку в данном способе расчета групповые средние округлялись до целого числа и дробные значения отбрасывались.
Однако общий вывод дисперсионного анализа не изменился.
Закрепим полученные знания решением еще двух задач.
Отличие последующих задач от предыдущей будет состоять
в том, что число испытуемых в группах не будет равным и,
кроме того, будут сразу вычисляться величины Q1 и Q2.
Пример 34. Педагог сравнивает эффективность четырех
разных методик обучения производственным навыкам. Для
этой цели из всех выпускников училища выбраны четыре группы учащихся, обучавшиеся, соответственно, четырьмя разными методами. Эффективность методик оценивалась по сумме
обработанных учащимися деталей в течении одного дня.
В категории анализа задача переформулируется так:
регулируемый фактор (независимая переменная) – тип
255
обучающей программы, результирующий признак – продук-
тивность деятельности ученика, оцениваемая по количеству
сделанных деталей. Проверяется гипотеза об отсутствии
различий в средних и дисперсиях между группами учащихся и, соответственно, об отсутствии влияния регулируемого
фактора, т.е. типа программы обучения, на продуктивность
деятельности ученика.
Решение. Результаты обследования представим в виде
таблицы 9.4.
Поскольку сум
ма значений по каждой группе уже приведена в таблице, то подсчитаем общую сумму и сумму квадратов каждого значения:
Таблица 9.4
Результаты обследования 4 групп учащихся
№
учащихся
1 60756095
2 80668085
3 75 85 65 100
4 80806080
5857086
6708075
790
Число участников в группах
Суммарная выработка всей
группы в шт.
1 группа 2 группа 3 группа 4 группа
n
=6 n2=7 n3=6 n4=4
1
450 546 426 360
G = 450+546+426+360=1782
140481
x =
∑∑
ij
Произведем дальнейший расчет. Величину Q2 рассчита-
ем по формуле (9.10):
256
2222 2
450 546 426 360 1782
Q =+++− =
2
676423
917,7
а величину Q1, по формуле (9.11)
2222
⎡⎤
140481 27414,
Q
=−+++=
1
22
òî 78,8 è 305,9
SS== ==
12
450 546 426 360
⎢⎥
6764
⎣⎦
QQ
22
12
SS
==
12
Np p
è
−−
1
2414,7 917,7
19 3
305,9
F ==
ýìï
78,8
3,88
По таблице приложения 6 находим Fкр для df2 = 3
и df1 = 19
3,1 3 äëÿ 0, 05
⎧
F
=
⎨
êð
5, 01 äëÿ 0, 01
⎩
F
находится в зоне неопределенности. Однако на
эмп
P
≤
P
≤
уровне 5% можно принять гипотезу H1, о наличии различий в эффективности методик обучения. Иными словами,
методики обучения в данном случае оказывают влияние на
эффективность производственных навыков.
9.2. КРИТЕРИИ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА
Как мы только что убедились, дисперсионный анализ достаточно трудоемок. Иногда можно воспользоваться так называемыми «быстрыми» методами – критериями дисперсионного анализа. Общим для этих методов является следующие
особенности. Объектом анализа служит здесь изменчивость
признака, обусловленная влиянием одного или нескольких
факторов. Однако как таковые дисперсии при расчетах с помощью этих методов не вычисляются, а вариативность оценивается другими способами: с помощью величины размаха
между максимальными и минимальными значениями признака (критерий Линка и Уоллеса) или посредством оценки диапазона разности рангов (критерий Немени). Использование
257
этих статистических характеристик ускоряет и упрощает
процедуру расчетов. Следует иметь в виду, однако, что эти
критерии дают приблизительную оценку влияния фактора,
и если они не подтверждают влияния, то дисперсионный анализ, возможно, их обнаружит [9, 22, 24].
Критерий Линка и Уоллеса
Пример 35. Педагог-психолог провел в обычной школе
(1 группа), в школе интернате (2 группа) и в специа
лизированном колледже (3 группа) тестирование мышления с помощью серии задач. Всего было предъявлено 10 задач. В каждой
группе было по 8 испытуемых. Фиксировалось количество
решенных задач. Психолог выясняет вопрос, влияет ли специфика школьного обучения на эффективность решения задач.
В категории анализа, задача переформулируется так: регулируемый фактор (независимая переменная) – тип школы
(или специфика обучения), результирующий признак – количество решенных задач. Проверяется гипотеза об отсутствии
различий в средних и дисперсиях между группами учащихся и, соответственно, об отсутствии влияния регулируемого
фактора, т.е. специфики обучения, на продуктивность мыслительной деятельности ученика.
Решение. Результаты тестирования представлены в таблице 9.5:
Таблица 9.5
Результаты тестирования 3 групп учащихся
№
испытуемых
1346
2547
3238
4486
5877
6449
73210
8959
1 группа 2 группа 3 группа
258
Вычисляем среднее каждого столбца.
1 4,750 2 4,625 3 7,750XX X===
∑∑∑
Вычисляем размах (max–min) в каждом столбце: это раз-
ность между наибольшим и наименьшим значением.
1 гр 9–2=7
2 гр 8–2=6
3 гр 10–6=4
Вычисляем разность между максимальным и минималь-
ным средним:
(maxX – minX 2) = 7,750 – 4,625
Формула для подсчета эмпирического значения критерия
очень проста:
(max max )
nX X
K
⋅−
=
ýìï
сумма размахов
ij
(9.12)
В нашем случае п = 8 и сумма размахов равна 7 + 6 + 4 = 17.
Подставляем эти величины в формулу (9.12), получаем:
8 (7,750 4,625) 8 3,125
K
⋅− ⋅
===
ýìï
764 17
++
1,47
По таблице приложения 7 находим Kкр при п = 8 и к = 3
1, 18 ä ë ÿ 0 , 0 5
⎧
F
=
⎨
êð
1, 5 3 ä ë ÿ 0 , 0 1
⎩
P
≤
P
≤
Таким образом, на уровне 5% можно принять гипотезу Н1 о том, что различия между выборками не случайны
и обусловлены действием регулируемого фактора. Важно
подчеркнуть, что и однофакторный дисперсионный анализ
привел бы к тому же выводу (величина F = 6,05 при уровне
значимости Р = 0,008).
С помощью этого критерия можно также статистически
обосновано высказать утверждение о равенстве или неравенстве полученных средних. Проверка осуществляется по
формуле:
(сумма размахов)
Kn⋅
|Разница средних|>
êð
(9.13)
259
в том случае, если неравенство выполняется, то различия
между средними статистически значимы. Разница средних
берется по модулю.
С помощью формулы (9.13) сравним средние примера 34:
1 2 4,750 4,625=0,125
XX−= −
0,125 1,18 2,507
(7+6+4)
>⋅ =
8
Неравенство не выполняется, следовательно, статистически значимых различий между значениями первого и второго среднего нет.
Проверим различия между первым и третьим значениями среднего:
3 1 7,750 4,750 3
XX−= − =
(7 6 4)
3 1,18 2,507
>⋅ =
++
8
В данном случае неравенство выполняется.
Проверим различия между вторым и третьим значениями среднего:
3 2 7,750 4,625 3,125
XX−=−=
(7 6 4)
3,125 1,18 2,507
>⋅ =
++
8
И здесь неравенство выполняется. Таким образом, мы
можем окончательно сказать, что в нашем случае справедливо: X1 = X2 ≠ X3. Из этого следует, что средний показатель
количества решенных задач достоверно выше у учащихся
интерната и колледжа.
Критерий Немени
Этот критерий основан на ранжировании всей выборки.
Если в выборке к групп по n э
лементов в каждой, то наименьшему наблюдению приписывается ранг 1, наибольшему
ранг п · к. Затем суммируются ранги каждой из групп и вычисляются абсолютные значения их разностей. По таблице
приложения 8 делается вывод об уровне сходства или различия в группах.
260
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]