Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
Пример 9. Найти моду и медиану выборочной совокуп-
ности, представленной вариационным рядом:
16 18 20 21 23
x
M23541
m
2 5 10 14 15
n
Решение. Модой является значение 20, так как оно встре-
чается наибольшее количество раз.
Для нахождения медианы составим ранжированный ряд:
16 16 18 18 18 20 20 20 20 20 21 21 21 21 23
Объем выборки n = 15, следовательно, номер медианы
RMe= (15+1):2 = 8
Под номером 8 в ранжированном ряду находится значение 20. Судя по значениям накопленных частот, вариантой
с номером 8 также являет ся число 20.
Характеристики вариативности выборочной
совокупности
К характеристикам вариативности относятся величины,
оцениваю щие степень рассеяния возможных значений признака, встречающихся в выборке.
Размах вариационного ряда – это разница между максимальным и минимальным значениями величины.
R=x
– x
max
min
Этот показатель является наиболее простой характеристикой рас сеяния и показывает диапазон возможных значений величины.
Генеральной дисперсией DГ называется среднее арифметическое квадратов отклонений величины от генерального среднего [16, 24].
N
()
xx
∑
=
i
D
Ã
1
=
2
−
i
Ã
N
(4.4)
Выборочной дисперсией D называется среднее арифме-
тическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от выборочной средней.
171
N
()
∑
=
i
D
Ã
D
=
Ã
=
N
()
∑
=
i
1
1
xx m
2
xx
−
i
(4.5)
n
2
−⋅
ii
n
(4.6)
Если дисперсия вычисляется по несгруппированным
данным, то ис пользуют формулу (4.5.), если составлен вариационный ряд, используют формулу (4.6.).
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, то есть если в качестве оценки генеральной дисперсии при нять выборочную дисперсию, то эта
оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая
заниженное значение генеральной дисперсии. Эта ошибк
а
становится значительной, если объем выборки меньше 30.
Для того чтобы избежать ошибки, необходимо умножить
значение дисперсии на n/(n–1). Сделав это, получим ис-
правленную дисперсию, которую обычно обозначают s2.
Таким образом, когда объем выборки менее 30, при вычис-
лении дисперсии сумму квадратов отклонений делят на n–1.
Nn
()
∑
2
=
i
s
1
=
2
xx
−
i
n
(4.7)
Пример 10. Вычислить дисперсию массы тела девочек 6
лет из примера 3, если данные представлены в виде безынтервального вариационного ряда:
x 222324252728
m122311
Решение. Как было показано при решении примера 6
выборочное среднее исследуемого показателя равно 24,6 кг.
Вычислим исправленную дисперсию по формуле (4.7).
22 2 2
−+−⋅+−⋅+−⋅+
(22 246) (23 246) 2 (24 246) 2 (25 246) 5
2
s
=
+− +− ⋅
(27 246) (28 246) 2
22
30
30
2
=
3, 4 êã
s
При вычислении по этим формулам может накапливаться погрешность округления, поэтому можно пользоваться
другой формулой:
172
n
()
xnx
∑
2
s
=
i
=
i
1
n
2
2
−
(4.8)
Пример 11. Вычислить дисперсию массы тела девочек
6 лет формуле 3.5.
Решение. Для вычисления дисперсии составим расчет
первые две строки которой представляют собой вариационный ряд. Возведем значения вариант в квадрат и запишем
полученные результаты в третью строку расчетной таблицы.
Умножим квадраты значений величины на соответствующие
частоты, запишем в четвертую строку. Найдем сумму зна
че-
ний четвертой строки.
Таблица 4.3
Вспомогательная таблица для решения задачи
x
22 23 24 25 27 28
M122311
2
x
x
484 529 576 625 729 784
2
484 1058 1152 1875 729 784
m
Сумма элементов четвертой строки равна 6082.
6
2
( ) 6082
x==
∑
i
1
i
22
( ) 10 (24,6) 6051, 6nx =⋅ =
6082 6051, 6
22
s−=≈
9
3, 4 êã
Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния значений признака генеральной и выборочной совокупностей
вокруг своего среднего значе ния пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим от клонением (стан-
дартным отклонением).
Генеральным средним квадратическим отклонением на-
зывается квадратный корень из генеральной дисперсии.
173
ãã
(4.9)
Dσ=
Выборочным средним квадратическим отклонением на-
зывается квадратный корень из выборочной дисперсии.
sD=
(4.10)
Размерность среднего квадратического отклонения σ,
в отличие от размерности дисперсии совпадает с единицами
измерения исследуемого признака, поэтому для характеристики вариативности используют обычно среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию.
Если объем выборки больше 30, распределение выборки можно считать нормальным, то выборочное среднее квадратическое отклонение можно оценить по приближенной
формуле:
s
(4.11)
k
−
xx
max min
=
k – коэффициент, определенный по таблице, который зави-
сит от объема выборки (приложение 5).
Пример 12. Вычислить среднее квадратическое отклонение массы тела девочек 6 лет по вариационному ряду из
примера 3.
22 23 24 25 27 28
x
m
122311
Решение.
В примерах 3.8.–3.9. было показано, что выборочная дисперсия массы тела девочек 6 лет составляет 3,4 кг2.
Тогда
2
3, 4 êã 1,8 êãs ==
Оценим значение выборочного среднего квадратического
отклоне ния по приближенной формуле. Максимальное значение, встречающееся в выборке, равно 28, минимальное 22.
Объем выборки составляет 10. По таблице в приложении 5
найдем коэффициент k. Для n =10 коэффициент k состав-
ляет 3,08.
174
28 22
s−==
3, 08
1, 9 ê ã
Приближенная формула дает незначительную погрешность при оценке среднего квадратического отклонения,
если распределение выборочной совокупности можно считать нормальным.
Коэффициент вариации
Коэффициентом вариации называется выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического
отклонения к выборочному среднему.
s
Vx=⋅
100
Коэффициент вариации является относительной характеристикой рассеяния. Он используется для сравнения вариативности величин, имеющих разные единицы измерения.
Пример 13. Измерены рост (X) и масса тела (Y) девочек 10
лет. Получены следующие показатели: x=130 см, sx = 5 см,
y= 32 кг, sy = 4 кг. Какая величина имеет большую вариативность?
Решение. Так как рост и масса тела измеряются в разных
единицах, то вариативность нельзя сравнить при помощи
среднего квадратического отклонения. Необходимо вычислить относительный показатель вариации.
5
V =⋅ =
x
V =⋅ =
y
100% 3,8%
130
4
100% 12,5%
32
Таким образом, масса тела имеет большую вариативность, чем рост.
Вычисление коэффициента вариации необходимо и в том
случае, когда выборочные средние значительно различаются.
Пример 14. У группы спортс менов измерен рост (X)
и длина кисти I (Y). Получены следующие показатели:
175
x =175 см, sx = 4 см, y = 20 см, sy = 1 см.
Определить, какая величина имеет большую вариатив-
ность?
Решение. Среднее значение роста спортс менов значительно больше, чем среднее значение длины кисти. В этом
случае сравнение вариативности на основании среднего квадратического отклонения невозможно и необ ходимо вычислить относительный показатель вариации.
41
VV=⋅ = =⋅ =
xy
100% 2,3%; 100% 5%
175 20
Судя по коэффициенту вариации, длина кисти имеет более высокую вариативность, чем рост спортс менов.
Принято считать, что если коэффициент вариации меньше 10%, то вариативность выборочной совокупности низкая,
при 10%<V<20% – средняя, при 20%<V<30% – высокая, при
V >30% – очень высокая [4].
Коэффициент вариации является информативным и важным показателем при формировании групп спортс менов.
Если по ре
зультатам тестирования выявлено, что коэффициент вариации превышает 10%, можно заключить, что физическая подготовленность занимающихся находится на разном уровне. Таких спортс менов нельзя объединять в одну
группу, так как для них необходимы разные тренировочные
нагрузки.
Пример 15. Вычислить коэффициент вариации резуль-
татов, пока занных спортс менами в количестве подтягиваний
на перекладине, е
сли x =14 раз, sx= 3 раза.
Решение.
3
x
14
100% 21,4%
V =⋅ =
Коэффициент вариации свидетельствует о том, что участники эксперимента имеют различный уровень развития
силовой выносливости. Очевидно, при проведении тренировочных занятий необходимо учитывать разный уровень
подготовленности, и либо разделить этих спортс менов на
176
типологические подгруппы, либо индивидуально дозировать
си ловую нагрузку.
Коэффициент вариации не рекомендуется использовать
в тех случа ях, когда выборочное среднее близко к нулю.
Например, если среднесу точная температура за некоторый
период равна нулю, то коэффициент ва риации стремится к бесконечности, независимо от вариативности температур.
Статистическая ошибка выборочной средней
Выборочный метод предполагает иссле
дование некоторой части ге неральной совокупности, а не всех ее объектов.
Поэтому выборочное среднее оценивает генеральное среднее, и эта оценка может не совпа дать с истинным значением
параметра. В результате возникает статистическая ошибка,
которая вычисляется по следующей формуле.
s
mn=
x
Величина m показывает, какая ошибка, в среднем, допускается при использовании выборочной средней вместо генеральной. Количественно отражает вариативность средних
арифметических различных выбо рок, сформированных из
одной генеральной совокупности относительной среднего
арифметического этой совокупности [7].
Статистическая ошибка зависит от объема выборки, то
есть чем я больше объем выборки, тем меньше значение
статистической ошибки, об
условленной применением выборочного метода. При проведении сплошного обследования
статистическая ошибка отсутствует.
Конечный результат обычно записывается в виде x ± m
где х – 1 выборочное среднее; m
– статистическая ошибка.
x
x
Статистическая ошибка выборочной средней определяет
точность, с которой необходимо записывать конечный результат. В окончательном результате разряд последней значащей цифры должен соответствовать разряду первой значащей цифры в величине m
/3.
x
177
,
Пример 16. Найти статистическую ошибку выборочной
средней становой силы, полученной в результате тестирова-
1
ния 25 человек, если x =132,278 кгс
, sx = 14,0 кгс.
Решение.
14
m =
x
25
mx /3 = 2,8/3 ≈ 0,93 кгс
В величине m
/3 первая значащая цифра – десятые,
x
следовательно, значение выборочного среднего необходимо округлить до десятых долей. Окончательный результат:
132,3 ± 2,8 кгс.
Пример 17. В группе спортс менов проведено тести-
рование скоростно-силовой подготовленности. Измерены
результаты, показанные в прыжке в высоту. Составить безынтервальный вариационный ряд, найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее, моду, медиану, вы-
чную дисперсию, выборочное среднее квадратическое
боро
отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку выборочной средней.
Результаты тестирования:
42 35 38 40 40 46 40 38 35 38 46 40 46 42 47 38 40 42 40 47
Решение. Составим ранжированный ряд. Для этого за-
пишем значения в порядке возрастания:
35 35 38 38 38 38 40 40 40 40 40 40 42 42 42 46 46 46 47 47
Для вычисления статистических показателей составим
расчетную таблицу, содержащую 6 столбцов (табл. 3.3).
Первый и второй столбец представляют собой безын-
тервальный вариационный ряд: в первом столбце за
писаны
значения величины, встречающиеся в выборке, во втором –
соответствующие им частоты.
Третий столбец служит для записи промежуточных результатов, в него записываются произведения значений величины на частоты. Для вычисления выборочного среднего
178
Таблица 4.4
Расчетная таблица для вычисления статистических показателей
x m x·m x – x (x – x )2(x – x )2·m
123456
35 2 70–63672
38 4 152 –3 9 36
40 6 240 –1 1 6
42 3 126 1 1 3
46 3 138 5 25 75
47 2 94 6 36 72
20 820 264
необходимо сумму значений, записанных в третьем столбце
разделить на объем выборки [12, 15].
820
20
41, 0 cì
x ==
Модой является значение 40 так, как оно встречается
в выборке наибольшее количество раз.
Мо = 40 см
Медианой является значение, расположенное в середине ранжированного ряда. Выборка состоит из 20 объектов,
значит, в середине ранжированного ряда находятся варианты
под номерами 10 и 11. В этом случае медианой считается
среднее арифметическое двух вариант. В нашем примере под
указанными номерами нах
одится значение 40.
Me = 40 с
Четвертый, пятый и шестой столбцы расчетной таблицы
служат для вычисления выборочной дисперсии. В третий
столбец записываются отклонения значений величины от
выборочного среднего, в четвертый – квадраты отклонений,
в пятый – произведения квадратов отклонений на частоты
(значения второго столбца на значения четвертого столбца).
179
Поскольку в нашем примере n<30, нужно вычислить
исправленную дисперсию:
264
22
s ==
19
13,9 ñì
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
13,9 ñì 3,7 ñìs ==
2
Коэффициент вариации:
3, 7
V ==
100% 9,0%
41
Статистическая ошибка выборочной средней:
3, 7
m ==
x
0,8 ñì
20
4.6. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНОГО
СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
Выборочное среднее позволяет оценить генеральное
среднее значение, однако оценка генерального параметра
будет более надежной, если выразить ее не одним числом,
а в виде некоторого интервала. Интервал, в котором с определенной вероятностью заключается истинное значение генерального среднего, называется доверительным интервалом,
а оценка генерального среднего при помощи доверительного
интервала – интер вальной оценкой.
Интервальная оценка характеризуется двумя показателями: точно стью и надежностью.
Точность интервальной оценки определяется разностью между ис тинным значением оцениваемого параметра
и его оценкой. Допустим x – выборочное среднее, являющееся оценкой генерального среднего μ. Очевидно, оценка
тем точнее, чем меньше модуль разности |x –μ|. Если δ>0
и |x –μ|<δ, то чем меньше δ, тем точнее оценка x. Таким образом, число δ характеризует точность оценки.
Статистические методы не позволяют категорически
утверждать, что оценка x удовлетворяет неравенству, мож-
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]