Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
но лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство
осуществляется.
Доверительной вероятностью или надежностью называется вероятность γ, с которой осуществляется неравенство |x – μ|< δ, то есть P(|x – μ|< δ) = γ.
Это вероятность, с которой можно утверждать, что генеральное среднее находится в интервале [ x – δ; x + δ].
Значение доверительной вероятности задает
ся исследователем, исходя из важности предполагаемых выводов.
Обычно выбирают следующие значения: 0,95; 0,99; 0,999.
В спор тив но-педа го гических исследованиях считается достаточной доверительная вероятность γ = 0,95. Увеличение
доверительной вероятности ведет к расширению интервала
и, следовательно, к снижению точности оценки.
При составлении доверительного интервала необходимо соблюдать оптимальное соотношение между точностью
и надежностью интервальной оценки.
Для интервальной оценки генерального среднего μ количественного признака X генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение, используют следующий
алгоритм:
1. Вычислить выборочные показатели x и s.
2. Выбрать доверительную вероятность γ
(обычно γ = 0,95).
3. Составить доверительный интервал по одной из ука-
занных ниже формул, в зависимости от объема выборки.
n<30
ss
xt xt
−≤μ≤+
γγ
nn
xu xu
−≤μ≤+
Если объем выборки меньше 30, то
n>30
ss
γγ
nn
s
tnδ=
.
y
Величина t имеет распределение Стьюдента, tγ – критическое значение t-критерия Стьюдента, которое зависит
от количества степеней свободы v = n–1 и доверительной
вероятности γ. Этот показатель определяется по таблице
«Критические значения t-критерия Стьюдента».
181
Если объем выборки достаточно велик (n>30), распре-
деление Стьюдента переходит в нормальное. Поэтому для
определения границ доверительного интервала для генерального среднего при больших объемах выборки можно
пользоваться таблицей нормированного нормального распределения. В этом случае u
– аргумент функции Лапласа,
γ
который оп ределяется по таблице значений функции (приложение 1). По таблице значений функции Лапласа можно
определить, что
U
= 1,96; U
0,95
= 2,58; U
0,99
0,999
= 3,28.
Расчет границ доверительного интервала по выборке
большого объ ема позволяет повысить точность интервальной оценки при заданной на дежности.
Пример 18. Составить доверительный интервал для
оценки генерального сред него результатов в прыжке в высоту, по данным обследования группы из 16 спортс менов.
По результатам тестирования получены следующие выборочные показатели: x = 46 см; s = 6 см.
ешение. Поскольку в нашем распоряжении имеется вы-
Р
борка мало го объема п = 16, то доверительный интервал составляется по формуле, использующей распределение Стьюдента.
Зададимся доверительной вероятностью γ = 0,95. Количество степе ней свободы: v = n182–1 = 16 –1=15
По таблице в приложении 2 найдем критическое значение критерия Стьюдента.
v
15
=
⎫
t
2,131
⇒=
⎬
0,95
γ=
46 2,131 46 2,131
−⋅≤μ≤+⋅
66
42,8 49,2
γ
⎭
66
≤μ≤
182
Вывод. С вероятностью 0,95 можно утверждать, что ис-
тинное значе ние генерального среднего результатов в прыжке
в высоту у спортс менов заключается в интервале [42,8; 49,2].
Пример 19. Составить доверительный интервал с на-
дежностью γ = 0,9 для оценки генерального среднего результатов в прыжке в высоту, по данным обследования группы
из 100 спортс менов. По результатам тестирования получены
дующие выборочные показатели: x = 46 см; s = 6 см.
сле
Решение. Данный пример отличается от предыдущего
тем, что имеется выборка большего объема, что позволяет
применить формулу использующую функцию Лапласа.
U
=1,96
0,95
−⋅ ≤μ≤+⋅
46 1,96 46 1,96
66
100 100
44,8 47,2
≤μ≤
Как видим, увеличение объема выборки привело к сужению интер вала при сохранении прежней доверительной вероятности. Это вызвано следующими причинами: меньшим
значением функции Лапласа по сравнению с t-критерием
Стьюдента, а также снижением статистической ошибки
s
mn=
x
вызванным увеличением объема выборки.
Вывод. С вероятностью 0,95 можно утверждать, что ис-
тинное значе ние генерального среднего результатов в прыжке в высоту у спортс менов находится в интервале (44,8;
47,2).
Интервальная оценка генерального среднего позволяет
найти минимальный объем выборки, необходимый для того,
чтобы оценка отличалась от истинного значения параметра
не более, чем на заданную в
еличину.
Если генеральная совокупность предполагается нормально распре деленной и ее дисперсия D
известна, то довери-
r
тельный интервал для ге нерального среднего записывается
следующим образом:
183
σσ
−⋅ ≤μ≤+⋅
xu xu
γγ
nn
Пусть требуется, чтобы выборочное среднее отличалось
от генерального не более, чем на заданную величину d.
Это означает, что половина ширины доверительного ин-
тервала должна быть равна d, то есть
σ
=
ud
γ
n
Отсюда требуемый объем выборки определяется следу-
ющим образом:
n
=
2
u
σ
⎛⎞
γ
⎜⎟
d
⎝⎠
Истинное значение генерального среднего квадратиче-
ского отклонения о
обычно неизвестно, но при больших
г
объемах выборки (n >30) можно использовать его выбороч-
ную оценку s [7].
Пример 20. Найти минимальный объем выборки, необ-
ходимый для того, чтобы выборочное значение результатов,
показанных спортс менами в прыжке в высоту (см. примеры
3.16–3.17) отличалось от истинного зна чения генерального
среднего не более, чем на 1 см.
Решение. По ре
зультатам выборочного исследования
выборочное среднее квадратическое отклонение, определенное по выборке n =100, составляет 6 см. Зададимся до-
верительной вероятностью у = 0,95 и по фор муле найдем
необходимый объем выборки.
1, 9 6 6
⎛⎞
n
==
⎜⎟
⎝⎠
2
⋅
1
138,3
Округляем получившееся значение в сторону увеличения, получаем, что при объеме выборки n =139 с вероятно-
стью 0,95 можно утверждать, что выборочное значение будет
отличаться от генерального не более, чем на 1 см.
184
ГЛАВА 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ
ГИПОТЕЗ
В педагогических экспериментах часто приходится про-
верять ту или иную гипотезу, например:
1. класс 1 усвоил проверяемый материал лучше класса 2;
2. учащиеся понятие «вектор» усвоили хуже, чем поня-
тие «координаты»;
3. уровень развития логической рефлексии учащихся
класса 1 примерно совпадает с уровнем развития логической
рефлексии класса 2;
4. уровень профессиональной компетентности будущих
специалистов академической студенческой группы 1 выше
уровня профе
студенческой группы 2.
Подлежащая проверке гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается H
вляется в результате ее сравнения с другой гипотезой Н1,
называемой альтернативной. Возможными альтернатива-
ми для гипотезы 3, например, могут быть: «уровень ... класса 1 не совпадает с уровнем ... класса 2», «уровень ... класса 1 выше уровня ... класса 2», «уровень ... класса 1 ниже
уровня ... класса 2». Проверка основана на так называемом
принципе практической невозможности. Выбирается (исследователем) некоторая малая вероятность, например,
α = 0,05 – уровень значимости. Случайное событие, веро-
ятность к
возможным. Следовательно, если событие вероятности
а все-таки произошло, но оно вызвано не случайными причинами, это событие значимо. Всякое правило, на основе
которого Н
критерием проверки Н
кова: пусть имеется две выборки произвольных объемов.
В определенной математической форме определяется величина Т, отражающая различие результатов этих выборок.
В предположении справедливости Н
ретический закон распределения (законом распределения
ссиональной компетентности академической
. Проверка гипотезы Н0 осущест-
0
оторого меньше α, считается практически не-
принимается или отклоняется, называется
0
. Схема построения критерия та-
0
устанавливается тео-
0
185
случайной величины Т называется соответствие между
возможными значениями Т и их вероятностями) величины Т, зависящий от объемов, но не зависящий от результатов выборок. Т называют статистикой критерия. После
того, как удается установить закон распределения Т, можно
выбрать такую часть множества всех значений Т, что вероятность попадания конкретного значения Т в эт
у область
не превосходит принятого уровня значимости. Эту часть
значений Т называют критической областью. Различают
правостороннюю (рис. 5.1), левостороннюю (рис. 5.2)
и двустороннюю критические области (рис. 5.3). Ткр на рисунках обозначает критические точки, под которыми понимаются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Рис. 5.1 Рис. 5.2 Рис. 5.3
Правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя критические области
Если найденное по результатам выборок значение Т (на-
блюдаемое значение Т
) попало в критическую область,
на6л
то это означает, что осуществилось событие, вероятность
которого не превосходит принятого уровня значимости,
т.е. это событие мы должны считать неслучайным, значимым событием. Поэтому гипотеза Н0 о том, что наблюдаемое различие выборок, выраженное через Т, вызвано случайными причинами, противоречит данным наблюдений
и должна быть отклонена на принятом уровне значимости.
Тем самым должна быть принята альтернативная гипотеза H1, означающая, что наблюдаемое различие результатов
выборок статистически значимо. Если же значение статистики Т не попало в критическую область, то нет оснований для отклонения Н0: нулевая гипотеза не противоречит
данным наблюдений; Н0 принимается на принятом уровне
значимости [5].
186
5.1. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ (РАНГОВЫХ)
КРИТЕРИЕВ
Различают параметрические и непараметрические критерии. Параметрический критерий – это такой критерий,
который использует определенный тип распределения или
параметры (среднее, дисперсия и т.п.) генеральных совокупностей. Непараметрический критерий не опирается на
эти характеристики. Из-за характера измерительных шкал,
используемых в педагогических исследованиях, для проверки педагогических гипотез в настоящее время применяют
ся, в основном, непараметрические критерии. Опишем
наиболее распространенные из этих критериев.
Использование того или иного критерия зависит, в частности, от типа выборок. Различают выборки зависимые
и независимые. Выборки зависимы, если результаты измерения некоторого свойства у объектов одной выборки
оказывают влияние на результаты измерения в другой выборке. Примером зависимых измерений в педагогическом
исследовании может служить двукратное измерение одного
и того же свойства или измерение различных свойству одних и тех же учащихся. Если результаты измерения некоторого свойства у объектов одной выборки не оказывают
влияние на результаты измерения этого свойства у объектов другой выборки, то такие выборки независимы [24].
Применение параметрических критериев, к которым
относятся критерии Стьюдента, Фишера, связано с предположением о нормальности распределения генеральной
совокупности. На практике это предположение не всегда выполняется, поэтому применение параметрических
критериев часто связано с вероятностью ошибочных выводов. В математической статистике разработаны непараметрические методы, использование которых не требует
нормальности распределения. Такие методы применяются
в тех случаях, когда результаты эксперимента представлены в виде порядковой шкалы или шкалы наименований.
187
Если выборки получены из нормально распределенных
генеральных совокупностей, непараметрические критерии
уступают параметрическим, так как при их применении теряется часть информации об измеренных признаках.
Важную группу непараметрических критериев составляют ранговые критерии, которые имеют высокую эффективность и не требуют сложных математических вычислений.
Для изучения непараметрических критериев необходимо
познако миться с понятием «ранг».
Для опре
деления рангов объектов совокупности составляют ранжированный ряд. Ранг определяется порядковым
номером объекта, если в ряду нет повторяющихся значений.
Если есть совпадающие значения, то их ранги равны среднему арифметическому порядковых номеров.
Пример 21. Определить ранги значений, представлен-
ных в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Ранги случайных значений
X25262828283233333536
№ 12345678910
R1244467,57,5910
Х – значение величины; № – номер варианты в ранжированном ряду; R – ранг варианты.
В первой строке таблицы записан ранжированный ряд, во
второй строке – номера элементов в ранжированном ряду.
Значения 25; 26; 32; 35; 36 встречаются по одному разу,
следовательно, их ранги равны порядковым номерам. Значение 28 повторяется три раза, его ранг равен среднему арифметическому порядковых номеров, которые равны 3; 4; 5
(в среднем – четыре). Значение 33 повторяется 2 раза, его
ранг равен среднему арифметическому номеров 7 и 8 (7,5).
188
5.2. СРАВНЕНИЕ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ
ПО КРИТЕРИЮ СТЬЮДЕНТА
В исследовательской практике по физической культуре
и спорту часто необходимо сравнить средние значения двух
генеральных совокупностей на основании сравнения соответствующих выборочных средних. Такая задача возникает,
когда требуется подтвердить эффективность новых методов
тренировки, сравнить результаты исследования в контрольных и экспериментальных группах, сопоставить показатели
физического развития или физической подготовленности испытуемых различных гр
провести сплошное обследование невозможно и необходимо
сделать заключение на основании выборочных показателей.
Если из одной генеральной совокупности сформировать
несколько выборочных совокупностей, по которым определить выборочные средние x1, x2 ... xn, то как правило, эти
средние не будут равны между собой, однако различия в их
значениях будут невелики, или недостоверны. Несущественные различия в значениях выборочных средних могут быть
обусловлены влиянием случайных факторов, а также малым
числом на блюдений.
Если же выборочные средние различаются существенно,
то можно сделать вывод о том, что эти различия – следствие
различий генеральных средних. Поэтому для установления
достоверности различий выборочных средних необходимо
проверить статистическую гипотезу о равенстве двух генеральных средних [9].
Если есть основания предположить, что исследуемые
совокупности имеют нормальное распределение, но объемы выборочных совокупностей невелики, то для решения
задачи о достоверности различий используют t-критерий
Стьюдента.
упп. В этих и подобных им случаях
Алгоритм проверки гипотезы
1. Формулируется нулевая гипотеза, как предположение
о равенстве генеральных средних. Н0: μx = μy.
189
2. Формулируется альтернативная гипотеза как предпо-
ложение о Неравенстве генеральных средних, Н
: μx ≠ μy.
1
3. Выбирается уровень значимости (обычно 0,05).
4. По выборочным данным вычисляются выборочные
2
средние x, y выборочные исправленные дисперсии s
количество степеней свободы v = n
x ny
–2.
2
, s
x
y
5. Вычисляется эмпирическое значение t-критерия
Стью де нта.
||
xy
=
nn
−
2
2
s
s
y
x
−
xy
t
6. На основании количества степеней свободы v и выбранного уровня значимости α по таблице (приложение 2)
определяется критическое значение t-критерия Стьюдента.
7. Сравниваются эмпирическое и критическое значения t-критерия Стьюдента. Если эмпирическое значение
t-критерия оказалось меньше критического, то принимается
нулевая гипотеза. Это значит, что имеющиеся различия выборочных средних нельзя считать статистически достоверными, они могут быть обусловлены случайными причинами
и не отражают различий генеральных средних. Если эмпирическое значение t-критерия оказалось больше табличного, то нулевая гипотеза отвергается, и на выбранном уровне
значимости принимается альтернативная, то есть различия
между выборочными средними являются статистически достоверными.
Пример. Для сравнения уровня развития скоростно-
силовых способностей легкоатлетов, занимающихся бегом
на различные дистанции, проведено тестирование, в котором участвовало 8 спринтеров и 10 стайеров. Определялись
результаты, показанные спортс менами в прыжке в длину. Статистическая обработка данных показала, что выборочные средние в исследуемых группах равны x = 248 см;
2
y = 242 см, выборочные исправленные дисперсии s
2
= 20 см2.
s
y
= 16 см2;
x
,
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]