Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
время коэффициент корреляции Спирмена имеет свои преимущества. Его применение требует меньшей вычислительной работы. Ранговый коэффициент корреляции применяют
в тех случаях, когда нужно выявить взаимосвязь между величинами, представленными в порядковой шкале (места, занятые командами в турнире) или между качественными признаками, которые не могут быть точно измерены, но могут
быть расст
авлены в определенном порядке.
Алгоритм вычисления коэффициента корреляции
Спирмена
1. Составить выборку, представленную парами значе-
ний х; у.
2. Найти ранги величин X и Y, вычислить разность ран-
гов Rx, Ry.
3. Вычислить коэффициент корреляции по следующей
формуле:
r
s
1
=−
n
6( )
RR
∑
i
=
1
2
(1)
nn
2
−
xy
−
где – Rx; Rу – ранги значений х и у; п – объем выборки.
4. Проверить гипотезу о достоверности выборочного
коэффициента корреляции Спирмена или сравнить выборочный коэффициент корреляции с критическим значением
(приложение 4).
Алгоритм проверки гипотезы о достоверности
коэффициента корреляции Спирмена
1. Формулируется нулевая гипотеза, как предположение
об отсутствии связи между величинами X и Y.
Н0: ρs= 0.
2. Формулируется альтернативная гипотеза, как предположение о том, что связь между исследуемыми величинами
существует.
Н1: ρs≠ 0.
221
3. Выбирается уровень значимости α (обычно а = 0,05).
4. По выборочным данным вычисляется коэффициент
корреляции Спирмена rs, и количество степеней свободы
ν = п–2.
5. Вычисляется эмпирическое значение Т-критерия по
следующей формуле:
2
1
r
−
Tt
=⋅
êð
s
2
n
−
6. tкp – критическое значение t-критерия Стьюдента,
определенное по таблице, на основании выбранного уровня
значимости и количества степеней свободы;
7. rs – выборочное значение коэффициента корреляции
Спирмена;
8. п – объем выборки.
9. Если выборочное значение коэффициента корреляции Спирмена rs оказалось меньше вычисленного
Т-критерия, то принимается нулевая гипотеза, то есть взаимосвязь между величинами X и Y отсутствует. Если выборочное значение коэффициента корреляции rs оказалось
больше вычисленного Т-критерия, то говорят, что взаимосвязь между исследуемыми показателями достоверна с вероятностью ошибки α.
Пример 30. Определить наличие взаимосвязи между
результатами, показанными школьниками в сгибании рук
в упоре лежа (X, количество раз) и броске набивного мяча
(Y, см), если в тестировании участвовало 10 человек.
Решение. Для вычисления коэффициента корреляции
Спирмена составим расчетную таблицу (табл. 6.3.).
В первом столбце расчетной таблицы указаны номера
испытуемых, во втором и третьем – результаты, показанные
испытуемыми при тестировании.
В четвертый столбец запишем ранги значений первого
теста Rx, в пятый – ранги значений второго теста Ry. В шестой столбец запишем разности рангов Rx – Ry, в седьмой –
квадраты разностей рангов. Сумму квадратов разностей рангов внесем в последнюю строку седьмого столбца таблицы.
222
Таблица 6.3
Расчетная таблица для вычисления коэффициента корреляции Спирмена
№
xyR
RyRx – Ry(Rx – Ry)
x
12 3 4 5 6 7
1 8 590 5,5 5 0,5 0,25
2 6 570 8,5 7,5 1 1
3 7 570 7 7,5 -0,5 0,25
4 8 560 5,5 9 -3,5 12,25
5 9 610 4 2 2 4
6 10 600 2,5 3,5 -1 1
7 5 550 10 10 0 0
8 11 620 1 1 0 0
9 6 580 8,5 6 2,5 6,25
10 10 600 2,5 3,5 -1 1
Σ 26
Сумма квадратов разностей рангов составляет 26.
Найдем выборочное значение коэффициента корреляции
Спирмена.
n
6( )
RR
∑
=
i
1 1 0,843
r
=− =− =
s
1
2
( 1) 10 (100 1)
nn
2
−
xy
626
⋅
−⋅−
Проверим гипотезу о достоверности выборочного коэф-
фициента корреляции
1. Н
: ρs = 0.
0
2. Н1: ρs ≠ 0.
3. α = 0,05.
4. v = n–2 = 10–2 = 8.
5. По таблице критических значений t-критерия Стью-
дента найдем критическую точку t
= 2,306.
0,05
6. Вычислим эмпирическое значение Т-критерия Стью-
дента.
10 2
−
2
2,306 0,438
T−=⋅ =
1 0,843
2
7. Сравним выборочное значение коэффициента корре-
ляции с полученным значением Т-критерия:
223
rs>T (0,843>0,438)
8. Выборочный коэффициент корреляции оказался больше Т-критерия, значит следует принять альтернативную, то
есть взаимосвязь между величинами является достоверной
с вероятностью ошибки 0,05.
6.4. ОЦЕНКА ВЗАИМОСВЯЗИ КАЧЕСТВЕННЫХ
ПРИЗНАКОВ
Нередко требуется количественно оценить зависимость
между качественными признаками, то есть такими, которые
нельзя представить в виде числовых значений. Например,
нужно выяснить, существует ли зависимость между занятиями спортом и заболеваемостью детей.
Определить наличие взаимосвязи между качественными
признаками можно при помощи тетрахорического коэффи-
циента сопряженности.
Для вычисления коэффициента сопряженности строят
таблицу, в которой указывают количество испытуемых, обладающих определенной парой признаков [4].
Признак 1
Наличие
Отсутствие
Признак 2
Наличие Отсутствие
ab
cd
Затем вычисляют коэффициент сопряженности и проверяют его достоверность.
ad bc
r
=
()()()()
abcdacbd
++++
−
Алгоритм проверки гипотезы о достоверности коэффициента сопряженности
1. Формулируется нулевая гипотеза, как предположение
о том, что между исследуемыми качественными характеристиками отсутствует взаимосвязь. H0: rA= 0.
2. Формулируется альтернативная гипотеза, как предположение о том, что между исследуемыми характеристиками
есть взаимосвязь. H1: rA≠ 0.
224
3. Выбирается уровень значимости (обычно α = 0,05).
4. Вычисляется эмпирическое значение критерия χ
2
χ2 = nr
.
A
2
.
Определяют критическое значение χ2 при количестве
степеней свободы.
2
5. Если эмпирическое значение χ
-критерия оказалось
меньше критического, то коэффициент сопряженности
считается недостоверным, то есть взаимосвязь между величинами X и Y отсутствует. Если эмпирическое значение χ2-критерия оказалось больше критического, то говорят,
что взаимосвязь между исследуемыми показателями достоверна с вероятностью ошибки α.
Пример 31. Установить взаимосвязь между занятиями
спортом и заболеваемостью школьников при помощи коэффициента сопряженности.
Решение. Составим расчетную таблицу (табл. 6.4), в кото-
рую запишем количество объектов, обладающих парами признаков: дети, занимающиеся спортом, редко болеющие (n1 = 10),
дети, занимающиеся спортом, часто болеющие (n2 = 4), дети,
не занимающиеся спортом, редко болеющие (n3 = 5), дети, не
Таблица 6.4
Расчетная таблица для решения задачи
Занятия спортом Заболеваемость Σ
Редко Часто
Занимающиеся 10 4 14
Не занимающиеся 51217
Σ 15 16 31
занимающиеся спортом, часто болеющие (n4 = 12).
Вычислим коэффициент сопряженности.
10 12 4 5
r
=
(10 4)(5 12)(10 5)(4 12)
⋅−⋅
++ ++
Найдем эмпирическое значениях – критерия:
225
2
χ2 = nr
Критическое значение χ
= 31· 0,562 = 9,72
A
2
= 3,84; χ
0,05
2
= 6,63; χ
0,01
2
0,001
= 10,83.
Эмпирическое значение критерия оказалось больше табличных на уровне значимости 0,05 и 0,01. Следовательно,
выборочный коэффициент сопряженности дает основание
предполагать, что дети, занимающиеся спортом, болеют
реже, чем не занимающиеся. Вероятность ошибочности такого вывода составляет 0,01.
226
ГЛАВА 7. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Описанный выше корреляционный анализ позволяет
определить уровень взаимосвязи между признаками, направление и форму существующей между ними связи. Однако он
не позволяет предсказать изменения одного из связанных
признаков при изменении другого, В то же время, регрессионный анализ дает возможность по величине одного признака (X ) находить ожидаемое значение другого признака
(Y ), св
язанного с ним корреляционной связью, т.е. позволяет
предсказать поведение одного из параметров при целенаправленном изменении другого.
Например, каков станет результат в прыжках в высоту
с полного разбега у спортс менов, если они увеличат свой результат в прыжке с укороченного разбега на определенную
величину. В данном случае, проведя регрессионный анализ,
мы сможем говорить о размере изменения величины одного признака (результата в прыжке с полного разбега) в связи
с изменением, на единицу измерения, величины другого (результата в прыжке с укороченного разбега) и наоборот [22].
В этой связи, регрессионный анализ дает возможность
определять модельные характеристики спортс менов конкретного уровня подготовленности или квалификации, прогнозировать спортивные результаты по уровню подготовленности или уровень подготовленности для конкретного
спортивного результата.
7.1. КОЭФФИЦИЕНТ РЕГРЕССИИ
Коэффициент регрессии дает возможность, при существующей линейной зависимости между признаками, определить размер изменения величины признака одного явления
(X ) в связи с изменением, на единицу измерения, величины
другого признака (Y ). Расчет коэффициента регрессии про-
изводится по формулам:
a) Если коэффициент корреляции между признаками неизвестен, то применима формула:
227
()( ) ()( )
YY X X YY XX
−⋅ − −⋅ −
∑∑
bb
==
yx xy
() ()
XX YY
−−
∑∑
èëè
22
(7.1)
где bух – коэффициент регрессии Y по X, bху – коэффициент
регрессии X по Y.
б) Если известен коэффициент корреляции между при-
знаками, то применима следующая формула:
22
() ( )
YY X X
−−
br br
yx xy
∑∑
=⋅ =⋅
() ()
XX YY
∑∑
èëè
22
−−
(7.2)
где r – коэффициент корреляции между признаками X и Y.
Пример 32. Исследовалось влияние темпа последнего
шага в разбеге прыгунов в длину на спортивный результат
в прыжках в длину с разбега. С этой целью фиксировались
спортивные результаты (X ) и соответствующие им значения
темпа последнего шага разбега (Y ). Полученные данные
представлены в таблице 7.1, где наряду с зафиксированными
показателями, рассчитывались вспомогательные, производные от них, величины, необходимые для дальнейших расчетов.
Таблица 7.1
Влияние темпа последнего шага в разбеге прыгунов в длину на спортивный
результат в прыжках в длину с разбега
nX Y X 2Y
1
8,18
5,21
2
7,98
5,01
3
7,72
4,98
4
7,71
4,91
5
7,70
4,85
6
7,68
4,82
7
7,62
4,76
8
7,60
4,74
9
7,56
4,68
10
7,32
4,69
Σ 77,07 48,65 594,466 236,931 375,270 0,49 0,249
66,912
63,68
59,598
59,444
59,29
58,982
58,064
57,76
57,154
53,582
2
27,144
25,1
24,8
24,108
23,523
23,232
22,658
22,468
21,902
21,996
X·Y (X–X )2(Y–Y )
42,618
39,98
38,446
37,856
37,345
37,018
36,271
36,024
35,381
34,331
0,224
0,275
0,0002
0,00001
0,00005
0,0007
0,0076
0,0114
0,0216
0,1498
2
0,119
0,021
0,013
0,002
0,0002
0,002
0,011
0,0156
0,034
0,031
228
Рассчитаем коэффициент корреляции
77,07 48,65
375,27
r
==
xy
⎛⎞⎛⎞
594,446 236,931
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
==
594,466 593,978 236,931 236,682
()()
−⋅−
==
−
77,07 48,65
−⋅ −
10 10
375,27 374,945
0,325
⋅
0,488 0,249
⋅
10
22
−
0,939
По формулам 7.2 рассчитаем коэффициент регрессии:
0,939 0,939 1,403=1,32
bb=⋅ =⋅
xy
0,939 0,939 0,713 0,669
=⋅ =⋅=
yx
0,49
0,249
0,249
0,49
Полученный коэффициент регрессии bху позволяет сделать вывод: увеличение спортивного результата на 1 м связано с увеличением темпа последнего шага на 1,32 шаг/с. Преобразовав единицы измерения в сантиметры, получим, что
увеличение спортивного результата на 10 см связано с увеличением темпа последнего шага на 0,123 шаг/с. В то же время, (на основании b
) увеличение темпа последнего шага на
ху
1 шаг/с приводит к росту спортивного результата на 67 см.
Связь между коэффициентами регрессии и корреляции. Существует взаимосвязь между коэффициентами ре-
грессии и коэффициентом корреляции й выражается через
равенство:
2
rbb r bb=⋅ = ⋅
,откуда
yx xy yx xy
(7.3)
Этой формулой можно воспользоваться для нахождения неизвестной величины коэффициента корреляции по
известным значениям коэффициентов регрессии. Кроме
229
этого с ее комоды можно контролировать правильность рас-
чета коэффициента корреляции.
7.2. УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИЙ
Как отмечалось выше, связь между признаками изучаемого явления может быть различной. Если зависимость
линейная (скорость – время пробегания, длина бегового
шага – скорость бега и т.п.), то ее можно выразить через
уравнение:
Y = a+bx
где Y – ожидаемое значение переменной величины, соответствующее определенному значении переменной X; а – свободный член уравнения; b – коэффициент регрессии.
Определив а и b, задавая различные значения переменной X, мы можем определить соответствующее ей значение Y. Например, по данному результату в прыжках в высоту (X ) возможно определить величину двигательного
потенциала прыгуна» что даст нам возможность прогнозировать должное значение двигательного потенциала для достижения планируемого спортивного результата [4].
Для определения параметров уравнения линейной регрессии (а и b) используют следующие формулы:
nXY X Y Yb X
ba
==
−⋅ −⋅
∑∑∑ ∑ ∑
2
nX X
−
∑∑
()
;
2
n
(7.4)
Воспользуемся данными из табл. 7.1 для определения коэффициентов регрессии и режим уравнение:
(10 375,27) (77,07 48,65)
b
48,56 0,666 77, 07 48,65 51,33
a
===−
⋅−⋅
==
(10 594,466) 77,07
⋅−
3752,7 3749,45
==
5944,66 5939,78
−⋅ −
10 10
−
−
2
0,666
0,228
Уравнение регрессии принимает вид: Y = –0,268 + 0,666 ∙X
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]