Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
для студентов НГТУ II курса очного и заочного отделений
всех направлений и специальностей
Новосибирск
2016
УДК 519.2(075.8)
M545
Рецензенты: А. Г. Пинус, д-р физ.-мат. наук, проф.,
Г. Н. Миренкова, кандидат физ.-мат. наук, доц.
Работа подготовлена на кафедре высшей математики
для студентов нематематических специальностей
Методы математической статистики.: учеб. пособие /М. Ю. Ва-
M545
сильчик, А.П. Ковалевский, Г. С. Шефель и др. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. — 88 с.
ISBN 978-5-7782-2811-5
Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов II курса очного
и заочного отделений всех направлений и специальностей, изучающих
теорию вероятностей и математическую статистику. При его написании
были использованы методические разработки и другие материалы, ранее
изданные кафедрой высшей математики НГТУ. Эти материалы включены
в текст пособия без ссылок, за что мы приносим свои извинения. Все
замечания по содержанию данной работы просим передавать на кафедру
высшей математики. Они будут с благодарностью приняты и учтены в
следующих изданиях.
ISBN 978-5-7782-2811-5
УДК 519.2(075.8)
c
Васильчик М.Ю., Ковалевский А.П.,
Назарова Т.М., Пупышев И.М.,
Тренева Т.В.,Хаблов В.В.,
Шефель Г.С., 2016
c
Новосибирский государственный
технический университет, 2016
Оглавление
Глава1. Основы выборочного метода 4
§ 1.1. Выборка. Базовые понятия математической
статистики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1.2. Выборочные характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§ 1.3. Точечные оценки параметров распределения . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Метод моментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Метод максимального правдоподобия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 1.4. Интервальные оценки параметров распределения . . . . . . . . . . . . . 14
§ 1.5. Асимптотические доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Глава2. Проверка статистических гипотез. 24
§ 2.1. Основные сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§ 2.2. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной сред-
ней нормальной совокупности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 2.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической ге-
неральной дисперсией нормальной совокупности. . . . . . . . . . . . . 31
§ 2.4. Сравнение дисперсий двух нормальных
генеральных совокупностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 2.5. Сравнение средних двух генеральных совокупностей. . . . . . . . . . . . 36
§ 2.6. Проверка гипотезы о виде распределения
генеральной совокупности по критерию Пирсона
(критерий χ2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Глава3. Метод наименьших квадратов и элементы регрессионного анализа. 46
§ 3.1. Предварительные сведения. Метод наименьших квадратов. . . . . . . . 46
§ 3.2. Метод наименьших квадратов в математической статистике. . . . . . . 49
§ 3.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корре-
ляции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 3.4. Уравнения линейной регрессии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Глава4. Элементы теории случайных процессов. 57
§ 4.1. Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 4.2. Стационарные случайные процессы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
ПРИЛОЖЕНИЕ. Таблицы
Литература xxiv
3
i
Глава 1.
Основы выборочного метода
1.1. Выборка. Базовые понятия математической
статистики.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.
X,Y,... — имена случайных величин, чьи законы распределения неиз-
вестны (или известны лишь частично) и подлежат исследованию. Если X
— такая случайная величина, то ее в математической статистике называют
генеральной совокупностью. Для исследования производят n независимых
наблюдений, в которых получают значения
объема n из генеральной совокупности. Если элементы выборки упорядо-
чить:
X
, X
(2)
,...,X
(1)
вариационным рядом. Число X
(n)
,гдеX
(1)X(2)
− X
(n)
(1)
Аналогом функциираспределенияв статистике является выборочная,или
эмпирическая функция распределения:F
тов выборки, меньших, чем x. График F
Если обозначить nk— количество элементов выборки, равное Xk, то
числа nk— частоты, а w
n
k
=
k
— относительные частоты наблюдаемых
n
значений. Если nkимеет (локально) максимальное значение, то соответствующее Xkназывают модой выборки
1.1. Для выборки
→
X =
5, 1, −2, 10, 1, 5, 5, 3, 5, 6)построить вариационный ряд и определитьмо-
(
ды.
→
X = (X1, X2,...,X
... X
(n)
, то результат называют
) — выборку
n
называется размахом выборки.
n
x
,гдеnx— число элемен-
=
n
имеет вид, как на рис. 1.
→
X.
∗
(x)
∗
(x)
4
∗
F
1
2/n
1/n
(1)
OX
X
(2)X(3)
X
(n)
Рис. 1
РЕШЕНИЕ. Вариационный ряд
X
, X
(2)
,...,X
(1)
=(−2, 1, 1, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 10
(10)
.
)
Модами являются значения 1 и 5. Размах выборки равен 12.
Выборочный ряд распределения — это такое представление вариацион-
ного ряда:
X X
w w
(1)X(2)
1
...
w
...
2
1.1 (Продолжение). Для примера, приведенного выше, построить вы-
борочный ряд и график выборочной функции распределения.
РЕШЕНИЕ.
X −2 1 3 5 6 10
w 0, 1 0, 2 0, 1 0, 4 0, 1 0, 1
Эмпирическая функция распределения приведена на рис. 2.
∗
F
1
0, 9
0, 8
0, 4
0, 3
0, 1
O−2 1 2 3 10
x
Рис. 2
x
5
Аналогом плотности распределения в статистике является гистограм-
ма. Для любого набора чисел x
0,x2
,...,x
, если x
r
0
X
(1)
и X
(n)
x
, то опре-
r
делены значения n1,n2,...,nr,гдеnk— число значений в выборке, попавших
в промежуток Δ
делаем замкнутым: Δ
ментов выборки в промежуток Δk. По определению функция f
мает на промежутке Δkпостоянное значение, равное
— длина промежутка Δk. Часто длину hkвыбирают постоянной h
число промежутков r определяют по формуле Стеджеса :
Здесь [...] — целая часть числа. При этом выборе h =
ка [x
,x
] значение функции f
0
r
ная функция f
= [x
k
r
∗
называется гистограммой. Ее графиком является сту-
(x)
), k = 1, 2,...,r − 1. Последний промежуток Δ
k−1,xk
= [x
r−1,xr
r =
]. Числа n
log
∗
полагают равным нулю. Так построен-
(x)
— это частотыпопадания эле-
k
n
k
,гдеh
nh
k
n
+ 1.
2
x
− x
r
1
. Вне промежут-
r
∗
k
прини-
(x)
= xk−x
= h, а
k
k−1
пенчатая фигура. Суммарная площадь под всеми ступеньками всегда равна
nh
nh
nh
n
1
· h1+
nh
1
∗
f
n
r
r
n
2
2
n
1
1
n
2
· h2+ ... =
nh
2
n
n
1
2
+
n
+ ... =
n
n
= 1.
n
x
x0O x
1
x
r
Рис. 3
,
r
1.1 (Продолжение). Для рассматриваемого примера построить гисто-
грамму.
РЕШЕНИЕ. r = [log
x
= 10 получаем: h = 3,n1= 1,n2= 3,n3= 5,n4= 1.
4
n] + 1 = [log
2
10] + 1 = 4. При выборе x
2
6
0
= −2 и
∗
f
5/30
3/30
1/30
x
−2 O 1 4 7 10
Рис. 4
Другое приближение плотности распределения с помощью выборки —
полигон частот. Это — ломаная, соединяющая середины верхних основа-
ний прямоугольников, образующих гистограмму. Звенья ломаной спроектированы на отрезки одинаковой длины и площадь под графиком полигона
равна единице.
∗
f
5/30
3/30
1/30
x
−2 O 1 4 7 10
Рис. 5
Гистограммой частотназывается гистограмма, умноженная на объем
выборки n. Вэтом случае суммарная площадь подвсеми ступеньками равна
n
1
h
1
· h1+
n
2
· h2+ ... = n1+ n2+ ... = n.
h
2
1.2 По выборке объема n = 100 построена гистограмма частот:
7
y
18
z
12
8
4
x
O 2 4 6 8
Рис. 6
Чему равно значение z ?
РЕШЕНИЕ. Вычисляя площадь под ступеньками, приходим к равенству
68 + 2z = 100, откуда z = 16.
1.2. Выборочные характеристики
Для выборочного ряда распределения
X X
(1)X(2)
nkn
1
Число X =
1
X
· n1+ X
(1)
n
· n2+ ...=
(2)
средним.
1.1 (Продолжение). Найти выборочное среднее для нашего примера.
РЕШЕНИЕ.
X = −2 · 1 + 1 ·2 +...+ 10 · 1 = 3, 9 .
Число S
1
X
=
(1)
n
борочной дисперсией;S = σ
отклонение. В случае, когда числа X
X −2 1 3 5 6 10
n
1 2 1 4 1 1
k
2
= S2= D
X
− X
2
· n1+
X =
в
X
− X
(2)
X =DвX — выборочное среднее квадратическое
в
2
· n2+ ...
целые, а X — нет, более удобной для
n
устного счета является формула
1
DвX = X
2
− X2=
10
2
X
(1)
· n1+ X
2
(2)
...
n
...
2
n
1
X
называется выборочным
k
n
k=1
n
1
=
n
l=1
· n2+ ...− X2=
l
− X
2
n
1
n
l=1
называют вы-
2
X
− X
l
X
2
8
1.1 (Продолжение). Для текущего примера найти выборочную диспер-
сию.
РЕШЕНИЕ.
DвX =
1
10
= 8, 369; σ
Для любого натурального значения k число m
2
· 1 + 12· 2 + 32· 1 + 52· 4 + 62· 1 + 102· 1− 3, 92=
(−2)
X =
в
8, 369 ≈ 2, 892 9.
= Xk=
k
n
1
k
X
l
n
l=1
етсяk-м выборочным моментом.
Свойства выборочных математического ожидания и дисперсии.
1) Если X = C — постоянная, то X = C.
2) Если C — постоянная, то CX = CX .
называ-
3) Если X = C — постоянная, то D
4) Если C — постоянная, то D
5) Если C — постоянная, то D
(
в
(CX)
в
X = 0.
в
X +C
)
= C
= D
2
X.
в
DвX.
1.3 Найти выборочные среднее и среднее квадратическое отклонение
для вариационного ряда
X 123, 4 128, 4 133, 4
n
4 1 5
k
.
РЕШЕНИЕ. Заметим, что значения в выборке следуют друг за другом с
шагом h = 5. Это позволяет представить X в виде X = 5 ·Y + 128, 4. Вариа-
ционный ряд для Y имеет вид
Y −1 0 1
n 4 1 5
. Для Y выборочные харак-
теристики вычисляются легко:
Y = 0, 1 . S
5 ·Y + 128, 4 = 5 ·Y + 128, 4 = 128, 9. S
2
25 · S
= 22, 25 . Отсюда σ
Y
Задачи для самостоятельного решения.
1.4 Дана выборка
2
= Y2− Y2= 0, 9 − 0, 01 = 0, 89 . По свойствам 1–5 X =
Y
Y = S
в
Y
→
X = (4, 0, 9, 0,4, −3, 2, 4, 5,4) из генеральной совокупно-
2
= D
X
=
22, 25 ≈ 4, 717 .
5 ·Y + 128, 4
(
в
)
= D
в
5 ·Y
(
)
сти. Произвести необходимые вычисления и
1) построить вариационный ряд;
2) определить моды выборки;
3) по формуле Стеджеса найти число интервалов для построения гисто-
граммы и построить ее;
=
4) найти выборочные: среднее, дисперсию, исправленную дисперсию;
9
5) построить график выборочной функции распределения.
1.5 Выполнить задания предыдущей задачи для выборки
→
X = (11, 2, 6, 7, 6, −1, 4, 6, 2, 6).
1.6 Найти выборочные среднее и среднее квадратическое отклонение для
выборочного ряда
X 131, 7 136, 7 141, 7
n
3 2 5
k
.
1.3. Точечные оценки параметров распределения
Пусть распределениегенеральной совокупности известно частично, например его функция распределения содержит один или несколько неизвестных параметров θ =(θ
пользуют статистики. Статистика — это функция, значения θ∗которой
зависят от выборки
дения значенияθ ≈ θ
→
X и которая используется для (приближенного) нахож-
∗
оценками параметровθ. Например, часто используется оценка a ≈ X для
неизвестного математического ожидания M(X) = a генеральной совокупности X. Для оценки дисперсии σ2можно использовать статистику D
S2. Важнейшим для анализа является следующее соображение: каждое зна-
чение Xiможно рассматривать как значение случайной величины, имеющей то
же распределение, что и генеральная совокупность X, и случайные величины
X
и Xjнезависимы при i ≠ j. Тогда любая статистика θ
i
величина, закон распределения которой определяется законом распределения генеральной совокупности. Если Mθ
называется несмещенной. Например, M
n
1
M(X
= M
n
l=1
)
. Таким образомX — несмещенная оценка математиче-
(X)
ского ожиданияa = M
оценка S2— смещенная оценка параметра σ
ется оценка S
Оценка θ
→
∗
θ
(
X) → θ по вероятности при n → ∞, т. е. для любого ε > 0 вероятность
∗
P(|θ
−θ| > ε) → 0 при n → ∞. Оценка θ∗(
n
2
=
0
n −1
→
∗
(
X) параметра θ называется состоятельной, если
но состоятельной, если θ
, θ2,...
1
→
X
. Такие функцииθ
. Можно показать, что MS
(X)
Для определения этих параметров ис-
)
→
∗
X
называются точечными
→
∗
X
— случайная
→
∗
X
= θ, то оценка θ
X
⎛
⎝
= M
2
= D(x). Несмещенной явля-
⎞
n
1
⎠
X
=
l
n
l=1
n −1
2
=
n
S2.
→
→
∗
(
X) → θ с вероятностью 1 при n → ∞. Например,
X) параметра θ называется силь-
n
1
M(X
n
l=1
2
σ
. Поэтому
∗
X =
в
l
→
X
)
=
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]