Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики. Учебное пособие
.pdf
x
34,8 34,9 35,0 35,1 35,2
i
n
2 3 4 6 5
i
Требуется: а) Найти выборочное среднее x и выборочное среднее квадратическое отклонение S0. б) При уровне значимости α = 0,05 проверить
гипотезу H0: a = 35 мм при конкурирующей гипотезе H1: a ≠ 35.
2.11 Дана выборка объема n = 80, извлеченная из нормально распреде-
ленной генеральной совокупности
x
8 8,2 8,4 8,6
i
n
15 20 25 20
i
Требуется: а) Найти выборочное среднее x и выборочное среднеквадратическое отклонение S0. б) При уровне значимости α = 0,01 проверить
гипотезу H0: a = 8 при конкурирующей гипотезе H1: a < 8.
2.12 Ночная температура воздуха в июне на курорте принимала следу-
ющие значения (в градусах Цельсия):
x
19 20 21 22 23
i
n
2 5 15 7 1
i
Требуется: а) Найти выборочное среднее X и выборочное среднеквадратическое отклонение S0. б) При уровне значимости α = 0,05 проверить
гипотезу H0: a = 20 при конкурирующей гипотезе H1: a > 20 в предположении, что значения образуют выборку из нормального распределения.
2.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии
с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.
Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение,
x1,x2,...,x
X1, X2,...,X
нулевая гипотеза H0: σ
полагаемому значению σ
1) Пусть конкурирующей гипотезой будет гипотеза H1: σ
рием в этом случае служит случайная величина
имеющая распределение χ2с числом степеней свободы k = n−1. Поданной
числовой выборке x
чимости α и данному числу степеней свободы k = n − 1 по таблице крити-
— числовая выборка — реализация случайной выборки
n
. Пусть X =
n
1,x2
n
1
n
i=1
2
= σ
2
при уровне значимости α.
0
,...,x
2
Xi, S
=
0
2
о равенстве неизвестной дисперсии σ2пред-
0
(n −1)S
2
χ
=
вычисляется значение χ
n
31
2
σ
0
1
n −1
i=1
2
0
,
n
(Xi− X)
2
. Рассматривается
2
. При уровне зна-
набл
2
> σ
2
. Крите-
0
ческих точек распределения χ2находится критическая точка χ
2
χ
набл
нулевая гипотеза отвергается.
скую точку χ
2
χ
лев,кр
Если χ
точку
2
χ
кр
гипотезу. Если χ
2
< χ
, то нет оснований отвергнуть гипотезу H0. Если χ
кр
2) При конкурирующей гипотезе H1: σ
2
< χ
набл
2
лев,кр
2
лев,кр
> χ
< χ
2
набл
1 −
2
пр,кр
или χ
α
,k
и правую χ
2
, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0.
2
< χ
пр,кр
2
пр,кр
2
, то нулевая гипотеза отвергается.
набл
3) При конкурирующей гипотезе H1: σ
(1−α,k). Если χ
2
набл
2
набл
2
> χ
(1−α,k), то нет оснований отвергнуть нулевую
кр
2
< χ
(1 − α,k), то гипотеза H
кр
2
2
≠ σ
. находят левую критиче-
0
α
,k
. Если
2
2
2
< σ
. находят критическую
0
отвергается.
0
2
(α,k). Если
кр
2
> χ
набл
2
, то
кр
2.13 Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии σ2кон-
тролируемогоразмера изделий, которая не должна превышать 0,15.По данным из n = 25 отобранных изделий вычислена оценка дисперсии S
2
= 0,25.
0
При уровне значимости α = 0,01 выяснить, обеспечивает ли станок требуемую точность.
0,15
2
= 0,15, конкурирующей —
= 40.
РЕШЕНИЕ. Нулевой гипотезой будет H0: σ
гипотеза H1: σ
2
> 0,15. Вычислим значение критерия
2
χ
=
(n −1)S
2
σ
0
2
0
=
24 ·0,25
По таблице критических точек распределения χ2со степенями свободы k =
24 при уровне значимости α = 0,01,находим χ
2
χ
2
< χ
, то нет оснований отвергнуть гипотезу H0.
кр
2
(0,01; 24) = 43. Поскольку
кр
2.14 Из нормальнойгенеральной совокупности извлечена выборка объ-
ема n = 31 :
x
10,1 10,3 10,5 10,7 10,9
i
n
2 7 10 9 3
i
Требуется: а) Найти исправленную выборочную дисперсию S
б) При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу H0: σ
2
σ
= 0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезу H
0
РЕШЕНИЕ. а) Вычислим в таблице Excel:
X
i
niXin
i
2
X
n
i
i
: σ
1
2
> 0,18.
2
.
0
2
10,1 2 20,2 204,02
10,3 7 72,1 742,63
10,5 10 105 1102,5
10,7 9 96,3 1030,41
10,9 3 32,7 356,43
сумма 31 326,3 3435,99
среднее - 10,526 110,838
=
32
В строке «сумма» вычислены суммы по столбцам: число значений n =
31, суммазначений 326,3, суммаквадратов значений 3435,99. В строке«среднее» вычислены X = 326,3/31 = 10,526, X
Выборочная дисперсия S
рочная дисперсия S
2
0
= nS2/(n − 1) = 0,0473.
2
= X2− (X)2= 0,0458, исправленная выбо-
2
= 3435,99/31 = 110,838.
б) Вычисляем значение критерия
30 ·0,0473
2
χ
набл
=
0, 18
= 7, 885.
По таблице критических точек распределения χ2при k = 30 степеней
свободы и уровне значимости α = 0,05 находим
2
лев,кр
1 −
χ
Поскольку χ
Значения χ
α
,k
2
2
набл
2
= χ
(0,975; 30) = 16,8; χ
кр
= 7,885 ∉ (16,8; 47,0), то гипотеза H
2
лев,кр
и χ
2
можно найти с помощью функции Excel
пр,кр
2
пр,кр
α
,k
2
2
= χ
(0,025; 30) = 47,0.
кр
отвергается.
0
«=ХИ2ОБР»: ХИ2ОБР(0,975;30)=16,791, ХИ2ОБР(0,025;30)=46,979.
2.15 При применении определенной процедуры проверки коэффици-
ента трения шины по мокрому асфальту установлено, что выборочное значение дисперсии результатов измерения этого коэффициента составляет
0,2 по результатам n = 25 измерений. Проверить гипотезу H0: σ
уровне значимости α = 0,1 и при конкурирующей гипотезе H1: σ
2.16 Из нормальнойгенеральной совокупности извлечена выборка объ-
ема n = 21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S
16,2. Требуется при уровне значимости α = 0, 01 проверить гипотезу H0:
2
2
σ
= σ
= 15 при конкурирующей гипотезе H
0
2
: σ
< 15.
1
2.17 В результате длительного хронометража времени сборки узла раз-
ными сбощиками установлено, что дисперсия этого времени σ
2
= 0,1 при
2
≠ 0,1.
2
= 2 мин
0
2
=
0
2
Результаты n = 20 наблюдений за работой новичка таковы:
время сборки узла в мин xi56 58 60 62 64
частота n
i
1 4 10 3 2
Можно ли при уровне значимости α = 0,05 считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени
существенно не отличается от времени остальных сборщиков)?
{УКАЗАНИЕ. Нулевая гипотеза H0: σ
H
: σ
1
2
2
≠ σ
.}
0
2
2
= σ
= 2, конкурирующая гипотеза
0
.
2.4. Сравнение дисперсий двух нормальных
генеральных совокупностей.
По независимым выборкам, объемы которых n1и n2, извлеченных из
нормальных генеральных совокупностей X иY, найдены исправленные вы-
33
2
2
борочные дисперсии S
0X
и S
. Требуется сравнить дисперсии генеральных
0
Y
совокупностей X и Y. В качестве нулевой берется гипотеза H0: D(X) =
D(Y).
1) При конкурирующей гипотезе H1: D(X) > D(Y) надо по числовой
выборке x
1,x2
,...,x
вычислить наблюдаемое значение критерия
n
F
набл
2
S
0Б
=
,
2
S
0М
где в числителе стоит большая из исправленных выборочных дисперсий.
По таблице критических точекраспределения Фишера—Снедекорапри
заданных уровне значимости α и числе степеней свободы k
n
−1 находится критическая точка F
2
кр
α; k1; k
. Здесь k1- число степеней
2
свободы большей из исправленных выборочных дисперсий S
F
> F
набл
,то нулевая гипотеза отвергается.
кр
= n1− 1, k2=
1
2
2
и S
0X
. Если
0Y
В Excel значения Fкрможно найти с помощью функции
«=FРАСПОБР»
2) При конкурирующей гипотезе H1: D(X) ≠ D(Y) находим критическую точку F
бодыk1и k2( k1- числостепеней свободы большей дисперсии). Если F
F
, то нет оснований отвергать гипотезу H0. Если F
кр
α
кр
2
,k1,k
по уровню значимости
2
α
и числам степеней сво-
2
> F
набл
, то нулевая
кр
набл
гипотеза отвергается.
2.18 По двум независимым выборкам, объемы которых n
извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены
исправленные выборочные дисперсии S
2
= 34,02, S
0
X
2
0
Y
= 9 и n2= 16,
1
= 12,15. При уровне
значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезу H0: D(X) = D(Y) при
конкурирующей гипотезе H0: D(X) > D(Y).
РЕШЕНИЕ. Вычисляемнаблюдаемое значение критерия. Поскольку S
2
S
,тоF
0Y
8, для Y равняется k
FРАСПОБР(0,01; 8; 15) = 4,004. Так как F
набл
34,02
=
= 2,83. Число степеней свободы для X равняется k1=
12,15
= 15. С помощью Excel находим Fкр(0,01; 8; 15) =
2
= 2,83 < Fкр= 4, 004, то нет
набл
2
0X
основания отвергать нулевую гипотезу.
2.19 На двух станках производят одну и ту же продукцию, контролируя
по наружному диаметру изделия. Из продукции станка А было отобрано
n
= 10 изделий, а из продукции станка В n2= 13 изделий. Выборочная
1
оценка среднего и исправленная дисперсия для станка А равны x
2
мм, S
= 1,21мм
0A
при уровне значимости α = 0,1 гипотезу о равенстве дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: σ
2
, для станка В x
2
2
≠ σ
A
B
B
.
= 38,6мм, S
РЕШЕНИЕ. Нулевая гипотеза имеет вид H0: σ
то k
= 12, k2= 9. Вычислим наблюдаемое значение критерия F
1
2
= 1,44мм
0B
2
= σ
A
2
. Так как S
B
2
= 37,5
A
. Проверить
2
2
> S
0B
0A
набл
<
>
,
=
34
1,44
= 1,19. С помощью Excel находим
1,21
α
F
кр
2
F
= 3,073, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
кр
; k1; k
= FРАСПОБР(0,05; 12; 9) = 3,073. Так как F
2
набл
= 1,19 <
2.20 Расходы сырья xiи yjна единицу продукции по старой и новой
технологиям приведены в таблице (xiрасход сырья по старой технологии,
y
- по новой технологии, ni- число изделий по старой технологии, yj-по
j
новой.
по старой технологии
x
304 307 308
i
n
1 4 4
i
При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу H0: σ
конкурирующей гипотезе H1: σ
по новой технологии
y
303 304 306 308
j
m
2 6 4 1
j
2
2
≠ σ
.
X
Y
2
2
= σ
X
при
Y
РЕШЕНИЕ. Вычислим выборочные средние и выборочные исправлен-
ные дисперсии X =
4
1
yjm
= 304,77, S
n
y
j=1
j
3
1
xin
= 307,11, S
i=1
i
4
1
=
n
− 1
y
j=1
n
x
2
0Y
(yj−y)
2
0X
=
2
m
3
1
n
− 1
x
j=1
= 2,1923. Вычислим наблю-
j
(xi−x)
2
n
= 1,61, y =
i
даемое значение критерия
набл
=
2,1923
= 1,3617.
1,61
α
= 0,05. Тогда Fкр(0,05; 12; 8) = 3,284.
2
Унасk
1
Так как F
F
= 13 −1 = 12, k2= 9−1 = 8,
= 1,3617 < Fкр= 3,284, то нет оснований отвергнуть нулевую
набл
гипотезу.
2.21 По двум независимым выборкам объемов n
влеченным из нормальных генеральных совокупностей X иY, найдены исправленные выборочные дисперсии S
2
0X
= 3,6, S
= 21, nY= 16, из-
X
2
= 2,4. При уровне зна-
0Y
чимости α = 0,05 проверить гипотезу H0: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе H0: D(X) > D(Y).
2.22 Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А, соста-
вил
срок хранения x
i
5 6 7
число ед. продукции ni2 4 6
а изготовленной по технологии В:
срок хранения y
j
5 6 7 8
число ед. продукции mj1 8 7 1
Предполагая, что генеральные совокупности X и Y распределены по
нормальному закону, проверить гипотезу H0: σ
мости α = 0,1 и конкурирующей гипотезе H0: σ
2
2
= σ
A
2
A
при уровне значи-
B
2
≠ σ
.
B
2.23 При уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о равенстве
дисперсий двух нормальных генеральных совокупностях X и Y на основа-
35
нии данных в таблице при конкурирующих гипотезах:
а) H1: σ
совокупность Х
x
i
n
i
b) H1: σ
совокупность Х
x
i
n
i
2
2
> σ
,
X
Y
15 17 20 21
2 3 2 5
2
2
< σ
,
X
Y
304 307 308
1 4 4
совокупность Y
y
20 22 23 25 26
j
m
4 2 2 3 1
j
совокупность Y
y
303 304 306 308
j
m
2 6 4 1
j
2.5. Сравнение средних двух генеральных совокупностей.
А. ДИСПЕРСИИ ГЕНЕРАЛЬНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ ИЗВЕСТНЫ.
Пусть X и Y - две генеральные совокупности объема n и m соответственно, причем, либо X и Y имеют нормальное распределение, либо выборки имеют достаточно большой объем (n > 30, m > 30). В последнем
случае генеральные совокупности X и Y можно считать нормально распределенными с параметрами (x, D(X)) и (y, D(Y)), где x и y - выборочные средние X и Y соответственно. Рассматривается нулевая гипотеза H0:
M(X) = M(Y)при уровне значимости α.
1) Пусть H1: M(X) ≠ M(Y) - конкурирующая гипотеза. Сначала вы-
числяется наблюдаемое значение критерия
x − y
Z
по выборкам (x
,...,x
1
), (y
n
,...,y
1
са Φ0находится критическая точка zкриз равенства Φ
|Z
набл
Если |Z
| > z
| < z
набл
, то нулевая гипотеза отвергается.
кр
,то нет оснований отвергать гипотезу H
кр
2) Пустьконкурирующая гипотеза есть H1: M(X) > M(Y). Тогдакрити-
ческая точка zкрнаходитсяпо таблице критических точек функции Лапласа
Φ0из равенства Φ
Если Z
набл
< z
0(zкр
, то нет оснований отвергнуть гипотезу H
кр
) =
1 −2α
zкр, то нулевая гипотеза отвергается.
3) Пусть конкурирующая гипотеза есть H1: M(X) < M(Y). Критическая точка zкрнаходится так же, как и в п.2. Если Z
нований отвергнуть гипотезу H0. Если Z
отвергается.
=
набл
2
D(X)
n
). Затем по таблице для функции Лапла-
m
.
+
набл
D(Y)
m
.
< −z
) =
0(zкр
. Если
0
. Если Z
0
> −z
набл
, то нулевая гипотеза
кр
1 −α
.
2
набл
, то нет ос-
кр
>
36
2.24 По выборкам объемов n = 14, m = 9 найдены средние размеры де-
талей x = 182 мм, y = 185 мм, соответственно, изготовленных на первом и
втором автоматах. Установлено, что размеры деталей имеют нормальный
закон распределения и известны дисперсии σ
2
X
= 5, σ
2
= 7 для первого
Y
и второго автоматов соответственно. При уровне значимости α = 0,05 выявить влияние на средний размер деталей номера автомата, на котором она
изготовлена. Рассмотреть два случая:
а) нулевая гипотеза H0: M(X) = M(Y), конкурирующая гипотеза H1:
M(X) ≠ M(Y). б) нулевая гипотеза H
: M(X) = M(Y), конкурирующая
0
гипотеза H1: M(X) < M(Y).
РЕШЕНИЕ. Вычисляем наблюдаемое значение критерия
x − y
Z
a) По таблице для функции Лапласа находим критическую точку
Φ
0(zкр
Поскольку |Z
b) По таблице для функции Лапласа находим критическую точку
Φ
0(zкр
Так как Z
) =
) =
1 −α
1 −2α
набл
0,95
=
2
2
| = 2,816 > zкр= 1,96, то нулевая гипотеза отвергается.
набл
1 −0,1
=
2
= −2,816 < zкр= −1,64, то нулевая гипотеза отвергается.
=
набл
2
σ
X
+
n
= 0,475, zкр= 1,96.
= 0,45, zкр= 1,64.
2
σ
m
2
Y
182 −185
=
5
14
7
+
9
= −2,816.
2.25 Фирма предлагает автоматы по разливу напитков. При выборке объ-
ема n = 16 найдена средняя величина x = 182 г дозы, налитой в стакан
первым автоматом. По выборке m = 9 найдена средняя величина y = 185 г
дозы, налитой в стакан вторым автоматом. По утверждению изготовителя,
случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсиями σ
2
2
= σ
1
2
= 25 г
2
. Можно ли считать отличие выбо-
рочных средних случайной ошибкой при уровне значимости α = 0,01, если
конкурирующая гипотеза:
а) H1: a
≠ a
1
; b)H1: a
2
< a
?
1
2
Б. ДИСПЕРСИИ ГЕНЕРАЛЬНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ НЕИЗВЕСТНЫ, НО РАВ-
НЫ. (Малые независимые выборки, n, m < 30).
Пусть X и Y - нормально распределенные генеральные совокупности
объемов n и m соответственно, S
2
2
и S
X
— выборочные дисперсии X и Y.
Y
Предполагается, что D(X) = D(Y), хотя дисперсии и неизвестны. Рассматривается нулевая гипотеза H0: M(X) = M(Y) при уровне значимости α.
1) Конкурирующая гипотеза H1: M(X) ≠ M(Y).
По выборкам (x
ние критерия
,...,x
1
) и (y
n
T
набл
=
,...,y
1
nS
)вычисляется наблюдаемое значе-
m
2
+mS
X
n+m−2
x − y
2
Y
. (4)
1
1
+
n
m
37
По таблице критических точек для распределения Стьюдента по заданному уровню значимости α, помещенному в верхней строке таблицы, и числу
степеней свободы k = n + m − 2 находится критическая точка t
Также для отыскания t
=СТЬЮДРАСПОБР(α; k).
|T
набл
Если |T
|> t
|< t
набл
кр
, то нулевая гипотеза отвергается.
двукр
кр
(α,k) можно использовать функцию Excel
двукр
кр
, то нет оснований отвергнуть гипотезу H
двукр
кр
двукр
(α; k).
. Если
0
2) Конкурирующая гипотеза H1: M(X) > M(Y). По таблице критических точек распределения Стьюдента находится критическая точка
кр
t
(α; k)=СТЬЮДРАСПОБР(2α; k) по уровню значимости α, поиещенному в ниж-
пр
ней строке таблицы, и по числу степеней свободы k = n + m − 2. Если
T
набл
кр
< t
, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если T
пр
набл
> t
кр
пр
то нулевая гипотеза отвергается.
3) Конкурирующая гипотеза H1: M(X) < M(Y). Сначала находят критическую точку t
T
набл
T
набл
> t
< t
кр
лев
кр
лев
кр
, как и в п.2), и полагают t
пр
кр
лев
= −t
, то нет оснований отвергать гипотезу H
, то нулевая гипотеза отвергается.
кр
пр
. Если
0
. Если
2.26 Из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y,
имеющих неизвестные, но равные дисперсии, извлечены выборки
совокупность X
x
25 35 45
i
n
3 3 4
i
совокупность Y
y
20 30 40 50
j
m
3 3 4 5
j
При уровне значимости α = 0,02 проверить гипотезу H0: M(X) = M(Y)
при конкурирующей гипотезе H1: M(X) ≠ M(Y).
РЕШЕНИЕ. n = 10, m = 15. Вычисляем выборочные средние и выбороч-
ные исправленные дисперсии:
1
x =
10
i=1
Вычисляем
3
xin
i
2
S
X
= 36; y =
3
1
=
10
i=1
T
набл
1
15
(xi− x)
=
10·69+15·126,22
j=1
4
yjm
= 37,33;
j
2
n
= 69; S
i
36 −37,33
23
2
=
Y
1
1
+
10
15
15
j=1
= −0,308.
(yj− y)
2
m
= 126,22.
j
4
1
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному
уровню значимости α = 0,02, помещенному в верхней строке таблицы, и
числу степеней свободы k = m + n − 2 = 23, находим t
Так как |T
| = 0,308 < t
набл
кр
= 2,5, то нет оснований отвергать нулевую
двукр
кр
(0,02; 23) = 2,50.
двукр
гипотезу.
,
38
2.27 По двум независимым выборкам, объемы которых n = 10,
m = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей с неиз-
вестными, но равными дисперсиями, найдены выборочные средние
x = 142,3, y = 145,3 и выборочные дисперсии S
2
= 2,7, S
X
2
= 3,2. При уровне
Y
значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезу H0: M(X) = M(Y) при
конкурирующей гипотезе H1: M(X) < M(Y).
РЕШЕНИЕ. Вычисляем наблюдаемое значение критерия
набл
=
10·2,7+8·3,2
16
1
10
= −3,6 < t
набл
+
1
8
= −3,6.
кр
(0,01; 16) = 2,58. Сле-
пр
кр
= −2,58, то нулевая
пр
T
По таблице критических точек распределения Стьюдента (односторонняя
критическая область) при α = 0,01, k = 16, находим t
довательно, −t
кр
= −2,58, и так как T
пр
142,3 −145,3
гипотеза отвергается.
2.28 По двум независимым выборкам, объемы которых n = 12 и m =
18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, най-
дены выборочные средние x = 31,2, y = 29,2 и выборочные дисперсии
2
S
= 0,84, S
X
2
= 0,40. Требуется при уровне значимости α = 0,05 прове-
Y
рить нулевую гипотезу H0: M(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе
H
: M(X) ≠ M(Y).
1
2.29 Расходы сырья xiи yjна единицу продукции по старой и новой тех-
нологиям приведены в таблице (xi— расход сырья по старой технологии,
y
— по новой технологии, ni— число изделий по старой технологии, yj—
j
по новой).
по старой технологии
x
304 307 308
i
n
1 4 4
i
по новой технологии
y
303 304 306 308
j
m
2 6 4 1
j
Предполагая, что генеральные совокупности имеют нормальное распределение с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями, при уровне
значимости α = 0,1 проверить нулевую гипотезу H0: M(X) = M(Y) при
конкурирующей гипотезе H1: M(X) ≠ M(Y).
2.6. Проверка гипотезы о виде распределения
генеральной совокупности по критерию Пирсона
(критерий χ2).
Критерий хи-квадрат Пирсона — универсальный критерий проверки
соответствия выборки определенному закону распределения. Для постро-
39
ения статистики Пирсона все множество возможных значений случайной
величины разбивается на m промежутков. Затем подсчитываются количества njэлементов выборки, попавших в каждый из промежутков, и оцениваются параметры распределения по методу максимального правдоподобия.
На основании оценок параметров вычисляются оценки вероятностей
попадания в каждый из промежутков Pjи теоретические частоты n
Надо проверить выполнение условия n
5, при его невыполнении сосед-
j
= nP
j
ние промежутки объединяются. В дальнейшем через m обозначаем число
промежутков после такого объединения.
Статистика Пирсона
χ
2
набл
m
=
j=1
(nj− n
n
2
)
j
j
имеет приближенно распределение хи-квадрат с m − k − 1 степенью свободы, где k — число оцениваемых параметров. Поэтому критическое значение χ
Если χ
2
для критического уровня α вычисляется как ХИ2ОБР(α; m − k − 1).
кр
2
набл
2
> χ
, то гипотеза отвергается; в противном случае нет основа-
кр
ний отвергать гипотезу.
Проверка гипотезы о нормальном распределении
Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности
интервалов (xj; x
(x
; x
) (x
1
2
n
1
) и соответствующих им частот n
j+1
; x
) ... (x
2
3
n
2
... n
; x
m
m+1
)
m
j
Для того, чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:
1) Вычислить выборочное среднее x и выборочное среднеквадратиче-
ское отклонение S, причем в качестве значений брать среднее арифметическое концов интервала: x
2) Вычислить оценки вероятностей
P
= Φ
j
при этом вместо x1взять −∞, а вместо x
ятностей равнялась единице.
3) Вычислить теоретические частоты n
условия n
5. Если оно не выполнено, объединить соседние интервалы.
j
x
+ x
j
∗
=
j
0
j+1
.
2
x
− x
j+1
S
x
− x
− Φ
m+1
j
0
,
S
+∞, чтобы сумма оценок веро-
= nP
, проверить выполнение
j
j
4) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью крите-
рия Пирсона.
χ
2
набл
m
=
j=1
2
n
− n
j
j
.
n
j
40
.
j
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]