Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики. Учебное пособие
.pdf
5) Потаблице критических точек распределенияχ2, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы m − 3 (m — число интервалов
выборки) находится критическая точка правосторонней критической области χ
распределении генеральной совокупности. Если χ
2
кр
Если χ
(α; k).
2
набл
2
< χ
, то нет оснований отвергнуть гипотезу H
кр
2
набл
о нормальном
0
2
> χ
, то нулевую ги-
кр
потезу отвергают.
2.30 Пусть Х - это удой коров на молочной ферме за лактационный период (в ц), n = 30.
x
4–6 6–8 8–10 10–12 12–14
i
n
8 5 15 10 12
i
При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном рас-
пределении, используя критерий Пирсона.
РЕШЕНИЕ. Находим середины интервалов x
дискретный вариационный ряд
∗
x
5 7 9 11 13
i
n
8 5 15 10 12
i
x
+ x
i
∗
=
i
i+1
. Получаем
2
Вычисляем выборочное среднее X и среднеквадратическое отклонение
S. Для этого продолжим таблицу
∗
x
i
n
i
nix
∗
n
(x
i
i
5 7 9 11 13
8 5 15 10 12
∗
40 35 135 110 156
i
2
)
200 245 1215 1210 2028
Складывая по строчкам и деля на n = 50, получаем X = 476/50 = 9,52;
2
X
= 4898/50 = 97,96; S2= X2− (X)2= 7,3296; S = 2,7073.
Вычислим оценки вероятностей попадания в интервалы (−∞, 6); (6, 8);
(8, 10); (10, 12); (12, +∞):
P
= НОРМСТРАСП((6 − X)/S) = 0,0968;
1
P
= НОРМСТРАСП((8 − X)/S) − НОРМСТРАСП((6 − X)/S) = 0,1905;
2
P
= НОРМСТРАСП((10 − X)/S) − НОРМСТРАСП((8 − X)/S) = 0,2831;
3
P
= НОРМСТРАСП((12 − X)/S) − НОРМСТРАСП((10 − X)/S) = 0,2498;
4
Вычислим теоретические частоты n
nix
n
(x
i
P
= 1 − НОРМСТРАСП((12 − X)/S) = 0,1798.
5
x
i
∗
x
i
n
i
∗
i
∗
i
P
i
n
j
4–6 6–8 8–10 10–12 12–14
5 7 9 11 13
8 5 15 10 12
40 35 135 110 156
2
)
200 245 1215 1210 2028
0,0968 0,1905 0,2831 0,2498 0,1798
4,838 9,524 14,156 12,491 8,991
= nP
j
:
j
41
Так как n
x
n
n
Вычислим наблюдаемое значение
= 4,839 < 5, объединим первый интервал со вторым:
1
4–8 8–10 10–12 12–14
i
13 15 10 12
i
14,362 14,156 12,491 8,991
j
4
2
χ
=
набл
j=1
2
n
− n
j
j
= 1,6831.
n
j
Так как после объединения интервалов их число m = 4,тоm − 3 = 1,и
для вычисления критической точки используем распределение хи-квадрат
с одной степенью свободы: χ
χ
2
набл
2
< χ
, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
кр
2
(0,05; 1) = 3,8415. Так как
кр
2.31 Величины контролируемого размера n = 80 деталей, изготовлен-
ных на одном станке (мкм), приведены в таблице
интервал xi4−5 5−6 6−7 7−8
частота n
25 23 19 13
i
При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу H0о том, что данные получены из нормально распределенной генеральной совокупности.
Проверка гипотезы о пуассоновском распределении
Пусть задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины X. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о
распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.
Для того, чтобы при уровне значимости α проверить, что генеральная
совокупность Х распределена по закону Пуассона, надо:
1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее Х.
2. Приняв в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочное среднее λ = Х, найти по формуле
теоретические вероятности и теоретические частоты n
i
λ
P
=
e−λ, i = 0, 1, 2,...,r −1,
i
i!
= nP
i
, n- объем вы-
i
борки. Здесь r — максимальное значение элементов выборки. Теоретическая вероятность Prотыскивается иначе — вычитанием из единицы всех
предыдущих вероятностей:
P
= 1 − (P0+ P1+ ...+ P
r
r−1
).
3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия
Пирсона, приняв число степеней свободы k = m − 2, где m — число различных групп выборки. Если χ
тезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона. Если
χ
2
набл
2
< χ
— гипотеза отвергается.
кр
2
набл
2
< χ
— нет оснований отвергнуть гипо-
кр
42
Если производилось объединение малочисленных частот в одну группу,
то m — число оставшихся групп выборки после объединения.
2.32 При испытании радиоэлектронной аппаратуры фиксировалось чис-
ло отказов в результате 60 испытаний:
число отказов x
i
0 1 2 3
число испытаний ni40 13 4 3
Проверить гипотезу H0о том, что при уровне значимости α = 0,05 число
отказов имеет распределение Пуассона.
РЕШЕНИЕ. Найдем сначала выборочное среднее: X =
Полагаем λ = X = 0,5. Вычислим теоретические вероятности: P
0, 606, P
0,076 = 0,015. Находим теоретические частоты n
1
n
= 36,392, n
0
= 0,5e
−0,5
= 0,303, P2=
= 18,196, n
1
0,5
2
= 4,549, n
2
2
−0,5
e
= 0,076, P3= 1 − 0,606 − 0,303 −
= np
3
i
= 0,863.
0 +13 +8 +9
:
i
59
= 0,5.
−0,5
= e
0
Составляем расчетную таблицу, объединяя последние два значения niв
одно:
n
n
i
i
(ni− n
n
2
)
i
i
40 36,392 0,358
13 18,196 1,484
7 5,412 0,468
Вычисления дают следующее значение наблюдаемого критерия
2
χ
= 2,307. Находим критическую точку распределения χ
набл
значимости α = 0,05 с k = 3 − 2 = 1 степенью свободы: χ
Так как χ
2
набл
2
< χ
, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
кр
2
при уровне
2
(0,05; 1) = 3,841.
кр
2.33 В цехе с четырьмя станками ежедневно регистрировалось число вы-
шедших из строя станков. Всего было проведено 50 наблюдений, результаты приведены в таблице:
число слом. станков x
0 1 2 3 4
i
число зарегистр. случаев ni6 14 17 7 6
При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу H0о том, что число
вышедших из строя станков имеет распределение Пуассона.
2.34 В итогепроверки на стандартность 200 ящиковконсервов получено
следующее эмпирическое распределение значений случайной величины X
— числа нестандартных банок консервов в одном ящике:
x
0 1 2 3 4
i
n
132 43 20 3 2
i
Проверить при уровне значимости α = 0,05 гипотезу H0о том, что число
нестандартных банок распределено по закону Пуассона.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ.
=
43
2.3 H0: a
гается.
2.4 U
гипотезу.
2.5 U
нулевую гипотезу.
2.8 T
ваний отвергнуть нулевую гипотезу.
2.9 H0: a = 75, H1: a ≠ 75, t
отвергнуть нулевую гипотезу.
2.10 a)x =
b)T
набл
Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
2.11 T
Так как T
2.12 x = 21, S
= 10л, H1= a < 10л, U
0
48 −49
набл
набл
набл
набл
=
=
865 −800
=
175
35,042 −35
=
=
набл
· 3 = −1, uкр= 1,96. Нет оснований отвергнуть нулевую
3
x − 2
· 4 = x − 2 = 1, uкр= 1,65. Нет оснований отвергнуть
4
120
= 35,045, S0=
20
√
0,163
√
0,325
·
0,212
кр
> −t
пр
= 0,9097, T
0
= −3, uкр= 1,64. Гипотеза H
набл
√
·
17 = 2,233, t
20 = 0,9; t
70 = 13,711, t
кр
= t
, то нет оснований отвергать гипотезу H
лев
набл
кр
(0,01; 16) = 2,92, T
пр
кр
= 1,83, |T
двуст
n
1
n −1
i=1
кр
(0,05; 19) = 2,09.
двуст
кр
(0,01; 79) = 2,39, x = 8,325, S0= 0,212.
пр
= 6,02, t
| < t
набл
(xi− x)2= 0,163;
кр
(0,05; 29) = 2,05 < T
пр
кр
< t
. Нет осно-
набл
двуст
пр
кр
. Нет оснований
. Гипотеза
набл
отвергается.
2.15 Гипотеза H0отвергается.
2
2.16 χ
ний отвергнуть нулевую гипотезу.
2.17 S
набл
2
0u
=
= S
2
0x
(n −1)S
2
σ
0
= 4, χ
2
(21 −1)16,2
0
=
15
2
(0,975; 19) = 8,91. χ
лев кр
= 21,6 < χ
2
(0,01; 20) = 37, 6. Нет основа-
кр
2
(0,025; 19) = 32,9б, χ
прав кр
38. Гипотеза H0отвергается.
2.21 F
сторонняя. Так как F
нулевую гипотезу.
2.22 x = 6,333, y = 6,47, S
1,153, F
левую гипотезу.
2.23 a)S
Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
b)S
= 1,5, Fкр(0,05; 20; 15) = 2,3275 (k1= 20, k2= 15) . Гипотеза право-
набл
= 2,3275 > F
кр
2
(0,05; 11; 16) = 2,4564, Fкр> F
кр
2
= 5,9697, S
0X
2
= 1,61, S
0X
2
= 2,1923, F
0Y
0X
2
= 5,174, F
0Y
= 0,604, S
набл
= 1,5, то нет оснований отвергнуть
набл
2
= 0,524, k1= 11, k2= 16. F
0Y
. Нет оснований отвергнуть ну-
набл
= 1,1538, Fкр(0,01; 11; 11) = 4,4624.
набл
= 1,3617, Fкр(0,01; 12; 8) = 5,6667. Нет ос-
нований отвергнуть нулевую гипотезу.
2.25 a)Гипотеза H0не отвергается. b)Гипотеза H0не отвергается.
2.28 T
гается.
2.29 T
2.31 X = 460/80 = 5,75; X
= 7,1, k = 28, α = 0,05; t
набл
набл
= 3,858, t
кр
(0,1; 20) = 1,725. Гипотеза H
двуст
2
= 2736/80 = 34,2; S2= 1,1375; S = 1,0665.
кр
(0,05; 28) = 2,05. Гипотеза H
двуст
отвергается.
0
отвер-
0
.
0
2
набл
набл
отвер-
0
=
=
44
P
= 0,2410; P2= 0,3517; P3= 0,2867; P4= 0,1206.
1
n
= 19,277; n
1
n
= 22,939; n
3
Так как n
2
= 4,4781; χ
χ
набл
о нормальном распределении отвергается на уровне 0,05.
2.33 X = 1,86. P
2
= 1,353, χ
χ
набл
= 28,136;
2
= 9,648.
4
5 для всех j, не надо объединять интервалы.
j
2
кр
i
2
(0,05; 2) = 5,99.
кр
(0,05; 1) = 3,8415. Так как χ
i
λ
e−λ, i = 0, 1, 2, 3. P
=
i!
4
2
набл
χ
2
кр
= 1 − P0− P1− P2− P3= 0,1185.
, то нулевая гипотеза
Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
2.34 X =
1 − P
При вычислении χ
2
χ
(0,05; 1) = 3,841. Гипотеза H
кр
(43 +40 +9 +8)
− P1− P2− P3= 0,001752.
0
200
2
три последние группы объединяются. χ
набл
= 0,5 = λ. Pi= (0,5)
отвергается.
0
i
−0,5
i!e
, i = 0, 1, 2, 3. P
2
набл
4
= 8,765,
=
45
Глава 3.
Метод наименьших квадратов
и элементы регрессионного
анализа.
3.1. Предварительные сведения. Метод наименьших
квадратов.
Пусть в результате эксперимента получено n значений функции y при
соответствующих значениях переменной x.
x x1x2... x
y y1y2... y
Поставим задачу: установить такую функциональную зависимость величины y от x, чтобы она «наилучшим образом» соответствовала экспериментальным данным.
y
.
.
.
.
.
O
x1x2x
3
n
n
.
.
x
x
n
или
y
.
.
O x1x2x
.
.
.
.
.
3
x
x
n
Тип функции y = f (x) или известен, или делается предположение о ее
46
виде на основании расположенияточек (x
) на координатной плоскости.
i,yi
Координаты этих точек возможно известны с погрешностями, поэтому при
задании типа функциональной зависимости в него вводят неопределенные
параметры. Так,для первого рисунка,предполагаютy=ax+b, адля второго,
b
например,y=ax
y=φ(x, a1,a2,...,a
+c. В общем случае будем считать, что функция имеет вид
) c несколькими параметрами a
m
1,a2
,...,a
.
m
Рассмотрим самый распространенный метод подбора параметров в формулеy=φ(x, a
венствам при подстановке вместо (x, y) значений (x
1,a2
,...,a
) так, чтобы эта формула была «ближе всего» к ра-
m
) из наблюдений.
i,yi
Параметры aiопределяют методом наименьших
квадратов, т.е., ищут такие значения параметров a
1,a2
,...,a
, при которых
m
сумма квадратов отклонений
n
S =
(yi− φ(x
i=1
,a1,...,a
i
2
))
.
m
принимает наименьшее значение. Это стандартная задача нахождения экстремума функции нескольких переменных. Искомые значения
a1,a2,...,a
яляются решением системы уравнений
m
⎧
∂S(a
,...,a
)
1
∂a
,...,a
1
∂a
1
···
n
n
= 0;
)
n
= 0.
⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪
∂S(a
⎩
Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть
y = φ(x,a, b) = ax + b.
Тогда S(a, b) =
(yi− axi− b)
i=1
⎧
⎪⎪⎪
∂S
(a, b) = −2
⎨
∂a
⎪⎪⎪
∂S
(a, b) = −2
⎩
∂b
2
,и
n
(yi− axi− b)xi= 0,
i=1
n
(yi− axi− b) = 0.
i=1
n
Группируя слагаемые более удобным для практических вычислений образом, получим канонический вид системы уравнений для определения a
и b.
⎧
n
⎪⎪⎪
a
⎨
i=1
n
⎪⎪⎪
a
⎩
i=1
2
x
i
x
+ bn =
i
+ b
i=1
n
x
i=1
n
=
xiyi,
i
i=1
n
yi.
Пример. Пусть в результате эксперимента получено 4 значения линейной функции y=ax + b.
47
x 1 2 3 5
y 3 4 2, 5 0, 5
Найдем оптимальные значения параметров a и b методом наименьших
квадратов.
4
xiy
i
i=1
Подставляя найденные значения в канонический вид
= 21,
i=1
4
x
i
= 11,
i=1
4
2
x
i
= 39,
i=1
4
y
= 10.
i
39a + 11b = 21,
11a + 4b = 10,
получаем a = −
вается формулой
26
35
, b =
159
. Следовательно, искомая зависимость описы-
35
26
35
x +
159
35
.
y = −
Пусть теперьфункция, аппроксимирующая эмпирические значения,есть
многочлен второй степени, то сть
2
+ bx + c.
2
, и искомые параметры находятся
2
+ bxi+ c))x
i
2
+ bxi+ c))xi= 0;
i
2
+ bxi+ c))xi= 0.
i
2
i
= 0;
n
Тогда S(a, b, c) =
из системы уравнений
(yi− (ax
i=1
⎧
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
φ(x, a, b, c) = ax
2
+ bxi+ c))
i
n
(yi− (ax
i=1
n
(yi− (ax
i=1
n
(yi− (ax
i=1
Задачи. 1. Методом наименьших квадратов определить параметры a,b и
c зависимости y = ax
2
+ bx + c по наблюдаемым значениям
x 7 8 9 10 11 12 13
y 7, 4 8,4 9, 1 9, 4 9,5 9,5 9, 4
Ответ: y = −0, 04x
2
+ 1, 1x + 2, 12
2. Методом наименьших квадратов подобрать степенную функцию
b
s = At
по данным
t 1 2 3 4 5
s 7, 1 27,8 62, 1 110 161
Ответ: s(t) = 7, 132t
3. По точкам
x 1 2 3 4 5 6
y 2 4,9 7, 9 11, 1 14, 1 17
найти линейную функцию методом наименьших квадратов.
Ответ: y = 3, 023x − 1, 08
1,958
48
3.2. Метод наименьших квадратов в математической
статистике.
Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из
них и условным математическим ожиданием другой. Между переменными
корреляционная зависимость может быть представлена в виде
M(Y|X = x) = φ(x), M(X|Y = y) = ψ(y).
Эти уравнения называются уравнениями регрессии соответственно У на
Х и Х на У. Графики функций y = φ(x)и x = ψ(y)называются линиями
регрессии. По выборке
X x1x2... x
y1y
Y
2
ищут оценку функций регрессии. Одной из основных задач регрессионного анализа является изучение формы зависимости между переменными Х
иУ.
Вначале делается предположение о виде функции регрессии
y = φ(x, a1,...,a
),где a
m
Затем определяют параметры aiметодом наименьших
квадратов, т.е., ищут такие значения параметров a
достигается минимум функции
Далее рассмотрим случай линейной зависимости с двумя параметрами, а
именно,
Тогда
Значения a и b определим методом наименьших квадратов, как показано в предыдущем параграфе. Каноническая система уравнений может быть
переписана в виде
n
где x =
1
n
xi, y =
i=1
... y
S =
n
1
n
i=1
n
n
,...,a
1,a2
i=1
n
- параметры предполагаемой функции.
m
(yi− φ(x
,a1,...,a
i
y = φ(x,a, b) = ax + b.
n
S =
(yi− axi− b)
i=1
2
ax
+ bx = xy,
ax + b = y.
n
yi, xy =
n
1
xiyi, x
i=1
,...,a
1,a2
2
))
.
m
2
. (6)
, при которых
m
,
n
1
2
=
n
i=1
(xi)
2
.
49
Решениями этой системы будут величины
ˆ
a =
x · y −x ·y
2
x
− (x)
,
2
ˆ
b =
y ·x
2
x
2
− x ·xy
− (x)
2
= y −
ˆ
a1x,
где Уравнение регрессии Y на X принимает следующий вид
y =ˆax +ˆb. (7)
Учитывая, что выборочный коэффициент корреляции имеет вид
xy −xy
ˆ
r
гдеˆσ
=
2
2
=
x
X
− (x)
ˆ
,
σ
=
Y
y
2
− (y)
в
y =
2
σ
, (8)
ˆ
ˆ
σ
σ
X
Y
, из равенства (7) следует
ˆ
σ
Y
ˆ
rx +ˆb.
ˆ
X
Полученные с помощью метода наименьших квадратов оценки пара-
метров уравнения регрессии
ˆ
a иˆb , являются несмещенными и состоятель-
ными. Можно показать, что рассматриваемые оценки являются эффективными в классе линейных несмещенных оценок.
3.1. Для определения параметров a и b в уравнении регрессии y = ax +b
были измерены значения y при различных значениях x. получена выборка
(x
1,y1
), ..., (x
). Методом наименьших квадратов определить параметры
n,yn
a и b.
x
40 50 60 70 80 90 100
i
y
20 25 28 30 35 40 45
i
РЕШЕНИЕ. Делаем предварительные вычисления
1
x =
· 490 = 70, y =
7
1
xy =
x
ˆ
a =
нение регрессии YУнаX имеет вид y = 0, 400025x + 3, 85525.
800 + 1250 +1680 +2100 +2800 +3600 +4500
(
7
1
2
=
2
40
+ 502+ 602+ 702+ 802+ 902+ 100
7
Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии
2390 −70 ·31, 857
5300 −4900
223
= 31, 8571,
7
= 0, 400025,
= 2390,
)
2
= 5300.
ˆ
b = 31, 857 − 0, 400025 · 70 = 3, 85525. Урав-
3.2. Для определения параметров a1и a2в уравнении регрессии y =
a1x + a
на выборка (x
были измерены значения y при различных значениях x. Получе-
2
1,y1
), ..., (x
). Методом наименьших квадратов определить
n,yn
параметры a1и a2.
a)
x
2 3 4 5 6 7 8
i
y
2 1,9 2,2 2,4 2,3 2,5 2,5
i
b)
x
11, 0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5
i
y
1,5 1,5 1,6 1,7 1,9 1,9
i
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]