Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
6.2. КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ПОЛЕ
Корреляцией называется статистическая зависимость
между двумя случайными величинами X и Y, при которой
каждому значению переменой x соответствует ряд распределения переменной y и с изменением х этот ряд закономерно изменяется.
Корреляция проявляется в том, что при изменении одной
величины изменяется среднее значение другой. Корреляционному анализу обычно подвергается двумерная случайная
в
еличина, то есть сопряженные пары значений х;у, относя-
щиеся к одному объекту [15].
Рассмотрим в качестве примера связь между двумя показателями: ростом и весом мужчин. Очевидно, что рост человека влияет на значение его веса, то есть в среднем, люди
с ростом 170 см имеют меньшую массу, чем люди с ростом
180 см. Однако однозначной взаимосвязи между эти ми величинами не наблюдается. Мы не можем, зная рост отдельного
че ловека, предсказать его вес, так как на вес влияет множество различных факторов (питание, двигательный режим,
наследственные особенности), В результате получается, что
людям с определенным ростом соответству ет ряд распределения их веса [24].
Пример 28. Измерены рост и вес 25 мужчин, результаты
измерения записаны в таблице. Необходимо проверить, существует ли взаимосвязь между ростом и весом у данной
категории испытуемых.
Таблица 6.1
Взаимосвязь роста и веса исследуемой выборки
№ 12345678910111213
X (рост, см)
Y (вес, кг)
№
X (рост, см)
Y (вес, кг)
170 171 170 178 176 183 172 188 184 176 174 182 180
66 72 68 76 74 81 67 85 78 73 70 78 75
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
186 166 168 182 186 188 174 180 177 168 173 184
84 62 63 77 77 82 72 79 73 66 69 80
211
Для качественной оценки взаимосвязи построим корре-
ляционное поле. Для этого на координатной плоскости от-
метим точки с координатами х
; уi . Такие точки называются
i
репрезентативными точками. Каждая репрезентативная
точка представляет один объект выборки. Количество то чек
в корреляционном поле равно количеству обследованных
объектов, то есть количеству сопряженных пар значений.
По построенному корреляционному полю можно заключить, что с увеличением роста мужчин распределение их
веса смещается в сторону увеличения (рис. 6.1).
Корреляционное поле на рис
унке отображает зависимость между ростом и весом мужчин в конкретной группе
из 25 человек. Однако статистический анализ мы проводим
для того, чтобы сделать выводы о свойствах генеральной
совокупности, из которой извлечена выборка. Для этого мы
и оцениваем взаимосвязь показателей. Мы говорим о связи факторов (признаков, величин), а не о связи конкретных
выборок, хотя помним, что выводы получены на материале
выборок и поэтому полученные характеристики корреляции
называем выборочными [22].
Рис. 6.1. Корреляционное поле
212
Рассматривая форму и расположение корреляционного
поля, то есть характер расположения репрезентативных точек, можно сделать несколь ко важных заключений об анализируемой зависимости.
Если репрезентативные точки заключены в некотором
эллипсе, то предполагают наличие линейной зависимости
(рис. 6.2а).
На рисунке 6.2б показано корреляционное поле, искривленная форма которого свидетельствует о нелинейной зави-
симости в
еличин.
В том случае, если репрезентативные точки заключены
внутри кру га, квадрата, прямоугольника, то взаимосвязь
между величинами отсутст вует (рис. 6.2в).
Корреляционное поле показывает направленность связи.
По на правленности различают прямую (положительную)
и обратную (отрица тельную) корреляцию.
Если с увеличением одного фактора наблюдается тенденция к увеличению другого фактора, то корреляция называется прямой или положительной, если же увеличение
одного фактора приводит к уменьшению другого, то корреляция называется обратной или отрицательной. Например,
между результатами в беге на 30 и 60 м обычно существует
положительная корреляционная связь, а между результатами
в беге и прыжке в длину – отрицательная; между урожаем
и количеством удобрений – положительная, а между урожаем и количеством сорняков – отрицательная.
Рис. 6.2. Корреляционное поле двух случайных величин X и Y
(a – между величинами линейная положительная взаимосвязь,
б – нелинейная взаимосвязь, в – отсутствие взаимосвязи)
213
На рисунке 6.3. изображены корреляционные поля двух
величин X и Y, между которыми существует линейная положительная (а, б) и линейная отрицательная (в) связь.
По виду корреляционного поля можно сделать предположение о тесноте (силе) взаимосвязи между величинами.
Если репрезентативные точки сгруппированы вблизи некоторой прямой, то можно предположить, что взаимосвязь
между в
еличинами сильная. Чем шире корреляционное поле,
тем слабее взаимосвязь между величинами.
Можно сказать, что корреляционное поле на рисунке
6.3б, отражает более тесную взаимосвязь, чем поле на рисунке 6.3а, если эти поля изо бражены в одном масштабе.
Если же все репрезентативные точки лежат на одной
прямой, то это значит, что имеет место не корреляционная,
а функциональная зависимость.
Таким образом, по корреляционному полю можно определить суще ствует ли взаимосвязь между величинами,
какова ее форма (линейная или нелинейная), какова ее направленность (положительная или отрицательная), какова
приблизительно теснота связи.
Поэтому корреляционный анализ целесообразно начинать с по строения корреляционного поля, чтобы составить
представление о зави симости между величинами [18].
Рис. 6.3. Корреляционное поле двух случайных величин X и Y
(a, б – между величинами линейная положительная взаимосвязь,
в – нелинейная взаимосвязь)
214
6.3. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Числовой характеристикой тесноты корреляционной связи является коэффициент корреляции. Это безразмерная ве-
личина, которая может принимать значения от –1 до 1. Если
коэффициент корреляции положителен (r >0), то корреля-
ционная связь является положительной, то есть увеличение
одной величины приводит к увеличению среднего значения
другой. Если коэффициент корреляции отрицателен (r <0), то
взаимосвязь между величинами также яв
ной, то есть при уве личении одной величины происходит
уменьшение среднего значения другой.
Абсолютная величина коэффициента корреляции характеризует тесноту взаимосвязи.
Если абсолютная величина коэффициента корреляции
равна единице (|r| =1) это значит, что между величинами существует не статистическая, а функциональная взаимосвязь.
Если же коэффициент корреляции равен нулю (|r| =0) это значит, что взаимосвязь между величинами отсутствует.
На практике коэффициент корреляции обычно не принимает гра ничных значений, то есть редко удается выявить
функциональную зави симость или полное отсутствие связи между случайными величинами. Поэтому принято считать (в достаточной мере условно), что при значениях r <0,3
корреляция очень слабая, практически величины не связаны между собой; при 0,3≤ r <0,5 корреляция слабая, при
0,5≤ r <0,7 – средняя, при 0,7≤ r <0,9 – сильная, при r ≤0,9
очень сильная [6, 24].
Однако эти соотношения справедливы лишь в том случае, если про ведено обследование всей генеральной совокупности объектов или объем выборки достаточно велик,
по меньшей мере, выборочная совокупность объектов представлена не менее, чем 30 испытуемыми.
В случае небольшого объема выборки вывод о наличии
взаимосвязи можно сделать только путем проверки статистической гипотезы о достоверности выборочного коэффициента корреляции.
ляется отрицатель-
215
Коэффициент корреляции вычисляется при условии, что
между ве личинами имеется линейная взаимосвязь. Если корреляция нелинейная, то коэффициент корреляции вычислять
нельзя, а тесноту взаимосвязи можно оценить при помощи
корреляционного отношения.
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА
В том случае, когда случайные величины X и Y распределены по нормальному закону, и между ними предполагается на
личие линейной взаимосвязи, то ее тесноту и направленность оценивают при помощи коэффициента корреляции
Пирсона.
Алгоритм вычисления коэффициента
корреляции Пирсона
1. По выборочным данным вычислить средние значения
величин x и y их выборочные средние квадратические отклонения sx и sy.
2. Найти отклонения значений xi и у, (i=1, 2…, n) от своих выборочных средних, перемножить соответствующие отклонения, найти сумму полученных произведений.
3. Вычислить коэффициент корреляции.
n
()()
xx yy
∑
r
=
−⋅ −
ii
1
=
i
ns s
⋅⋅
xy
(6.1)
4. Проверить гипотезу о достоверности выборочного ко-
эффициента корреляции.
Коэффициент корреляции между двумя признаками генеральной совокупности оценивается по выборочным данным. Однако на основе зна чения выборочного коэффициента корреляции нельзя делать вывод о на личии связи между
рассматриваемыми факторами генеральной совокуп ности.
Для того, чтобы сделать вывод о тесноте взаимосвязи, с той
или иной вероятностью ошибки, необходимо проверить гипотезу о достоверности полученного выборочного коэффициента корреляции.
216
Алгоритм проверки гипотезы о достоверности
выборочного коэффициента корреляции Пирсона
1. Формулируется нулевая гипотеза, как предположение
о том, что значение генерального коэффициента корреляции
равно нулю, то есть взаимосвязь между величинами отсутствует. Н
:ρ = 0.
0
2. Формулируется альтернативная гипотеза, как предпо-
ложение о том, что истинное значение генерального коэффициента корреляции отлично от нуля. H1: ρ ≠ 0.
3. Выбирается уровень значимости α (обычно 0,05).
4. По выборочным данным вычисляется коэффициент
корреляции г, и количество степеней свободы ν = п–2.
5. Вычисляется эмпирическое значение t-критерия Стью-
ден та.
2
rn
t
−
=
(6.2)
2
1
r
−
6. Исходя из количества степеней свободы ν и выбранного уровня значимости α по таблице (приложение 2) определяется критическое значение t-критерия Стьюдента.
7. Если эмпирическое значение t-критерия оказалось
меньше критического, то принимается нулевая гипотеза.
Говорят, что выбо рочный коэффициент корреляции недостоверен, то есть результаты исследования не позволяют
утверждать, что величины X и Y взаимосвязаны. Если эмпирическое значение t-критерия оказалось больше критического, то на уровне значимости а принимается альтернативная
гипотеза. Это значит, что взаимосвязь между исследуемыми
факторами существует, причем вероятность ошибочности
данного утверждения составляет α [3, 25].
Определение достоверности коэффициента корреляции
является важным моментом при проведении статистического анализа, поэтому для упрощения расчетов составлены
таблицы критических значений выборочного коэффициента
корреляции. При наличии таких таблиц можно не вычислять эмпирическое значение t-критерия Стьюдента, а непосредственно сравнить полученное выборочное значение
217
коэффициента корреляции r с критическим r
при вы-
α
бранном уровне значимости α и объеме выборки п (приложение 4).
Если выборочное значение коэффициента корреляции
оказалось меньше критического, то выборочный коэффициент корреляции не является достоверным, то есть имеющиеся данные не позволяют сделать вывод о том, что исследуемые величины связаны между собой.
Если выборочное значение коэффициента корреляции
бо
льше табличного, то коэффициент корреляции достоверен, то есть с вероятностью ошибки α можно утверждать,
что между исследуемыми величинами существует взаимосвязь.
Пример 29. Определить тесноту взаимосвязи между
результатами, показанными тяжелоатлетами в рывке (X, кг)
и в прыжке в высоту (Y, см), если в тестировании участвовало 5 человек.
Решение. Для вычисления выборочного коэффициента
корреляции составим расчетную таблицу из восьми столбцов (табл. 6.2).
Таблица 6.2
Расчетная таблица для вычисления выборочного коэффициента корреляции
№
xyx – x (x – x )
12 3 4 5 6 7 8
1 140 64 4 16 –7 49 –28
2 120 63 –16 256 –8 64 128
3 130 72 –6 36 1 1 –6
4 140 76 4 16 5 25 20
5 150 80 14 196 9 81 126
Σ 680 355 520 220 240
2
y – y (y – y )2(x – x )(y – y )
В первом столбце записаны номера испытуемых, каждому из которых соответствует пара значений х; у – результаты, показанные в контрольных упражнениях.
218
Во втором и третьем столбцах таблицы указаны результаты тестирования, в последней строке – суммы соответствующих значений.
Вычислим выборочные средние значения результатов тестирования:
x = 680/5 = 136 кг y = 355/5 = 71 см
В четвертый столбец внесем отклонения каждого значения величи ны х от выборочного среднего х, возведем полученные отклонения в квадрат, в пятый столбец запишем квадраты отклонений. В шестой стол бец запишем отклонения
каждого значения величины у от выборочного среднего у,
в седьмой – квадраты отклонений [19].
Найдем суммы квадратов отклонений значений xi и yi запишем их в последнюю строку пятого и седьмого столбцов.
Найдем выборочные средние квадратические отклонения sx и sy. Выборочное среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из исправленной дисперсии.
Для вычисления выборочной исправ ленной дисперсии разделим суммы квадратов отклонений на п –1 (объем выборки,
уменьшенный на единицуя).
520 220
ss== ==
xy
11, 4 êã 7,4 êã
44
Найдем выборочный коэффициент корреляции:
n
()()
xxyy
∑
r
===
−−
ii
1
=
i
ns s
⋅⋅ ⋅ ⋅
xy
240
511,4 7,4
0,569
Выборочный коэффициент корреляции между результатами, показанными тяжелоатлетами в рывке и в прыжке
в высоту составляет 0,569. Однако для того, чтобы сделать
вывод о том, что между этими величинами действительно
существует взаимосвязь необходимо проверить гипотезу
о достоверности выборочного коэффициента корреляции.
Воспользуемся приведенным выше алгоритмом проверки гипотезы.
1. Сформулируем нулевую гипотезу. Н0: ρ = 0.
219
2. Сформулируем альтернативную гипотезу Н
: ρ ≠0
1
3. Выберем уровень значимости α = 0,05.
4. Выборочный коэффициент корреляции r = 0,569, ко-
личество степеней свободы v = п–2 = 5–2 = 3.
5. Вычислим эмпирическое значение t-критерия Стью-
дента.
2 0,569 3
rn
6.
t
−
== =
22
1 1 0,569
r
−−
1,177
7. По таблице (приложение 2) определим критическое
значение t-критерия Стьюдента. Критическое значение
t-критерия для уровня значимости α = 0,05 и количества
степеней свободы v = 3 составляет 3,182.
8. Так как эмпирическое значение t-критерия Стьюдента
меньше критического, то выборочные данные не позволяют считать коэффициент корреляции достоверным, то есть
между величинами X и Y не выявлено взаимосвязи.
Если воспользоваться таблицей критических значений
коэффициента корреляции, то увидим, что для выборки из
пяти человек критическое значение составляет r
= 0,878,
0,05
полученное нами выборочное значение r = 0,569. Поскольку
эмпирическое значение меньше критического, то выборочный коэффициент корреляции недостоверен, то есть такой
объем выборки не позволяет считать, что величины X и Y
связаны между собой.
КОЭФФИЦИЕНТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
СПИРМЕНА
В том случае, когда распределение генеральной совокупности, из которой извлечена выборка, нельзя считать
нормальным, для установления тесноты взаимосвязи используют непараметрические (ранговые) коэффициенты
корреляции, наиболее распространенным из которых является коэффициент корреляции Спирмена r
.
s
Коэффициент корреляции Спирмена обладает меньшей
мощностью, то есть он дает менее точные результаты, по
сравнению с коэффициентом корреляции Пирсона. В то же
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]