Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
4. Определим ранги элементов объединенной выборки,
причем ранги элементов первой выборки запишем в третий
столбец, ранги элементов второй выборки – в четвертый.
Найдем суммы рангов каждой выборки отдельно, запишем
получившиеся суммы в последнюю строку таблицы. Проверим правильность определения рангов:
96,5 + 39,5 = 16(6 +1)/2 = 136
5. Эмпирическим значением W-критерия Вилкоксона счи-
тается меньшая из полученных сумм, то есть значение 39,5.
6. По таблице в приложении 8 найдем критическое зна-
чение W-критерия: W
0,05
= 40.
7. Эмпирическое значение W-критерия меньше, чем
W
, следовательно, различия между выборочными сово-
0,05
купностями достоверны на уровне значимости 0,05.
2
5.5. КРИТЕРИЙ
χ
ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ ВОБОРОК
Критерий χ2 применим, если выполнены следующие
условия:
1. выборки случайные
2. выборки независимые
3. результаты измерений состояния изучаемого свойства
у членов выборки взаимно независимы (члены выборки не
имеют возможности влиять друг на друга)
4. измерительная шкала – шкала наименований с двумя категориями (да – нет, лучше – хуже, решил – не решил,
и т.п.)
Кроме того, это приближенный критерий и приближение
становится достаточно точным, если сумма объемов двух
выборок N = n1+ n2 больше 20. Для малых N следует применять критерий точной вероятности Фишера, описать который
невозможно из-за громоздкости вычислительных процедур,
связанных с ним. Следует еще иметь в виду, что применение
критерия χ2 не оправдано, если хотя бы одна из ожидаемых
частот (см. ниже) окажется меньше 5.
Пусть для первой и второй выборок получены такие результаты измерений (таблица 5.5).
201
Результаты измерений первой и второй выборок
Таблица 5.5
Выборка Число объектов со значением
Всего
переменной x, равным
01
Первая A B A+B
Вторая C D C+D
Всего A+C B+D N=n1+n2
Пусть Р
выбранным объектом первой выборки оценки 0, а Р
обозначает вероятность получения случайно
1
– ве-
2
роятность получения случайно выбранным объектом второй
выборки оценки 0. Предположив, что переменная х в обеих выборках имеет одно и то же распределение, необходимо
признать справедливость нулевой гипотезы
H0: P1= P
2
Для проверки гипотезы Н0 не требуется знание значений
вероятностей P
шения между P
Статистика Т критерия χ
и Р2, так как нас интересуют только отно-
1
и Р2 (равно, больше, меньше).
1
T
=
(| | 0,5)OE
∑
2
задается предписанием
−−
2
(5.2)
E
где значениями переменной О являются наблюдаемые частоты – числа А, В, С, D в таблице 5.5, значениями переменной Е являются ожидаемые частоты, которые вычисляются
следующим образом:
()()
AC A B
E
E
E
+⋅+
=
A
()()
=
B
()( )
=
C
N
BD AB
+⋅+
N
AC C D
+⋅+
N
(5.3)
202
Результаты выполнения контрольной работы
Таблица 5.6
Выборка
Количество оценок
«5» «4» «3» «2»
Всего
Контрольная 61725351
Экспериментальная 31827553
Всего 935528104
()()
BD CD
=
D
+⋅+
N
E
где, например, ЕB, означает ожидаемую частоту, отвечающую наблюдаемой частоте В; знак Σ означает сумму четырех слагаемых для каждой из пар соответствующих значений переменных О и Е.
При использовании критерия χ2 описываемой ситуации
целесообразно руководствоваться таким правилом:
1. Свести данные эксперимента в таблицу 2×2 (5.6).
2. Выбрать уровень значимости α.
3. По формулам (5.3) найти ожидаемые частоты ЕA,
Е
, ЕC , ED. Проверить результаты вычислений: сумма
B
Е
A+ЕB+ЕC+ED
. должна быть равна N (с точностью до оши-
бок округления).
4. По формуле (5.2) найти T
набл
.
5. По 5.11 для уровня значимости α и одной степени
свободы найти Ткр.
6. Если Т
согласно пунктам 7 или 8.
7. Если отношение
бирается Н
8. Если отношение
≥ Ткр, то Н0 отклоняется, а Н1, выбирается
набл
A
больше отношения
: Р1 > Р2.
1
AB+
A
меньше отношения
AB+
C
CD+
C
CD+
, то вы-
, то вы-
бирается Н1: Р1< Р2.
9. Если Т
Рассмотрим примеры использования критерия χ
< Ткр, то нет основания для отклонения Н0.
набл
2
.
Пример 25. Составлялись выборки для проведения экс-
перимента с целью сравнения эффективностей двух методик
203
обучения – контрольная и экспериментальная. Одним из требований, которые предъявляются к выборкам, является требование о том, чтобы, в частности, выборки были примерно
одинаковыми по уровню знаний. В описываемом эксперименте этот уровень определялся специальной контрольной
работой, которая оценивалась с помощью четырех балльной
шкалы по строго описанному критерию. Результаты выполнения к
онтрольной работы показаны в таблице 5.6.
Данные для оценок «5» и «2» имеют малые значения.
Можно предположить, что ожидаемые частоты для этих оценок окажутся меньше 5. Расчет показывает, что это так. Например, для оценки «5» получим:
99
EE=⋅= < =⋅= <
63
51 4, 41 5 è 53 4,59 5.
104 104
Поэтому объединим столбцы «5» и «4», а также «3»
и «2». Получим таблицу 5.7.
Таблица 5.7
Результаты выполнения контрольной работы
Выборка
Количество оценок
«5» – «4» «3» – «2»
Всего
Контрольная 23 28 51
Экспериментальная 21 32 53
Всего 44 60 104
Находим ожидаемые частоты:
44 44
EE=⋅= =⋅=
23 21
EE=⋅= =⋅=
28 32
51 21,58 53 22, 42
104 104
60 60
51 29,42 53 30,58
104 104
Контроль: 21,58+22,42+29,42+30,58 = 104. Находим Т
по формуле (5.2):
(|23 21,58| 0,5) (|21 22,42 | 0,5)
T
−− − −
=++
21,58 22,42
22
204
набл
(|28 29,42 | 0,5) (|32 30,58 | 0,5)
−− −−
++=
29,42 30,58
22
0,1336
По таблице 5.8 для уровня значимости α = 0,05 и для
числа степеней свободы, равного 1, находим Ткр= 3,84. Так
как Т
< Ткр, то нет оснований для отклонения Н0, т.е. кон-
набл
трольная и экспериментальная выборки по результатам контрольной работы имеют примерно одинаковый уровень знаний.
Пример 26. В одном из экспериментов сравнивались две
методики обучения одному и тому же разделу программы.
Для этого в выборке 1 реализовывалась одна методика,
а в выборке 2 – другая. Эффективность применяемой методики оценивалась по усвоению изучаемых в разделе основных понятий и алгоритмов с использованием специально
разработанного критерия. Результаты эксперимента представлены в таблице 5.8.
Таблица 5.8
Результаты эксперимента используемых методик
Выборка
№1 101 38 139
№2 110 86 196
Всего 211 124 335
Количество оценок
усвоил 1 не усвоил 0
Находим ожидаемые частоты:
211 139 211 196
⋅⋅
EE
== ==
101 101
104335 335
124 139 124 196
EE
== ==
38 86
335 335
87,55 123, 45
⋅⋅
51, 4 72,55
Контроль: 87,55+51,45+123,45+72,55 = 335.
Находим Т
по формуле (5.2):
набл
205
Всего
=+ +
(|38 51,45 | 0,5) (| 86 72,55 | 0,5)
++ =
87,55 123,45
−− −−
51, 45 72,55
−− − −
(|101 87,55 | 0,5) (|110 123,45 | 0,5)
T
22
22
8,85
Находим Ткр по таблице 5.1 1 для α = 0,05 и числа степе-
ней свободы, равного 1: Ткр=3,87. Так как Т
> Ткр, то Н0 от-
набл
клоняем и принимаем Н1 для формулировки которой определяем соотношения
A
AB+
и
CD+
C
.
AC
AB C D
++ ++
Так как
38 86
== ==
38 101 86 110
A
<
CD+
AB+
0,27; 0,44.
C
, то H1 такова: P1< P2, т.е. учащиеся вы-
борки № 2 лучше усвоили проверяемый материал, чем учащиеся выборки № 1, т.е. методика, реализованная в выборке
№ 2 оказалась, по данным эксперимента, более эффективной
по сравнению с методикой, реализованной в выборке № 1.
Критерий χ
2
можно применять и в том случае, когда из-
мерение изучаемого свойства в обеих выборках произведено
по порядковой шкале с 1 категориями: 1, 2,..., I (см. таблицу 5.9).
В таблице 4.18 n1=A1+A2+…+Ai+…+Al – объем выборки
№ 1, а n2=B1+B2+…+Bi+…+Bl – объем выборки № 2. Пусть
Р1i означает вероятность того, что случайно выбранный из
выборки № 1 объект получает оценку i, a P
– вероятность
2i
того, что случайно выбранный из выборки № 2 объект по-
Таблица 5.9
Выборка
№1A
№2B1B
Всего A1+ B1A2+ B2…Ai+ Bi…A1+ B1N
Количество учащихся, получивших оценку
12…i…l
A
1
…Ai…Aln
2
…Bi…Bln
2
Всего
1
2
206
лучит оценку i ( i= 1,2,..., l). Тогда нулевая гипотеза будет
такой:
H0: P
= P
∩ P
21
= P22∩…∩ P
12
11
= P2i∩…∩ P
1i
1l
= P
2l
Альтернативная гипотеза имеет вид
H0: P
≠ P21P
11
≠ P22… P
12
≠ P2i… P
1i
≠ P
1l
2l
Для проверки Н0 не требуется знание значений вероятностей Р1i и P2i (i = 1,2,...,l).
Статистика критерия в рассматриваемом случае определяется формулой:
(| |)OE
T
=
∑
2
−
(5.4)
E
где О – переменная, значениями которой являются наблюдаемые частоты: А1, А2,..., Аl, В1, В2,..., Вl, а Е – переменная,
значениями которой являются ожидаемые частоты, определяемые формулами:
AB AB
++
ii ii
EnE nil
=⋅ =⋅=
1122
ii
NN
; ; ( 1, 2..., )
(5.5)
При достаточно больших n величина (5.4) хорошо аппрокси мируется распределением χ2 с l -1 степенями свободы.
Применяя критерий χ2 в описываемом случае, руководствуемся таким правилом:
1. Поместить данные в таблицу 2×1 (5.9).
2. Выбрать уровень значимости α.
3. Вычислить по формулам (5.5) ожидаемые частоты.
4. По формуле (5.4) найти Т
набл
.
5. По таблице 5.11, по уровню значимости α и числу
степеней свободы, равному l-1, найти Ткр.
6. Если Т
7. Если Т
> Ткр, то Н0 отклонить и принять Н1: Р1< Р2.
набл
<
Т
набл
, то принять Н0.
кр
Примечание:
1. Условия применимости критерия χ2 в случае порядковой шкалы с l категориями те же, что и для случая с двумя
категориями. Поэтому если для какой-то оценки 1,2,...,l ожидаемая частота окажется малой (меньше 5), то эту категорию
207
целесообразно объединить с какой-нибудь соседней категорией.
2. Правило сформулировано для двустороннего критерия.
Приведем пример использования критерия χ
2
для по-
рядковой шкалы.
Пример 27. Пусть в результате эксперимента по сравне-
нию двух методик обучения учащиеся двух выборок распределились по оценкам «5», «4», «3», «2» так, как показано
в таблице 5.10.
Таблица 5.10
Выборка
Количество оценок
«5» «4» «3» «2»
Всего
Контрольная 7 41 38 23 109
Экспериментальная 17 52 22 9 100
Всего 24 93 60 32 209
Находим ожидаемые частоты по формулам (5.5)
24 24 93
EEE=⋅= =⋅= =⋅=
11 21 12
EEE=⋅= =⋅= =⋅=
22 13 23
109 12,52; 100 11, 48; 109 48,50
209 209 209
93 60 60
100 44,50; 109 31, 29; 100 28,71
209 209 209
32 32
EE=⋅= =⋅=
14 24
109 16,69; 100 15,31
209 209
Контроль:
12,52+11,48+48,50+44,50+31,29+28,71+16,69+15,31 = 209.
Теперь находим Т
(7 12,52) (17 11, 48) (41 48,50) (52 44,50)
−−−−
T
=+ + + +
12,52 11, 48 48,50 44,50
(38 31,29) (22 28,71) (23 16,69) (9 15,31)
−−−−
++++=
31,29 28,71 16,69 15,31
22 2 2
2222
по формуле (4.6):
набл
15,50
208
В таблице 5.11 приводятся критические значения стати-
стики, имеющей χ
2
распределение с числом степеней сво-
боды m от 1 до 10 и для уровней значимости
{0,01; 0,025; 0,05; 0,95; 0, 975; 0, 99}α∈
Таблица 5.11
Критические точки статистики, имеющей χ2 распределение с числом
степеней свободы m и для уровней значимости α
m
α
0,01 6,63 9,21 11,3 11,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2
0,025 5,02 7,38 9,35 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5
0,05 3,84 5,99 7,81 9,49 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3
0,95 0,00393 0,103 0,352 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94
0,975 0,000982 0,0506 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25
0,99 0,000157 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,872 1,24 1,65 2,09 2,56
12345678910
По таблице 5.11 для уровня значимости α = 0,01 и числа
степеней свободы, равного 3 (l-1 = 4-1= 3) находим Ткр= 11,3.
Так как Т
набл>Ткр
, то Н0 отклоняется и принимается H1, т.е.
сравниваемые методики обучения дают различные результаты [6].
209
ГЛАВА 6. КОРРЕЛЯЦИОНЫЙ АНАЛИЗ
6.1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ЗАВИСИМОСТИ
В природе все взаимосвязано, все процессы – следствие
совместного влияния различных факторов, определяющих
развитие этих процессов. Действие отдельного фактора
нельзя полностью определить, тем более предсказать, так
как кроме контролируемых факторов действует множество
других, сила воздействия которых нам неизвестна [12].
Влияние большого количества факторов приводит к неопределенности и непредсказуемости результатов. Поэтому
эти результаты всегда в той или иной мере случайны. Однако
в любой случайности существует некоторая доля закономерности. Часто желательно эту закономерность обнаружить
и оценить, чтобы понять взаимозависимость хотя бы основных факторов, влияющих на ход и результаты рассматриваемого процесса. При этом встречаются зависимости двух видов: функциональные и статистические.
Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению
одной переменной соответствует определенное (конкретное)
значение другой. Например, между радиусом круга и его
площадью существует функциональная зависимость S = πR2,
которая позволяет, зная радиус, найти соответствующую ему
площадь круга.
Статистической зависимостью называют зависимость,
при кото рой изменение одной величины влечет изменение
распределения другой. Например, статистически взаимосвязанными являются такие величины, как рост и вес человека;
сила мышц и количество подтягиваний; резуль таты в спринтерском беге и прыжках в длину; количество удобрений
и урожай зерна.
Для изучения статистических зависимостей используются корреля ционный и регрессионный анализ.
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]