Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической обработки результатов спортивно-педагогических исследований. Учебно-методическое пособие
.pdf
Ранжированный ряд:
22 23 23 24 24 25 25 25 27 28
Безынтервальный вариационный ряд:
x
m
22 23 24 25 27 28
122311
x
x/n
22 23 24 25 27 28
0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1
Графическим изображением интервального вариационного ряда является полигон. Для его построения на оси Ох
откладывают значения вариант, на оси Оу – соответствующие им частоты. Точки с координатами (xi; mi ) соединяют отрезками, полученная ломаная линия называется полигоном
частот.
Эмпирическим аналогом графика интегральной функции
распределения является полигон накопленных частот или ку-
мулята. Для ее построения на оси Ох откладывают значения
Рис. 4.1. Полигон частот
вариант, на оси Оу – накопленные частоты или накопленные
относительные частоты. Полученная плавная кривая называется полигоном накопленных частот или кумулятой.
161
Накопленной частотой называется число, полученное
последовательным суммированием частот в направлении от
первого интервала к последнему до того интервала включительно, для которого определяется накопленная частота.
Пример 4. Построить кумуляту для распределения мас-
сы тела девочек 6 лет из примера 3.
Для построения кумуляты введем третью строку в безынтервальный вариационный ряд. Внесем в эт
у строку значения накопленных частот, отметим на координатной плоскости точки с координатами (xi; miн), со единим их отрезками.
Полученная ломаная называется кумулятой или полигоном
накопленных частот.
x 222324252728
m122311
m
1358910
н
Группировка данных при помощи интервального ва-
риационного ряда.
Рис. 4.2. Кумулята
Группировку данных проводят в виде интервального
вариационного ряда, если выборка, представлена большим
количеством значений, располагающихся в широком диапазоне, или в выборке мало одинаковых вариант.
162
Интервальным вариационным рядом называется таблица, в первой строке (столбце) которой записаны интервалы
возможных значений величины, встречающихся в выборке,
а во второй – соответствующие им частоты или относительные частоты.
Для построения интервального вариационного ряда необходимо диапазон варьирования признака разбить на несколько равных интерва лов и указать количество вариант,
попавших в к
аждый интервал [24].
В первую очередь нужно решить вопрос об оптимальном
количестве интервалов. При увеличении количества интервалов и, следовательно, сужении каждого из них, уменьшается количество экспериментальных данных, попавших
в каждый интервал. Поскольку выборочные значения случайны, они случайным образом распределяются по интервалам группировки. Тогда картина эмпирического распределения будет содержать много случайных деталей, что мешает
установить общие закономерности распределения. И наоборот, при чрезмерно широких интервалах нельзя получить
детальной картины распределения, и возникает опасность
упустить важные закономерности [9].
Поэтому вопрос о выборе числа и ширины интервалов
необходимо решать в каждом конкретном случае исходя из
целей исследования, объ ема выборки и степени вариативности признака. Однако приближенно количество интервалов
можно выбрать исходя только из объема выборки п. Делается это одним из следующих способов:
по формуле Стерджеса
к = 1+ 3,32 lg n
на основании следующей таблицы
n 25–40 40–60 60–100 100–200 >200
k 5–6 6–8 7–10 8–12 10–15
После того, как выбрано количество интервалов, вычисляют ширину каждого из них:
163
h
k
−
xx
max min
=
Полученный результат округляют в сторону увеличения, чтобы не уменьшать общий диапазон варьирования
признака.
Начало первого интервала выбирают таким образом,
чтобы мини мальная варианта выборки попадала примерно
в его середину.
x0= x
– h/2
min
Прибавив к этому значению ширину интервала, получают верхнюю границу первого и нижнюю границу второго
интервалов. Аналогично находят границы остальных интервалов и подсчитывают количество вариант попадающих
в каждый интервал.
Если какая-либо варианта попадает точно на границу интервала, то ее относят к интервалу с меньшим порядковым
номером.
Графическим изображением интерв
ального вариацион-
ного ряда является гистограмма частот или гистограмма
относительных частот.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру,
состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы шириной h, а высоты равны отношению частоты к ширине интервала m/h. Величина m/h
называется плотностью частоты.
Для построения гистограммы на оси О
откладывают
х
интервалы шириной h, а над ними проводят отрезки, параллельные оси О
на расстоянии m/h. Площадь i-го частич-
х
ного прямоугольника равна сумме частот i-го интервала;
следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме
всех частот, то есть объему выборки.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы шириной h, а высоты равны отношению относительной частоты
164
к ширине интервала w/h. Величина w/h называется плот-
ностью относительной частоты.
Гистограмма относительных частот является эмпирическим аналогом графика дифференциальной функции распределения.
Пример 5. Даны результаты, полученные при исследовании массы тела женщин 40 лет. Сгруппировать данные
в виде интервального вариационного ряда, построить гистограмму частот.
62 73 87 77 63 73 74 78 82 90 65 71 72 70 81
80 84 60 69 80 79 75 70 75 66 78 83 74 69 68
В исследовании приним
али участие тридцать женщин,
в результате измерения получены значения от 60 до 90 кг.
Можно заметить, что в выборочной совокупности мало
одинаковых значений. Кроме того, масса тела у женщин
среднего возраста имеет широкий диапазон варьирования.
Следовательно, составление безынтервального вариационного ряда не позволит выявить характерных особенностей
распределения изучаемого признака. Группировку экспериментальных данных целесообразно провести в виде интервального вариационного ряда.
Для построения интервального вариационного ряда воспользуемся следующим алгоритмом.
1. Исходя из объема выборки, определим количество интервалов к. Как следует из таблицы, при объеме выборки
n = 30 рекомендуется выбрать 5–6 интервалов.
Пусть k = 5.
2. Определим ширину каждого интервала
−
xx
max min
===
h
k
−
90 60
5
6
3. Найдем начало первого интервала
x0 = x
– h/2 = 60 – 3 = 57
min
3. Для построения интервального вариационного ряда
составим таблицу из 6 столбцов, назначение которых поясним по ходу изложения.
165
В первом столбце указаны номера интервалов группи-
ровки.
Во второй столбец внесем граничные значения интервалов. Для этого к началу первого интервала прибавим ширину
интервала, получим верхнюю границу первого и нижнюю
границу второго интервалов: 57+6=63. Аналогично найдем
границы остальных интервалов, 69+6=75; 75+6=81; 81+6=87.
Запишем их в первый столбец интервального вариационного
ряда.
№ Интервал Середина интервала Подсчет m m/h
12 3 4 56
2 57–63 60 /// 3 0,5
3 63–69 66 ///// 5 0,8
4 69–75 72 ///// ///// 10 1,7
5 75–81 78 ///// // 7 1,2
6 81–87 84 //// 4 0,7
7 87–93 90 / 1 0,2
Верхняя граница пятого интервала равна 87, в то время
как макси мальное значение, встречающееся в выборке – 90,
то есть указанное ко личество интервалов не позволяет внести все данные в интервальный ва риационный ряд. Это произошло потому, что начало первого интервала мы сдвинули
на пол-интервала влево. Поэтому для учета всех значений
необходимо добавить еще о
дин интервал: 87+6=93.
В третий столбец внесем серединные значения интервалов, что по зволит построить полигон частот и найти числовые характеристики вы борки.
Четвертый столбец предназначен для подсчета вариант
в каждом интервале. Этот столбец необязателен, однако он
обеспечивает удобство подсчета данных и позволяет избежать возникающих при этом ошибок. Для распре
деления вариант по интервалам нужно, имея перед собой первичные
данные, по порядку для каждого числа каким-либо значком
отмечать. в какой интервал попадает это число. Например,
число 62 попадает в первый интервал, число 73 – в третий,
166
число 87 – совпадает с верхней границей пятого и нижней
границей шестого интервалов, поэтому относим это значение в пятый интервал.
После того, как все данные исчерпаны, нужно подсчитать количество условных значков в каждом интервале и записать получившиеся значения в пятый столбец. Числа, показывающие, сколько раз варианты, относящиеся к каждому
интерв
алу, встречаются в выборке, называются частотами
интервалов.
Для построения гистограммы нам необходимы значения плотности частот. Разлепим значения частот на ширину
интервала (в нашем примере на 6) и запишем их в шестой
столбец.
Для построения гистограммы отложим на оси 0х интервалы шириной h=6 и построим на них столбцы высотой m/h.
Рис. 4.3. Гистограмма
4.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ
СОВОКУПНОСТИ
Статистическое распределение выборки и графики эмпирических распределений дают наглядное представление
о варьировании изучаемого признака выборочной совокупности. Однако они недостаточны для полной характеристики выборки, поскольку содержат много деталей, охватить которые невозможно без применения обобщающих числовых
характеристик.
167
Числовые характеристики выборки дают количественное
представление об эмпирических данных, позволяют сравнивать их между собой, анализировать и делать выводы о параметрах генеральной совокупности [23].
Характеристики положения генеральной и выборочной совокупностей.
Основной характеристикой положения генеральной совокупности является генеральное среднее x
.
Г
Генеральным средним xГ , называется среднее арифметическое всех значений признака генеральной совокупности.
Генеральное среднее можно вычислить по результатам
сплошного обследования по следующей формуле:
n
x
∑
==
x
i
NN
xx x
i
i
=
1
12
...
+++
N
(4.1)
где N – объем генеральной совокупности; хi, – значения
признака.
Если рассматривать изучаемый признак генеральной совокупности как случайную величину, то генеральное среднее
равно математическому ожиданию случайной величины.
xГ = μ
Выборочный метод исследований дает возможность оце-
нить пара метры генеральной совокупности.
Основной оценкой генеральной средней xГ является вы-
борочное среднее, x.
Выборочным средним xГ называется среднее арифмети-
ческое всех значений величины, встречающихся в выборочной совокупности.
Выборочное среднее принято обозначать той же буквой,
что и значения выборки с той разницей, что над буквами
ставится символ усреднения – черта. Например, если исследуемый признак обозначен буквой X, а его значения – xi, то
выборочное среднее обозначается как x.
Числовые характеристики выборки могут вычисляться
как по необработанным первичным данным, так и по вариационным рядам.
168
Если выборочное среднее вычисляется по несгрупированным данным, то для его определения сумму всех значений делят на количество объектов выборки.
n
x
∑
x
==
xx x
i
112
=
in
nn
...
+++
(4.2)
Пример 6. Вычислить среднее значение массы тела девочек 6 лет (в кг) из примера 3, если данные не подвергались
группировке:
24 22 23 28 24 23 25 27 25 25
Решение.
n
x
24 22 23 28 24 23 25 27 25 25
∑
i
1
=
10 10
+++++++++
i
==
24,6 êã
Если данные сгруппированы и представлены в виде безынтервального вариационного ряда, то для вычисления выборочного среднего находят сумму произведений вариант на
соответствующие частоты, и делят на количество объектов
в выборке.
k
mx
mx m x m x
∑
ii
11122
=
ikk
x
==
nn
+++
...
(4.3)
Пример 7. Вычислить среднее значение массы тела девочек 6 лет из примера 3, если данные представлены в виде
безынтервального вариационного ряда:
6
x
24 23 2 24 2 25 3 27 28
∑
=
1
i
x
== =
10 10
m122311
+⋅+⋅+⋅++
i
X222324252728
24,6 êã
В том случае, когда статистические данные представлены в виде интервального вариационного ряда, при вычислении выборочного среднего значениями вариант считают
середины интервалов.
Пример 8. Вычислить среднее значение массы тела женщин из примера 5, если данные представлены в виде интервального вариационного ряда:
169
Интервал 57–63 63–69 69–75 75–81 81–87 87–93
Середина
интервала
m 3510741
60 66 72 78 84 90
60 3 66 5 72 10 78 7 84 4 90 1
⋅+ ⋅+ ⋅ + ⋅+ ⋅+ ⋅
x
==
30
73
Выборочное среднее является основной характеристикой положе ния. Оно показывает центр распределения выборочной совокупности, позволяет охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом, про следить тенденцию
развития, сравнить различные выборки.
Кроме выборочного среднего характеристиками положения выборочной совокупности являются мода (Мо) и медиана (Me).
Моду и медиану называют непараметрическими характеристиками положения, так как они определяются не значениями самой величины, а ее положением в вариационном ряду.
Модой называется значение, имеющее наибольшую ча-
стоту.
Медианой называется такое значение исследуемого признака, для которого одна половина значений меньше его,
а вторая половина больше. Иначе говоря, медиана – это значение варианты, расположенной в середине ранжированного
ряда.
Если ряд состоит из четного числа вариант, то медианой
считают среднее арифметическое двух вариант, расположенных в центре ранжи рованного ряда.
Для сгруппированных данных медиану можно определить по ее порядковому номеру RMe.
1
n
R
+
=
Me
2
n
Если данные представлены в виде безынтервального вариационного ряда, для определения медианы необходимо
найти то значение, начиная с которого накопленная частота
больше, чем n/2.
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]