Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.С. АРКАШОВ, А.П. КОВАЛЕВСКИЙ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия для студентов нематематических
специальностей высших учебных заведений
2-е издание
НОВОСИБИРСК
2017
УДК 519.21(075.8)
А822
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор НГУ В.И. Лотов,
д-р физ.-мат. наук, профессор А.Г. Пинус,
канд. физ.-мат. наук, доцент К.А. Джафаров
Работа подготовлена на кафедре высшей математики
для студентов II курса
Аркашов Н.С.
А822 Теория вероятностей и случайные процессы
: учеб. пособие /
Н.С. Аркашов, А.П. Ковалевский. – 2-е изд. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2017. – 238 с.
ISBN 978-5-7782-3375-1
Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов II курса
очного и заочного отделений всех направлений и специальностей, изучающих такие разделы высшей математики, как теория вероятностей и
математическая статистика, в объеме семестрового курса.
Пособие содержит типовой расчет. В приложениях даны таблицы
вероятностных распределений.
Все замечания по содержанию пособия просим передавать на кафедру
высшей математики. Они будут с благодарностью приняты и
учтены в следующих изданиях.
ISBN 978-5-7782-3375-1 © Аркашов Н.С., Ковалевский А.П., 2014, 2017
© Новосибирский государственный
технический университет, 2014, 2017
УДК 519.21(075.8)
Îãлавление
Ãëàâà 1.
Ãëàâà 2.
Ãëàâà 3.
Ãëàâà 4.
Ãëàâà 5.
Случайный ýêсперимент, события 7
1.1 События, операции íàä событиями . . . . . . . . . . . 7
1.2 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 10
Классическàÿ âåðîятность 12
2.1 Классическîå определение âåðîятности . . . . . . . . 12
2.2 Элементы êомбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 20
Ãеометрическàÿ âåðîятность 24
3.1 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 26
Óсловные âåðîятности 28
4.1 Определения è примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 29
Независимые события 31
5.1 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 32
Ãëàâà 6.
Независимые испытàíèÿ 35
6.1 Формуëû Бернуëëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 37
3
Ãëàâà 7.
Формуëà полной âåðîятности 39
7.1 Полная группа событий . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 42
Ãëàâà 8.
Ãëàâà 9.
Ãëàâà 10.
Ãëàâà 11.
Ðаспределения случайных величин 45
8.1 Случайная величина è функция распределения . . . 45
8.2 Дискретное è абсолютно непрерывное распределения 46
8.3 Примеры распределений случайных величин . . . . . 49
8.4 Ãенерирование случайных чисел . . . . . . . . . . . . 55
8.5 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.6 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 61
Математическîå îжидание 64
9.1 Определение è свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.2 Моменты è дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.3 Числовые õарактеристики случайных векторов . . . . 72
9.4 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.5 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 77
Предельные теоремы 80
10.1 Çàêîí больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.2 Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . 82
10.3 Òеорема Ïóассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.4 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.5 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 93
Выборкà. Оценивание параметров 95
11.1 Выборкà è вариационный ðÿä . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2 Эмпирическàÿ функция
распределения, гистограмма . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.3 Выборочные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.4 Ñòатистики è оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.5 Оценки ìåòîäîì моментов . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.6 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.7 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 108
Ãëàâà 12.
Сравнение оценок 111
Оценки ìàêсимального правдоподобия.
12.1 Ìåòîä ìàêсимального правдоподобия . . . . . . . . . 111
4
12.2 Сравнение оценок:
среднеквадратический ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . 112
12.3 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.4 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 119
Ãëàâà 13.
Ãëàâà 14.
Ãëàâà 15.
Ãëàâà 16.
Ñòатистическàÿ обработкà â ïàêåòå Excel 122
13.1 Пример ñòатистическîé обработки . . . . . . . . . . . 122
13.2 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 136
Интервальное оценивание 137
14.1 Определение доверительного
интервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14.2 Ðаспределения, связанные
ñ нормальным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.3 Òочные доверительные интервалы . . . . . . . . . . . 139
14.4 Асимптотические доверительные интервалы . . . . . 141
14.5 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 142
14.6 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 146
Проверкà ñòатистических гипотез 147
15.1 Ñòатистические гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . 147
15.2 Ñòатистические критерии . . . . . . . . . . . . . . . . 148
15.3 Критерии ñîãласия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
15.4 Достигаемый уровень çíàчимости . . . . . . . . . . . 151
15.5 Критерии ñîãласия Колмогорова è
15.6 Ðешение типовых примеров . . . . . . . . . . . . . . . 155
15.7 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 159
Ðегрессионный анализ 161
16.1 Линейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
16.2 Критерий Дарбина-Ватсона . . . . . . . . . . . . . . . 163
16.3 Обобщенный ÌÍÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
16.4 Ìîäåëü авторегрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
16.5 Ìîäåëü ñêользящего среднего . . . . . . . . . . . . . 164
16.6 Оценивание ìîделей ñ зависимыми îñòàòêàìè . . . . 165
16.7 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 166
χ2Пирсона . . . . 152
Ãëàâà 17.
Ìàðêовские öåïè è процессы 168
17.1 Öåïè Ìàðêîâà. Ýðãîдическàÿ теорема . . . . . . . . . 168
17.2 Ìàðêовские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
17.3 Процессы размноæåíèÿ è гибели . . . . . . . . . . . . 171
5
17.4 Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения . . . . . . . . . 171
Ãëàâà 18.
Прилоæåíèå. Òаблицы 233
Типовой расчет 173
6
Ãëàâà 1
Случайный ýêсперимент, события
1.1. События, операции íàä событиями
Òеория âåðîятностей изучает математические ìîäåëè случайных ýêñïå-
риментов. Ïîä случайным ïîдразумеваетсÿ òàêîé ýêсперимент, èñõîäû êî-
торого íåîднозна÷íî определяютсÿ íàчальными óсловиями. Простейшим
примером òàêîãî ýêспериментà являетсÿ ïîдбрасывание монеты. Â ýòîì
ýêсперименте возмоæíû ëèøü äâà èñõîäà: выпадение ¾герба¿ èëè ¾решет-
êè¿, ïðè ýòîì точно предсказать ðåçóëüòàò äî проведения ýêспериментà
невозмоæíî.
Ñî âñÿêèì случайным ýêспериментом ìîæíî связать ìíîæество
Ω = {ω}
þò
пространством элементарных èñõîäîâ
òарными èñõîäàìè
являетсÿ íåêоторый элементарный èñõîä
ïîäìíîæества пространства элементарных èñõîäîâΩ. Выражåíèå ¾ïðî-
изошло событие A¿ îçíà÷àåò
øèéñÿ ðåçóëüòàòîì ýêспериментà. Любое ¾событие¿ â обычном понимании,
òî åñòü любой èñõîä случайного ýêспериментà, ìîæåò áûòü представлено
íåêоторым ïîäìíîæеством
элементарных èñõîäîâ. Â дальнейшем íå áóäåì различать ¾события¿ â
обычном понимании è события ïîäìíîæестваΩ.
Событие называетсÿ
îíî непременно происõîäèò; событие называетсÿ
ðåçóëüòàòå ýêспериментà îíî íå ìîæåò произойти; событие называетсÿ
случайным
æåò íå произойти. Òàê êàê äëÿ любого элементарного èñõîäàωсоотно-
шение
åò достоверному событию, ïóñòîå ìíîæество∅ невозможному событию,
âñåõ åãî взаимоисключающих èñõîäîâ. Ýòî ìíîæество называ-
, à åãî элементы
. Ðåçóëüòàòîì проведения случайного ýêспериментà
ω ∈ Ω.Событиями
ω ∈ A
, ãäåω элементарный èñõîä, ÿâèâ-
A ⊆ Ω
достоверным
, åñëè â ðåçóëüòàòå ýêспериментà îíî ìîæåò произойти, à ìî-
ω ∈ Ω
имеет место âñåãäà, òî âñå пространствоΩсоответству-
ïðè ïîäõîдящем выборе пространства
, åñëè â ðåçóëüòàòå ýêспериментà
невозмоæíûì
элемен-
называют
, åñëè â
7
собственные ïîäìíîæества
A ⊂ Ω
представляют случайные события.
Ïóñòü A è B êàêèå-íèáóäü события (ïîäìíîæестваΩ).
Объединением
A ∪ B
ìíîæåñòâ A è B.
зываетсÿ èõ теоретикî-ìíîæественное пересечение . Аналогично,
ñòüþ
событий A è B называетсÿ разность
Противополоæíûì
, èëè
суммой
Пересечением
, ýòèõ событий называетсÿ объединение
èëè
произведением
A\B
соответствующих ìíîæåñòâ.
ê событию A называетсÿ дополнение
событий íà-
разно-
A = Ω \A
ìíî-
æества A.
Ïîявление события
ìåíòарный èñõîä
Поэтому ìîæíî ñêазать, ÷òî
A ∪B
ω ∈ A ∪ B
â ðåçóëüòàòå ýêспериментà îçíà÷àåò, ÷òî ýëå-
, à ýòî имеет место, åñëè
ω ∈ A
èëè
ω ∈ B
объединение (сумма) событий происходит
тогда è òîëüêî тогда, когда происходит õîòÿ áû îäíî èç ýòèõ событий.
Аналогично,
пересечение (произведение) событий происходит тогда è
òîëüêî тогда, когда ýòè события происходят совместно.
Ðазность
A \ B
событий происходит тогда è òîëüêî тогда, когда
происходит A, íî íå происходит B.
Противоположное событиеAпроисходит тогда è òîëüêî тогда, êî-
ãäà ñàìî A íå происходит.
Ãîâîðÿò, ÷òî
â B
, åñëè A являетсÿ ïîäìíîæеством B:
равными
A = B.
, èëè
Очевидно, ÷òî
событие A влечет событие B
A ⊆ B
эквивалентными
A = B
, åñëè îíè совпадают êàê ìíîæества:
тогда è òîëüêî тогда, когда каждое èç
, èëè
A ñîäåðæèòñÿ
. События называютсÿ
ýòèõ событий влечет другое.
Объединение è пересечение более ÷åì äâóõ событий определяютсÿ àíà-
логично, ò.å. êàê объединение è пересечение соответствующих ïîäìíî-
æåñòâ. Например,
n
k=1
A
k
∞
n=1
B
n
îçíà÷àþò соответственно объединение êонечного è пересечение áåñêîíå÷-
íîãî (счетного) ìíîæества событий.
События называют
непересекающимисÿ
, èëè
несовместными
, åñ-
ëè èõ пересечение åñòü невозмоæíîå событие. События èç íåêоторой ñî-
вокупности
любые äâà èç íèõ несовместны, ò.å.
A1, A2, ..., An, ...
называют
Ai∩ Aj= ∅
попарно несовместными
ïðè
i = j.
, åñëè
Ïîñêольку введенные операции íàä событиями òîждественны соответ-
ствующим операциям íàä ìíîæествами, òî îíè ïîдчиняютсÿ âñåì àêñèî-
ìàì операций íàä ìíîæествами:
.
A ∪B = B ∪ A, A ∩B = B ∩ A (
8
êоммутативность
);
A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C), A ∩(B ∩C) = (A ∩B)∩C) (
ассоциативность
);
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (
n
An=
An,
n
(A) = A (
An=
n
An(
n
двойственность
отрицание отрицания
дистрибутивность
);
).
Заметим â заключение, ÷òî äëÿ обозначения введенных операций îáú-
единения (суммы), пересечения (произведения), разности событий исполь-
зуютсÿ òàêæå традиционные алгебраические символы: ¾+¿, ¾·¿, ¾−¿:
A ∪B = A + B, A ∩B = AB, A \ B = A − B,
n
k=1
Ak=
n
k=1
Ak.
1.2. Ðешение типовых примеров
Пример 1.1.
áðасывании èãðальной кости ïðавильного кубика ñ нанесенными íà ãðà-
íÿõ ÷èñëàìè îò 1 äî 6. Обозначим через
лении íà верхней ãðàíè ÷èñëàk. Òîãäà â качестве пространства ýëåìåí-
тарных исходов можно взять множество
Случайный эксперимент состоит â однокрàòíîì ïîä-
ωkисход, состоящий â ïîÿâ-
Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}.
);
Пример 1.2.
Ðàññмотрим ñлучайный эксперимент èç предыдущего
примерà. Введеì ñледующие ¾события¿: A = { выпадение четного ÷èñ-
ëà}, B = {выпадение ÷èñëà, меньшего 3}, C = {выпадение дробного ÷èñ-
ëà}. Ïðè выборе пространства ýëåментарных исходов èç примерà 1.1 óêà-
занные ¾события¿ очевидным îáðàçîì представляются множествами:
A = {ω2, ω4, ω6}, B = {ω1, ω2}, C = ∅
Пример 1.3.
Случайный эксперимент двукратное подбрасывание
.
èãðальной кости. Построить подходящее пространство ýëåментарных
исходовΩäëÿ îïèñàíèÿ ñледующих событий: A = {îáà ðàçà выпало ÷èñëî
очков, êðатное òðåì}, B = {сумма выпавших ÷èñåë íå áîëüøå12}, C =
{выпали одинаковые ÷èñëà}, D = {произведение выпавших ÷èñåë äåëèò-
ñÿ íà14}. Найти подмножестваΩ, îáðазующие ýòè события, указать
достоверные, невозможные è ñлучайные события.
9
Ðешение.
Ïîñêольку ðåçóëüòàòîì ýêспериментà являетсÿ ïàðà чисел,
выпавших íà âåðõíåé грани ïðè первом è втором ïîдбрасывании играль-
íîé êîñòè, òî â êàчестве пространства элементарных èñõîäîâ естественно
выбрать ìíîæество âñåõ óïîðядоченных наборов èç äâóõ чисел, êаждое èç
êоторых ìîæåò принимать любое èç натуральных çíàчений îò 1 äî 6, ò.å.
Ω = {(i, j) : i = 1, . . . , 6, j = 1, . . . , 6}.
Òîãäà óêазанные события совпадают
ñî следующими ïîäìíîæествамиΩ:
A = {(3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6)}; B = Ω;
C = {(1, 1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}; D = ∅.
Событие B достоверно, òàê êàê îíî происõîäèò ïðè любом элементарном
èñõîäå
(i, j) ∈ Ω
, событие D невозмоæíî (åñëè áû îíî ìîãëî произойти, òî
êàêîå-íèáóäü èç äâóõ выпавших чисел должно делитьсÿ íà 7), события A
è C случайны.
▽
1
1.3. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
1.1
×òî îçíà÷àþò события
1.2
Êîãäà возмоæíî равенство
1.3
События:A õîòÿ áû îäèí èç òðåõ проверяемых приборов áðàêî-
ванный,B âñå приборы доброкàчественные. ×òî îçíà÷àþò события: à)
A ∪B
; á)
A ∩B
?
1.4
Среди ñòóдентов, собравшихñÿ íà лекцию ïî теории âåðîятностей,
íàóäà÷ó выбирают îдного. Ïóñòü событие A заключаетсÿ â òîì, ÷òî âû-
бранный ñòóäåíò îêàæåòñÿ юношей; событие B â òîì, ÷òî îí íå курит, à
событие C - â òîì, ÷òî îí живет â общежитии. Описать событие
Êîãäà справедливы:
à) равенство
á) включение
1.5
Ðабочий изготовил n äåòàëåé. Ïóñòü событие
ABC = A
C ⊂ B
изготовленная èì äåòàëü имеет дефект. Записать событие, заключающеесÿ
â òîì, ÷òî:
à) íè îäíà èç äåòàëåé íå имеет дефектов;
á) õîòÿ áû îäíà äåòàëü имеет дефект;
â) ровно îäíà äåòàëü имеет дефект;
ã) íå более äâóõ äåòàëåé имеют дефекты;
ä) ïî крайней ìåðå äâå äåòàëè íå имеют дефектов;
1
Конец решения èëè äîêазательства.
A ∪AèA ∩A
A ∩B = A
?
?
; â) равенство
; ã) равенство
A = B
;
B = B
?
Aiсостоит â òîì, ÷òî i-ÿ
ABC
.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]