Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
8.6. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
8.1
Âåðîятность попадания áàñêетбольного ìÿ÷à â êольцо ïðè бросании
íàчинающим спортсменом равна 1/4. Ìÿ÷ бросают äî первого попадания,
íî äàþò íå более 2 попыток. Найти ðÿä распределения числа промахîâ.
Построить график функции распределения.
8.2
Ïî мишени îдновременно стреляют 2 стрелкà, âåðîятности попаданий
êоторых равны соответственно 0,3 è 0,6. Найти ðÿä распределения числа
попаданий â мишень. Построить график функции распределения.
8.3
Âåðîятность попадания â мишень равна 0,6 ïðè êаждом выстреле.
Стрельба ведетсÿ îдиночными выстрелами äî первого попадания, ïîêà íå
áóäåò израсõîдован боезапас. Найти ðÿä распределения числа произведен-
íûõ выстрелов, åñëè боезапас ñîñòавляет 2 единицы. Построить график
функции распределения.
8.4
Игральную êîñòü бросают
функцию распределения: à) числа выпадений шестерки; á) разности чисел
выпадения шестерки è тройки.
8.5
Âåðîятность îòêàçà сервера ïðè êаждом èç независимых ïîдключений
ñ помощью ìîäåìà равна 0,3. Попытки ïîдключения произвоäÿòñÿ äî óñòà-
новления связи. Найти ðÿä распределения числа произведенных попыток
ïîдключения, åñëè число попыток ограничено двумя. Построить график
функции распределения.
8.6
íèÿ шестерки. Найти ðÿä распределения è функцию распределения числа
проведенных бросаний.
8.7
Монету бросают äî ïîявления äâóõ гербов. Найти ðÿä распределения
è функцию распределения числа проведенных бросаний.
8.8
Дискретная случайная величинаXимеет ðÿä распределения
P(X = xi)
Построить ðÿäû распределения следующих случайных величин:
à)
2X + 5;
á)
X2+ 1;
â)
|X|;
8.9
Ðешить çàäà÷ó
å)
8.8
, åñëè дискретная случайная величинаXимеет ðÿä
распределения
x
i
P(X = xi)
8.10
Ñêорость пешехîäà íà äèñòанции â 1 êì являетсÿ случайной âåëè-
чиной, равномерно распределенной íà отрезкå îò 2 êì/÷ äî 6 êì/÷. Найти
n = 6
ðàç. Найти ðÿä распределения è
Игральную êîñòü бросают äî первого ïîÿâëå-
x
i
-1 0 1
1/3 1/3 1/3
ã)
2X;
ä)
min(X, 1);
1/(3 −X ).
-2 -1 0 1 2
1/10 1/5 3/10 3/10 1/10
61
âåðîятность òîãî, ÷òî время, затраченное íà ïðåîдоление äèñòанции, ïðå-
высит 24 минуты.
8.11
Çàêîí Рэлея ñ плотностью распределения
f(x) =
Axe
−x2/2
ïðè
x ≥ 0;
0
ïðè
x < 0
â ðÿäå случаев описывает распределение ñðîêà службы электронной àï-
паратуры. Найти êоэффициентA, функцию распределения è âåðîятность
òîãî, ÷òî случайная величина, распределенная ïî çàêîíó Рэлея, примет
çíàчение, большее 1.
8.12
Случайная величинаXимеет плотность распределения
f(x) =
A cos 4x
ïðè
x ∈ [0; π/8];
0
ïðè
x /∈ [0; π/8].
Найти êоэффициентAè функцию распределения. Построить графики
плотности распределения è функции распределения.
8.13
Непрерывная функция распределения случайной величиныXзадана
выражением
F (t) =
At3ïðè
0
ïðè
t ≤ 0;
0 < t ≤ 2;
1
ïðè
t > 0.
Найти êоэффициентA, плотность распределения, à òàêæå
P(0 < X < 1)
Построить графики функции распределения è плотности распределения.
8.14
Íà окружность радиуñàRñ центром â íà÷àëå êîîðдинат íàóäà÷ó
брошена òî÷êà. Найти функцию è плотность распределения:
à) абсциссы точки попадания;
á) длины õîðäû, соединяющей точку попадания ñ òî÷êîé
8.15
Ðавнобедренный треугольник образован единичным вектором â íà-
(−R, 0)
.
правлении îñè абцисс è единичным вектором â случайном направлении â
R2. Найти функцию распределения длины третьей стороны.
8.16
Èç точки
(0, a)
проведена ïðÿìàÿ ïîä óãëîìφê îñè îðдинат. Íàé-
òè функцию распределения точки пересечения ýòîé ïðÿìîé ñ îñüþ абцисс,
åñëè óãîëφравномерно распределен â промежуткå:
à)
(0, π/2)
8.17
; á)
(−π/2, π/2)
.
Íà отрезок îñè îðдинат между òî÷êàìè
(0, 0)è(0, R)
íàóäà-
÷ó брошена òî÷êà. Через точку попадания проведена õîðäà окружности
x2+ y2= R2, перпендикулярная îñè îðдинат. Найти распределение
длины ýòîé õîðäû.
62
.
8.18
Ãîâîðÿò, ÷òî случайная величинаXимеет ïîêазательное распреде-
ление ñ параметром
α > 0 (X ⊂= E(α))
, åñëè åå распределение абсолютно
непрерывно ñ плотностью:
−αt
ce
,
åñëè
fX(t) =
0,
åñëè
t > 0,
t ≤ 0.
Найти çíàчение âõîдящей â определение
öèþ распределения
FX(t)
. Построить графики плотности распределения è
fX(t)
постояннойcè ôóíê-
функции распределения.
8.19
Ìîæíî ëè ïîдобрать постояннуюcòàê, чтобы функция
плотностью распределения íà ìíîæестве:
à)
[1; ∞)
; â) [-2;-1];
á)
(0; ∞)
; ã) [-3;0).
8.20
Ïóñòü случайная величинаXраспределена равномерно íà отрезкå
[0,1] (
X ⊂= U[0; 1]
). Найти плотности распределения следующих случай-
íûõ величин:
à)
−ln X
; â)
á)
X − 1/X
8.21
; ã)
Ïóñòü случайная величинаXимеет ïîêазательное распределение ñ
−ln(1 − X)
X−1
e
.
;
параметромα, òî åñòü абсолютно непрерывное ñ плотностью
−αt
αe
,
åñëè
fX(t) =
0,
åñëè
t > 0,
t ≤ 0.
Найти плотности распределения следующих случайных величин:
à)√X
; ã)
á)
X2; ä)
â)2X; å)
8.21
Ïóñòü случайная величинаXимеет плотность распределенияp.
ln(αX)
e
−αX
;
;
min(X, X2)
.
Найти плотности распределения следующих величин:
à)
aX + b, a , b ∈ R, a = 0
á)
X−1; ä)
â)
X2; å)
; ã)
X3;
eX;
|X − 1|
.
ct−4áûëà
63
Ãëàâà 9
Математическîå îжидание
9.1. Определение è свойства
Ïóñòü
ìåíòарных èñõîäîâΩ.
åìîå
Åñëè
òî
ÅñëèXимеет абсолютно непрерывное распределение ñ плотностью
òî
Ãîâîðÿò, ÷òî
ëè ðÿä â правой части (9.1) èëè интеграл â (9.2)
Математическîå îжидание (ì.î.)
çíàчение
дующими свойствами:
E1. Ì.î. постоянной равно ýòîé постоянной:
E2. Ì.î. линейно, òî åñòü äëÿ любых постоянных
выполнено равенство
ïðè óсловии, ÷òî математические îжидания â правой части существуют. Â
частности,
X = X(ω)
Математическим îжиданием
EX
èëè
X
имеет дискретное распределение:
случайной величины. Математическîå îжидание обладает ñëå-
постоянный ìíîжитель ìîæíî выносить èç-ïîä çíàêà
случайная величина, заданная íà пространстве ýëå-
MX
, êоторое определяетсÿ следующим образом.
EX =
∞
EX =
−∞
математическîå îжидание существуåò (êонечно),
EX
E(C1X1+ C2X2) = C1EX1+ C2EX
ñ.â.
X
называетсÿ число, обозна÷à-
pn= P(X = xn), n = 1, 2, . . .,
∞
xnpn.
n=1
xfX(x)dx.
абсолютно ñõîäèòñÿ.
ìîæíî рассматривать êàê
EC = C.
C1, C2è любых ñ.â.
2
(9.1)
fX(x),
(9.2)
åñ-
среднее
X1, X
2
64
математическîãî îжидания
:
E(C · X) = C · EX,
à
математическîå îжидание суммы равно сумме математических
îжиданий
:
E(X1+ X2+ . . . + Xn) = EX1+ EX2+ . . . + EXn.
E3. Åñëè ñ.â.
носильно
E4. Åñëè ñ.â.
X ≥ 0
P{X = 0} = 1
c âåðîятностью 1, òî
.
EX ≥ 0
. Ïðè ýòîì
EX = 0
X1, X2независимы, òî математическîå îжидание èõ произ-
(9.3)
(9.4)
ðàâ-
ведения равно произведению математических îжиданий:
E(X1·X2) = EX1·EX
2
(9.5)
ïðè óсловии существования ì.î. â правой части. Ýòî свойство распростра-
няетсÿ íà любое число ñ.â.:
åñëè ñ.â.
E(X1·X2··· Xn) = EX1·EX2···EXn,
X1, X2, ..., Xnнезависимы.
(9.6)
Случайные величины, óдовлетворяющие óсловию (9.5), называютсÿ
íåêоррелированными.
Òàêèì образом, свойство E4 утверждает, ÷òî åñ-
ëè ñ.â. независимы, òî îíè íåêоррелированы.
 дальнейшем íàì понадобитсÿ формуëà äëÿ вычисления
g
íåêоторая функция. Åñëè случайная величинаXимеет абсолютно
Eg(X)
, ãäå
непрерывное распределение, òî
∞
Eg(X) =
g(t)fX(t) dt.
−∞
(9.7)
 случае дискретного распределения формуëà äëÿ вычисления
нимает âèä:
Eg(X) =
∞
n=1
g(xn)pn.
Eg(X)
 заключение рассмотрим примеры вычисления математических îæè-
даний.
Пример 9.1.
äåление Бернулëè
Найти ì.î. ñлучайной âåличиныX, имеющей ðаспре-
Bp.
65
ïðè-
(9.8)
Ðешение.
íèÿ 1 è 0 ñ âåðîятностÿìèpè
Ýòî распределение ñ. â.X, принимающей ëèøü äâà çíà÷å-
q = 1−p
соответственно. Напомним, ÷òî
распределение Бернуëëè имеет случайная величина, равная числу ¾óñïå-
õîâ¿ ïðè îäíîì испытàíèè Бернуëëè. Ðаспределение
X
дискретно, è ðÿä
распределения задаетсÿ равенством
p,
åñëè
P(X = k) =
0,
åñëè
k = 1
k = 0.
Математическîå îжидание
∞
EX =
xkpk= 1 · p + 0 · q = p.
k=1
Пример 9.2.
миальное ðаспределение
Ðешение.
ñ параметрами
Найти ì.î. ñлучайной âåличиныY, имеющей áèíî-
B
.
n, p
Напомним, ÷òî ñ. â.Yимеет биномиальное распределение
(n, p)
, ãäå
n = 1, 2, . ..;0 < p < 1(Y ⊂= B
), åñëè îíà
n,p
ìîæåò принимать çíàчения 0, 1, ... ,nñ âåðîятностÿìè, вычисляемыми
ïî формуëàì Бернуëëè:
k
pk= P(Y = k) = C
n
pkq
n−k
, k = 0, 1, ..., n.
Òàêîå распределение имеет ñ. â.Y, равная числу ¾óñïåõîâ¿ ânнезави-
симых испытаниях Бернуëëè. Ïîñêольку ñ. â.Yåñòü число ¾óñïåõîâ¿ â
независимых испытаниях Бернуëëè, òî åå ìîæíî представить â âèäå
Y = X1+ X2+ ... + Xn,
ãäå ñ. â.
(
k = 1, 2, . . . ,n
Xkравна числу ¾óñïåõîâ¿ â îäíîìk-ì испытàíèè Бернуëëè
), ò. å. îíà принимает çíàчения 1 èëè 0 â зависимости îò òî-
ãî, áûë ëè ¾óñïåõ¿ âk-ì испытàíèè. ßñíî, ÷òî âñå
íèå Бернуëëè
Bp. Òîãäà, применяя следствие??è ðåçóëüòàò предыдущего
Xkимеют распределе-
(9.9)
примера, íàõîäèì более простой ответ:
EY = E(X1+ X2+ ... + Xn) = EX1+ EX2+ ... + EXn= np.
Пример 9.3.
äåление Пуассона
Найти ì.î. ñлучайной âåличиныY, имеющей ðаспре-
Πλ.
n
66
Ðешение.
параметром
Напомним, ÷òî ñ. â.
λ > 0
, (
Y ⊂= Πλ), åñëè îíà ìîæåò принимать целые неотри-
Y
имеет распределение Ïóассона ñ
цательные çíàчения ñ âåðîятностÿìè, вычисляемыми ïî формуëàì:
k
λ
pk= P(Y = k) = e
−λ
, k = 0, 1, ... .
k!
Äëÿ вычисления ì.î. применим åãî определение (??):
EY =
∞
xkpk=
k=1
= e−λλ
∞
k=1
∞
ke
k=0
k−1
λ
(k − 1)!
k
λ
−λ
k!
= e
−λ
= e−λλeλ= λ.
∞
k=1
k
λ
k
=
k!
 последних вычислениях áûëà использована формуëà Маклорена äëÿ
ïîêазательной функции:
eλ= 1 +
λ
+
1!
Упражнение 9.1.
рическое ðаспределение
ðàâíî
EY =
Пример 9.4.
1
.
p
Найти ì.î. ñлучайной âåличиныX, имеющей ðàâíî-
мерное ðаспределение
Ðешение.
Ñ. â.
ξ ⊂= U
2
λ
2!
+ ... +
k−1
λ
(k − 1)!
+ ... =
Покажите, ÷òî åñëè ñ. â.
Gp(Y ⊂= Gp)
U
.
[a; b]
[a; b]
, òî åå ìàòåматическое ожидание
имеет абсолютно непрерывное распределе-
∞
k=1
k−1
λ
(k − 1)!
.
Y
имеет ãåîìåò-
íèå ñ плотностью
1
fX(t) =
b −a
0,
,
åñëè
t ∈ [a, b],
åñëè
t /∈ [a, b].
Ì.î. íàõîäèì ïî определению:
EX =
∞
tfX(t)dt =
−∞
a
b
b −a
b
2
t
dt =
1
b −a
t
·
=
2
a
b2− a
2(b −a)
2
a + b
=
.
2
67
Пример 9.5.
мальное ðаспределение
Ðешение.
Найти ì.î. ñлучайной âåличиныX, имеющей íîð-
2
N
.
a,σ
Напомним, ÷òî ñ. â.
X ⊂= N
2
имеет абсолютно непрерыв-
a,σ
íîå распределение ñ плотностью
2
(t−a)
1
−
2
fX(t) =
σ√2π
2σ
e
, −∞ < t < ∞.
Ì.î. íàõîäèì ïî определению:
EX =
∞
tfX(t)dt =
−∞
σ√2π
∞
1
xe
−∞
−
(t−a)
2σ
2
2
dt.
Вычислим последний интеграл, прибегнув ê замене переменной:
∞
1
σ√2π
xe
−∞
=
∞
σ
√
=
2π
ye
−∞
Упражнение 9.2.
циальное ðаспределение
ðàâíî
EX =
1
.
α
(t−a)
−
2σ
σ√2π
2
y
−
2
Докажите, ÷òî åñëè ñ. â.
Eα(X ⊂= Eα)
2
1
dy +
2
=
−∞
∞
t−a
y =
dt = σdy, −∞ < y < ∞
(σy + a)e
a
√
2π
, t = σy + a
σ
2
y
−
2
∞
−∞
2
y
−
2
e
, òî åå ìàòåматическое ожидание
σdy =
dy = 0 + a · 1 = a.
X
имеет экспонен-
=
9.2. Моменты è дисперсия
Ïóñòü
чальным моментом ïîðÿäêàk, называетсÿ число
åñëè соответствующее математическîå îжидание существуåò. Аналогично
определяютсÿ:
k > 0.
Моментом ïîðÿäêàkслучайной величиныX, èëè
αk= EXk,
абсолютный момент ïîðÿäêà
k
βk= E|X|k,
68
íà-
центральный момент ïîðÿäêà
µk= E(X − EX)k,
k
абсолютный центральный момент ïîðÿäêà
k
νk= E|X − EX|k.
Вычисляютсÿ моменты ñ помощью формуë
∞
xkfX(x)dx
−∞
EXk=
∞
n=1
x
k
pn, EXk=
n
äëÿ дискретного è абсолютно непрерывного распределений соответствен-
íî.
Ãîâîðÿò, ÷òî
момент случайной величины íå существуåò
, åñëè
соответствующий ðÿä èëè интеграл íå являетсÿ абсолютно ñõîдящимсÿ.
Òеорема î существовании моментов
вания моментà ïîðÿäêà
вание моментà любого ïîðÿäêà
k > 0
случайной величиныxследуåò существо-
l > 0
, меньшего, ÷åìk.  частности, èç
утверждает, ÷òî èç существо-
существования второго моментà следуåò существование первого моментà,
òî åñòü математическîãî îжидания.
Дисперсией
второго ïîðÿäêà è обозна÷àþò åå
случайной величиныXназывают центральный момент
DX
ëèáî
VarX
:
DX = VarX = µ2= E(X − EX)2.
Ïðè вычислении дисперсии óдобно пользоватьсÿ следующим åå предстàâ-
лением:
DX = EX2− (EX)2,
(9.10)
ëåãêî вытекающим èç определения. Â случае абсолютно непрерывного ðàñ-
пределения дисперсия вычисляетсÿ òàêæå ïî òàêîé формуëå
∞
DX =
(t −EX )2fX(t)dt.
−∞
È аналогично â случае дискретного распределения
∞
DX =
(xn− EX)2pn.
n=1
69
 òî время êàê математическîå îжидание представляет среднее çíàчение
случайной величины, дисперсия õарактеризуåò средний квадрат отклоне-
íèÿ случайной величины îò åå математическîãî îжидания. Дисперсия èìå-
åò следующие свойства.
D1. Дисперсия неотрицательна:
толькî òîãäà, êîãäà ñ.â. неслучайна, ò. å.
D2. Постоянный ìíîжитель выноситсÿ èç-ïîä çíàêà дисперсии ñ квадра-
òîì:
D3. Прибавление ê ñ.â. êîíñòàíòû íå изменяет дисперсии:
DX ≥ 0
D(CX) = C2DX.
D(X + C) = DX.
, è обращаетсÿ â íóëü òîãäà è
P(X = C = const) = 1.
D4. Åñëè случайные величины
òåì более,
сумме дисперсий:
Ñòандартным (среднеквадратическим) отклонением
ваетсÿ êорень èç дисперсии:
Ñòандартное отклонение имеет òó æå размерность, ÷òî è èñõîäíàÿ ñëó-
чайная величина.
Ðассмотрим íåêоторые примеры вычисления дисперсий.
Пример 9.6.
ðаспределение Бернулëè
Ðешение.
ëèøü äâà çíàчения 1 è 0 ñ âåðîятностÿìèpè
 примере 9.1 áûëî найдено ì.î.
íàõîäèì:
æå распределение, ÷òî èX, à именно: îíà принимает òå æå äâà çíàчения
1 è 0 ñ âåðîятностÿìèpè
åå ì.î. совпадает ñ ì.î.X, òî åñòü
íàõîäèì îêончательно:
åñëè îíè независимы, òî дисперсия èõ суммы равна
D(X1+ X2+ ... + Xn) = DX1+ DX2+ ... + DXn.
Найти дисперсию ñлучайной âåличины
Bp.
Напомним, ÷òî ýòî распределение ñ. â.X, принимающей
DX = EX2−(EX)2= EX2−p2.
X1, X2, ..., Xnпопарно íåêоррелированы,
(9.11)
σXíàçû-
σX=√DX.
X
, имеющей
EX = p.
q = 1 − p
EX2= p.
q = 1 −p
Òîãäà, используÿ формуëó (??),
Заметим, ÷òî ñ. â.
соответственно. Следовательно,
Учитывая ýòè соображåíèÿ,
соответственно.
X2имеет òî
DX = EX2− (EX)2= p − p2= p(1 − p) = pq .
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]