Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Y
Y
X
1
aa
a
aa
1/(b-a)
0
0
X
Ab
Ab
Ðèñ. 8.3: Функция è плотность распределения равномерного çàêîíà.
Упражнение 8.1.
íîмерного ðаспределения
Найдите аналитическое âûðажение äëÿ ô.ð. ðàâ-
U
.
[a; b]
Полезно отметить åùå îäíî свойство равномерного распределения, ÷à-
ñòî используåìîå ïðè вычислении âåðîятностей.
Åñëè ñ. â.
X
имеет ðàâíîмерное ðаспределение íà отрезке
[a, b]
, òî
вероятность åå попадания â любой ïðîмежуток, öåëèêîì содержащий-
ñÿ â отрезке
вероятности. Например, åñëè
Äîêазательство.
[a, b]
, вычисляется согласно ãåîметрическоìó определению
[c, d] ⊂ [a, b]
, òî
P(X ∈ [c, d]) = f racd − cb −a.
Ïîñêольку âåðîятность попадания â промежуток
(8.8)
вычисляетсÿ интегралом îò плотности распределения ïî этому промежут-
êó, òî
d
P(X ∈ [c, d]) =
fX(t)dt =
c
5. Ýêспоненциальное (ïîêазательное) распределение
ðÿò, ÷òî ñ. â.
(обозна÷àåì
X
имеет ïîêазательное распределение ñ параметром
X ⊂= Eα), åñëè распределение
c
d
1
b −a
d
dt =
1
b −a
X
абсолютно непрерывно ñ
dt =
c
d −c
b −a
Eα. Ãîâî-
.
α > 0
плотностью распределения
fX(t) =
Ce
0,
−αt
,
åñëè
t ≥ 0,
åñëè
t < 0.
51
КонстàíòóCìîæíî найти, êàê è â предыдущем примере, воспользо-
вавшись óсловием нормировкиf2:
Îòñþäà
имеет âèä
1 =
C = α
∞
fX(t)dt =
−∞
∞
= 0 + C
0
, è плотность ýêспоненциального распределения
fX(t) =
e
−αt
−∞
αe
0,
0
dt =
−αt
fX(t)dt +
C
−αt|∞
e
−α
,
åñëè
åñëè
∞
fX(t)dt =
0
=
0
t ≥ 0,
t < 0.
C
.
α
E
(8.9)
Çàêîíó ýêспоненциального распределения ïîдчиняютсÿ òàêèå случай-
íûå величины, êàê время безотказной работы радиоаппаратуры èëè время
между поступлением äâóõ последовательных вызовов íà ñòанцию ñêîðîé
медицинскîé помощи.
Упражнение 8.2.
çàòåльного ðаспределения
Найти аналитическое âûðажение äëÿ ô.ð. ïîêà-
Eαè построить ãðафики функции è плотности
ðаспределения.
Определение 8.1.
мальное ðаспределение
åñëè распределение
fX(t) =
Ãîâîðÿò, ÷òî случайная величинаXимеет
, èëè
ðаспределение Ãàóññà
X
абсолютно непрерывно ñ плотностью
2
(t−a)
1
−
2
2σ
σ√2π
e
, −∞ < t < ∞.
, ñ параметрами
íîð-
(a, σ2)
(8.10)
α
,
Нормальное, èëè ãàóссовскîå, распределение занимает особое место â
теории âåðîятностей â ñèëó своей распространенности â прилоæениях è
теоретическîé важности äëÿ многих фундаментальных ðåçóëüòàòîâ теории
âåðîятностей.
Относительно параметров нормального распределения предполагàåò-
ñÿ, ÷òîa любое действительное число, называемое
называетсÿ
стандартным, èëè средним квадратическим, отклонениеì
средним
, à
σ > 0
.
Òîò ôàêò, ÷òî ñ. â.Xимеет нормальное распределение ñ параметра-
ìè
(a, σ2)
, áóäåì обозна÷àòü:
X ⊂= N
2
. Нормальное распределение
a,σ
N
0,1
52
ñ параметрами
Y
X
aa
a
0
äåлениеì
Отметим, ÷òî åñëè
a = 0, σ2= 1
, èëè
стандартным íîðмальным законоì
называют
X ⊂= N
2
, òî случайная величинаXìîæåò áûòü
a,σ
стандартным íîðмальным ðаспре-
.
представлена â âèäå
X = a + σZ,
(8.11)
ãäå случайная величинаZимеет ñòандартное нормальное распределение.
Смысл параметров
(a, σ2)
нормального çàêîíà ìîæíî понять èç ãðà-
ôèêà плотности, представленного íà ðèñ. 8.4.
Ðèñ. 8.4: Плотность распределения нормального çàêîíà.
Найдем теперь ô. ð. нормально распределенной случайной величины.
Áóäåì обозна÷àòü через
Функция
Лапласà
Φ(t)
, åå çíàчения ïðîòàáóлированы, è соответствующие òаблицы èìå-
Φ(t)
ô. ð. ñòандартного нормального çàêîíà. Òîãäà
Φ(t) =
−∞
t
φ(u)du =
σ√2π
t
2
1
−∞
u
−
2
e
σdu.
, определенная ýòèì равенством, называетсÿ
(8.12)
функцией
þòñÿ âî âñåõ ðóêîâîдствах ïî теории âåðîятностей èëè математическîé
ñòатистикå. Â настоÿùåì учебникå îíà помещена â прилоæåíèè à âêîí-
öå книги. Äëÿ практическîãî использования òаблицы полезны íåêоторые
свойства функции
Φ(t)
. Îíè ñîäåðæàòñÿ â следующей лемме.
Лемма 8.1.
шения: äëÿ âñåõ
Äëÿ функции ðаспределения
t > 0
Φ(−t) = 1 − Φ(t), Φ(0) =
53
Φ(t)
âûïîлняются соотно-
1
.
2
(8.13)
Äîêазательство.
Y
X
a
0
-X-x
xx
Ðассмотрим график плотности
y = φ(x)
(ðèñ. 8.5).
Ðèñ. 8.5: График плотности распределения
ñòандартного нормального çàêîíà.
Обозна÷èì черезZñ. â., имеющую ñòандартное нормальное распреде-
ление. Òàê êàê â ñèëó (8.12)
−t
Φ(−t) = P(Z < −t) =
φ(u)du,
−∞
∞
1 −Φ(t) = 1 − P(Z < u) = P(Z ≥ u) =
òî çíàчения
Φ(−t)è1 − Φ(t)
равны площадям, заштрихованным íà ðèñ.
3.10, êоторые совпадают ввиду симметрии плотности
φ(u)du,
t
y = φ(x).
äîêазано первое èç соотношений (8.13). Второе следуåò èç равенств (??)
ïðè
a = 0
:
Φ(0) = P(Z < 0) = P(Z ≤ 0) =
Замечание 8.2.
öàìè функции Лапласà
Доказанная ëåììà позвоëÿåò ïîльзоваться òàáëè-
Φ(t)
òîëüêî ïðè ïîложительныхt.
1
.
2
Следующая лемма выражàåò ô. ð. произвольного нормального çàêîíà
2
N
через функцию Лапласа.
a,σ
54
Òåì самым
Лемма 8.2.
ôîðìóëå
Функция ðаспределения ñ. â.
2
Φ
(t) = Φ
a, σ
t −a
σ
X ⊂= N
.
2
вычисляется ïî
a,σ
(8.14)
Äîêазательство.
ñòавление
X = a +σZ
Выразим ô. ð.
2
Φ
(t) = P(X < t) = P(a + σZ < t) = PZ <
a, σ
Φ
a, σ
Вспомним, ÷òî ñîãласно (8.11) справедливо ïðåä-
, ãäåZимеет ñòандартное нормальное распределение.
(t)
ïî определению функции распределения:
t −a
σ
= Φ
t −a
σ
.
8.4. Ãенерирование случайных чисел
Ðассмотим генерирование последовательности независимых îдинакî-
âî распределенных случайных величин, имеющих распределениеF. Äëÿ
простоты áóäåì предполагàòü, ÷òîF строго возрастающая функция.
Отметим, ÷òî здесь ìû рассмотрим толькî îäèí способ генерирования ñëó-
чайных величин.
Îêазываетсÿ, случайная величина
распределение íà отрезкå
[0, 1]
, распределена ïî çàêîíóF. Ýòî ìîæíî óñòà-
новить, воспользовавшись монотонностьюF. Действительно,
P(F−1(ω) < t) = P(ω < F (t)) = F (t),
â ñèëó òîãî, ÷òîωравномерно распределена íà отрезкå
äëÿ òîãî, чтобы сгенерировать последовательность
ìûõ случайных величин ñ распределениемF, äîñòаточно сгенерировать
последовательность
íà
[0, 1]
случайных величин è ïîëîæèòü
ω1, ω2, . ..
независимых равномерно распределенных
генерирования последовательности равномерно распределенных íà отрез-
êå
[0, 1]
случайных величин ìîæíî использовать, например, ïàêåò ïðî-
грамм MS Excel. Äëÿ этого â пункте ìåíþ ¾Âñòàâêà¿ нужно открыть пункт
¾Функция¿ è â êатегории ¾математические¿ найти встроенную функцию
F−1(ω)
, ãäåωимеет равномерное
[0; 1]
X1, X2, . ..
Xi= F−1(ωi), i = 1, 2,. . .
. Поэтому
независи-
. Äëÿ
СЛЧИС()
ýòà функция áóäåò выдавать ïðè êаждом åå çàïóñêå числа, равномерно
распределенные íà отрезкå
[0, 1]
. Â следующем примере ìû äëÿ êонкрет-
íîãîFсгенерируåì последовательность независимых случайных величин.
Пример 8.1.
Сгенерировать ïîñледовательность экспоненциально
ðаспределенных ñлучайных âåличин.
55
Ðешение.
Ãîâîðÿò, ÷òî случайная величина
X
имеет
альное распределение ñ параметромα(обозначение:
åå распределение имеет âèä
FX(t) =
1 −exp(−αt),
0,
åñëè
åñëè
t > 0,
t ≤ 0.
ýêспоненци-
X ⊂= Eα), åñëè
(8.15)
Òîãäà
F−1(t) = −
номерно распределенных íà отрезкå
1
ln(1−t)
α
. Далее генерируåì последовательность ðàâ-
[0, 1]
случайных величин:
 итоге последовательность
F−1(ωi) = −
1
ln(1 −ωi), i = 1, 2, . . .
α
è являетсÿ èñêîìîé.
▽
8.5. Ðешение типовых примеров
Пример 8.2.
íèêå ñ вершинами â точках
ления ñлучайной âåличиныX, åñëè:
à)
X(ω) = ω1; á)
Ðешение.
FX(x)
åñòü âåðîятность òîãî, ÷òî случайная величина примет çíàчение,
меньшееx.
Òàê êàê òî÷êà
ðèñ.??), òî ñ.â.
ëàõ отрезкà
[0, 2].
Поэтому ïðè
FX(x) = P(X < x) = 1
Ïóñòü теперь
÷òî òî÷êà
â области
ω = (ω1, ω2)
Ax, заштрихованной íà ðèñ. 8.6.
Òî÷êà
ω = (ω1, ω2)
выбирается наудачу â треугоëü-
(0,0), (2,1)è(2,0)
. Найти функцию ðаспреде-
X(ω) = ω2.
à) Ñîãласно определению (8.1), функция распределения
ω = (ω1, ω2)
выбираетсÿ â пределах треугольникàΩ(ñì.
X(ω) = ω1ìîæåò принимать ñâîè çíàчения ëèøü â преде-
x ≤ 0
имеем
FX(x) = P(X < x) = 0
, à ïðè
.
0 < x ≤ 2.
Òîãäà событие
{X < x} = {ω1< x}
îêàæåòñÿ левее ïðÿìîé
ω1= x
ω1, ω2, . ..
x > 2
получаем
îçíà÷àåò,
, òî åñòü îêàæåòñÿ
.
Ðèñ. 8.6: Вычисление функций распределения â примере 8.2.
56
ω
2
A
x
Ω
ω
2
66
11
x
B
x
Ω
6
0 0
x
ω
2 2
1
Âåðîятность попадания â ýòó область íàõîäèì ñîãласно геометрическî-
ìó определению
FX(x) = P(X < x) = P(ω ∈ Ax) =
µ(Ax)
µ(Ω)
Òàêèì образом, èñêîìàÿ функция распределения ñ.â.
2
x
=
.
4
X
равна
0,
åñëè
FX(x) =
2
x
,
4
1,
åñëè
åñëè
x ≤ 0,
0 < x ≤ 2,
x > 2.
á) Аналогично предыдущему, íàõîäèì:
FX(x) = P(X < x) = P(ω2< x) = 0
ïðè
x ≤ 0
;
FX(x) = P(X < x) = P(ω2< x) = 1
ïðè
x > 1
. Ïóñòü
FX(x) = P(X < x) = P(ω2< x) =
0 < x ≤ 1.
Òîãäà имеем (ñì. ðèñ.??):
µ(Bx)
µ(Ω)
1 −(1 − x)
=
1
2
= 2x − x2.
-
ω
1
Полное выражåíèå äëÿ ô.ð. случайной величиныXимеет âèä:
FX(x) =
Пример 8.3.
0,
2x −x2,
1,
Монету áðîñàþò
åñëè
åñëè
åñëè
x ≤ 0,
0 < x ≤ 1,
x > 1.
n = 3
ðàçà. Найти ðÿä ðаспреде-
▽
ления è функцию ðаспределения: à) ÷èñëà выпадений ãåðáà; á) ðазности
÷èñåë выпадения ãåðáà è решетки.
57
Ðешение.
ñ.â.
X
ìîæåò принимать ëèøü êонечное ìíîæество çíàчений: 0, 1, 2, 3.
Следовательно, распределение
à) Обозна÷àÿ
X
число выпадений герба, заметим, ÷òî
X
дискретно, à ðÿä распределения îïðå-
деляетсÿ формуëàìè Бернуëëè (6.1):
k
pk= P(X = k) = C
Ïîäñòавляя â ýòè формуëû çíàчения
1
p0= C
0
3
1
=
, p1= C
3
2
8
n
1
3
pkq
1
2
n−k
, k = 0, 1, ..., n.
p = q =
3
=
, p2=
3
8
1
, n = 3,
2
3
8
íàõîäèì:
, p3=
Найденный ðÿä распределения ìîæíî представить òаблицей:
1
.
8
i
P(X = i)
0 1 2 3
1/8 3/8 3/8 1/8
Функцию распределения проще всего представить графически ïîдобно
ðèñ. 8.7.
ëîé:
FX(t)
6
1
7
8
1
2
1
8
u
0
Ðèñ. 8.7: График
Аналитически функцию распределения
u
u
1 2 3
,
0
1/8,
FX(t) =
1/2,
7/8,
1,
u
FX(t)
åñëèt≤0,
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
â примере 8.3.
FX(t)
ìîæíî задать форму-
0 < t ≤ 1,
1 < t ≤ 2,
2 < t ≤ 3,
t > 3.
-
t
58
á) Обозна÷àÿY разность чисел выпадения герба è решетки, çàìå-
òèì, ÷òî
нимать êонечное ìíîæество çíàчений:
случайной величины
Y = X − (3 − X ) = 2X − 3
Y
дискретно, à åå ðÿä распределения определяетсÿ
. Следовательно,
−3, −1, 1,3
. Поэтому распределение
Y
ìîæåò ïðè-
èç соотношений:
pi= P(X = i) = P(2X − 3 = 2i −3) = P(Y = 2i − 3), i = 0, 1, 2, 3.
Ïîäñòавляя çíàчения
pièç òаблицы распределенияX, получим ðÿä
распределения äëÿY:
k −3 −1
P(Y = k)
Функцию распределения
помощью ðÿäà распределения
Пример 8.4.
Ãоворят, ÷òî ñлучайная âåличина
1/8 3/8 3/8 1/8
FY(t)
строим òàê æå, êàê â пункте à), ñ
Y. ▽
мерное распределение íà отрезкå [a; b]
1 3
X
(обозначение:
åñëè åå ðаспределение àáñîлютно непрерывно ñ плотностью
C = const,
0,
, найти плотности ðаспределения ñлучай-
[0; 1]
. Òàê êàê
Считая, ÷òî
íûõ âåличин:
Ðешение.
÷òî
P(a ≤ X ≤ b) = 1
fX(t) =
X ⊂= U
Y = 2X + 1;Z = X2.
Èç âèäà плотности распределения ñ.â.
âåðîятностью 1 принадлежàò отрезку
b = 1
, íàõîäèì:
P(1 ≤ Y ≤ 3) = 1
. Следовательно,
åñëè
t ∈ [a; b],
åñëè
t /∈ [a; b].
Y = 2X + 1
[2a + 1; 2b + 1]
X ⊂= U
, òî âñå çíàчения
. Ïîäñòавляя
FY(t) = P(Y < t) =
0,
P(2X + 1 < t),
1,
åñëè
åñëè
åñëè
t ≤ 1,
1 < t ≤ 3,
t > 3.
имеет
X ⊂= U
[a; b]
равно-
[a; b]
(8.16)
вытекàåò,
Y
a = 0
(8.17)
),
ñ
,
Вычислим âåðîятность â средней строкå последней формуëû, пользу-
ÿñü функцией распределения случайной величины
X ⊂= U[0; 1]
:
0,
åñëè
FX(t) =
t,
1,
åñëè
åñëè
t ≤ 0,
0 < t ≤ 1,
t > 1.
59
(8.18)
òàê êàê
P(2X + 1 < t) = PX <
1 < t ≤ 3,
à çíà÷èò, è
0 <
t −1
2
t−1
2
= F
X
≤ 1
. Ïîäñòавляя ðåçóëüòàò этого
t −1
2
t −1
=
,
2
вычисления â (8.17), получаем îêончательно:
0,
åñëè
FY(t) =
t−1
1,
,
2
åñëè
åñëè
t ≤ 1,
1 < t ≤ 3,
t > 3.
Плотность распределения ñ.â.Yíàõîäèì â соответствии ñî свойством
f4 дифференцированием ô.ð.
FY(t)
:
0,
åñëè
fY(t) = F
′
(t) =
Y
1
,
2
åñëè
t /∈ [1; 3],
1 < t < 3.
Функцию распределения ñ.â.
ùåìó, причем ñ самого íà÷àëà заметим, ÷òî
тельно,
FZ(t) = P(Z < t) =
Ïóñòü
0 < t ≤ 1
. Òîãäà
Z = X2íàõîäèì аналогично предыду-
P(Z ∈ [0; 1]) = 1
, à следова-
0,
P(Z < t),
1,
åñëè
åñëè
åñëè
t ≤ 0,
0 < t ≤ 1,
t > 1.
FZ(t) = P(Z < t) = P(X2< t) = P(|X| <√t) = P(X <√t),
òàê êàê
известным выражением (8.18) äëÿ ô.ð.
0 <√t ≤ 1
P(X ∈ [0; 1]) = 1.
:
Âåðîятность
P(X <√t)
X ⊂= U[0; 1]
вычисляем, пользуÿñü
è учитывая, ÷òî
P(X <√t) =√t.
Ïîäñòавляя ðåçóëüòàòû ïðîделанных вычислений â (8.19), получаем
0,
åñëè
åñëè
åñëè
t ≤ 0,
0 < t ≤ 1,
t > 1.
Íàêîíåö, плотность
распределения
FZ(t) = P(Z < t) =
FZ(t)
fZ(t)
:
íàõîäèì дифференцированием функции
√
t,
1,
0,
åñëè
fZ(t) = F
′
(t) =
Z
1
2√t
,
åñëè
t /∈ [0, 1],
0 < t < 1.
▽
(8.19)
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]