Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Вариант 30
1. Ìîæåò ëè разность äâóõ событий совпадать ñ èõ произведением?
Привести примеры.
2. Â ÷óëàíå лежит òðè ïàðû ботинок. Случайно выбираютсÿ òðè ботин-
êà. ×åìó равна âåðîятность òîãî, ÷òî среди íèõ íå áóäåò íè îäíîé ïàðû?
3. Íà линейкå íàóäà÷ó ïîñòавлены 2 точки. Êàêîâà âåðîятность òîãî,
÷òî расстоÿíèå между íèìè îêàæåòñÿ меньше трети длины линейки?
4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов
Ak, соединенных ïî ñëå-
дующей ñõåìå:
A
5
-
A
A
A
2
A
1
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ элементà
ментов
Ak ïî 0,1. Предполагàåòñÿ, ÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçà-
-
4
3
A2равна 0,01, îñòальных ýëå-
висимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåïü áóäåò пропуñêàòü
òîê.
5. Первое îðóäèå 4-îðóдийной áàòàðåè пристреляно òàê, ÷òî âåðîÿò-
ность попадания äëÿ íåãî равна 1/2. Äëÿ îñòальных îðóäèé îíà равна 2/5.
Áàòàðåÿ äàëà çàëï ïî öåëè. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåëü поражåíà.
Найти âåðîятность òîãî, ÷òî первое îðóäèå попало â öåëü, åñëè известно,
÷òî öåëü áûëà поражåíà. Äëÿ поражåíèÿ öåëè äîñòаточно îдного попада-
íèÿ.
6. Âåðîятность приема îòдельного сигнала равна 0,3. Ðадиосигнал ïå-
редаетсÿ 6 ðàç. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è äèñ-
персию числа принятых сигналов. Построить график функции распреде-
ления. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî принятых сигналов áóäåò íå меньше
2, íî íå больше 4.
7. Диаметр êðóãà являетсÿ случайной величиной, равномерно распре-
деленной íà отрезкå [0; d]. Найти плотность распределения, функцию ðàñ-
пределения, математическîå îжидание è дисперсию площади êðóãà. Íàé-
òè âåðîятность òîãî, ÷òî площадь превосõîäèò
πd2/32
. Íàчертить графики
плотности распределения è функции распределения.
8. Â îòäåëå работàåò îäèí сотруäíèê ñ двумя высшими образованиями
ïî 13-ìó ðàçðÿäó, äâà сотруäíèêà ñ высшим образованием ïî 12-ìó ðàçðÿ-
äó, è шесть сотруäíèêîâ áåç высшего образования ïî 10-ìó ðàçðÿäó. Äëÿ
выбранного íàóäà÷ó сотруäíèêà найти совместное распределение ðàçðÿäà
231
è êоличества высших образований. Вычислить êоэффициент êорреляции
между íèìè.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
âèä:
f(x, y) = c
ρ(X, Y )
.
, åñëè
x, y ≥ 0,3x + y ≤ 3
, è0èíà÷å. Найти êîíñòàíòócè
X, Y
имеет
10. Время îжидания автобуñà пассажиром имеет ïîêазательное распре-
деление ñî средним çíàчением 9 минут. Найти число поездок, äëÿ êоторого
суммарное время îжидания автобуñà превысит 3 ÷àñà ñ âåðîятностью íå
более 0,2.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 0
ïî первому моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
2
f(x) =
x
2θ
9
−x/θ
e
3
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
9,63 19,48 3,89 4,45 15,11 15,90 24,94 1,72 3,25 -3,77 12,17 10,08 14,36
9,39 1,27 7,89 8,68 1,59 10,57 3,21 -6,11 15,61 10,82 1,68 5,63 6,79
20,27 -2,15
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
0,64 1,43 0,40 1,23 1,40 0,76 1,09 1,65 1,32
1,24 1,39 0,81 0,39 0,76 1,14 1,24 1,69 1,58
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 2 3 4 5
Y 3 1 2 4 6
232
Прилоæåíèå. Òаблицы
Ò à á ë è ö à 1.
Нормальное распределение.
Çíàчения функции
Φ(x) = Φ(−x) = 1 − Φ(x)
x
1
Φ(x) =
x Φ(−x) Φ(x)
4,75 0,000001 0,999999
4,26 0,00001 0,99999
3,72 0,0001 0,9999
3,09 0,001 0,999
2,58 0,005 0,995
2,33 0,01 0,99
2,05 0,02 0,98
1,96 0,025 0,975
1,88 0,03 0,97
1,75 0,04 0,96
1,64 0,05 0,95
1,28 0,1 0,9
0,84 0,2 0,8
0,52 0,3 0,7
0,25 0,4 0,6
0,00 0,5 0,5
√
·
2π
1
.
−∞
t
−
e
2
2
dt
è функции
1
Äëÿ
Φ(x) ∼
x > 4, 75
−x2/2
e
.
x√2π
ìîæíî использовать аппроксимацию
233
Ò à á ë è ö à 2. Ðаспределение
2
χ
p,n
p =
kn(x)dx =
0
n/2
2
χ2(n)
. Квантили распределения:
2
χ
p,n
1
Γ(n/2)
·
0
n/2−1e−x/2
x
dx
np
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0,95 0.999 0,9999
1 0,016 0,148 0,455 1,07 2,71 3,84 6,63 10,8
2 0,211 0,713 1,39 2,41 4,61 5,99 9,21 13,8
3 0,584 1,42 2,37 3,67 6,25 7,82 11,3 16,3
4 1,06 2,20 3,36 4,88 7,78 9,49 13,3 18,5
5 1,61 3,00 4,35 6,06 9,24 11,1 15,1 20,5
6 2,20 3,83 5,35 7,23 10,6 12,6 16,8 22,5
7 2,83 4,67 6,35 8,38 12,0 14,1 18,5 24,3
8 3,49 5,53 7,34 9,52 13,4 15,5 20,1 26,1
9 4,17 6,39 8,34 10,7 14,7 16,9 21,7 27,9
10 4,87 7,27 9,34 11,8 16,0 18,3 23,2 29,6
11 5,58 8,15 10,3 12,9 17,3 19,7 24,7 31,3
12 6,30 9,03 11,3 14,0 18,5 21,0 26,2 32,9
13 7,04 9,93 12,3 15,52 13,4 15,5 20,1 26,1
14 7,79 10,08 13,3 16,2 21,1 23,7 29,1 36,1
15 8,55 11,7 14,3 17,3 22,3 25,0 30,6 37,7
16 9,31 12,6 15,3 18,4 23,5 26,3 32,0 39,3
17 10,09 13,5 16,3 19,5 24,8 27,6 33,4 40,8
18 10,9 14,4 17,3 20,6 26,0 28,9 34,8 42,3
19 11,7 15,4 18,3 21,7 27,2 30,1 36,2 43,8
20 12,4 16,3 19,3 22,8 28,4 31,4 37,6 45,3
21 13,2 17,2 20,3 23,9 29,6 32,7 38,9 46,8
22 14,0 18,1 21,3 24,9 30,8 33,9 40,3 48,3
23 14,8 19,0 22,3 26,0 32,0 35,2 41,6 49,7
24 15,7 19,9 23,3 27,1 33,2 36,4 43,0 51,2
25 16,5 20,9 24,3 28,2 34,3 37,7 44,3 52,6
26 17,3 21,8 25,3 29,2 35,6 38,9 45,6 54,1
27 18,1 22,7 26,3 30,3 36,7 40,1 47,0 55,5
28 18,9 23,6 27,3 31,4 37,9 41,3 48,3 56,9
29 19,8 24,6 28,3 32,5 39,1 42,6 49,6 58,3
30 20,6 25,5 29,3 33,5 40,3 43,8 50,9 59,7
234
Ò à á ë è ö à 3. Ðаспределение Ñòüþäåíòà S(n)
Çíàчения функции
t
γ,n
1 + γ
2
t
=
−∞
nγ
γ,n
sn(x)dx =
n+1
Γ(
2
n
Γ(
)√πn
2
0,9 0,95 0,98 0,99
t
γ,n
)
·
(1 +
−∞
1 6,314 12,706 31,821 63,657
2 2,920 4,303 6,965 9,925
3 2,353 3,182 4,541 5,841
4 2,132 2,776 3,747 4,604
5 2,015 2,571 3,365 4,032
6 1,943 2,447 3,143 3,707
7 1,895 2,365 2,998 3,499
8 1,860 2,306 2,896 3,355
9 1,833 2,262 2,821 3,250
10 1,812 2,228 2,764 3,169
12 1,782 2,179 2,681 3,055
14 1,761 2,145 2,625 2,977
16 1,746 2,120 2,584 2,921
18 1,734 2,101 2,552 2,878
20 1,725 2,086 2,528 2,845
22 1,717 2,074 2,508 2,819
24 1,711 2,064 2,492 2,797
26 1,706 2,056 2,479 2,779
28 1,701 2,048 2,467 2,763
30 1,697 2,042 2,457 2,750
∞
1,645 1,960 2,326 2,576
2
x
)
n
−(n+1)/2
dx
235
Список литературы
[1]
Аркашов Í.Ñ., Бородихин Â.Ì., Ковалевский À.Ï.
òèêà. Новосибирск: ÍÃÒÓ, 2008. Ò. 4.2: Òеория âåðîятностей è ìàòå-
матическàÿ ñòатистикà. 228ñ.
[2]
Боровков À.À.
470ñ.
[3]
Боровков À.À.
1997. 772ñ.
[4]
Бородин À.Í.
ñêîé ñòатистики. ÑÏá., 1999. 223ñ.
[5]
Бородихин Â.Ì.
Практикум. Новосибирск, 2000. ×. 1. 159ñ.
[6]
Бородихин Â.Ì.
Практикум. Новосибирск, 2001. ×. 2. 105ñ.
[7]
Бородихин Â.Ì., Ковалевский À.Ï.
бирск: ÍÃÒÓ, 2005. Ò. 4.2: Òеория âåðîятностей è математическàÿ ñòà-
тистикà. 256ñ.
[8]
Гнеденко Á.Â.
Òеория âåðîятностей. Ì.: Эдиториал ÓÐÑÑ, 1999.
Математическàÿ ñòатистикà. Новосибирск: Íàóêà,
Элементарный êóðñ теории âåðîятностей è математиче-
Òеория âåðîятностей è математическàÿ ñòатистикà:
Òеория âåðîятностей è математическàÿ ñòатистикà:
Высшая математикà. Новоси-
Òеория âåðîятностей. Ì.: Íàóêà, 1969. 400ñ.
Высшая матема-
[9]
Åìåльянов Ã.Â., Скитович Â.Ï.
математическîé ñòатистикå. Ë.: Èçä-âî Ленинградскîãî óí-òà, 1967.
332ñ.
[10]
Åðмаков Ñ.Ì., Михайлов Ã.À.
Íàóêà, 1982.
[11]
Зубков À.Ì., Севастьянов Á.À., Чистяков Â.Ï.
теории âåðîятностей. Ë.: Íàóêà, 1989. 320ñ.
Çàäà÷íèê ïî теории âåðîятностей è
Ñòатистическîå ìîделирование. Ì.:
Сборник çàäà÷ ïî
236
[12]
Ивченко Ã.È., Медведев Þ.È.
Высшая øêîëà, 1984. 248ñ.
[13]
Ивченко Ã.È., Медведев Þ.È., Чистяков À.Â.
тематическîé ñòатистикå. Ì.: Высшая øêîëà, 1989. 255ñ.
[14]
Коршунов Ä.À., Ôîññ Ñ.Ã., Эйсымонт È.Ì.
нений ïî теории âåðîятностей. ÑÏá., 2004. 192ñ.
[15]
Коршунов Ä.À., Чернова Í.È.
тематическîé ñòатистикå. Новосибирск, 2001. 120ñ.
[16]
Лотов Â.È.
Новосибирск: ÍÃÓ, 2006. 128c.
[17]
Свешников À.À. è äð.
матическîé ñòатистикå è теории случайных функций. Ì., 1970. 656ñ.
[18]
Чистяков Â.Ï.
[19]
Чернова Í.È.
160ñ.
[20]
Чернова Í.È.
148ñ.
Òеория âåðîятностей è математическàÿ ñòатистикà.
Сборник çàäà÷ ïî теории âåðîятностей, ìàòå-
Êóðñ теории âåðîятностей. Ì.: Íàóêà, 1987. 240ñ.
Òеория âåðîятностей. Новосибирск: ÍÃÓ, 2007.
Математическàÿ ñòатистикà. Новосибирск: ÍÃÓ, 2007.
Математическàÿ ñòатистикà. Ì.:
Сборник çàäà÷ ïî ìà-
Сборник çàäà÷ è упраж-
Сборник çàäà÷ è упражнений ïî ìà-
Интернет-источники (PDF)
1. Лотов Â.È. Лекции ïî теории âåðîятностей è математическîé ñòà-
тистикå.
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/lotov/tv&ms_.pdf
2. Коршунов Ä.À., Ôîññ Ñ.Ã. Сборник çàäà÷ è упражнений ïî теории
âåðîятностей.
http://www.math.nsc.ru/LBRT/v1/dima/ExerciseProbability2.pdf
3. Коршунов Ä.À., Чернова Í.È. Сборник çàäà÷ è упражнений ïî ìà-
тематическîé ñòатистикå.
http://www.math.nsc.ru/LBRT/v1/dima/ExerciseStatistics2.pdf
Интернет-источники (HTML)
1. Чернова Í.È. Лекции ïî теории âåðîятностей.
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/index.html
2. Чернова Í.È. Лекции ïî математическîé ñòатистикå.
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/ms.html
237
Аркашов Николай Сергеевич
Ковалевский Артем Павлович
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Учебное пособие
В авторской редакции
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка Н. С. Аркашов, А.П. Ковалевский
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 27.10.2017. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз.
Уч.-изд. л. 13,95. Печ. л. 15,0. Изд. № 299. Заказ № 1346. Цена договорная
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
2-е издание
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]