Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 5
Независимые события
Äâà события
A, B
называютсÿ
независимыми
, åñëè äëÿ íèõ выполня-
åòñÿ соотношение:
Åñëè
P(B) > 0
P(AB) = P(A) · P(B).
, òî независимость событий
A, B
равносильна выполнению
(5.1)
равенства
P(A/B) = P(A),
êоторое îçíà÷àåò, ÷òî âåðîятность событияAíå зависит îò ïîявленияB.
События
A1, A2, ..., Anназываютсÿ
независимыми â совокупности
åñëè äëÿ любого êонечного набора èç ýòèõ событий выполняетсÿ соотно-
шение:
P(A
· A
···A
События
i
i
1
2
) = P(A
i
k
A1, A2, ..., Anназываютсÿ
) ·P(A
i
1
) ···P(A
i
2
).
i
k
попарно независимыми
(5.2)
, åñëè ëþ-
áûå äâà èç íèõ независимы.
5.1. Ðешение типовых примеров
Пример 5.1.
Пусть
A = {ξ1≤ 1/2}, B = {ξ2≤ 1/2} C = {(ξ1− 1/2)(ξ2− 1/2) > 0}
Выяснить, независимы ëè ýòè события:
à) â совокупности; á) попарно.
Ðешение.
Ω = [0, 1]2. СобытиеA левая åãî половина, событиеB нижняя, событие
C
представляет объединение äâóõ квадратов
Òî÷êà
ξ = (ξ1, ξ2)
âûáðàíà наудачу â квадрàòå
[0, 1]2.
Пространство элементарных èñõîäîâ - единичный квадрат
,
.
AB = {ξ1≤ 1/2, ξ2≤ 1/2} A B = {ξ1≥ 1/2, ξ2≥ 1/2},
31
заштрихованных íà ðèñ.5.1. Âåðîятности ýòèõ событий найдем ñ помощью
ξ
2
6
1
1
2
0
A
AB
1
2
A B
B
1
-
ξ
1
Ðèñ. 5.1:
геометрическîãî определения:
P(A) =
Âåðîятности попарных пересечений равны:
P(AB) =
Òàêèì образом, данные события попарно независимы. Òàê êàê
ABC = AC = BC = AB
à çíà÷èò, события
1
4
P(ABC) =
A, B,C
1
, P(B) =
2
= P(A) · P(B), P(AC) =
P(BC) =
, òî
1
= P(A) · P(B) · P(C),
4
íå являютсÿ независимыми â совокупности.
1
, P(C) =
2
1
= P(B) · P(C).
4
1
.
2
1
= P(A) · P(C),
4
5.2. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
5.1
Äîêазать, ÷òî åñëè событияAèBнесовместны,
òî событияAèBзависимы.
5.2
Äîêазать, ÷òî åñëè событияAèBнезависимы, òî òàêæå независимы
32
P(A) > 0èP(B) > 0
▽
,
события: a)AèB; á)AèB; â)AèB.
5.3
Ðассмотрим âñå возмоæíûå перестановки четырех áóêâa,b,cè
d
. Определить, зависимы èëè íåò события
B = {c
5.4
âîé êîñòè выпало нечетное число,B íà второй êîñòè выпало нечетное
число,C сумма чисел íà обеих êîñòÿõ нечетна. Проверить, зависимы
èëè íåò событияA,B,C:
à) â совокупности; á) попарно.
5.5
÷òî òîãäà
5.6
ìû èëè íåò события
{
5.7
трическую öåïü. Предполагàåòñÿ, ÷òî îòêàçû элементов являютсÿ незави-
симыми â совокупности событиями. Ñ÷èòàåòñÿ известной надежность
k
íî
öåïè.
предшествуåòd}.
Брошены äâå игральные êîñòè. Ðассмотрим òðè события:A íà ïåð-
Ïóñòü событиеAòàêîâî, ÷òî îíî íå зависит îò самого ñåáÿ. Äîêазать,
P(A) = 0
Брошены последовательно òðè монеты. Определить, зависи-
выпала õîòÿ áû îäíà ðåøêà}.
Íà ðèñ. 5.2 приведена ñõåìà соединения элементов, образующих ýëåê-
-ãî элементà, òî åñòü âåðîятность åãî безотказной работы (соответствен-
qk= 1 − pk âåðîятность åãî îòêàçà). Вычислить надежностьpâñåé
èëè
P(A) = 1
A = {
.
выпал ãåðá íà первой монете}è
A = {a
предшествуåòb}è
B =
p
2
k
1
4
ee
3
Ðèñ. 5.2:
Ðèñ. 5.2.
5.8
Бросаютсÿ òðè правильные монеты. Ïóñòü событиеAсостоит â òîì,
÷òî выпало ïî крайней ìåðå äâå решки, à событиеB â òîì, ÷òî õîòÿ áû
íà îäíîé монете выпал ãåðá. Описать событиеA. Определить, зависимы
èëè íåò событияAèB.
5.9
Бросаютсÿ äâå игральные êîñòè. Ïóñòü событиеAсостоит â òîì, ÷òî
33
выпавшая сумма î÷êîâ нечетна, à событиеB â òîì, ÷òî õîòÿ áû íà
îäíîé èç êостей выпала единица. Описать событиеAB. Определить, çàâè-
ñèìû èëè íåò событияAèB.
5.10
Ïóñòü
бытийAèB?
5.11
Чтобы найти нужную книгу, ñòóäåíò решил обойти 3 библиотеки.
Äëÿ êаждой библиотеки îдинакîâî âåðîÿòíî, åñòü â фондах ýòà êíèãà èëè
íåò, è åñëè êíèãà åñòü â фондах, òî ñ âåðîятностью 0,5 îíà íå занятà äðó-
ãèì ÷èòателем. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî ñòóäåíò найдет книгу, åñëè
известно, ÷òî библиотеки êомплектуютсÿ независимо îäíà îò другой?
0 < P(A) < P(B) < 1
. Следуåò ëè îòñþäà независимость ñî-
34
Ãëàâà 6
Независимые испытàíèÿ
6.1. Формуëû Бернуëëè
Ðассмотрим случайный ýêсперимент, состоÿùèé èç последовательно-
ñòè (êонечной èëè áåñêонечной) îòдельных îднотипных ýêсперимен-
òîâ
I1, I2, ..., In, ...
полагàòü, ÷òî â êаждом испытàíèè возмоæíû ëèøü äâà èñõîäà: ïîявление
íåêоторого событияAëèáî противоположного событияA, ïðè ýòîì ïîÿâ-
лениеAáóäåì называть ¾óñïåõîì¿, à ïîявлениеA ¾íåóäà÷åé¿. Обозна-
÷èì
Ai=
{ïîявлениеA(èëè ¾óñïåõ¿) âi-îì испытàíèè}. Áóäåì предпо-
ëàãàòü, ÷òî âåðîятность ¾óñïåõà¿ â êаждом испытàíèè îäíà è òà æå, ò.å.
P(Ai) = p, P(Ai) = 1 − p = q
Обозна÷èì через
Очевидно,
äåì события
вычисляютсÿ ïî следующим
Полиномиальная ñõåìà.
Ïóñòü имеетсÿnнезависимых испытàíèé, íî â êаждом испытàíèè ìî-
æåò наступить îäèí èçkвозмоæíûõ èñõîäîâ:
êаждого èçnиспытàíèé âåðîятности èñõîäîâ îäíè è òå æå:
pj, j = 1, 2, ..., k
ностное пространство, â îòличие îò ñõåìû Бернуëëè, называетсÿ
миальной ñõåìîé.
испытаниях. Следующая теорема обобщает формуëû Бернуëëè íà случай
полиномиальной ñõåìû.
νnìîæåò принимать любые целые çíàчения îò 0 äîn. Ââå-
, êоторые áóäåì называть
ïðè âñåõi.
νnчисло ¾óñïåõîâ¿ ânнезависимых испытаниях.
Bk= {νn= k},k = 0, 1, . . . , n.
формуëàì Бернуëëè
k
P(Bk) = P(νn= k) = C
, òàê ÷òî
p1+ p2+ . . . + pk= 1.
Обозна÷èì
j
ν
n
n−k
pkq
n
число èñõîäîâ
испытаниями
Âåðîятности событий
:
, k = 0, 1, ..., n.
R1, R2, . .. , Rk, ãäå äëÿ
Соответствующее âåðîÿò-
Rjânнезависимых
. Áóäåì ïðåä-
P(Rj) =
полино-
B
(6.1)
k
35
Òеорема 6.1.
n = n1+ n2+ ... + nk,
Äëÿ любых натуральных
n1, n2, ..., nkтаких, ÷òî
P(ν
1
= n1, ν
n
2
= n2, ..., ν
n
k
= nk) =
n
n!
n1! ·n2! ·· ·nk!
n
1
p
· p
1
n
n
2
k
···p
.
2
(6.2)
k
6.2. Ðешение типовых примеров
Пример 6.1.
одного знака ðàâíà 1/10. Какова вероятность òîãî, ÷òî сообщение èç 10
знаков: à) íå будет искажено, á) содержит ровно 3 искажения,
â) содержит íå áîëåå òðåõ искажений?
Ðешение.
висимых испытàíèé, èñêàæåíèå çíàêà áóäåì ñ÷èòàòü óñïåõîì, âåðîятность
óñïåõàP(óñïåõà
Бернуëëè:
à)
P(νn= 0) = C
á)
P(νn= 3) = C
â)
P(νn≤ 3) = P{
1
+C
2
10
9
(
)2(
10
)8+ C
10
Пример 6.2.
Äåíü рождения наудачу âûáðанного студента приходится íà опредеëåí-
íûé äåíü ãîäà ñ вероятностью
вероятность òîãî, ÷òî найдутся òðè студента, имеющие îäèí è òîò
æå äåíü рождения.
Ïðè передаче сообщения вероятность искажения
Переда÷ó
) = p = 1/10.
0
p0qn= qn= (
n
3
p3q
n
k=0
3
10
n = 10
n−3
= C
3
(νn= k )} =
1
9
(
)3(
10
10
çíàêîâ ìîæíî рассматривать êàêníåçà-
Èñêîìûå âåðîятности íàõîäèì ïî формуëàì
9
)10;
10
1
3
(
10
9
)3(
10
3
k=0
)7;
k
n−k
C
pkq
n
= (
9
)10+ C
10
1
1
10
10
10
)7. ▽
 îäíîì учебноì заведении обучаются 730 студентов.
1/365
äëÿ каждого èç 365 äíåé. Найти
9
(
)9+
10
Ðешение.
Найдем âåðîятность дополнительного события, òî åñòü íàé-
äåì âåðîятность, òîãî ÷òî ровно äâà ñòóäåíòà ðîдились â êаждый èç ìåñÿ-
öåâ ãîäà. Äëÿ этого воспользуåìñÿ полиномиальной ñõåìîé. Â нашем ñëó-
÷àå, очевидно,
ñòóäåíòà â определенный äåíü îдинакîâà è равна
Ïîä событием
i
-îì ìåñÿöå. Òîãäà íàì собственно нужно найти âåðîятность, ÷òî â 730 èñ-
ïûòаниях произойдет ровно 2 èñõîäà òèïà
ровно äâà èñõîäà òèïà
n = 730
, причем âåðîятность ðîждения íàóäà÷ó выбранного
Ai, i = 1...365
A
365
pi= 1/365, i = 1 ...365
понимаетсÿ ðîждение выбранного ñòóäåíòà â
A1, ровно äâà èñõîäà òèïà
èëè, ÷òî òî æå самое,
j
ν
= 2, j = 1...365
730
A2,...,
. Â
36
.
òàêîì случае âåðîятность дополнительного события равна:
(2!)
Èñêîìàÿ æå âåðîятность равна
730!
1 −
365
(1/365)
(2!)
730!
(1/365)
365
730
.
730
▽ .
6.3. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
6.1
Испытàíèå заключаетсÿ â бросании òðåõ игральных êостей. Найти
âåðîятность òîãî, ÷òî â ïÿòè независимых испытаниях ровно äâà ðàçà
выпадет ïî òðè единицы.
6.2
Наблюдениями óñòановлено, ÷òî â íåêоторой местности â ñåíòÿáðå
â среднем бывает 12 äîждливых äíåé. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî èç
восьми случайно взятых â ýòîì ìåñÿöå äíåé òðè äíÿ îêажутсÿ äîждливы-
ìè?
6.3
Ïóñòü âåðîятность попадания â öåëü равна 1/5. Произвоäèòñÿ
10 независимых выстрелов. Êàêîâà âåðîятность попадания â öåëü ïî
меньшей ìåðå дважды?
6.4
Âåðîятность получения óäàчного ðåçóëüòàòà ïðè проведении ñëîжного
химическîãî îïûòà равна 2/3. Найти наивероятнейшее число óäà÷íûõ
опытов, åñëè èõ общее число равно 7.
6.5
Âåðîятность попадания â öåëü ïðè êаждом выстреле èç îðóäèÿ равна
4/5. Ñêîëüêî нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число
попаданий áûëî равно 20?
6.6
Каждую секунду ñ âåðîятностьюpнезависимо îò других моментов
времени ïî дороге проезжàåò автомашина. Пешехîäó äëÿ перехîäà дороги
íåîáõîäèìî 3 ñ. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî ïîдошедший ê дороге
пешехîä áóäåò îжидать возможности перехîäà: à) 3 ñ; á) 4 ñ; â) 5ñ?
6.7
Äâîå ïî очереди бросают монету. Выигрывает òîò, êòî первым
получит ¾ãåðá¿. Найти âåðîятность событий:
à) èãðà çàêончитсÿ äî 4 бросания;
á) выиграет íàчавший èãðó (первый игрок);
â) выиграет второй игрок.
6.8
 ñõåìå Бернуëëèp âåðîятность èñõîäà 1 è
èñõîäà 0. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî цепочкà 00 (äâà íóëÿ ïîäðÿä)
ïîявитсÿ раньше цепочки 10. Â частности, вычислить ýòó âåðîятность
ïðè
p = 1/2
6.9
Òехнический êонтроль проверÿåò изделия, êаждое èç êоторых íåçà-
.
висимо îò других изделий ìîæåò ñ âåðîятностьюpîêазатьсÿ дефектным.
q = 1 − p
âåðîятность
37
à) Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî èç 10 проверенных изделий толькî îäíî
îêазалось дефектным?
á) Найти âåðîятность òîãî, ÷òî первым дефектным îêазалосьk-å прове-
ренное изделие.
â) Найти âåðîятность òîãî, ÷òî последующие 10 изделий îêажутсÿ ãîä-
íûìè ïðè óсловии, ÷òî предыдущие
Зависит ëè ýòà âåðîятность îòl?
ã) Найти âåðîятность òîãî, ÷òî число обнаруженных ïðè проверкå ãîäíûõ
изделий между двумя последовательными дефектными равноk.
6.10
âåðîятность òîãî, ÷òî среди 100 человек:
à) íåò äàëüтоникîâ; á) äàëüтоникîâ äâà èëè больше.
6.11
длины1è íà äâà отрезкà длины3. Ïóñòü
случайные точки, имеющие равномерное распределение íà отрезкå
Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî èç ýòèõ точек â äâà êàêèõ-ëèáî отрезкà
длиной1попадет ïî2точки, à â êаждый èç îñòавшихñÿ отрезкîâ ïî
îäíîé òî÷êå?
6.12
другой, шесть точек. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî:
à) äâå точки áóäóò íàõîäèòñÿ îò точки A íà расстоÿíèè, меньшемb, à
четыре íà расстоÿíèè большемb;
á) äâå точки áóäóò íàõîäèòñÿ îò точки A íà расстоÿíèè, меньшемc,
îäíà íà расстоÿíèè, íå меньшемcè íå большемb, à òðè точки íà
расстоÿíèè большемb.
6.13
двенадцати игральных êостей?
 íåêоторой группе ëþäåé äàëüтоники ñîñòавляют 1%. Найти
Отрезок
Íà отрезок AB длиныaброшены íàóäà÷ó, независимо îäíà îò
Êàêîâà âåðîятность получить êаждую грань дважды ïðè бросании
[0, 10]
òî÷êàìè1,2,3,4,7разделен íà четыре отрезкà
l = 5
изделий áûëè òàêæå ãîдными.
A1, ..., A8 независимые
[0, 10]
.
38
Ãëàâà 7
Формуëû полной âåðîятности è Байеса
7.1. Полная группа событий
Предполоæèì, ÷òî äëÿ A ìîæíî найти êонечную èëè áåñêонечную после-
довательность событий
ÿì:
C1. События
C2. Событие A происõîäèò, ëèøü êîãäà происõîäèò îäíî èç событий
ò.å.
C3.
P(Hk) > 0
Набор событий, óдовлетворяющий ýòèì óсловиям, называют
группой событий (гипотез).
вместе ñ событиемAвыполняетсÿ îäíî èç событий
÷åì толькî îäíî.
óдовлетворÿþò óсловиям C1C3, òî âåðîятность
ëåíà ïî следующей
 òåõ æå óсловиях, åñëè произошло событиеAïîëîжительной âåðîÿòíî-
ñòè, òî ñ учетом этого события новые, ò. å. óсловные âåðîятности событий
Hjвычисляютсÿ ïî
Ýòè âåðîятности называютсÿ
осуществления событияA).
{Hk}
ïðè âñåõk.
{Hk},
êоторые óдовлетворÿþò следующим óслови-
попарно несовместны, ò.å.
A ⊆
Åñëè событиеAè последовательность событий
формуëå полной âåðîятности:
P(A) =
k
ôîðìóëå Байесà
P(Hj/A) =
апостериорными
Hk.
k
Óсловия C1C2 равносильны òîìó, ÷òî
P(A/Hk)P(Hk).
P(A/Hj)P(Hj)
P(A/Hk)P(Hk)
k
Hi∩ Hj= ∅
P(A)
.
(ò. å. вычисляемыми после
ïðè
i = j.
{Hk},
ìîæåò áûòü вычис-
Hk,
полной
ïðè-
{Hk}
(7.1)
39
7.2. Ðешение типовых примеров
Пример 7.1.
Èç óðíû, содержащей3áåëûõ è2черных øàðà, âû-
нимаются наудачу äâà øàðà è перекладываются âî вторую óðíó, содер-
жащую4áåëûõ è4черных øàðà.a)Найти вероятность вынуть ïîñëå
этого èç второй óðíû áåëûé øàð.á)Пусть èç второй óðíû áûë вынут
áåëûé øàð. Какова вероятность òîãî, ÷òî ïðè перекладывании èç первой
óðíû âî вторую áûëè ïîложены äâà áåëûõ øàðà?
Ðешение.
Ïóñòü
A =
{èç второй óðíû вынут белый øàð}. Â êàчестве
полной группы событий, связанных ñ ýòèì событием, ìîæíî рассмотреть
âñå возмоæíûå èñõîäû первой ôàçû ýêспериментà, ò.å. перекладывания
äâóõ шаров èç первой óðíû âî вторую. Обозна÷èì, например,
первой óðíû вынуты äâà черных øàðà} ,
îäèí черный è îäèí белый øàðû},
HÁÁ=
H×Á=
{èç первой óðíû вынуты
{èç первой óðíû вынуты äâà
H××=
{èç
белых øàðà}. Очевидно, ÷òî ýòè события попарно несовместны, è âñåãäà
происõîäèò îäíî èç íèõ, следовательно, îíè образуют полную группу ñîáû-
òèé. Äëÿ вычисления âåðîятности события A применим формуëó полной
âåðîятности:
P(A) = P(A/H××)P(H××)+P(A/H×Á)P(H×Á)+P(A/HÁÁ)P(HÁÁ).
(7.2)
Найдем âåðîятности гипотез:
0
P(H××) =
2
C
C
3
2
=
2
C
5
P(HÁÁ) =
1
, P(H×Á) =
10
1
0
C
C
3
2
2
C
5
=
10
1
1
C
C
3
C
3
.
6
2
=
10
,
2
5
Óсловные âåðîятности íàõîäèì, èñõîäÿ èç известного ñîñòàâà второй óðíû
ïðè осуществлении òîé èëè èíîé гипотезы:
P(A/H××) =
10
2
=
, P(A/H×Á) =
5
10
5
1
=
, P(A/HÁÁ) =
2
10
6
3
=
.
5
4
Ïîäñòавляя â (7.2) найденные âåðîятности, получим:
1
2
6
1
3
3
P(A) =
10
·
+
·
10
+
2
10
5
13
·
=
5
25
Ответим íà второй вопрос çàäà÷è. Èñêîìóþ âåðîятность
äèì ïî формуëå Байеса:
P(HÁÁ/A) =
P(A/H××)P(H××) + P(A/H×Á)P(H×Á) + P(A/HÁÁ)P(HÁÁ)
P(A/HÁÁ)P(HÁÁ)
40
.
P(HÁÁ/A)
íàõî-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]