Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
ìåðå îäíî зеленое; ã) íå менее òðåõ красных.
2.2
Êóá, âñå грани êоторого окрашены, распилен íà 1000 кубикîâ îдного
размера. Определить âåðîятность òîãî, ÷òî íàóäà÷ó извлеченный кубик
áóäåò иметь ровно äâå окрашенные грани.
2.3
 лотерее разыгрываетсÿ 1000 билетов. Среди íèõ äâà выигрыша
ïî 50 ðóá., 5 ïî 20 ðóá., äåñÿòü - ïî 10 ðóá. è 25 - ïî 5 ðóá. Некто
покупает îäèí билет. Найти âåðîятность: à) выигрыша íå менее 20 ðóá.;
á) êàêîãî-ëèáî выигрыша.
2.4
Íà шести êарточкàõ написаны буквы Â, Ä, Ç, Î, Ó, Õ. После
перетасовки вынимают íàóãàä îäíó êарточку çà другой è:
à) раскладывают èõ â òîì ïîðÿäêå, â êàêîì îíè áûëè вынуты;
á) êаждая èç áóêâ íà вынутой êарточкå записываетсÿ, à ñàìà êарточкà
возвращаетсÿ â êîëîäó.
Найти âåðîятность òîãî, ÷òî получитсÿ слово "воздух".
2.5
Ðебенок играет ñ 10 буквами разрезной азбуки: À, À, À, Å, È, Ê, Ì,
Ì, Ò, Ò. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî ïðè случайном располоæåíèè áóêâ
â ðÿä îí получит слово ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ?
2.6
 ëèôò 9-ýòажного äîìà íà первом ýòàæå вошли 5 человек. Известно,
÷òî êаждый èç íèõ ñ равной âåðîятностью ìîæåò выйти íà любом èç
ýòàæåé, íàчиная ñî второго. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî:
à) âñå пятеро выйдут íà пятом ýòàæå;
á) âñå пятеро выйдут îдновременно (íà îäíîì è òîì æå ýòàæå);
â) âñå пятеро выйдут íà разных ýòàæàõ;
ã) íà первых òðåõ ýòàæàõ íå выйдет íè îäèí человек;
ä) âñå пассажиры выйдут íà первых шести ýòàæàõ;
å) íà îäíîì ýòàæå выйдут òðè пассажира, à íà другом äâà?
2.7
Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî â четырехзна÷íîì номере случайно
выбраного â большом ãîðîäå автомобиля:
à) âñå цифры разные;
á) äâå ïàðû îдинакîâûõ öèôð;
â) толькî äâå îдинакîâûå цифры;
ã) толькî òðè îдинакîâûå цифры;
ä) âñå цифры îдинакîâûå;
å) сумма äâóõ первых öèôð равна сумме äâóõ последних öèôð?
2.8
 ÿùèêå 10 красных è 6 синих пуговиц. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî
äâå íàóäà÷ó вынутые пуговицы áóäóò îдноцветными?
2.9
Èç êîëîäû êàðò (52 ëèñòà) íàóäà÷ó вынимаютсÿ òðè êàðòû. Найти
âåðîятность òîãî, ÷òî:
à) среди íèõ îêàæåòñÿ ровно îäèí òóç;
á) среди íèõ îêàæåòñÿ õîòÿ áû îäèí òóç;
21
â) ýòî áóäóò тройкà, семеркà è òóç (â любом ïîðÿäêå).
2.10
Участник лотереи ¾спортëîòî¿ èç 49 наименований видов спортà
называет шесть. Выигрыш определяетсÿ òåì, ñêîëüêî наименований îí
óãàäàë èç шести других наименований, êоторые определяютсÿ â момент
розыгрыша лотереи ñ помощью специального óстройства, реализующего
случайный выбор. Ñ êàêîé âåðîятностью участник óãадает âñå шесть
наименований? Ïÿòü наименований è ò.ä.?
2.11
Èç êîëîäû êàðò (52ëèñòà) íàóäà÷ó извлекàþòñÿ òðè êàðòû. Найти
âåðîятность òîãî, ÷òî ýòî áóäóò тройкà, семеркà, òóç.
2.12
Èç 28 êостей домино случайно выбирают äâå. Найти âåðîятность
òîãî, ÷òî èç íèõ ìîæíî ñîñòавить ¾цепочку¿ ñîãласно правилам èãðû.
2.13
Имеетсÿ ïÿòü отрезкîâ, длины êоторых равны соответственно1,3,
5,7è9
íàóäà÷ó òðåõ отрезкîâ èç данных ïÿòè ìîæíî построить треугольник.
2.14
âåðîятность òîãî, ÷òî среди взятых íàóäà÷ó ïÿòè билетов: à) ровно îäèí
выигрышный; á) ровно äâà выигрышных; â) õîòÿ áû îäèí выигрышный.
2.15
íàõîäèòñÿ двухтомник Ä. Лондона. Предполагàÿ, ÷òî различные ðàñ-
ïîëîæåíèÿ êíèã равновероÿòíû, найти âåðîятность òîãî, ÷òî îáà òîìà
располоæåíû ðÿäîì.
2.16
событий:
падут разные цифры},
2.17
âåðîятности следующих событий:
B =
попадут ê îдному èç игрокîâ}.
2.18
â ãàðдеробе âñå ïàëüòî, à потом развесил èõ â случайном ïîðÿäêå. Êàêîâà
âåðîятность
åñëè всего â ãàðдеробеnкрючкîâ è íà íèõ виселоnïàëüòî? Найти предел
pnïðè
2.19
ñåìü билетов. Найти âåðîятность òîãî,÷òî îêазались занятыми:
à) ровно äâà êóïå; á) ровно òðè êóïå
2.20
образом распределяютсÿ ïî четырем группам. Найти âåðîятность òîãî,
÷òî:
à) â êаждую группу попадут ïî 2 ñòóäåíòà;
единицам. Определить âåðîятность òîãî, ÷òî ñ помощью взятых
Èç äåñÿòè билетов выигрышными являютсÿ äâà. Определить
Íà ïîëêå â случайном ïîðÿäêå расставлено n êíèã, среди êоторых
Бросаетсÿ 6 игральных êостей. Найти âåðîятности следующих
A =
{выпадут 3 единицы, äâå тройки è îäíà шестеркà},
C =
{выпадут òðè îдинакîâûå цифры}.
52 êàðòû раздаютсÿ четырем игрокàì (êаждому ïî 13 êàðò). Найти
A =
{êаждый игрок получит òóçà},
{îäèí èç игрокîâ получит âñå 13 êàðò îäíîé масти},
Îäèí øêольник, æåëàÿ ïîдшутить íàä своими товарищами, собрал
pnòîãî, ÷òî õîòÿ áû îäíî ïàëüòî попало íà прежнее место,
n → ∞
 купейный вагон (9 êóïå ïî 4 ìåñòà) ñåìè пассажирам ïðîäàíî
8 ñòóдентов, дополнительно çàчисленных â университет, случайным
.
C =
B =
{âñå òóçû
{âû-
22
á) âñå îêажутсÿ â îäíîé группе;
â) ïî 4 ñòóäåíòà попадут â äâå группы.
23
Ãëàâà 3
Ãеометрическàÿ âåðîятность
 геометрическîé âåðîятностной ìîäåëè пространство элементарных èñ-
õîäîâ
странства
ïðè
длину; ïðè
ùàäü; ïðè
êонечный объем).
Ω
èëè объему) è íå зависит îò âèäà è располоæåíèÿ ìíîæестваA. Òîãäà âåðî-
ятность событияA(âåðîятность попадания â ìíîæествоA) определяетсÿ
формуëîé:
3.1. Ðешение типовых примеров
Ω ⊂ Rdåñòü íåêоторое ïîäìíîæествоd-мерного евклидова ïðî-
Rd, имеющее êонечный íåíóлевой объем
d = 1
ýòî ïîäìíîæество действительной ïðÿìîé, имеющее êонечную
d = 2
d = 3
Предполоæèì, ÷òî âåðîятность попадания â любое ïîäìíîæество
пропорциональна ìåðå этого ïîäìíîæества
ýòî ïîäìíîæество плоскîñòè, имеющее êонечную ïëî-
ýòî ïîäìíîæество трехмерного пространства, имеющее
µ(A)
P(A) =
µ(A)
µ(Ω)
.
µ(Ω)
(â частности,
(ò.å. длине, площади
A ⊂
(3.1)
Пример 3.1.
дящиеся äðóã îò друга íà ðасстоянии2a. Íà плоскость наудачу брошена
монета ðадиусà
îäíó èç прямых?
Ðешение.
æением монеты относительно áëèæайшей èç ïðÿìûõ. Поэтому â êà÷å-
ñòâå элементарного èñõîäà данного ýêспериментà ìîæíî взять çíàчение
величиныx расстоÿíèå îò центра монеты äî áëèæайшей ïðÿìîé. Òî-
ãäà пространство элементарных èñõîäîâ
Íà плоскости начерчены ïàðàëëåльные прямые, íàõî-
r < a
. Какова вероятность òîãî, ÷òî монета пересечет
Интересующее íàñ событие îднозна÷íî описываетсÿ ïîëî-
Ω
представляетсÿ ìíîæеством
24
Ω = {x : 0 ≤ x ≤ a},
òèå
A =
{монетà пересечет îäíó èç ïðÿìûõ} происõîäèò òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà
x ≤ r
A = {x : 0 ≤ x ≤ r},
òî åñòü отрезкîì
. Следовательно, îíî представляетсÿ ìíîæеством
òî åñòü отрезкîì
íàõîäèì ïî формуëå (3.1):
[0, a]
[0, r] ⊂ Ω
íà числовой îñè. Ñîáû-
. Âåðîятность события A
Пример 3.2.
P(A) =
µ(A)
µ(Ω)
(Задача î встрече). Äâà ëèöàAèBóñловились
=
µ([0, a])
µ([0, r]
=
r
. ▽
a
встретится â определенноì месте между двумя è òðåìÿ ÷àñàìè äíÿ.
ËèöîAæäåò другого â течение 10 минут, ïîñëå ÷åãî уходит; ëèöî
B
æäåò другого â течение 15 минут. Предполагая, ÷òî каждый èç íèõ
может прийти â любое âðåìÿ â течение указанного ÷àñà, найти âåðî-
ятности ñледующих событий:
C =
{встреча состоится},
D =
{встреча
состоится, íî âî второй ïîловине ÷àñà}.
Ðешение.
çíà÷åíà íà промежуток времени между 0 è 1. Обозна÷èì через
Íå ограничивая общности, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî встреча íà-
(x, y)
ìî-
менты ïðèõîäàAèBсоответственно. Пространством элементарных èñ-
õîäîâ являетсÿ ìíîæество
Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
, òî åñòü
единичный квадрат íà плоскîñòè. Событие C ìîæíî представить â âè-
äå
C = C1∪ C2, ãäå
A},
C2=
{встреча состоитсÿ, причем первым придет B}. Îíî соответству-
åò ìíîæеству
C = C1∪ C2, ãäå
C2= {(x, y) ∈ Ω : y ≤ x ≤ y +
æàåì ýòè ìíîæества íà ðèñ. 3.1. Ïðè ýòîì ìíîæество
точек квадратàΩ, заключенных между ïðямыми
ìíîæество
è
y = x −
C2 ýòî частьΩ, заключенная между ïðямыми
1
;
объединение èõCзаштриховано параллельно диагонали
4
C1=
{встреча состоитсÿ, причем первым придет
C1= {(x, y) ∈ Ω : x ≤ y ≤ x +
1
} = {(x, y) ∈ Ω : x −
4
1
≤ y ≤ x}.
4
C1åñòü ìíîæество
y = x
è
Изобра-
y = x +
y = x
1
6
1
6
квадратà. Ðавновозможность ïðèõîäà обоих ëèö â течение ÷àñà позволя-
åò использовать геометрическîå определение âåðîятности (3.1), ñîãласно
êоторому
P(C) =
µ(C)
µ(Ω)
=
Событие D ìîæíî представить â âèäå пересечения
E =
{õîòÿ áû îäíî èç äâóõ ëèö придет âî второй половине ÷àñà}. Соответ-
ствующее ìíîæество
E = {(x, y) ∈ Ω : y >
горизонтальной штрихîâêîé, à
1
5
1 −
(
)2−
2
6
1
D = C ∩ E
1
3
2
(
)
2
1
x >
2
107
4
=
.
288
D = C ∩ E
1
}
выделено íà ðèñ.3.1
2
, ãäå
- ìíîæество ñ двойной øòðè-
õîâêîé. Íàõîäÿ площадь этого ìíîæества (площадь единичного квадратà
},
;
25
y
6
y = x +
1
6
y = x
1
y = x −
1
2
1
6
0
j
C E
1
4
1
2
-
x
1
1
4
Ðèñ. 3.1:
ìèíóñ площадь квадратà ñî стороной 1/2 ìèíóñ площади äâóõ трапеций)
è применяя снова геометрическîå определение âåðîятности, получим:
1
1
1
5
1
1
1
3
1
+
)
4
4
5
2
=
. ▽
24
P(D) =
µ(D)
µ(Ω)
=
1 −(
2
)2−
(
+
)
−
2
3
6
(
2
2
1
3.2. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
3.1
 квадрат ñ вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) íàóäà÷ó брошена òî÷êà.
Ïóñòü
(X, Y )
à)
P{|2X − Y | < 1/4};
á)
P{min(X, Y ) < 3/4};
â)
P{(X + Y )/2 < 1/3};
áóäóò åå êîîðдинаты. Найти:
ã)
P{XY < 3/4}
ä)
P{max(X, Y ) < 1/5};
e)
P{X + 4Y < 1/2}.
;
3.2
Íà áåñêонечную шахматную доску ñî стороной квадратàaбросаетсÿ
íàóäà÷ó монетà диаметра
2r < a
. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî:
à) монетà попадет целикîì внутрь квадратà;
á) монетà пересечет íå более îäíîé стороны квадратà.
3.3
 интервале времени
длительности∆. Приемник включаетсÿ â случайный момент
времяt. Предполоæèâ, ÷òî òî÷êà
ðàòå
[0, T ] × [0, T ]
, найти âåðîятность обнаружåíèÿ сигнала.
[0, T ]
â случайный моментuïîявляетсÿ сигнал
(u, v)
равномерно распределена íà êâàä-
v ∈ [0, T]
26
íà
3.4
 квадрат ñ вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) íàóäà÷ó брошена òî÷êà.
Ïóñòü
выполнено:
P{X < x, Y < y} = P{X < x}P{Y < y} = xy
Äëÿ
à)
á)
â)
3.5
êîé âåðîятностью èç полученных отрезкîâ ìîæíî ñîñòавить: à) треуголь-
íèê; á) остроугольный треугольник?
3.6
ность òîãî, ÷òî треугольник
а)остроугольным; г)правильным;
б)тупоугольным; д)равнобедренным.
â)ïðямоугольным;
3.7
минуту горит зеленый ñâåò è полминуты красный, затем снова îäíó ìèíó-
òó зеленый è полминуты красный è ò.ä. Â случайный момент времени
ê перекрестку ïîдъезжàåò ëåãêîâîé автомобиль. Êàêîâà âåðîятность òî-
ãî,÷òî îí проедет перекресток áåç îñòановки?
3.8
òîãî, ÷òî ýòà òî÷êà îêàæåòñÿ îò центра íà расстоÿíèè, меньшемr.
3.9
ность òîãî, ÷òî èõ сумма больше èëè равна 1, à èõ разность меньше ëèáî
равна 0?
3.10
определенный äåíü между 12 è 13 часами. Пришедший первым æäåò âòî-
ðîãî â течение 10 ìèí, после ÷åãî óõîäèò. Найти âåðîятность встречи ñòó-
дентов, åñëè ïðèõîä êаждого èç íèõ независим è равновозмоæåí â любой
промежуток времени.
(X, Y )
0 < z < 1
P{|X − Y | < z};
P{min(X, Y ) < z};
P{(X + Y )/2 < z};
Ñòåðæåíü длиныlразломан â äâóõ íàóäà÷ó выбранных òî÷êàõ. Ñ êà-
Íà окружности íàóäà÷ó выбраны òðè точкиA,B,C. Найти âåðîÿò-
Íà перекресткå óñòановлен автоматический светофор, â êотором îäíó
Òî÷êà âçÿòà íàóäà÷ó внутри êðóãà радиуñîìR. Найдите âåðîятность
Íàóäà÷ó выбирают äâà числа èç промежуткà
Äâîå ñòóдентов óсловились встретитьсÿ â определенном месте è â
áóäóò åå êîîðдинаты. Äîêазать, ÷òî äëÿ любых
.
найти:
ã)
ABC
P{XY < z}
ä)
P{max(X, Y ) < z};
e)
P{X + 2Y < z}.
áóäåò:
;
[0, 1]
. Êàêîâà âåðîÿò-
0 ≤ x, y ≤ 1
27
Ãëàâà 4
Óсловные âåðîятности
4.1. Определения è примеры
Äëÿ любых событий
событияAïðè óсловииBназываетсÿ число
Óсловная âåðîятность возникàåò â ñèòóàöèè, êîãäà имеетсÿ частичная èí-
формация î ðåçóëüòàòàõ случайного ýêспериментà (¾произошло событие
B
¿), è â ýòèõ óсловиях требуåòñÿ найти âåðîятность событияA.
A, B
, ãäå
P(B) > 0,óсловной âåðîятностью
P(A/B) =
P(AB)
P(B)
.
(4.1)
4.2. Ðешение типовых примеров
Пример 4.1.
ятность òîãî, ÷òî íà одной èç íèõ выпала единица, åñëè íà âñåõ òðåõ
костях выпали ðазные ÷èñëà?
Ðешение. Первый способ.
èç êостей выпала единица},
ëà}. Пространство элементарных èñõîäîâ
ðядоченных наборов чисел
è 3-é êîñòÿõ. Ïîñêольку êаждое èç ýòèõ чисел ìîæåò принимать любое
èç çíàчений îò 1 äî 6, òî
íèåì объема 3 èç шести. Общее число âñåõ элементарных èñõîäîâ равно
N(Ω) = B
щения, èõ число
3
6
= 63.
Брошены òðè èãðальные кости. ×åìó ðàâíà âåðî-
Событие
N(B) = A
Обозна÷èì события:
B =
{íà âñåõ êîñòÿõ выпали разные ÷èñ-
Ω
åñòü ìíîæество âñåõ óïî-
(i, j, k)
Ω
, выпавших соответственно íà 1-é, 2-é
åñòü ìíîæество âñåõ выборок ñ возвраще-
B
образовано всеми выборкàìè áåç возвра-
3
[3]
= 6
,
6
âåðîятность события
A =
{íà îäíîé
B
равна
28
[3]
P(B) =
6
áåç возвращения
6·5·4
=
3
6
6
=
3
(i, j, k)
5
.
9
Событие
AB
образовано òакими выборкàìè
, ó êоторых íà îäíîé èç òðåõ позиций стоит ¾1¿,
à íà îñòальных - различные числа îò 2 äî 6. Число òàêèõ выборок равно
N(AB) = 3 · 5 · 4
, à âåðîятность
P(AB) =
3·5·4
6
5
=
.
3
Òîãäà óсловную
18
âåðîятность íàõîäèì ïî формуëå (4.1):
5
1
18
=
=
.
5
2
9
Второй способ.
P(A/B) =
P(AB)
P(B)
Ïîñêольку известно, ÷òî íà âñåõ êîñòÿõ выпали разные
числа, òî åñòü произошло событиеB, òî пространством элементарных
èñõîäîâ ìîæíî ñ÷èòàòü ìíîæествоB.  ýòîì случае ïîявление события
A
равносильно ïîявлению пересечения
AB
. Òîãäà óсловная âåðîятность
событияAвычисляетсÿ ïî классическîìó определению:
P(A/B) =
N(AB)
N(B)
=
3 ·5 · 4
[3]
6
=
3 ·5 · 4
6 ·5 · 4
=
1
. ▽
2
4.3. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
4.1
Брошены äâå игральные êîñòè. ×åìó равна âåðîятность òîãî, ÷òî
сумма выпавших íà íèõ î÷êîâ равна 8, åñëè известно, ÷òî ýòà сумма åñòü
четное число?
4.2
Брошены äâå игральные êîñòè. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî íà
первой êîñòè выпало 4 î÷êà, åñëè известно, ÷òî íà второй êîñòè выпало
больше î÷êîâ, ÷åì íà первой?
4.3
Известно, ÷òî ïðè бросании 10 игральных êостей выпала ïî крайней
ìåðå îäíà единица. Êàêîâà ïðè ýòîì âåðîятность òîãî, ÷òî выпали äâå
èëè более единицы?
4.4
 ÿùèêå ëåæàò 12 красных, 8 зеленых è 10 синих шаров. Íàóäà÷ó
вынимают äâà øàðà. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî вынуты øàðû разного
öâåòà, åñëè известно, ÷òî среди íèõ íåò синего?
4.5
Игральная êîñòü бросаетсÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå выпадет единица.
Известно, ÷òî äëÿ этого потребовалось четное число бросаний. Найти
âåðîятность òîãî, ÷òî единица выпадет ïðè втором бросании.
4.6
Ïóñòü
равенств:
à)
P(A1/A2) = P(A1)
4.7
Äâîå играют â èãðó, поочередно вынимая øàð èç óðíû, ñîäåðæàùåé
3 белых è 5 черных шаров. Выигравшим ñ÷èòàåòñÿ òîò, êòî первым вынет
белый øàð. ×åìó равна âåðîятность выигрыша äëÿ íàчавшего èãðó, åñëè
P(A1/A2) = P(A1)
; á)
. Ïîêазать справедливость следующих
P(A1/A2) = P(A1)
.
29
после êаждого íåóäàчного ýêспериментà øàð возвращаетсÿ â óðíó?
4.8
Письмо íàõîäèòñÿ â столе ñ âåðîятностьюp, причем ñ равной
âåðîятностью îíî ìîæåò áûòü â любом èç восьми ÿùèêîâ стола. Ìû
пересмотрели7ÿùèêîâ è письма íå обнаружили. Êàêîâà âåðîятность, ÷òî
письмо:
à) íàõîäèòñÿ â восьмом ÿùèêå;
á) отсутствуåò â столе?
4.9
Èç полной êîëîäû êàðò (52 ëèñòà) вынимают сразу äâå êàðòû.
Îäíó èç íèõ смотрÿò îíà îêазалась дамой, после этого вынутые êàðòû
перемешивают è îäíó èç íèõ берут íàóãàä. Найти âåðîятность, ÷òî îíà
îêàæåòñÿ тузом.
4.10
Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî îäèí èç ÿùèêîâ áóäåò ñîäåðæàòü ровно òðè
øàðà, åñëè известно, ÷òî первые äâà øàðà îêазались â разных ячейкàõ?
4.11
íàêîâû, ничьих íåò), è îíè договорились, ÷òî òîò, êòî первым выиграет
шесть партий, получит âåñü ïðèç. Предполоæèì, ÷òî íà самом äåëå èãðà
îñòановилась äî òîãî, êàê îäèí èç íèõ выиграл ïðèç, например, первый
игрок выиграл ïÿòü партий, à второй òðè. Êàê справедливо следуåò
разделить ïðèç?
4.12
Четыре øàðà последовательно размещаютсÿ â четырех ÿùèêàõ.
Äâà игрокà играют â безобидную èãðó (ó обоих шансы победить îäè-
Äîêазать, ÷òî åñëè
C ⊆ B ⊆ A
, òî
P(C/A) = P(C/B)P(B/A)
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]