Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
å) точно äâå äåòàëè дефектны.
1.6
Преподаватель провоäèò занятия ñ группой èç òðåõ ñòóдентов. Ñîáû-
òèå A первый ñòóäåíò потребуåò внимание преподавателя â течение ÷àñà;
B второй ñòóäåíò потребуåò внимание преподавателя â течение ÷àñà; C
третий ñòóäåíò потребуåò внимание преподавателя â течение ÷àñà. ×òî
îçíà÷àþò события: à) ABC; á)
ã)
ABC + ABC + ABC
1.7
СобытиеA õîòÿ áû îäíî èç четырех имеющихñÿ изделий áðàêî-
ванное, событиеB áðàêованных изделий среди íèõ íå менее äâóõ. ×òî
îçíà÷àþò противополоæíûå событияAèB?
1.8
Совместны ëè событияAè
1.9
Äîêазать òîждества:
à)
(A + BC)(B + AC)( C + AB) = ABC + A B C
â)
(A −B) + (A − C) = A − BC
1.10
Äîêазать, ÷òî следующие события достоверны: à)
(A + B)(A + B)
á)
(A + B)(A + B) + (A + B)(A + B)
1.11
Äîêазать, ÷òî событие
1.12
Óñòановить êàêèå èç следующих соотношений правильны:
à)
(A + B) \C = A + (B \ C)
á)
(A + B)C = ABC
â)
A + B + C = A B C
ã)
(A + B)C = C \ C(A + B)
1.13
Èç òаблицы случайных чисел íàóäà÷ó выбрано îäíî число. Событие
выбранное число делитсÿ íà5; событиеB данное число îêанчиваетсÿ
íóëåì. ×òî îçíà÷àþò события
;
; ä)
; å)
; æ)
A + B + C
A B C
; ä)
; ç)
; å)
A ∪B
?
.
.
(A + B)(A + B)(A + B)(A + B)
ABC = AB(B + C )
(A + B)C = AC + BC
ABC ⊂ A + B
(AB + BC + CA) ⊂ (A + B + C)
A\BèA ∩B
; â)
AB C + ABC + A BC
A + B + C − ABC?
.
;
?
(A + B)(A+B) +
невозмоæíî.
;
;
.
;
A
11
Ãëàâà 2
Классическîå âåðîятностное
пространство
2.1. Âåðîятностное пространство,
классическîå определение âåðîятности
Ïóñòü пространство элементарных èñõîäîâ êонечно, òî åñòü
Ω = {ω1, ω2, ..., ωN}
ïî формуëå:
ãäå
N(A)
N = N (Ω)
классическим определением âåðîятности.
êî следуåò, ÷òî
Ì1.
P(Ω)
Ì2. äëÿ любых попарно несовместных ìíîæåñòâ
венство
Более òîãî, î âñÿêîé функции заданной íà ìíîæестве ïîäìíîæåñòâ èçΩè
обладающей свойствами Ì1 è Ì2 ìû â дальнейшем áóäåì говорить êàê î
âåðîятностной ìåðå. Â частности, èç свойств M1 è Ì2 вытекàþò следую-
ùèå очень полезные свойства âåðîятности.
1.
2. Åñëè
3.
Äîêàæåì первое равенство. Ïîñêольку событияAèAíå пересекàþòñÿ,
число элементарных èñõîäîâ, образующих событие A,
число âñåõ элементарных èñõîäîâ. Ðавенство (2.1) называют
=1 è
∞
P(
i=1
P(A) = 1 − P(A)
A ⊆ B
P(A ∪B) = P(A) + P(B) − P(AB)
. Ïðè ýòîì âåðîятность любого события A вычисляетсÿ
N(A)
,
N
Èç этого определения ëåã-
A ⊆ Ω
;
A1, A2, ...
(свойствоσ−аддитивности).
.
.
выполняетсÿ ðà-
P(A) ≥ 0
Ai) =
, òî
P(A) =
äëÿ любого ïîäìíîæества
∞
P(Ai)
i=1
.
P(B \ A) = P(B) − P(A)
(2.1)
12
ïðè ýòîì
A ∪A = Ω
, òî, используÿ свойства M1 è M2, получаем
1 = P(Ω) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A),
îòêóäà собственно è получаетсÿ требуåìîå равенство. Äîêàæåì второе ðà-
венство. Ò.ê.
A
íå пересекàþòñÿ, поэтому, применяя свойство M2, получаем
P(B \ A) + P(A)
A ⊆ B
, поэтому è
, òî
B = (B \ A)A
P(B \ A) = P(B) − P(A)
. Ïðè ýòîì события
. Òàê æå просто
B \ A
P(B) =
äîêазываетсÿ è третье равенство. Äëÿ этого äîñòаточно заметить, ÷òî
A ∪ B = (A \ AB) ∪ AB ∪ (B \ AB)
. Ìíîæества
A \ AB,ABèB \ AB
попарно íå пересекàþòñÿ, следовательно, применяя M2 è второе соотноше-
íèå, получаем
P(A ∪B) = P(A \ AB) + P(AB) + P(B \ AB)
= P(A) − P(AB) + P(AB) + P(B) −P(AB) = P(A) + P(B) − P(AB).
2.2. Элементы êомбинаторики
è
Ïóñòü имеетсÿ êонечное ìíîæество
зывать
генеральной совокупностью
S = {a1, a2, . . . , an}
, êоторое áóäåì íà-
, à число åãî элементовn
îáúåìîì
генеральной совокупности.
Определение 2.1. Выборкîé объемаkèç генеральной совокупно-
ñòè îáúåìànназывается упорядоченный набор èçkýëåментов генерàëü-
íîé совокупности
возвращением
âûå) ýëåменты, èëè
S : (a
, a
, . . . , a
j
j
1
2
)
. Выборка называется
j
k
выборкîé ñ
, åñëè îíà может содержать повторяющиеся (одинако-
выборкîé áåç возвращения
, åñëè âñå åå ýëåменты
ðазличны.
Например, семизна÷íûé номер телефона представляет выборку îáúå-
ìà 7 èç генеральной совокупности объема 10 (êоличество öèôð îò 0 äî 9).
Ïîñêольку цифры â номере могут повторÿòüñÿ, ýòî выборкà ñ возвраще-
íèåì. Названия òðåõ êàðò, извлеченных ïî ïîðÿäêó èç êîëîäû, образуют
выборку áåç возвращения объема3èç генеральной совокупности âñåõ êàðò
êîëîäû, например: (òóç òðåô, òóç бубей, äàìà ïèê).
Заметим, ÷òî названия ¾выборкà ñ возвращением¿ è ¾выборкà áåç âîç-
вращения¿ отражàþò процесс извлечения выборок èç генеральной ñîâî-
купности: извлекàÿ ïî ïîðÿäêó êаждый элемент выборки ñ возвращением,
13
ìû åãî отмечаем è возвращаем â генеральную совокупность. Ïðè извле-
чении выборки áåç возвращения, элементы â генеральную совокупность
íå возвращаютсÿ. Äëÿ выборки áåç возвращения распространено è äðó-
ãîå название:
называют òàêæå
ðазмещение èçnýëåментов ïîk. Выборки ñ возвращением
ðазмещениями ñ повторениями
.
Òеорема 2.1. Число âñåõ выборок ñ возвращением
ðазмещений ñ повторениями) èçnýëåментов ïîkобозначается
(èëè ÷èñëî
k
B
n
вычисляется ôîðмулой:
k
B
= nk.
n
Число âñåõ выборок áåç возвращения
ýëåментов ïîkобозначается
k
n
[k]
= n
= n · (n − 1) · ·· (n −k + 1) =
Извлечение выборки èç генеральной совокупности
A
Äîêазательство.
k
A
èëè
n
n
(èëè ÷èñëî ðазмещений) èç
[k]
è вычисляется ïî ôîðìóëå:
n!
(n −k)!
.
(2.2)
(2.3)
ìîæíî представить êàê процесс заполнения следующей òаблицы:
a
a
a
j
j
1
2
j
3
··· a
j
k−1
a
j
k
Ïðè ýòîì, åñëè ðå÷ü èäåò î выборкå ñ возвращением, òî первую êëåò-
êó òаблицы ìîæíî заполнитьnспособами, ïîñêольку íà месте элементà
a
ìîæåò îêазатьсÿ любой èçnэлементов генеральной совокупности; âòî-
j
1
ðóþ клетку òàêæå ìîæíî заполнитьnспособами, ïîñêольку элемент
a
j
извлекàåòñÿ èç полной генеральной совокупности. Òàêèì образом, число
способов, êоторыми ìîæíî заполнить ïàðó èç äâóõ первых клеток, равно
n · n = n2. Ðассуждая аналогично, ìîæíî ñêазать, ÷òî òðè клетки запол-
няютсÿ
числом способов, равным
n3способами, à âñÿ òаблица èçkклеток ìîæåò áûòü заполнена
nk. Ýòî è åñòü число âñåõ выборок ñ возвраще-
íèåì. Выведем теперь вторую формуëó. Ïîñêольку ðå÷ü èäåò î выборкå
áåç возвращения, òî первую клетку òаблицы ìîæíî заполнитьnспособа-
ìè; вторую соответственно
n − 1
способом, ò.ê. элемент, êоторый ìû ïî-
ñòавили â первую клетку использоватьсÿ óæå íå ìîæåò è ò.ä. è, íàêîíåö,
k
-óþ клетку òаблицы ìîæíî заполнить
n − k + 1
способами. Ïîñêольку
êаждый способ заполнения 1-îé клетки свобоäíî êомбинируåòñÿ ñî âñå-
ìè способами заполнения 2-îé клетки è ò.ä. äîk-îé клетки, òî получаем
k
A
= n(n − 1) . . . (n −k + 1) =
n
n!
(n−k)!
. ▹
è
n
2
Пример 2.1.
Случайный эксперимент состоит â произвоëüíîì ðàç-
мещенииkðазличимых шаров ïî
n
ящикам (
14
k ≤ n
). Предполагается,
÷òî каждый øàð ñлучайно è ðавновозможно может оказаться â ëþáîì
ящике. Найти вероятность òîãî, ÷òî â результате эксперимента âñå
øàðû окажутся â ðазных ящиках.
Ðешение.
Занумеруåì âñå ящики è ìíîæество номеров
S = {1, 2, ..., n}
áóäåì ñ÷èòàòü генеральной совокупностью. Случайный ýêсперимент ïî
размещению k шаров (áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíè òîæå занумерованы) ìîæíî
представить êàê извлечение выборки объемаkèç генеральной совокупно-
ñòè объемаn: ýòà выборкà состоит èç номеров ÿùèêîâ, предназначенных
äëÿ êаждого èçkшаров. Ïîñêольку êаждый øàð ìîæåò èçíàчально îêà-
затьсÿ â любом ÿùèêå, òî номера ÿùèêîâ äëÿ разных шаров могут повто-
ðÿòüñÿ, следовательно, выборкà, представляющая êаждый элементарный
èñõîä описываемого ýêспериментà, åñòü
выборка ñ возвращениеì
объема
èç генеральной совокупности объемаn. Общее число âñåõ элементарных
èñõîäîâ равно
N = N (Ω) = B
k
= nk. Событие A={âñå øàðû îêàæóò-
n
ñÿ â разных ÿùèêàõ} образуåòñÿ òакими элементарными èñõîäàìè, ïðè
êоторых номера ÿùèêîâ äëÿ различных шаров должны áûòü различны,
следовательно, событие A åñòü ìíîæество âñåõ выборок
èç
n
события
элементов ïîk. Èõ число
A
равна
k
[k]
n
n
=
k
k
n
n
P(A) =
N(A)
N
A
=
B
N(A) = A
n ·(n − 1) ···(n − k + 1)
=
k
n
= n
k
n
áåç возвращения
[k]
.
Òîãäà âåðîятность
. ▹
Çàäà÷à, рассмотренная â ýòîì примере, являетсÿ ìîдельной, èëè ýòà-
лонной, â òîì смысле, ÷òî íà ÿçûê ýòîé çàäà÷è ìîæíî перевести ìíîæество
других çàäà÷ ñ èíûì êонкретным ñîäåðæанием, è òîãäà ответ ñòановитсÿ
очевидным.
Пример 2.2.
Случайный эксперимент состоит â четырехкрàòíîì
подбрасывании èãðальной кости. Найти вероятность òîãî, ÷òî ÷èñëà,
появившиеся íà верхней ãðàíè, âî âñåõ четырех áðîñаниях будут ðазлич-
íû.
k
Ðешение.
Ñóòü ýêспериментà íå изменитсÿ, åñëè вместо четырех áðî-
саний îäíîé êîñòè ïîдбрасывать поочередно четыре различные êîñòè. Òî-
ãäà óсловия è вопрос çàäà÷è ñòановятсÿ полностью идентичны рассмотрен-
íûì â примере 2.1: êîñòè соответствуют шарам, à числа íà âåðõíåé грани
номерам ÿùèêîâ. Äëÿ нашего случая число шаров
n = 6
, à âåðîятность интересующего события равна
[4]
6
P(A) =
4
6
6 ·5 · 4 ·3
=
6
18
=
4
5
. ▹
k = 4
, число ÿùèêîâ
15
Определение 2.2. Перестановкîé èçnэлементов
называется âû-
борка áåç возвращения, îáúåì которой совпадает ñ îáúåìîìnгенеральной
совокупности.
Òермин ¾перестановкà¿ отражàåò òîò ôàêò, ÷òî извлечение любой âû-
борки áåç возвращения объемаnèç генеральной совокупности òîãî æå
объемаnравносильно выстраиванию âñåõ элементов генеральной ñîâî-
купности â определенном ïîðÿäêå, òî åñòü íåêоторой перестановкå, èëè
óïîðядочению, генеральной совокупности.
Следствие 2.1. Число âñåõ перестановокèçn
значается
Pnè вычисляется ôîðмулой:
Pn= n!
Äîêазательство
Пример 2.3.
вытекàåò èç равенств:
Pn= A
10 êíèã, среди которых имеется трехтоìíèê
ýëåментов îáî-
n
= n · (n − 1) ···2 · 1
n
(2.4)
А.С.Пушкина, ñлучайным îáðàçîì ставят íà ïîëêó. Какова вероятность
òîãî, ÷òî òðè òîìà А.С.Пушкина окажутся стоящими ðÿäîì: à) â èõ
естественноì порядке; á) â ëþáîì порядке.
Ðешение.
Элементарный èñõîä случайного ýêспериментà расстàíîâ-
êà 10 êíèã â определенном ïîðÿäêå åñòü, очевидно, перестановкà èç 10
элементов. Число âñåõ элементарных èñõîäîâ равно числу перестановок
N = 10!
, è ïî óсловию âñå элементарные èñõîäû равновозмоæíû.
à) Обозна÷èì интересующее íàñ событие: À={òðè òîìà А.С.Пушкина îêà-
æóòñÿ ñòîящими ðÿäîì â естественном ïîðÿäêе}.Чтобы ïîдсчитàòü число
перестановок, образующих событие À, заметим, ÷òî óêазанные òðè òîìà
ìîæíî располоæèòü íà 10 ìåñòàõ â естественном ïîðÿäêå 8 способами, à
именно: располагàÿ первый òîì íà любом месте ñ 1-ãî ïî 8-é, à второй
è третий ðÿäîì вслед çà первым. Каждый èç 8 способов располоæåíèÿ
трехтомникà ìîæíî сочетàòü ñ любым способом расстановки îñòальных ñå-
ìè томов íà îñòавшихñÿ 7 ìåñòàõ, ÷òî ìîæíî ñделать 7! способами (число
перестановок èç 7 элементов). Òàêèì образом, общее число перестановок
èç 10 êíèã, â êоторых òðè òîìà А.С.Пушкина ñòîÿò ðÿäîì â естествен-
íîì ïîðÿäêå, равно
P(A) =
N(A)
N
=
N(A) = 8 · 7! = 8!
8!
10!
=
1
9 ·10
=
90
, à âåðîятность события À равна
1
.
á) Åñëè íàñ интересуåò событие B={òðè òîìà А.С.Пушкина îêажутсÿ
ðÿäîì â произвольном ïîðÿäêå}, òî число перестановок, реализующих ýòî
событие равно
N(B) = N (A) · 3!
. Â самом äåëå, èç êаждой перестановки,
.
16
реализующей событие A, ìîæíî получить 3! различных перестановок, ðå-
ализующих событие B, переставляя òðè òîìà А.С.Пушкина (1,2,3) между
собой 3! способами. Òîãäà âåðîятность события B равна:
P(B) =
N(B)
N
Определение 2.3. Сочетаниями èç n элементов ïî k
=
8! ·3!
10!
=
3 ·2 · 1
9 ·10
1
=
. ▹
15
называются
выборки áåç возвращения îáúåìà k èç генеральной совокупности îáúåìà n,
ðазличающиеся ëèøü ïî составу ýëåментов.
Ïîñêольку äëÿ сочетàíèÿ ïîðÿäîê располоæåíèÿ åãî элементов çíà÷å-
íèÿ íå имеет, òî ìîæíî ñêазать, ÷òî сочетàíèÿ èç n элементов ïî k åñòü âñå-
возмоæíûå
k-ýëåментные подмножества
генеральной совокупности îáú-
åìà n.
Òеорема 2.2. Число сочетàíèé
k
C
n
C
Äîêазательство.
èëè
k
n
= (
n
(
)
è вычисляется ôîðмулой:
k
k
n
k
) =
A
P
[k]
n
n
=
k
n ·(n − 1) ···(n − k + 1)
=
k!
Обозна÷èì черезXèñêîìîå число âñåõ сочетàíèé
k · (k −1)··· 2 · 1
èç n ýëåментов ïî k обозначается
=
n!
k! · (n − k)!
.
(2.5)
èçnэлементов ïîk. Èç êаждого сочетàíèÿ, путем всевозмоæíûõ ïåðå-
ñòановок åãî элементов, ìîæíî получить
Pk= k!
различных выборок áåç
возвращения ñ данным ñîñòàâîì элементов. Ïðîделав ýòî ñ êаждым èç X
сочетàíèé, ìû получим, очевидно, âñå выборки áåç возвращения объема
èç генеральной совокупности объемаn. Èíà÷å говорÿ, справедливо ñîîò-
ношение
Выражåíèÿ
X · Pk= A
k
, èç êоторого íàõîäèì:
n
k
A
X =
k
C
n
= (
)
n
, заданные равенствами (2.5), óæå встречались
k
n
P
k
[k]
n
=
k!
. ▹
÷èòателю â курсе высшей математики, например, â известной формуëå
бинома Ньютона:
Поэтому выражåíèÿ
циентами
. Íèæå привоäÿòñÿ íåêоторые свойства биномиальных êоэффи-
(a + b)n=
k
C
= (
n
n
k=0
n
)
называютсÿ
k
k
n−k
C
akb
n
.
áèíîмиальными êîýôôè-
циентов, êоторые бывают полезны ïðè вычислениях.
k
17
Свойства биномиальных êоэффициентов
0
1.
C
2.
C
3.
C
4.
k=0
n
= C
= 1
n
n
k
n−k
= C
n
n
k−1
k
= C
n
n−1
n
k
C
= C
n
(полагàþò ïî определению).
.
k
+ C
0
n
+ C
.
n−1
1
+ ··· + C
n
n
n
= 2n.
Свойства 2, 3 ìîæíî äîêазать, пользуÿñü равенствами (2.5), à ñâîé-
ñòâî 4 получаетсÿ èç формуëû бинома Ньютона, åñëè â íåé ïîëîæèòü
a = b = 1
k
-элементных ïîäìíîæåñòâ ìíîæества, состоящего èçnэлементов, òî èç
свойства 4 вытекàåò, ÷òî
ñòâà ðàâíî
. Åñëè вспомнить, ÷òî êоэффициент
÷èñëî âñåõ подмножествn-ýëåментного множе-
2n.
k
C
вычисляет число âñåõ
n
Пример 2.4.
ùóïü, èç íèõ
(Урновая ñõåìà) Â óðíånшаров, íåðазличимых íàî-
n1 черных,
(n−n1)
áåëûõ. Наугад извлекаютсяkшаров
(áåç возвращения). Найти вероятность òîãî, ÷òî среди íèõ окажется
k1черных è
Ðешение.
(k − k1)
áåëûõ.
Элементарный èñõîä описанного ýêспериментà выбор-
êà áåç возвращения è áåç интереса ê ïîðÿäêó шаров â выборкå, ò.å.
сочетàíèå èçnïîk. Ðавновозможность элементарных èñõîäîâ обеспе-
чиваетсÿ òåì, ÷òî øàðû â óðíå неразличимы. Следовательно, применимо
классическîå определение âåðîятности. Общее число элементарных èñõî-
äîâ
N = N (Ω) = C
îêàæåòñÿ
k1черных è
ýòîé формуëå первый сомножитель
k1черных шаров èç
способов выбрать
k
.
Введем событие
n
(k − k1)
белых}. Òîãäà
A
=
k
1
k
1
C
ýòî число способов выбрать
n
1
n1, имеющихñÿ â óðíå, à второй
(k − k1)
белых шаров èç имеющихñÿ â óðíå
{среди выбранных шаров
N(A
) = C
k
1
C
n−n
k
n
k−k
1
· C
1
1
1
k−k
1
. Â
n−n
1
число
(n − n1)
Ïîñêольку êаждый способ выбора черных шаров ìîæíî сочетàòü ñ êàæ-
äûì способом выбора белых, общее число способов выбора êомбинации
¾
k1черных è
(k −k1)
белых¿ равно óêазанному произведению. Îòñþäà
íàõîäèì
k−k
P(A
k
1
N(A
) =
k
1
N
C
)
k
1
n
1
=
· C
C
k
n
n−n
1
1
. ▹
(2.6)
Çàäà÷à, разобранная â ýòîì примере, òàêæå являетсÿ ýòалонной. Íè-
æå привоäèòñÿ пример аналогичной çàäà÷è, сформулированной â других
терминах, íî ñ ответом, совпадающим ñ (2.6)
.
18
2.3. Ðешение типовых примеров
Пример 2.5.
 партии èçnèçäåëèékáðакованных. Опредеëèòü
вероятность òîãî, ÷òî среди âûáðанных наудачу äëÿ проверкиmèçäåëèé
ровноlокажутся áðакованными.
Ðешение.
m
C
. Благоприятствующими являютсÿ случаи, êîãäà èç общего числа áðà-
n
êованных изделий взятоl(ýòî ìîæíî ñделать
m−l
изделий небракованные, ò.å. îíè взяты èç общего числа
ñòâî способов равно
равно
l
C
C
k
Заметим, ÷òî набор âåðîятностей
метрическим распределением.
Пример 2.6.
Число возмоæíûõ способов взятьmизделий èçnравно
l
C
способами), à îñòальные
m−l
C
). Поэтому число благоприятствующих случаев
m−l
. Òîãäà èñêîìàÿ âåðîятность áóäåò равна
n−k
n−k
pl=
m−l
l
C
C
k
n−k
.
m
C
n
pl, l = 0, ..., k
k
, называют гипергео-
n−k
▽
Áðîñаются äâå èãðальные кости. Какова вероятность,
(êоличе-
÷òî сумма выпавших очков äåлится íà 6?
Ðешение.
{(i, j) : i = 1, ..., 6, j = 1, ...,6}
Пространство элементарных èñõîäîâ ìíîæество
âñåõ óïîðядоченных ïàð чисел
(i, j)
Ω =
, ãäå
èjпринимают независимо äðóã îò äðóãà целые çíàчения îò 1 äî 6. Ñòàëî
áûòü, число âñåõ òàêèõ ïàð
N = N(Ω) = 62= 36.
Естественно предпо-
ëîæèòü, ÷òî îáå игральные êîñòè идентичны è симметричны, поэтому âñå
элементарные èñõîäû равновозмоæíû, à çíà÷èò, применимо классическîå
определение âåðîятности (2.1). Обозна÷èâ через A = {сумма выпавших
î÷êîâ делитсÿ íà 6} интересующее íàñ событие, ëåãêî перечислить âñå
элементарные èñõîäû
(i, j)
, образующие A:
i
A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1); (6, 6)}.
Òàêèì образом,
Пример 2.7.
N(A) = 6
, è следовательно,
P(A) =
N(A)
N
6
36
=
1
. ▽
6
=
Êîëîäà èãðальных êàðò (52 листа, 4 масти ïî 13
êàðò â каждой) тщатеëüíî перетасована. Наудачу берут 6 êàðò (áåç
возвращения). Îïèñàòü пространство ýëåментарных исходов, à также
найти вероятность òîãî, ÷òî среди ýòèõ êàðò:
à) окажется êîðîëü ïèê;
á) будет ровно 5 êàðò одной масти.
19
Ðешение.
Элементарный èñõîä случайного ýêспериментà выборкà
áåç возвращения объема 6 èç генеральной совокупности объема 52. Òàê
êàê â описании интересующих íàñ событий ïîðÿäîê элементов выборки,
òî åñòü ïîðÿäîê располоæåíèÿ шести выбранных êàðò, ðîëè íå играет, à
âàæåí ëèøü ñîñòàâ выбранных êàðò, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî пространство
элементарных èñõîäîâ
Ω
ñîñòавляют всевозмоæíûå сочетàíèÿ èç 52 ïî
6. Ïîñêольку êîëîäà áûëà тщательно перетасована, òî ìîæíî ñ÷èòàòü âñå
элементарные èñõîäû равновозможными. Èõ общее число
6
C
.
52
N = N(Ω) =
à) Обозна÷èâ A={среди выбранных êàðò îêàæåòñÿ êороль ïèê}, íàõî-
äèì
P(A) =
1
5
C
· C
1
6
C
52
1 ·51 · 50 ·49 · 48 ·47 · 6!
51
=
5! ·52 · 51 ·50 · 49 ·48 · 47
3
=
.
26
á) Обозна÷àÿ B={среди выбранных êàðò îêàæåòñÿ 5 îäíîé ìà-
ñòè}, предстàâèì ýòî событие â âèäå суммы попарно несовместных ñîáû-
òèé:
B = B1+ B2+ B3+ B4, ãäå
ровно 5 ïèê},
B2={среди выбранных êàðò îêàæåòñÿ ровно 5 òðåô}, è ò.ä.
B1={среди выбранных êàðò îêàæåòñÿ
Òîãäà
N(B) = N(B1) + N (B2) + N (B3) + N (B4) = 4N (B1)
, è
P(B) =
Äëÿ íàõîждения
P(B1)
èç êîëîäû ìîæíî выбрать
êàðòó ìîæíî выбрать
C
39
N(B)
N
ìû используåì òîò ôàêò, ÷òî ïÿòü ïèêîâûõ êàðò
5
C
способами, â òî время êàê îäíó непикîâóþ
13
1
способами. Âñå способы выбора ïÿòè ïèêîâûõ
= 4
N(B1)
N
= 4P(B1).
êàðò свобоäíî êомбинируютсÿ ñî всеми способами выбора îäíîé непикî-
âîé, следовательно, число âñåõ способов выбора шести êàðò èç êîëîäû,
5
среди êоторых ровно ïÿòü ïèêîâûõ, равно
5
1
· C
13
39
6
C
52
13 ·12 · 11 ·10 · 9 ·39 · 6!
=
5! ·1! · 52 ·51 · 50 ·49 · 48 · 47
13 ·12 · 11 ·10 · 9 ·39 · 6!
5! ·1! · 52 ·51 · 50 ·49 · 48 · 47
P(B1) =
P(B) = 4
C
C
13
· C
1
39
.
,
≈ 0, 0099.
2.4. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
2.1
 êорзине ïÿòü красных è четыре зеленых яблокà. Некто берет
íàóãàä òðè яблокà. Найти âåðîятность: à) òîãî, ÷òî среди вынутых òðåõ
яблок áóäåò ровно äâà зеленых; á) íå более äâóõ красных; â) ïî крайней
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]