Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
ãäå смысл ñõîдимости è дополнительные óсловия уточняютсÿ íèæå â òî÷-
íûõ формулировкàõ. Здесь æå отметим, ÷òî ÇÁ× ïðîявляетсÿ âî многих
реальных ¾случайных ýêспериментàõ¿: среднее êоличество осадкîâ, âû-
падающих â данной местности çà ãîä, вычисляемое ïî ðåçóëüòàòàì ìíî-
голетних наблюдений, îêазываетсÿ величиной весьма ñòабильной; ðåçóëü-
òàò измерения физических величин вычисляетсÿ обыкновенно êàê среднее
арифметическîå äîñòаточно большого числа реальных измерений, чтобы
уменьшить влияние случайных ошибок, возникающих ïðè îòдельных èç-
мерениях, è äð.
Ïóñòü заданы последовательность случайных величин
Y1, Y2, . . .
è ñëó-
чайная величинаY.
Определение 10.1.
íûõ величин
наверное
ω ∈ Ω
çà исключением, áûòü ìîæåò,ωèç ìíîæества íóлевой âåðîятности.
Y1, Y2, . . .
) ê случайной величинеY, åñëè
Áóäåì говорить, ÷òî последовательность случай-
сходится ñ вероятностью 1
Yn(ω) → Y (ω)
(èëè
сходится почти
ïðè
n → ∞
äëÿ âñåõ
Áóäåì использовать обозначение äëÿ ñõîдимости почти наверное:
Èç определения следуåò, ÷òî
Yn−Y → 0
ï. í., ÷òî â ñâîþ очередь равносильно ñõîдимости
Yn→ Y
Yn→ Y
ï. í.
ï. í. òîãäà è толькî òîãäà, êîãäà
|Yn−Y | → 0
ï. í.
Отметим, ÷òî åñëè плотность распределения случайной величины
X
ïîëîжительна почти âñþäó íà (êонечном èëè áåñêонечном) интервале
(a; b)
, è
(X1, . . . , Xn)
выборкà, òî
min{Xi} → a
ï. í., è
max{Xi} → b
ï.
í.
Важным свойством ñõîдимости почти наверное являетсÿ свойство ñõî-
димости функций îò случайных величин.
Òеорема 10.1.
Òîãäà
g(Yn) → g(Y )
Äîêазательство.
Yn→ Y
влечет событие
Пусть
Yn→ Y
ï. í.,
g(x)
непрерывная функция.
ï. í.
Ïî определению непрерывной функции, событие
g(Yn) → g(Y )
. Следовательно,
1
P(g(Yn) → g(Y )) ≥ P(Yn→ Y ) = 1.
Òî æå свойство имеет место è äëÿ функции произвольного числа ïåðå-
менных. Äîêàæåì åãî äëÿ случая äâóõ переменных.
81
Òеорема 10.2.
рывная функция äâóõ ïåðåменных. Òîãäà
Пусть
Yn→ Y
ï. í.,
Zn→ Z
g(Yn, Zn) → g(Y, Z)
ï. í.,
g(x, y)
непре-
ï. í.
Äîêазательство.
чение событий
Следовательно,
P(Yn→ Y ) = 1,P(Zn→ Z) = 1
æå имеет âåðîятность 1. Îòñþäà ïî формуëå âåðîятности объединения
получаем, ÷òî âåðîятность пересечения òàêæå равна 1. Следовательно,
P(g(Yn, Zn) → g(Y, Z)) = 1
Следующая важная теорема носит название
могорова
äåленные ñлучайные âåличины c конечным ìàòåматическим ожиданиеì
EX1. Обозначим
.
Òеорема 10.3.
Äîêазательство ýòîé теоремы ìîæíî найти, например, â [1].
Yn→ Y, Zn→ Z
P(g(Yn, Zn) → g(Y,Z)) ≥ P(Yn→ Y, Zn→ Z)
Sn= X1+ . . . + Xn. Òîãäà
Ïî определению непрерывной функции, пересе-
Пусть
.
X1, X2, . . .
влечет событие
, òî объединение ýòèõ ìíîæåñòâ òàê-
независимые одинаково ðаспре-
Sn/n → EX1ï. í.
g(Yn, Zn) → g(Y, Z)
. Òàê êàê
закона áîльших ÷èñåë Êîë-
10.2. Центральная предельная теорема
Ðассмотрим íåñêîëüêî ðåçóëüòàòîâ, êоторые объединяютсÿ ïîä назва-
íèåì центральной предельной теоремы è занимают особое место â теории
âåðîятностей. Упрощенно говорÿ, центральная предельная теорема (ÖÏÒ)
формуëèðóåòñÿ òàê:
âåличин ïðèáлиженно имеет íîðмальное ðаспределение
нормальное распределение имеет, ïîæàëóé, наибольшее распространение
â различных прикладных областÿõ. Òàê, например, общепринято ñ÷èòàòü
ðåçóëüòàò любого физическîãî измерения нормально распределенной ñëó-
чайной величиной, ïîñêольку â ðåçóëüòàò измерения неизбежно âõîäèò
íåêоторая ошибкà, êоторая состоит èç большого числа мелких независи-
ìûõ ошибок, вызываемых различными факторами: неточность инструмен-
òà, меняющиесÿ параметры среды, óсловия измерения è ò.ä.
Ñõîдимость центрированных è нормированных ñóìì случайных âåëè-
÷èí â центральной предельной теореме имеет место â íåêотором специаль-
íîì смысле, более слабом, ÷åì ñõîдимость почти наверное.
Дадим определение ñõîдимости ïî распределению. Последователь-
ность случайных величин
äåлению
ê случайной величинеYñ непрерывной функцией распределения
сумма áîльшого ÷èñëà малых независимых ñлучайных
. Благоäàðÿ ÖÏÒ
Y1, Y2, . . .
называетсÿ
сходящейся ïî ðаспре-
.
82
FY(t)
, åñëè последовательность функций распределения ñõîäèòñÿ ê ïðå-
дельной функции распределения â êаждой òî÷êå: äëÿ любого действитель-
íîãîtвыполнено
F
(t) → FY(t)
Y
n
ïðè
n → ∞
Ðассмотрим последовательность независимых îдинакîâî распределен-
íûõ случайных величин
.
n
{Xn}
∞
è обозна÷èì через
n=1
Sn=
Xkпоследо-
k=1
вательность частичных ñóìì, ñîñòавленных èç первыхnслучайных âåëè-
÷èí
Xk. Относительно распределений случайных величин
полагàòü, ÷òî îíè имеют äâà êонечных моментà:
0, k = 1, 2, ...
. Òîãäà è суммы
Snимеют êонечные математическîå îæèäà-
EXk= a, DXk= σ2>
Xkáóäåì ïðåä-
íèå è дисперсию:
ESn= na, DSn= nσ2.
Перейдем ê последовательности центрированных è нормированных ñóìì:
n
Sn=
Sn− ES
√
DS
n
n
=
k=1
Xk− na
σ√n
.
Очевидно,
Fn(x) = P(Sn< x)
ванных ñóììSn,
ñòандартного нормального çàêîíà
ESn= 0, DSn= 1.
функции распределения центрированных è нормиро-
à через
Φ(x) =
x
1
√
2π
−∞
−
e
Обозна÷èì òàêæå через
2
u
2
du
функцию распределения
N(0, 1).
Òеорема 10.4.(ÖÏÒ äëÿ одинаково ðаспределенных ñлагаеìûõ.
Пусть
{Xn}
∞
ïîñледовательность независимых è одинаково ðаспре-
n=1
äåленных ñлучайных âåличин, имеющих конечные ìàòåматическое îæè-
дание
EXn= a
è дисперсию
DXn= σ2> 0
. Òîãäà äëÿ ýòîé ïîñледова-
òåльности центральная предельная теореìà âûïîлняется â ñледующеì
âèäå: äëÿ âñåõ
èëè äëÿ âñåõ
lim
n→∞
x ∈ R
âûïîлнено
Fn(x) = P
x1, x2∈ R (x1< x2)
Px1≤
Sn− na
σ√n
Sn− na
σ√n
< x
< x→ Φ(x), n → ∞,
âûïîлнено
= Φ(x2) −Φ(x1), n → ∞,
2
(10.1)
(10.2)
83
)
òî åñòü центрированные è íîðмированные суммы ñлучайных âåличин
сходятся ïî ðаспределению ê ñлучайной âåличине, имеющей стандартное
íîðмальное ðаспределение.
Важным следствием теоремы 10.4 являетсÿ следующая
Òеорема 10.5.
(Муаврà Лапласà). Пустьν ÷èñëî ¾успехов¿ â
независимых испытаниях ñõåìû Бернулëè, èp вероятность ¾успеха¿
â каждоì испытании. Òîãäà ñïðаведливы ñледующие ðавносильные ïðå-
äåльные соотношения:
ν −np
Px1≤
ãäå
Äîêазательство.
P
ν −np
√
npq
q = 1 − p ; Φ(x) =
Ïîñêольку случайная величинаνåñòü число ¾óñïå-
< x→ Φ(x), n → ∞,
√
npq
< x
→ Φ(x2) −Φ(x1), n → ∞,
2
√
1
2π
−∞
(10.3)
(10.4)
x
2
u
−
2
e
du.
õîâ¿ ânнезависимых испытаниях Бернуëëè, òî åå ìîæíî представить â
âèäå суммы независимых случайных величин:
ν = Sn= X1+ X2+ ... + Xn,
ãäå случайная величина
Бернуëëè (
k = 1, 2,. . . , n
мости îò òîãî, áûë ëè ¾óñïåõ¿ âk-ì испытàíèè. ßñíî, ÷òî âñå
îäíî è òî æå распределение Бернуëëè
матическîå îжидание è дисперсия равны
Xkравна числу ¾óñïåõîâ¿ â îäíîìk-ì испытàíèè
), ò. å. îíà принимает çíàчения 1 èëè 0 â зависи-
X
k
Bp. Åñëè вспомнить, ÷òî èõ ìàòå-
EXk= a = pèDXk= σ2= pq
соответственно, òî âñå óсловия теоремы 10.4 выполнены, à äîêазываемые
соотношения (10.3)(10.4) получаютсÿ ïîäñòановкîé новых обозначений â
соотношения (10.1)(10.2) èç теоремы 10.4.
n
10.3. Òеорема Ïóассона
Òеорема Ïóассона äàåò другое приближåíèå â ñõåìå Бернуëëè. Íà-
помним, ÷òî
кретное распределение âèäà
ðаспределениеì Пуассона
P{X = k} = πk= e
84
ñ параметром
k
λ
−λ
; k = 0, 1, . . . .
k!
λ > 0
называетсÿ äèñ-
Óсловия сближåíèÿ биномиального распределения ñ распределением
Ïóассона, упрощенно говорÿ, состоÿò â òîì, ÷òî числоnиспытàíèé âåëè-
êî, à âåðîятностьp¾óñïåõà¿ â êаждом испытàíèè ìàëà. Более точная
формулировкà ñîäåðæèòñÿ â следующей теореме.
Òеорема 10.6.
(Пуассон). Пустьn ÷èñëî испытаний â ñõåìå
Бернулëè неограниченно âîçðастает, à вероятность ¾успеха¿ îäíà
è òà æå äëÿ âñåõ испытаний зависит îò
p(n) → 0
фиксированного öåëîãî
таким îáðàçîì, ÷òî
k ≥ 0
P
n,p
np → λ > 0
âûïîлняется предельное соотношение:
(k) → πk, n → ∞,
ãäå
k
P
Äîêазательство.
(k) = C
n,p
Áóäåì использовать следующее ñòандартное äëÿ
n
pkq
n−k
; πk= e
n : p = p(n);
ïðè
n → ∞
λ
−λ
k!
причеì
. Òîãäà äëÿ любого
k
.
p =
(10.5)
математическîãî анализа обозначение эквивалентных переменных:
α
αn∼ βn⇔ lim
n→∞
Èç óсловий äîêазываемой теоремы следуåò, ÷òî
ïðè
lim
n→∞
n → ∞
. Äîêàæåì соотношение (10.5) ñíà÷àëà äëÿ
P
n,p
(0) = lim
n→∞
0
C
p0qn= lim
n
= lim
n→∞
[(1 −p)
n
= 1 ⇔ αn= βn+ o(βn).
β
n
n→∞
qn= lim
1
λ
(
p
n
]
(1 −p)n= lim
n→∞
λ
+o(
))·n
n
= e−λ.
p ∼
λ
,
q = 1 −p → 1
n
k = 0
:
[(1 −p)
n→∞
1
p
]pn=
Последнее равенство следуåò èç òîãî, ÷òî основание степени
(1 − p)
1/p
→ e−1, à ïîêазатель
n
λ
+ o(
)) · n = λ + o(
n
(
λ
) · n → λ.
n
Òàêèì
λ
образом,
P
(0) → e−λ= π0, n → ∞.
n,p
(10.6)
Найдем теперь предел отношения
P
Ïðè ýòîì, ïîñêольку
÷òî
k ≤ n.
Áóäåì òàêæå использовать òîò ôàêò, ÷òî предел íå меняет-
P
n,p
(k)
n,p
(k − 1)
n → ∞
p ·(n − k + 1)
=
, à
k ≥ 1
k · q
.
ôèêсировано, ìîæíî ñ÷èòàòü,
ñÿ, åñëè любой сомножитель â ¾допредельном¿ выражåíèè заменить íà
85
эквивалентный.
λ
lim
n→∞
P
P
n,p
n,p
(k)
(k − 1)
= lim
n→∞
p ·(n − k + 1)
k · q
= lim
n→∞
· (n − k + 1)
n
k · 1
λ
=
.
k
Òàêèì образом,
P
(k)
n,p
P
(k − 1)
n,p
Íàêîíåö, äëÿ любого целого
→
k ≥ 1
λ
, n → ∞.
k
предстàâèì âåðîятность
P
n,p
(10.7)
(k)
âèäå
P
n,p
(k) = P
n,p
(0) ·
n,p
P
(0)
n,p
(2)
n,p
·
P
(1)
n,p
···
P
P
n,p
(k)
n,p
(k − 1)
.
P
(1)
P
Заменяя â правой части этого представления êаждый сомножитель åãî
пределом èç (10.6) è (10.7), найдем предел произведения
lim
P
(k) = lim
n,p
n→∞
= e−λ·
Пример 10.1.
(1)
n→∞
P
n,p
λ
1
(0) · lim
λ
·
· ··· ·
2
n→∞
n,p
P
n,p
λ
= e−λ·
k
(0)
··· lim
n→∞
k
λ
k!
Известно, ÷òî левши составляют â среднеì 1% âñå-
= πk.
P
P
n,p
n,p
(k)
(k − 1)
=
P
ãî íàñåления. Оценить вероятность òîãî, ÷òî ïî меньшей ìåðå òðîå
левшей окажется среди 200 ÷åловек.
â
Ðешение.
n = 200; p = 0, 01.
Естественно использовать ñõåìó Бернуëëè ñ параметрами
Обозна÷èì черезνчисло левшей, îêазавшихñÿ â äàí-
íîé группе (число ¾óñïåõîâ¿ ânнезависимых испытаниях). Òîãäà точное
çíàчение èñêîìîé âåðîятности выражàåòñÿ ñ помощью формуë Бернуëëè:
200
P(ν ≥ 3) = P
(ν = k)=
k=3
Ïðè ïîäñòановкå çíàчений
200
P(ν = k) =
k=3
p = 0, 01; q = 0, 99
200
k
200
pkq
200−k
.
C
k=3
получим выражåíèå,
весьма òðóдоемкîå äëÿ вычислений. Впрочем, перейдя ê противополоæíî-
ìó событию, ìû çíàчительно уменьшим число ñëàãаемых â сумме. Êðî-
k
ìå òîãî, заменив âåðîятности биномиального распределения
P
(k)
n,p
âåðîятностÿìè
e−λ·
k
λ
= πkраспределения Ïóассона, ìû получим
k!
n−k
C
pkq
n
более простое приближенное çíàчение èñêîìîé âåðîятности:
2
P(ν ≥ 3) = 1 − P(ν < 3) = 1 −
P(ν = k) ≈ 1 −π0− π1− π2.
k=0
86
=
Вычислим çíàчения âåðîятностей
P(ν ≥ 3) ≈ 1 − 0, 68 = 0, 32.
πk= e−λ·
k
λ
ïðè
k!
λ = np = 2
. Получим
Замечание 10.1.
ïðèáлиженного ðавенства
 теореìå 10.6 устанавливается ëèøü ñàì ôàêò
P
(k) ≈ πkïðè áîльших значенияхn. Однако
n,p
äëÿ ïðактического èñïîльзования этого ïðèáлижения необходимо знать
оценку допускаеìîé погрешности. Åñëè, применяя указанное ïðèáлижен-
íîå ðавенство, ìû допускаеì ошибку, ñðавнимую ñ результатоì вычис-
ления, òî èñïîльзование ïðèáлиженного ðавенства теряет ñìûñë. Ìû
увидим позже, ÷òî â предыдущеì примере ошибка ïðèáлижения Пуассо-
íà íå превышает 0,01.
 формуëèðóåìîé íèæå теореме óñòанавливаетсÿ íå толькî возмоæ-
ность замены биномиального распределения распределением Ïóассона, íî
è даетсÿ оценкà погрешности, возникающей ïðè òàêîé замене. Äîêазатель-
ñòâî ýòîé теоремы âûõîäèò çà рамки элементарного курса теории âåðîÿò-
ностей, поэтому ìû ограничимсÿ толькî åå формулировкîé.
Òеорема 10.7.
Пустьν ÷èñëî ¾успехов¿ ânнезависимых испыта-
íèÿõ ñõåìû Бернулëè, àp вероятность ¾успеха¿ â каждоì испытании.
Òîãäà äëÿ любого ÷èñлового множества
|P(ν ∈ A) −
πk| = |
k∈A
k∈A
P
n,p
ãäå
λ = np ; P
n,p
(k) = C
(k) −
k
pkq
n
A ⊆ R
ñïðаведливо íåðавенство
πk| ≤ min(p; np2),
k∈A
n−k
; πk= e
−λ
(10.8)
k
λ
.
k!
Возвращаясь ê примеру 10.2, полученный ïðè åãî решении ответ ïðåä-
ñòàâèì â âèäå
P(ν ≥ 3) = 0, 32 + ∆,
ãäå погрешность∆оцениваетсÿ ñ помощью теоремы 10.7:
|∆| ≤ min(p, np2) = min(0, 01, 0, 02) = 0, 01.
Хотелось áû òàêæå иметь возможность оценивать ошибку, возникàþ-
ùóþ ïðè использовании нормального приближåíèÿ биномиального распре-
деления. Â íåêоторой степени ýòó возможность предоставляет следующий
ðåçóëüòàò, êоторый ìû привоäèì èç [13] áåç äîêазательства.
87
Òеорема 10.8.
симые ñлучайные âåличины, имеющие одинаковое ðаспределение. Пусть
также
EX1= 0, EX
няется ñледующее
sup
ãäå
Φ(x)
функция ðаспределения стандартного íîðмального закона.
(Берри Ессен). Пусть
2
= o2> 0, E|X1|3< ∞, ρ =
1
неравенство Берри Ессена
P
x
1
σ√n
n
Xk< x− Φ(x)
k=1
X1, X2, ..., Xn незави-
3
E|X1|
. Òîãäà âûïîë-
3
σ
:
ρ
√
≤ A
,
n
(10.9)
Следствие 10.1.
Ошибка, возникающая ïðè èñïîльзовании теореìû
Муаврà Лапласà, оценивается ñледующим íåðавенствоì:
∆ = sup
x
ν −np
P
√
< x− Φ(x)
npq
≤ A
p2+ q
√
npq
2
.
(10.10)
Известно, ÷òî â качестве константыAможно взять 0,4. Èòàê, ïðè
применении предельных теореì ê ñõåìå Бернулëè áóäåì действовать ñëå-
дующим îáðàçîì: вычисëèì максимально возможные погрешности â òåî-
ðåìàõ МуавраЛапласà è Пуассона è ñðавним èõ. Åñëè
2
p2+ q
0, 4
≥ min(np2, p),
np(1 −p)
òî áóäåì èñïîльзовать теореìó Пуассона. Â противноì ñлучае áóäåì
èñïîльзовать теореìó МуавраЛапласà.
Åñëè â óсловиях примера 10.2 ïîëîæèòü
∆
ìîæíî ãарантировать ëèøü следующую границу:
p = 0, 5
, òî äëÿ погрешности
|∆| ≤ min(p, np2) = min(0, 5, 50) = 0, 5.
Òàêèì образом, использование приближåíèÿ Ïóассона ïðè
p = 0, 5
недопустимо.
Пример 10.2.
Проектируется òåëåфонная станция íà 300 íîìå-
ðîâ. Предполагается, ÷òî каждый èç ïîльзоватеëåé, независимо îò äðó-
ãèõ, ïîльзуется òåëåфонной связью â среднеì îäíó минуту â ÷àñ. Каким
äîëæíî áûòü минимальное ÷èñëî каналов связи, чтобы ñ вероятностью,
íå меньшей 90 %, любой вызов íå ïîлучил áû отказа.
88
Ðешение.
Áóäåì рассматривать действия êаждого èç
n = 300
абонен-
òîâ â течение íåêоторого êороткîãî промежуткà времени êàê независимые
испытàíèÿ, à ¾óñïåõîì¿ áóäåì ñ÷èòàòü òî, ÷òî абонент воспользовалсÿ òå-
лефонной связью. Âåðîятность ¾óñïåõà¿ ïî óсловию равна
p = 1/60
. Îáî-
çíà÷èì черезνчисло абонентов, воспользовавшихñÿ телефонной связью
çà рассматриваемый промежуток времени, ò. å.ν число ¾óñïåõîâ¿ â
независимых испытаниях ñõåìû Бернуëëè. Òîãäà вопрос çàäà÷è ñâîäèòñÿ
ê íàõîждению минимального натурального числа
n0, óдовлетворяющего
неравенству:
P(ν ≤ n0) ≥ 0, 9.
(10.11)
n
Чтобы найти òàêîå
n0, выразим левую часть этого неравенства через
n0è èñõîäíûå данные çàäà÷è, используÿ приближåíèå Ïóассона:
n
0
k=0
P
n,p
1
60
 нашем случае
P(ν ≤ n0) =
λ = np = 300 ·
приближåíèÿ Ïóассона оцениваетсÿ неравенством:
min(1/30, 1/12) = 0, 033.
Äëÿ выполнения неравенства (10.11) íåîáõîäèìî
n
0
(k) =
= 5
πk+ ∆.
k=0
, à погрешность используемого
|∆| ≤ min(2p, np2) =
(10.12)
потребовать, чтобы сумма â правой части (10.12) óдовлетворÿëà неравен-
ñòâó
n
0
πk≥ 0, 933,
k=0
страхуÿñü îò возмоæíîé ошибки∆. Вычисляя âåðîятности ïî формуëå
Ïóассона, ïðè
впервые превышает çíàчение 0,933 ïðè
минимальное число êаналов связи равно
λ = 5
видим, ÷òî сумма
n
k=0
0
πk=
n
k=0
0
−λ
e
n0= 9.
k
λ
k!
n0= 9
. Ñòàëî áûòü, èñêîìîå
10.4. Ðешение типовых примеров
Пример 10.3.
Òåàòð, вмещающий 1000 ÷åловек, имеет äâà ðазных
входа. Îêîëî каждого входа имеется ñâîé гардероб. Ñêîëüêî ìåñò äîëæíî
áûòü â каждоì гардеробе äëÿ òîãî, чтобы â среднеì â 99 ñлучаях èç 100
âñå зритеëè могли ðаздеться â гардеробе òîãî входа, через который îíè
89
вошли. Предполагается, ÷òî зритеëè приходят: a) ïàðàìè независимо
îäíà ïàðà îò другой; á) поодиночке независимо äðóã îò друга.
Äîêазательство.
a) ÷èòателю â êàчестве упражнения. Предполоæèì, ÷òî îáà âõîäà равно-
правны â òîì смысле, ÷òî âñÿêèé зритель выбирает любой èç íèõ ñ âåðî-
ятностью 0,5. Выберем êàêîé-íèáóäü îäèí âõîä, äëÿ êоторого ïîдсчитàåì
требуåìîå число ìåñò â ãàðдеробе. Áóäåì ñ÷èòàòü ¾óñïåõîì¿ òî, ÷òî î÷å-
редной пришедший зритель выбрал данный âõîä. Òîãäà, åñëèνåñòü число
¾óñïåõîâ¿ â
телей, пришедших â театр через данный âõîä. Вопрос çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê
òîìó, чтобы найти наименьшее натуральное числоK, óдовлетворяющее
неравенству:
Ïîñêольку ñ.â.νпринимает ëèøü целочисленные çíàчения, òî
P (ν < K + 1)
пласа:
ãäå
Ïî òаблицам функции нормального распределения
x
, äëÿ êоторого
ùååK:
n = 1000
P (ν ≤ K) ≥ 0, 99 ⇐⇒ P (ν > K) ≤ 0, 01.
. Применим ê последней âåðîятности теорему Ìóàâðà Ëà-
P (ν < K + 1) = P
K + 1 −np
x =
Φ(x) = 0, 99
Приведем решение â óсловиях á), îñòàâèâ пункт
независимых испытаниях, òîνîçíà÷àåò число çðè-
P (ν ≤ K) =
√
ν −np
√
npq
K + 1 −1000 · 0, 5
√
npq
=
1000 ·0, 5 ·0, 5
, è ïî этому çíàчениюxнайдем соответствую-
K + 1 −np
<
√
npq
K − 499
=
→ Φ(x),
5√10
Φ(x)
íàõîäèì òàêîå
.
x = 2, 33 ⇔
ÏîñêолькуKцелое число, òî следуåò взять
Замечание 10.2.
÷òî ñ.â.ν, согласно теореìå Муаврà Лапласà, имеет ïðèáлиженно íîð-
мальное ðаспределение. Однако áèíîмиальное ðаспределение
торое имеет ñ.â.ν, может áûòü ïðèáлижено ðаспределениеì Пуассона
Π(λ)
, ãäå
λ = np
превосходит âåличины
ìåðà ðàâíà
K − 499
5√10
, причеì возможная ошибка ïðè ýòîì ïðèáлижении íå
∆ = min(1000 · 0, 52, 0, 5) = min(250; 0, 5) = 0, 5.
= 2, 33 ⇔ K = 499 + 5√10 ·2, 33 ≈ 535, 84.
K = 536.
 приведенноì решении ìû воспользовались òåì,
B(n, p)
∆ = min(np2, p)
, которàÿ â óñловиях нашего ïðè-
, êî-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]