Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
17.3. Процессы размноæåíèÿ è гибели
Однороäíûé ìàðêовский процесс ñ áåñêонечным, íî счетным числом состо-
ÿíèé
S0, S1, ...
åñëè толькî äëÿ соседних состоÿíèé âåðîятности перехîäà ïîëîжительны,
òî åñòü
λij= 0
Обозна÷èì
¾óáåãàòü íà áåñêонечность¿ â ýòîì случае
единица ê áåñêонечности ïðè
неэргодическим. Напротив, äëÿ ýðãîдическîãî процесса выполнено
∞
è
n=0
Pn= 1
Óсловие ýðãîдичности вместе ñ формуëîé äëÿ вычисления ñòационар-
íûõ âåðîятностей ñîäåðæèòñÿ â следующей теореме.
называетсÿ процессом размноæåíèÿ (ðîждения) è гибели,
âî âñåõ случаях, êîãäàjíå равняетсÿ íè
λi= λ
ii+1
,
µj= λ
. Процессы размноæåíèÿ è гибели могут
jj−1
X(t)
t → ∞
. Òàêîå поведение процесса называетсÿ
lim
pik(t) = lim
t→∞
Pk(t) = Pk, k = 0, 1, 2, ...,
t→∞
ñõîäèòñÿ ñ âåðîятностью
i + 1
, íè
.
i − 1
.
Òеорема 17.2.
Процесс ðазмножения è ãèáåëè эргодичен â òîì è
òîëüêî òîì ñлучае, когда сумма ðÿäà
γ = 1 +
λ0λ
0
µ
1
1
+
µ1µ
+ . . . +
2
λ0λ1. . .λ
µ1µ2. . . µ
n−1
n
+ . . .
λ
конечна. Стационарные вероятности ðàâíû
P0=
1
, Pn=
γ
λ0λ1. . .λ
µ1µ2. . . µ
n−1
P0, n = 1, 2, . . . .
n
17.4. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
17.1
Найти матрицу перехîäíûõ âåðîятностей äëÿ ìàðêîâñêîé öåïè, îïè-
сывающей следующий ýêсперимент. Ïóñòü бросают монету, причем âåðî-
ятность выпадения решки равнаp. Определим
числом выпадений решки è числом выпадения герба послеnбросаний ìî-
íåòû.
17.2
Найти матрицу перехîäíûõ âåðîятностей äëÿ ìàðêîâñêîé öåïè,
описывающей следующий ýêсперимент. Бросают игральную êîñòü. Ïîëî-
æèì
Xnравным наибольшему èç чисел, выпадающих â первыхnбросани-
ÿõ.
17.3
ÓстройствоSсостоит èç äâóõ узлов, êаждый èç êоторых â õîäå
работы óстройства ìîæåò выйти èç ñòðîÿ. Возмоæíû состоÿíèÿ системы:
S1 îáà óçëà работàþò;
S2 первый óçåë îòêàçàë, второй работàåò;
Xnêàê разность между
S3
171
второй óçåë îòêàçàë, первый работàåò;
ãðàô состоÿíèé è перехîäîâ системы. Выбрать интенсивности перехîäîâ
между состояниями системы è записать соответствующую систему
дифференциальных уравнений.
17.4
Ïî äâóì линиям связи â îäèí пункт поступают äâà независимых
простейших потокà телеграмм. Найти âåðîятность òîãî. ÷òî çà времяtâ
пункт приема придетnтелеграмм, åñëè параметры ñîñòавляющих потокîâ
равны
распада, образуют простейший поток ñ параметромλ. Каждая частица
независимо îò другой регистрируåòñÿ счетчикîì ñ âåðîятностьюp. Îïðå-
делить âåðîятность òîãî, ÷òî çà времяtáóäåò зарегистрировано ровно
частиц.
ã)
Проверить выполнение ýðãîдическîé теоремы äëÿ ýòîé öåïè. Åñëè ýðãîäè-
÷åñêàÿ теорема выполняетсÿ найти соответствующее ñòационарное распре-
деление. Нарисовать ãðàô состоÿíèé è перехîäîâ öåïè Ìàðêîâà.
ïðè нормальной работе íå требуют èõ вмешательства. Каждый ñòàíîê
îñòанавливаетсÿ вследствие неполадок ñ интенсивностью îäèí ñòàíîê â 30
ìèí. Среднее время, êоторое тратитсÿ рабочим íà ремонт îдного ñòàíêà,
ñîñòавляет 15 минут. Найти предельную âåðîятность òîãî, ÷òî äâà ñòàíêà
íå работàþò.
тийного ремонтà являетсÿ простейшим ñ параметром
должительность ремонтà являетсÿ случайной величиной, имеющей ïîêà-
зательное распределение ñ параметром
время, ïðîõîдящее îò моментà ïðèõîäà неисправной аппаратуры äî íà÷àëà
ремонтà, åñëè â мастерскîé четверо рабочих, êаждый èç êоторых ремон-
òèðóåò толькî îäèí прибор.
â среднем çà ÷àñ 60 требований íà связь. Ïðîдолжительность переговоров
â среднем ñîñòавляет 4 ìèí. Определить абсолютную пропускную способ-
ность системы; среднее число занятых линий; âåðîятность îòêàçà абоненту.
λ1è
λ2.
17.5
Частицы, вылетающие èç радиоактивного вещества â процессе åãî
17.6
Ïóñòü матрица перехîäîâ äëÿ öåïè Ìàðêîâà имеет âèä:
à)
17.7
17.8
17.9
0 1
0, 25 0, 75
0 1 /3 2/3
1/3 1/3 1/3
1/4 1/4 1/2
Äâîå рабочих обслуживают òðè автоматических ñòàíêà, êоторые
Поток поступления неисправной аппаратуры â мастерскую ãàðàí-
, á)
.
0 1
0, 85 0, 15
S4 îáà óçëà îòêазали. Построить
µ = 5
, â)
åä./÷àñ. Определить среднее
1 0
0, 25 0, 75
λ = 10
,
åä./÷àñ. Ïðî-
n
172
Ãëàâà 18
Типовой расчет
Вариант 1
1. Íàóãàä выбраны äâà числа. СобытияAèBсоответственно îçíà÷àþò,
÷òî выбрано õîòÿ áû îäíî нечетное число è õîòÿ áû îäíî четное число. ×òî
îçíà÷àþò события
2. Èç êорзины ñ пятью красными, четырьмя зелеными è тремя æåë-
òûìè яблокàìè берутсÿ (áåç возвращения) íàóäà÷ó òðè яблокà. Ñ êàêîé
âåðîятностью среди ýòèõ òðåõ яблок: à) ровно äâà зеленых, á) õîòÿ áû
îäíî красное è õîòÿ áû îäíî æелтое яблокî?
3. Ìîëîäîé человек договорилсÿ встретитьсÿ ñ девушкîé между 9 è 10
часами è обещал ждать å¼ äî 10 часов. Девушкà обещала ждать åãî 10
минут, åñëè придет раньше. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî îíè встретÿòñÿ.
Предполагàåòñÿ, ÷òî моменты èõ ïðèõîäà равновероÿòíû â течение ÷àñà.
4. Ïðè переда÷å òåêñòà â среднем 5 % áóêâ èñêàæàåòñÿ è принимаетсÿ
неверно. Передано слово èç 6 áóêâ. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî âñå буквы
слова áóäóò приняты правильно? Предполагàåòñÿ, ÷òî буквы èñêàæàþòñÿ
независимо äðóã îò äðóãà.
5. Â òèðå имеетсÿ 6 îдинакîâûõ íà âèä ðóæåé. Âåðîятность попадания
â мишень äëÿ äâóõ èç íèõ ïî 0,9, äëÿ òðåõ ïî 0,8 è äëÿ îдного 0,3. Êàêîâà
âåðîятность òîãî, ÷òî стрелок попадет â мишень, åñëè îí выбирает ружье
íàóäà÷ó? Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî áûëî выбрано ружье, äëÿ êоторого
âåðîятность попадания 0,3, ïðè óсловии, ÷òî стрелок попал â мишень?
6. Âåðîятность попадания â мишень равна 0,6 ïðè êаждом выстреле.
Стрельба ведетсÿ îдиночными выстрелами äî первого попадания, ïîêà íå
áóäåò израсõîдован боезапас. Найти ðÿä распределения, математическîå
îжидание è дисперсию числа произведенных выстрелов, åñëè боезапас ñî-
ñòавляет 3 единицы. Построить график функции распределения.
ABèA ∪B
?
173
7. Случайная величинаξимеет треугольное распределение. Плотность
распределения равна
Ax
ïðè
f(x) =
0
ïðè
0 ≤ x ≤ θ;
x ∈ [0; θ].
Найти êоэффициентA, математическîå îжидание è ñòандартное îò-
клонение. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî
ξ > θ/2
. Íàчертить графики ïëîò-
ности распределения è функции распределения.
8. Ñîñòавить òаблицу совместного распределения числа выпавших åäè-
íèö è числа выпавших шестерок ïðè îäíîì ïîдбрасывании игральной êî-
ñòè. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
âèä:
f(x, y) = c
ρ(X, Y )
.
, åñëè
x, y ≥ 0,x + 3y ≤ 3è0
èíà÷å. Найти êîíñòàíòócè
X, Y
имеет
10. Участник лотереи бросает игральную êîñòü 10 ðàç. Участник ïî-
лучает ценный ïðèç, åñëè сумма î÷êîâ больше 50. Оценить âåðîятность
получения ценного приза.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 2
ïî первому моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
−(θ+1)
f(x) =
θx
ïðè
x > 1;
0
ïðè
x ≤ 1.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
0,78 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,10
3,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,88
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне доверия 0,1; íà уровне çíàчимости
0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
0,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,88
1,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,74
174
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
-
A
1
A
2
A
3
-
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 2 3 4
Y 3 −1 2 −2
Вариант 2
1. Èç òаблицы случайных чисел íàóäà÷ó взято îäíî число. Событие
выбранное число делитсÿ íà 5; событиеB данное число îêанчиваетсÿ
íóëåì. ×òî îçíà÷àþò события
2. Â квадрат ñ вершинами
òî÷êà. Ïóñòü
(X, Y )
åå êîîðдинаты. Найти:
A \BèAB
?
(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)
P(max{X + 3Y,Y } ≤ 1/2)
íàóäà÷ó брошена
.
3. Бросают 3 игральные êîñòè. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî íà íèõ
выпадет разное число î÷êîâ?
4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов
Ak, соединенных ïî ñëå-
дующей ñõåìå:
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ êаждого элементà
Akравна 0,02. Предпо-
ëàãàåòñÿ, ÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ независимо äðóã îò äðóãà. Найти
âåðîятность òîãî, ÷òî öåïü áóäåò пропуñêàòü òîê.
5. Одинакîâûå äåòàëè поступают íà сборку ñ òðåõ автоматов. Первый
автомат äàåò 20 %, второй 30 %, третий 50 % âñåõ äåòàëåé, íåîáõîдимых
äëÿ сборки. Áðàê â ïðîдукции первого автоматà ñîñòавляет 2,5 %, второго
2 %, третьего 2,5 %. Найти âåðîятность поступления íà сборку áðà-
êованной äåòàëè. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî îêазавшаясÿ áðàêованной
äåòàëü изготовлена íà первом автомате.
6. Ïî мишени îдновременно стреляют òðè стрелкà, âåðîятности ïîïà-
даний êоторых равны соответственно 0,55, 0,6 è 0,65. Найти ðÿä распреде-
ления, математическîå îжидание è дисперсию числа попаданий â мишень.
Построить график функции распределения.
A
175
7. Ðаспределение Парето приближåííî описывает распределение äîõî-
äîâ физических ëèö. Плотность распределения равна
A
ïðè
ïðè
x ≥ θ;
x <θ.
Здесь
α > 2,θ > 0
α
f(x) =
x
0
параметры распределения,A нормирующая êîí-
ñòàíòà. Найти êîíñòàíòóA. Вычислить çíàчение параметраα, ïðè êотором
математическîå îжидание превосõîäèò çíàчение параметраθâ 3 ðàçà.
8. Ïîдбрасываютсÿ òðè симметричных монеты. Ñîñòавить òаблицу ñîâ-
местного распределения êоличеств выпавших гербов íà òðåõ монетàõ è íà
первых äâóõ монетàõ. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
êîíñòàíòócè
f(x, y) = c
ρ(X, Y )
.
, åñëè
x, y ≥ 0,x + 2y ≤ 2
, è0èíà÷å. Найти
X, Y
çàäà-
10. Время îжидания поезда метро çà îäíó поездку имеет равномерное
распределение íà отрезкå îò 0 äî 5 минут. Оценить âåðîятность òîãî, ÷òî
суммарное время îжидания çà 30 поездок îêàæåòñÿ меньше 1,5 часов.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 0
ïî второму моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
2x
−x2/θ
f(x) =
e
θ
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
2,05 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,23
3,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,87
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
0,24 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,55
0,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,94
176
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 3 5 7
Y 3 −1 2 −2
Вариант 3
1. СобытиеA õîòÿ áû îäíî èç имеющихñÿ четырех изделий áðàêî-
ванное, событиеB áðàêованных изделий среди íèõ íå менее äâóõ. ×òî
îçíà÷àþò противополоæíûå событияAèB?
2. Â квадрат ñ вершинами
òî÷êà. Ïóñòü
3. Â ñòóденческîé группе 15 юношей è 10 девушек. Íà университетский
праздничный áàë группа получила толькî 2 ïðèãласительных билетà, êî-
торые разыгрываютсÿ ïî жребию. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî íà áàë
попадет разнополая ïàðà?
4. Ðабочий обслуживает 4 ñòàíêà, работающих независимо äðóã îò äðó-
ãà. Âåðîятность òîãî, ÷òî â течение ÷àñà ñòàíîê íå потребуåò внимания
рабочего, равна äëÿ первого ñòàíêà 0,6, äëÿ второго 0,8, äëÿ третьего
0,9, äëÿ четвертого 0,7. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç
ñòàíêîâ â течение ÷àñà íå потребуåò внимания рабочего.
5. Ñòàíîê обрабатывает 2 âèäà äåòàëåéAèB, причем время работы
распределяетсÿ между íèìè â соотношении 1:4. Ïðè обработкå äåòàëè âèäà
A
îí работàåò ñ ìàêсимальной äëÿ íåãî нагрузкîé â течение 70 % времени,
ïðè обработкå äåòàëè âèäàB 50 % времени. Â случайный момент âðå-
ìåíè ñòàíîê работàë ñ ìàêсимальной нагрузкîé. Определить âåðîятность
òîãî, ÷òî â ýòî время îí обрабатывал äåòàëü âèäàA; âèäàB.
6. Âåðîятность попадания áàñêетбольного ìÿ÷à â êольцо ïðè бросании
íàчинающим спортсменом равна 1/4. Ìÿ÷ бросают äî первого попадания,
íî äàþò íå более 4 попыток. Найти ðÿä распределения, математическîå
îжидание è дисперсию числа промахîâ. Построить график функции ðàñ-
пределения.
7. Ñêорость пешехîäà íà äèñòанции â 1 êì являетсÿ случайной âåëè-
чиной, равномерно распределенной íà отрезкå îò 2 êì/÷ äî 4 êì/÷. Найти
математическîå îжидание è ñòандартное отклонение времени, затра÷åí-
(X, Y )
åå êîîðдинаты. Найти:
(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)
P(max{2X, Y } < 1/3)
íàóäà÷ó брошена
?
177
íîãî íà ïðåîдоление äèñòанции. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî ýòî время
превысит 24 минуты.
8. Â группе èç 25 ñòóдентов толькî äâîå изучали â øêîëå ìîдальную
логику, è именно îíè получили оценку ¾5¿ íà экзамене. Èç îñòальных
ñòóдентов 10 человек получили оценку ¾4¿, 10 человек оценку ¾3¿, è
3 ñòóäåíòà получили ¾двойки¿. Ñîñòавить òаблицу совместного распреде-
ления оценки íà экзамене è индикатора изучения ìîдальной логики äëÿ
выбранного íàóäà÷ó ñòóäåíòà. Найти êоэффициент êорреляции между íè-
ìè.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
Найти êîíñòàíòócè
f(x, y) = c(x2+ y)
ρ(X, Y )
.
, åñëè
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1è0
X, Y
çàäà-
èíà÷å.
10. Число опечаток íà странице книги имеет распределение Ïóассона ñ
параметром 2. Найти пределы, â êоторых ñ âåðîятностью 0,9 лежит число
опечаток â книге èç 400 страниц.
11. Äëÿ выборки
распределения
(X1, X2, . . . , Xn)
f(x)
найти оценки параметра
èç распределения ñ плотностью
θ > 0
ïî третьему момен-
òó è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность
полученных оценок. Плотность распределения равна
2
3x
−x3/θ
f(x) =
e
θ
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
7,61 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,58
5,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,75
4,76
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
0,49 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,57
0,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,24
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
178
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 2 3 4
Y −3 −1 2 −2
Вариант 4
1. Монетà ïîдбрасываетсÿ òðè ðàçà ïîäðÿä. Построить пространство
элементарных èñõîäîâΩ. Описать событиеA, состоÿùåå â òîì, ÷òî выпало
íå менее äâóõ гербов.
2. Â êомпании èç òðåõ человек решили ñделать äðóã другу ïîдарки, äëÿ
÷åãî êаждый принес ïîдарок. Âñå ïîдарки ñëîæèëè вместе, перемешали
è случайно распределили среди участникîâ. Найти âåðîятность, ÷òî õîòÿ
áû îäèí ïîдарок вернетсÿ ê своему владельцу.
3. Íà линейкå длиной 20 ñì случайно ñделаны äâå насечки. Êàêîâà
âåðîятность òîãî, ÷òî первая îêàæåòñÿ дальше îò íà÷àëà íå менее, ÷åì íà
5 ñì ïî сравнению ñî второй?
4. Äåòàëè ïðîõîäÿò òðè операции обработки. Íà êаждой èç операций
ìîæåò возникнуть áðàê независимо îò îñòальных операций ñ âåðîятностÿ-
ìè 0,02, 0,03 è 0,035 соответственно. Найти âåðîятность получения небра-
êованной äåòàëè.
5. Âåðîятность òîãî, ÷òî изделие óдовлетворÿåò ñòандарту, равна 0,95.
Íà çàâîäå принятà система èç òðåõ независимых испытàíèé, êаждое èç êî-
торых изделие, óдовлетворяющее ñòандарту, ïðîõîäèò ñ âåðîятностью 0,8,
à íåóдовлетворяющее ñ âåðîятностью 0,3. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî
íàóäà÷ó взятое изделие выдерæèò испытàíèÿ? Êàêîâà âåðîятность òîãî,
÷òî изделие, выдерæавшее испытàíèÿ, óдовлетворÿåò ñòандарту?
6. Âåðîятность изготовления íåñòандартного изделия ïðè налаженном
технологическîì процессе постоÿííà è равна 1/5. Äëÿ проверки изделий
îòäåë техническîãî êонтроля берет èç партии изделия îäíî çà другим, íî
íå более 3 изделий. Ïðè обнаружåíèè íåñòандартного изделия âñÿ ïàð-
òèÿ задерживаетсÿ. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание
è дисперсию числа изделий, проверяемых â êаждой партии. Построить
график функции распределения.
7. МощностьW, выделяемая íà сопротивленииR, вычисляетсÿ ïî çà-
êîíó
W = RI2, ãäåI ñèëà òîêà. Предполагàåòñÿ, ÷òî ñèëà òîêà распреде-
ëåíà равномерно íà отрезкå îò 1 äî 2 ампер. Найти плотность распределе-
179
íèÿ è математическîå îжидание мощности, выделяемой íà сопротивлении
â 1000 Îì. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî мощность превысит 2 êÂò.
8. Â íàучном îòäåëå 3 лаборатории. Â первой лаборатории 4 сотруä-
íèêà è 2 исследовательских проектà, âî второй 6 сотруäíèêîâ è 1 проект,
â третьей 3 сотруäíèêà è 2 проектà. Найти совместное распределение
числа сотруäíèêîâ è числа проектов â выбранной íàóäà÷ó лаборатории.
Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
Найти êîíñòàíòócè
f(x, y) = c(x + y2)
ρ(X, Y )
.
, åñëè
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1è0
X, Y
çàäà-
èíà÷å.
10. Маршрут разбит íà 900 участкîâ. Погрешность измерений длины
êаждого èç íèõ распределена ïî нормальному çàêîíó ñ íóлевым средним
è ñòандартным отклонением 5 метров. Найти, â êàêèõ пределах лежит
суммарная погрешность ñ âåðîятностью 0,95.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 0
ïî первому моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
1
−√x/θ
f(x) =
2θ√x
e
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
-1,70 -0,72 -4,46 -3,24 2,42 -1,70 -1,24 -0,07 6,20 2,67 1,80 0,26 9,61
2,51 1,44 -3,65 5,50 4,17 -2,06 7,48 2,60 7,61 2,54 9,77 9,67 7,36 7,86
11,22 3,38
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
1,60 1,44 0,70 1,33 0,74 0,61 1,03 1,25 0,85
0,81 1,04 0,76 0,80 1,55 1,61 0,82 1,70 1,63
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]