Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Пример 9.7.
áèíîмиальное ðаспределение
Ðешение.
решении примера 9.2, случайную величину
Найти дисперсию ñлучайной âåличиныY, имеющей
B
.
n,p
Найдем
DY
, используÿ свойства дисперсии. Êàê è ïðè
Y
число ¾óñïåõîâ¿ â
независимых испытаниях Бернуëëè ìîæíî представить â âèäå (9.9):
Y = X1+ X2+ ... + Xn,
n
ãäå ñ. â.
(
k = 1, 2, . . . , n
Бернуëëè, à испытàíèÿ независимы, òî ñ. â.
Xkравна числу ¾óñïåõîâ¿ â îäíîìk-ì испытàíèè Бернуëëè
). Ïðè ýòîì, ïîñêольку ñ. â.
Xkсвязана ñk-ì испытанием
X1, X2, ... , Xnнезависимы.
Òîãäà дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
DY = D(X1+ X2+ ... + Xn) = DX1+ DX2+ ... + DXn= npq,
òàê êàê âñå
примеру,
Упражнение 9.3.
Пуассона
Xkимеют распределение Бернуëëè
DXk= pq.
Показать, ÷òî åñëè ñ. â.Yимеет ðаспределение
Πλ, òî
Bpè, ïî предыдущему
DY = EY = λ.
Упражнение 9.4.
ческое ðаспределение
Упражнение 9.5.
ðаспределение
U
[a; b]
Пример 9.8.
íîðмальное ðаспределение
Ðешение.
Найдем дисперсию ñòандартного нормального çàêîíà.
Найти дисперсию ñ. â.Y, имеющей ãåîметри-
Gp.
Показать, ÷òî åñëè ñ. â.
X
имеет ðàâíîмерное
, òî
2
DX =
(b −a)
12
.
Найти дисперсию ñлучайной âåличиныX, имеющей
2
N
.
a,σ
Вспомним, ÷òî, ñîãласно примеру 9.5, äëÿ случайной величиныZ, èìå-
þùåé ñòандартное нормальное распределение, математическîå îжидание
равно íóëþ, è потому
∞
DZ = EZ2− (EZ)2= EZ2==
1
sqrt2π
−infty
t2e
−t2/2
dt.
Ýòîò интеграл вычислим ïî ÷àñòÿì:
DZ =
u = t, du = dt
dv = te
2
t
−
2
dt, v =te
t
−
2
2
dt = −e
2
=
t
−
2
71
∞
2
(−te
t
−
∞
2
)
+
−∞
1
√
=
2π
√
1
2π
−∞
2
t
−
2
e
dt = 0 + 1 = 1.
 последних вычислениях áûëè использованы соотношения:
∞
lim
t→±∞
te
−
2
t
2
= lim
t→±∞
t
= 0,
2
t
2
e
√
1
2π
−∞
e
−
2
t
2
dt = 1,
первое èç êоторых получаетсÿ èç правила Лопитàëÿ, à второе èç свойства
плотности нормального распределения.
Èòàê, äëÿ ñòандартного нормального распределения
DZ = 1
.
Случайную величину ñ произвольным нормальным распределением
предстàâèì â âèäå
X = a + σZ
, ãäåZимеет ñòандартное нормальное ðàñ-
пределение. Ïî свойствам дисперсии,
DX = D(a + σZ) = D(σZ) = σ2DZ = σ2· 1 = σ2.
Òàêèì образом,
ïàðаметры íîðмального ðаспределения
N
a,σ
2
ïðåä-
ставляют соответственно ìàòåматическое ожидание è дисперсию ñëó-
чайной âåличины
:
a = EX, σ2= DX.
9.3. Числовые õарактеристики случайных
векторов
Ковариацией
Äëÿ вычисления êовариации ìîæíî использовать следующую форму-
ëó:
Ковариация äëÿ дискретных случайных величин обычно ñ÷èòàåòñÿ ïî
следующей формуëå:
cov(X1, X2) =
Заметим, ÷òî
равна íóëþ:cov(X1, X2) = 0
случайных величин
X1, X2называетсÿ число:
cov(X1, X2) = E(X1− EX1)(X2− EX2).
cov(X1, X2) = E(X1X2) −EX1· EX2.
∞
∞
xnykP(X1= xn, X2= yk) −EX1EX2.
n=1
k=1
åñëè ñ.â.
X1, X2независимы, òî êовариация èõ
. Â общем æå случае (ò.å. êîãäà ñ.â. íå
(9.12)
(9.13)
72
îáязательно независимы), справедлива следующая формуëà, связывающая
êовариацию ñ дисперсиями ñ.â.
X1, X2, X1+ X2:
D(X1+ X2) = DX1+ 2cov(X1, X2) + DX2.
(9.14)
Последнее соотношение äîïóñêàåò обобщение íà случайnслучайных
ñëàãаемых:
D(X1+X2+...+Xn) = DX1+DX2+...+DXn+2
Коэффициентом êорреляции
åòñÿ величина
Коэффициент êорреляции
ρ = ρ(X1, X2)
ρ(X1, X2) =
cov(X1, X2)
√
DX
ρ = ρ(X1, X2)
зависимости между ñ.â.
, равная отношению:
√
1
X1, X2, ввиду следующих своих свойств:
случайных величин
E(X1X2) −EX1· EX
=
DX
2
широкî используåòñÿ êàê
√
DX
1≤i<j≤n
cov(Xi, Xj).
√
DX
1
(9.15)
X1, X2называ-
2
.
2
(9.16)
ìåðà
ρ1.|ρ| ≤ 1;
ρ2
. Åñëè ñ.â.
ρ3.|ρ| = 1
симостью:
X1, X2независимы, òî
òîãäà è толькî òîãäà, êîãäà
X1= aX2+ b
, ïðè ýòîì
ρ = ρ(X1, X2) = 0;
X1, X2связаны линейной çàâè-
(ρ = 1) ⇔ (a > 0); (ρ = −1) ⇔ (a < 0).
9.4. Ðешение типовых примеров
Пример 9.9.
дается íå áîëåå äâóõ попыток. Каково ìàòåматическое ожидание è äèñ-
персия ÷èñëà выстреëîâ, которые будут ñäåëàíû, åñëè вероятность ïî-
падания â каждоì выстреëå ðàâíà
Ñòðåëüáà ïî öåëè ведется äî первого попадания, íî
0, 2
?
Ðешение.
êоторая ìîæåò принимать ëèøü äâà çíàчения 1 èëè 2, ñ âåðîятностÿìè
Число ñделанных выстрелов ýòî случайная величинаX,
0, 2
(ýòî îçíà÷àåò, ÷òî сразу произошло попадание è стрельба çàêончилась) èëè
0, 8
соответственно. Причем
P(X = 2) = 0, 8 · 0, 2 + 0, 8 ·0, 8 = 0, 8
, ò. å. äâå
попытки могут произойти â äâóõ случаях: ëèáî â первый ðàç íå попали, íî
âî второй ðàç попали, ëèáî è â первый, è âî второй ðàç íå попали. Òîãäà
математическîå îжидание ëåãêî íàõîäèòñÿ ïî формуëå (9.1):
EX = x1p1+ x2p2= 1 · 0, 2 + 2 · 0, 8 = 1, 8.
73
Дисперсия ñ÷èòàåòñÿ ïî формуëå:
DX = x
2
1
Пример 9.10.
p1+ x
2
p2− (EX)2= 12· 0, 2 + 22· 0, 8 −1,82= 0, 16. ▽
2
Двумерный ñлучайный вектор
(X, Y )
имеет ðаспре-
äåление, заданное òàáлицей:
X
0 1
Y
-1 0,10 0,15
0 0,15 0,25
1 0,20 0,15
à) Найти ìàòåматические ожидания, дисперсии è êîýôфициент корре-
ляции ñ. â.
á) Найти êîýôфициент корреляции
Ðешение.
ñèè, найдем частные распределения ñ.â.
X, Y
.
ρ(X + Y,X − 2Y ).
à) Чтобы вычислить математические îжидания è диспер-
X, Y
, записывая èõ â дополнитель-
íûå строку è столбец данной òаблицы совместного распределения:
X
0 1
P(Y = k)
Y
-1 0,10 0,15 0,25
0 0,15 0,25 0,40
1 0,20 0,15 0,35
P(X = n)
0,45 0,55
Используÿ найденные ðÿäû распределения ñ.â.
X, Y
, вычисляем èõ ì.î. è
дисперсии:
EX = 0 · 0, 45 + 1 ·0, 55 = 0, 55; EY = −1 · 0, 25 + 0 · 0, 40 + 1 ·0, 35 = 0, 10;
EX2= 02·0, 45+12·0, 55 = 0, 55; DX = EX2−(EX)2= 0, 55−0, 552= 0, 2475;
EY2= (−1)2·0, 25+0+12·0, 35 = 0, 6; DY = EY2−(EY )2= 0, 6− 0 , 12= 0, 59.
Чтобы найти êоэффициент êорреляции, найдем ñíà÷àëà êовариацию, èñ-
пользуÿ соотношение (9.13) è òаблицу распределения
X, Y
:
E(XY ) =
(n ·k)P(X = n, Y = k) = 0 ·(−1) ·0, 10 + 0 ·0 ·0, 15 + 0 ·1·0, 20+
n,k
+1 ·(−1) · 0, 15 + 1 ·0 · 0, 25 + 1 · 1 · 0, 15 = 0;
74
cov(X, Y ) = E(XY ) − EX · EY = 0 − 0, 55 · 0, 1 = −0, 055;
ρ(X, Y ) =
cov(X, Y )
√DX√
DY
√
=
0, 2475√0, 59
−0, 055
= −0, 144.
Величина êоэффициентà êорреляции близкà ê íóëþ, поэтому ìîæíî ñ÷è-
òàòü, ÷òî ñ.â.
X, Y
слабо зависимы.
á) Используÿ определение êовариации, получаем
cov(X + Y, X − 2Y ) = cov(X, X) − 2cov(X, Y ) + cov(Y, X) − 2cov(Y, Y ) =
= DX − cov(X, Y ) −2DY = 0, 2475 − 0, 055 − 2 ·0, 59 = −0, 9875.
Дисперсии ñ.â.
X + Y, X − 2Y
найдем, пользуÿñü соотношением (9.14):
D(X + Y ) = DX + DY + 2cov(X, Y ) = 0, 2475 − 2 ·0, 055 + 0, 59 = 0, 7275;
D(X −2Y ) = DX + 4DY −4cov(X, Y ) = 0, 2475 −4·0, 055 +4·0, 59 = 2, 3875.
Îñòàåòñÿ вычислить êоэффициент êорреляции:
ρ(X+Y, X−2Y ) =
Пример 9.11.
cov(X + Y, X − 2Y )
=
D(X + Y )D(X − 2Y )
Èç öèôð 0, 1, 2, 3, 4 выбирàþò наудачу äâå цифры áåç
−0, 9875
√
0, 7275 · 2, 3875
= −0, 749. ▽
возвращения. Найти êîýôфициент корреляции между меньшей è áîльшей
èç âûáðанных öèôð.
Ðешение.
áåç ó÷åòà ïîðÿäêà равняетсÿ
äîïóстимой êомбинации äâóõ öèôð равна
Число способов выбрать 2 цифры èç 5 áåç возвращения è
5!
2
C
=
= 10
5
2!3!
. Поэтому âåðîятность êаждой
1/10 = 0, 1
.
Обозна÷èì черезXменьшую èç äâóõ öèôð, черезY большую. Ïî-
лучим следующую òаблицу двумерного распределения:
Y
1 2 3 4
X
0 0,1 0,1 0,1 0,1
1 0 0,1 0,1 0,1
2 0 0 0,1 0,1
3 0 0 0 0,1
Ñîñòàâèì òаблицы îдномерных распределений:
i
P(X = i)
0 1 2 3
0,4 0,3 0,2 0,1
75
j
P(X = i)
1 2 3 4
0,1 0,2 0,3 0,4
Äëÿ сокращения вычислений полезно отметить, ÷òî случайная âåëè-
÷èíàYраспределена òàê æå, êàê
4 −X
. Найдем числовые õарактеристики
случайной величиныX. Математическîå îжидание è второй момент ðàâ-
няютсÿ
3
xipi= 0 · 0, 4 + 1 · 0, 3 + 2 ·0, 2 + 3 · 0, 1 = 0, 7;
i=0
(xi)2pi= 02·0, 4+12·0, 3+22·0, 2+32·0, 1 = 0+0, 3+0,8+0, 9 = 2.
EX2=
3
i=0
EX =
Найдем дисперсию:
DX = EX2− (EX)2= 2 − 0, 72= 2 − 0, 49 = 1, 51.
Äëÿ íàõîждения числовых õарактеристик случайной величины
вспомним, ÷òî îíà распределена òàê æå, êàê
4−X
(проверьòå, ÷òî числовые
õарактеристики äëÿYìîæíî вычислить è непосредственно, è ðåçóëüòàòû
совпадают ñ òåìè, ÷òî получены íèæå):
EY = E(4 − X ) = 4 − EX = 4 − 0, 7 = 3, 3;
DY = D(4 − X) = D(−X) = (−1)2DX = DX = 1, 51.
Вычислим математическîå îжидание произведения случайных âåëè-
÷èí
XY
ïî òаблице совместного распределения, пользуÿñü формуëîé
3
4
i=0
i ·j · P(X = i, Y = j).
j=1
EXY =
Выписанная двойная сумма состоит èç 16 ñëàãаемых, êаждое èç êî-
торых получаетсÿ произведением çíàчений случайных величин è âåðîÿò-
ности â êаждой èç 16 клеток òаблицы. Выпишем òå 10 ñëàãаемых, äëÿ
êоторых âåðîятности íå равны íóëþ:
EXY = 0 ·1 · 0, 1 + 0 ·2 · 0, 1 + 0 ·3 · 0, 1 + 0 ·4 · 0, 1+
+1 ·2 · 0, 1 + 1 ·3 · 0, 1 + 1 ·4 · 0, 1 + 2 · 3 · 0, 1 + 2 · 4 ·0, 1 + 3 · 4 ·0,1 =
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 + 0, 6 + 0, 8 + 1, 2 = 3, 5.
Y
76
Следовательно, êовариация случайных величинXèYравна
cov(X, Y ) = EX Y − EX · EY = 3, 5 − 0, 7 · 3, 3 = 3, 5 − 2, 31 = 1, 19,
è êоэффициент êорреляции
ρ(X, Y ) =
cov(X, Y )
√DX√
DY
1, 19
=
1, 51
1, 19
=
2
1, 51
≈ 0, 79.
9.5. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
9.1
Дискретная случайная величинаXимеет ðÿä распределения
x
i
P(X = xi)
Найти математические îжидания è дисперсии случайных величин:
à)
X;
á)
|X|;
9.2
Ïóñòü случайная величинаXпринимает çíàчения -2, -1, 0, 1 è 2 ñ
âåðîятностью 1/5 êаждое. Найти математические îжидания è дисперсии
случайных величин:
à)
X;
á)
− X;
-1 0 1 2
1/5 1/10 3/10 2/5
â)
X2;
ã)
2X.
â)
|X|;
ã)
X2.
.
9.3
Имеетсÿ шесть ключей, èç êоторых толькî îäèí ïîäõîäèò ê замку.
Ñîñòавить ðÿä распределения числа попыток ïðè открывании çàìêà, åñëè
испробованный êëþ÷ â последующих опробованиях íå участвуåò. ×åìó
равны математическîå îжидание è дисперсия ýòîé случайной величины?
9.4
Èç óðíû, ñîäåðæàùåé ïÿòü белых è òðè черных øàðà, последова-
тельно вынимают øàðû, причем операция извлечения ïðîäîëæàåòñÿ äî
ïîявления белого øàðà. Ñîñòавить ðÿä распределения числа извлеченных
черных шаров è вычислить математическîå îжидание è дисперсию, åñëè
известно, ÷òî: à) вынутые øàðû â óðíó íå возвращаютсÿ; á) вынутые
øàðû возвращаютсÿ â óðíó.
77
Найти математическîå îжидание è дисперсию соответствующих случай-
íûõ величин â çàäà÷àõ 8.1 8.7.
9.5
Игрок бросает â автомат æåòîí стоимостью 10 рублей. Â случае
выигрыша игрок получает 50 рублей. Âåðîятность выигрыша ñîñòавляет
0,16. Найти математическîå îжидание è дисперсию выигрыша игрокà â
òàêîé èãðå.
9.6
Диаметр êðóãà измерен приближåííî. Ñ÷èòàÿ, ÷òî åãî величина
равномерно распределена íà отрезкå
дисперсию площади êðóãà.
9.7
Случайные величины
распределение ñ параметрами 2 è 1/2, àY- равномерное распределение
íà отрезкå
9.8
дисперсию суммы î÷êîâ íà âñåõ êîñòÿõ.
9.9
XèY
[0, 4].
Найти:
à)
E(X + Y );
á)
EXY ;
â)
Бросаетсÿnигральных êостей. Найти математическîå îжидание è
Двумерное распределение ïàðû целочисленных случайных величин
задаетсÿ ñ помощью òаблицы,
EX2;
Y = −1
Y = 2
X Y
независимы, причемXимеет нормальное
X = −2 X = 0 X = 1
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
[a, b]
, найти среднее çíàчение è
ã)
E(X − Y2);
ä)
D(X + Y );
e)
D(X − Y ).
ãäå â пересечении столбца
P
{X = i, Y = j}
à)
á)
9.10
Двумерный случайный вектор
òаблицей:
. Найти:
EX, DX;
EY, DY ;
Y
-2 1/8 1/12 7/24
0 1/12 1/12 1/16
1 3/24 1/12 1/16
X = i
X
è строки
-1 0 1
Y = j
â)
Cov(X, Y );
ã)
E(X − 2Y ), D(X − 2Y ).
(X, Y )
имеет распределение, заданное
íàõîäèòñÿ âåðîятность:
78
Найти математические îжидания, дисперсии è êоэффициент êорреляции
ñ. â.
X, Y
, à òàêæå математическîå îжидание è дисперсию ñ.â.
9.11
Найти êоэффициент êорреляции
îдинакîâî распределены è имеют êонечный второй момент, применить
полученную формуëó äëÿ случая, êîãäà
нормальное распределение.
9.12
Ïóñòü ñ.â.Xимеет равномерное íà отрезкå
Найти êоэффициент êорреляции
9.13
Случайная величинаZимеет равномерное распределение íà отрезкå
[0, 1]. Найти êоэффициент êорреляции случайных величин
à)
Y1= aZ, Y2= bZ (a, b > 0);
á)
Y1= aZ, Y2= bZ (a < 0 < b);
â)
Y1= Z, Y2= Z2.
9.14
Найти êоэффициент êорреляции между числом единиц è числом
шестерок ïðè òðåõ бросаниях правильной игральной êîñòè.
ρ(X, X + Y )
ρ(X, X2)
, ãäåXèYнезависимы,
X
è
Y
имеют ñòандартное
[−1, 1]
.
X −3Y + 1.
распределение.
Y1, Y2, åñëè:
79
Ãëàâà 10
Предельные теоремы
Åùå âî введении, говорÿ î çàêономерностÿõ случайных явлений, ìû
уточнили, ÷òî ýòè çàêономерности ïðîявляютсÿ â ðåçóëüòàòå проведения
большого числа случайных ýêспериментов. Пример òàêîé çàêономерности
óстойчивость частоты события ìîæíî наблюäàòü, проведя äîñòàòî÷-
íî большое число реальных ýêспериментов, èëè воспользовавшись ñòà-
тистическими данными наблюдений òîãî èëè иного случайного явления
(демографические данные, метеорологические наблюдения è ò.ä.). Наибо-
ëåå яркие ðåçóëüòàòû теории âåðîятностей, присущие именно ýòîé íàóêå,
связаны ñ открытием фактов, наблюдаемых
øîãî числа случайных ýêспериментов. Òàêîãî ðîäà ðåçóëüòàòû называют
предельными теореìàìè
вестными предельными теоремами являютсÿ
è
центральная предельная теореìà
теории âåðîятностей. Наиболее важными è èç-
(ÖÏÒ).
10.1. Çàêîí больших чисел
 простейшем случае çàêîí больших чисел заключаетсÿ â следующем:
среднее àðèôметическое áîльшого ÷èñëà независимых, одинаково ðаспре-
äåленных ñлучайных âåличин ведет ñåáÿ êàê âåличина íåñлучайная, ðавная
ìàòåматическоìó ожиданию.
X1+ X2+ . . . + X
êàê îòдельные ñëàãаемые
случайные отклонения. Èíà÷å говорÿ, ïðè
n
n
ïðè
n → ∞
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî среднее арифметическîå
ведет ñåáÿ весьма óстойчиво, â òî время
X1, X2, ... , Xnмогут испытывать çíàчительные
òîëüêî
n → ∞
ïðè проведении áîëü-
закон áîльших ÷èñåë
имеет место ñõîдимость:
(ÇÁ×)
X1+ X2+ ... + X
n
n
→ a = EX1,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]