Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
15.4. Достигаемый уровень çíàчимости
Îò ñòатистики
1) ïðè выполнении гипотезы
деление èëè, ïî крайней ìåðå, ñõîäèòñÿ ïî распределению ê íåêоторой
случайной величинеJñ известным распределением;
2) ïðè выполнении гипотезы
ê áåñêонечности ñ ростом объема выборки.
Äëÿ òîãî, чтобы получить критерий уровняα, задают критическîå ìíî-
æество â âèäå
ãäåC êîíñòàíòà, определяемая óсловием
òî åñòü
ошибки íóлевого ðîäà
ñòатистикàTïðè верной íóлевой гипотезе распределена â точности êàê
J
ненной первой гипотезе ãарантируåò
ñõîдимость âåðîятности ошибки первого ðîäà
выборки.
уровня
Òàêîå çíàчение называетсÿ
Êàê ñêазано â [10],
ñèå ñ проверяемой гипотезой, ÷åì реально полученное, åñëè гипотеза
верна¿. Поэтому ÷åì меньше
H0.
íèÿ ñòатистикиJ:
FJ(C) = 1−α
), ëèáî, ïî крайней ìåðå, ñõîäèòñÿ êαñ ростом объема выборки.
Ñõîдимость ñòатистикиTпочти наверное ê áåñêонечности ïðè выпол-
Äëÿ êаждой êонкретной выборкиX
α∗= α∗(X)
Достигаемый уровень çíàчимости вычисляетсÿ ñ помощью распределе-
T = T (X)
. ßñíî, ÷òî ïðè òàêîì выборе êîíñòàíòûCâåðîятность
, ïðè êотором гипотеза
α∗¾имеет смысл âåðîятности получить õóäøåå ñîãëà-
требуют следующих свойств:
H0ñòатистикàTимеет известное распре-
H1ñòатистикàTñõîäèòñÿ почти наверное
Tα= {T ≥ C},
P{J ≥ C} = α,
α0ëèáî равна уровню критерияα(â случае, êîãäà
состоятельность
α1ê íóëþ ñ ростом объема
ìîæíî найти предельное çíàчение
H0åùå ìîæåò áûòü принятà.
(ðåально) достигаеìûì уровнеì значимости
α∗, òåì более ýòî говорит против гипотезы
критерия, òî åñòü
H
.
0
α∗= P{J ≥ T (X)} = 1 −FJ(T (X)).
 терминах достигаемого уровня çíàчимости критическàÿ область èìå-
åò âèä
Tα= {α∗≤ α},
òî åñòü íóлевая гипотеза отвергàåòñÿ íà уровнеαâ случае, êîãäà
151
α∗≤ α
.
Каждый критерий ñîãласия используåò ñâîþ ñòатистику, предназна-
ченную äëÿ различения íóлевой гипотезы è àëüтернативы è обладающую
нужными свойствами: ñõîдимостью ê ôèêсированному распределению ïðè
выполнении íóлевой гипотезы è ñõîдимостью почти наверное ê áåñêîíå÷-
ности ïðè åå невыполнении.
 êàчестве важных примеров критериев ñîãласия рассмотрим критерии
Колмогорова è хи-квадрат Пирсона.
15.5. Критерии ñîãласия Колмогорова è
χ
Пирсона
Ðассмотрим выборкуX ⊂= F
пределенияFè простую гипотезу
являетсÿ ñëîæíàÿ гипотеза
Критерий Колмогорова
пределения
F0(t)
непрерывна. Ðассматриваетсÿ следующее расстоÿíèå
между эмпирическîé è теоретическîé функциями распределения:
Dn= D(F
∗
, F0) = sup
n
−∞<t<∞
 êàчестве ñòатистики критерия Колмогорова выбираетсÿ ýòî рассто-
ÿíèå, óìíîæенное íà√n
, ãäån объем выборки:
Tn=√nDn=√n max
À. Í. Колмогоров äîêàçàë следующие свойства ñòатистики
1) åñëè гипотеза
H0верна, òî
÷èíåJñ функцией распределения, называемой функцией распределения
Колмогорова:
FJ(t) = 1 − 2
2) åñëè гипотеза
n → ∞
.
H0неверна, òî
Òàêèì образом, достигаемый уровень çíàчимости критерия Колмого-
ðîâà равен
∞
α∗= 1 − FJ(Tn) = 2
(−1)
k=1
объемаnñ неизвестной функцией ðàñ-
H0: F = F0. Àëüтернативной äëÿ
H1: F = F0.
применяетсÿ â случае, êîãäà функция ðàñ-
∗
|F
(t) −F0(t)| = max
n
|F
−∞<t<∞
n
−∞<t<∞
∗
(t) −F0(t)|.
∗
|F
(t) −F0(t)|.
n
Tn:
Tnñ ростомnñõîäèòñÿ ê случайной âåëè-
∞
k=1
(−1)
k+1e−2k2t
Tnñõîäèòñÿ почти наверное ê
k+1e−2k2T
n
2
= 2
∞
k=1
2
;
k+1e−2k2nD
(−1)
2
n
+∞
.
H
ïðè
(15.3)
2
0
152
Отметим, ÷òî äëÿ расчетов ïî ýòîé формуëå нужно брать íå âñþ áåñêî-
нечную сумму, à толькî íåñêîëüêî ñëàãаемых, ïðè ýòîì ошибкà вычисле-
íèé íå превосõîäèò последнего отброшенного ñëàãаемого. Критерий Êîë-
могорова отвергàåò гипотезу
Äëÿ практическîãî вычисления ñòатистики
H0íà уровнеα, åñëè
α∗≤ α
.
Dn= Dn(X)
ìîæíî èñ-
пользовать следующую формуëó:
Dn(X) = max
Здесь
X
(i)
1≤i≤n
ýòî элементы
max
F (X
(i)
вариационного ðÿäà
числений выборку следуåò предварительно
Åñëè гипотетическàÿ функция распределения
) −
i
,
F (X
) −
n
(i)
i −1
n
.
, òî åñòü äëÿ ýòèõ âû-
упорядочить ïî âîçðастанию
F0(x)
íå являетсÿ непре-
(15.4)
рывной, òî критерий Колмогорова неприменим. Â ýòîì случае ìîæíî âîñ-
пользоватьсÿ
χ2-критериеì Пирсона
. Ñòатистикà критерия Пирсона ñòðî-
èòñÿ после предварительного ¾группирования¿ выборочных данных. Äëÿ
этого âñå ìíîæествоSвозмоæíûõ çíàчений случайных величин
Xiразби-
ваетсÿ íà êонечное число непересекающихñÿ частей:
S = S1∪ S2∪ ··· ∪ Sr, Si∩ Sj= ∅, i = j.
.
Обозна÷èì
Sj, à
Sj, вычисленная ñ помощью гипотетическîé функции распределения
F0. Òîãäà â êàчестве ñòатистики критерия
νj число элементов выборкиX
, попавших â ìíîæество
pj âåðîятность попадания случайной величины
χ2рассматривают следующую
Xiâ ìíîæество
F =
предлоæенную Пирсоном ìåðó отклонения эмпирическîãî распределения
îò предполагаемого теоретическîãî:
χ2(X) =
r
(νj− npj)
j=1
np
2
.
j
(15.5)
Справедлива следующая теорема, позволяющая íàõîäèòü распределе-
íèå ñòатистики
χ2ïðè больших çíàченияхn, à ñòàëî áûòü, è строить
ñòатистический критерий.
Òеорема 15.1.
ñòè
p1, p2, . .. , pr, ãäå
статистика
χ2(X)
Ïðè невыполнении нулевой гипотезы статистика
÷òè наверное ê
Åñëè гипотеза
pj= P(Xi∈ Sj)
H0однозначно фиксирует вероятно-
, òî ïðè âûïîлнении ýòîé гипотезы
ñëàáî сходится ê ðаспределению
2
, n → ∞.
r−1
+∞
χ2=⇒ χ
.
2
χ
r−1
χ2(X)
:
сходится ïî-
153
Äëÿ построения критерия, основанного íà ñòатистикå
åì распределение
2
χ
, è ïî найденному çíàчению
r−1
достигаемый уровень çíàчимости
χ2, использу-
χ2(X)
отыскиваем
α∗= 1 − F
χ
2
r−1
(χ2(X))
ïî òаблице 5 распределения хи-квадрат èëè ñ помощью математических
ïàêåòîâ. Â ïàêåòå Microsoft Excel достигаемый уровень çíàчимости вычис-
ляетсÿ формуëîé
=ХИ2РАСП(ячейка;r-1)
(15.6)
(â êàчестве ячейки íàäî ïîäñòавить адрес ячейки, â êоторой вычислена
ñòатистикà хи-квадрат, à
r − 1
число степеней свобоäû).
Òîãäà критерий Пирсона имеет следующий âèä:
H0⇔ α∗> α.
(15.7)
Заметим, ÷òî äëÿ практическîãî применения ðåêомендуåòñÿ разбиение
произвоäèòü òàêèì образом, чтобы выполнялось óсловие
Ïðè нарушении этого óсловия нужно объединить соседние ìíîæества
Âåðîятности
pjíàäî выбирать ïî возможности равными.
npj≥ 10
Sj.
Критерий хи-квадрат часто используют äëÿ проверки ñëîæíûõ гипотез
î принадлежности распределения ê íåêоторому параметрическîìó семей-
ñòâó (например, ê нормальному). Ïðè ýòîì вместо известных âåðîятностей
pjïîäñòавляют èõ оценки
∗
p
, полученные путем оценивания неизвестных
j
парметров распределения. Важно понимать, ÷òî â ýòîì случае предельное
χ
χ
2
r−1
2
r−1
, à áó-
2
χ
r−1−s
(χ2(X))
распределение ñòатистики
äåò близкî ê распределению
(
s = 2
äëÿ нормального распределения). Более точно, предельная ôóíê-
χ2(X)
óæå íå áóäåò распределением
2
χ
, ãäås число оцениваемых параметров
r−1−s
öèÿ распределения заключена между функциями распределения
2
χ
.
r−1
Достигаемый уровень çíàчимости
1 −F
2
χ
r−1−s
(χ2(X))
, ãäås число оцениваемых параметров.
è
α∗заключен между
1−F
Äëÿ òîãî, чтобы получить â точности распределение хи-квадрат ñ
r −1−s
òîäîì ìàêсимального правдоподобия ïî
степенями свобоäû, следуåò оценивать неизвестные параметры ìå-
группированной
выборкå, íî ýòî
привоäèò, êàê правило, ê ñëîæíûì вычислительным процедурам.
.
è
154
15.6. Ðешение типовых примеров
Пример 15.4.
(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10)
Вариационный ðÿä выборки имеет âèä
. Проверить гипотезу î ðàâíîмерно-
ñòè ðаспределения ýëåментов выборки íà отрезке îò 0 äî 10 ñ ïîмощью
критерия Êîëмогорова: найти ðåализацию достигаеìîãî уровня çíà-
чимости è ñäåëàòü вывод î принятии гипотезы íà уровнях 0,1 è
0,01.
Ðешение.
тическую
Построим íà îäíîì графикå эмпирическую
F0(t)
функции распределения.
F
∗
(t)
n
è теоре-
Эмпирическàÿ функция распределения ýòî ступенчатàÿ функция,
высотà ступеньки равна
1/10
â òî÷êàõ
1; . . . ; 10
.
Òеоретическàÿ функция распределения равномерного çàêîíà íà отрез-
êå îò 0 äî 10 равна
0,
F0(t) =
t/10,
1,
Òàê êàê функция распределения
íÿòü критерий Колмогорова. Найдем ïî графику çíàчение
åñëè
åñëè
åñëè
F0(t)
t ≤ 0,
0 < t ≤ 10,
(15.8)
t > 10.
непрерывна, òî ìîæíî приме-
Dn наиболь-
øóþ ïî ìîäóëþ разность между эмпирическîé è теоретическîé функция-
ìè распределения. Ýòà разность достигàåòñÿ â òî÷êàõ разрыва эмпириче-
ñêîé функции распределения è равна
ãаемого уровня çíàчимости, вспоминая, ÷òî
∞
α∗= 2
k=1
k+1e−2k2nD
(−1)
1/10
. Вычислим реализацию дости-
n = 10
: ñîãласно (15.3),
2
n
≈
≈ 2e
−0,2
−2e
−4·0,2
+2e
−9·0,2
−2e
−16·0,2
+2e
−25·0,2
−2e
−36·0,2
+2e
−49·0,2
≈ 0, 99997.
Достигаемый уровень çíàчимости îêазалсÿ близким ê 1; ýòî îçíà÷à-
åò, ÷òî íåò оснований отвергàòü гипотезу î равномерности выборочных
çíàчений. Ýòó гипотезу следовало áû отвергнуть толькî â случае, êîãäà
достигаемый уровень çíàчимости îêазалсÿ áû близким ê íóëþ.
 частности, â нашем случае выполнено неравенство
α∗> 0, 1
. Следо-
вательно, гипотеза î равномерности принимаетсÿ íà уровне 0,1. Òåì более
îíà áóäåò приниматьсÿ íà уровне 0,01.
155
Пример 15.5.
Ðешить пример 15.4 äëÿ ðåализации выборки
(10; 0; 0; 10; 10; 10; 0; 0; 0; 10)
.
Ðешение.
реализацию вариационого ðÿäà:
â предыдущем примере, построим íà îäíîì графикå эмпирическую
è теоретическую
Óïîðядочив реализацию выборки ïî неубыванию, получим
(0; 0; 0; 0; 0; 10; 10; 10; 10; 10)
F0(t)
функции распределения. Â îòличие îò предыдуще-
. Êàê è
∗
F
(t)
n
ãî примера, эмпирическàÿ функция распределения здесь имеет всего äâå
ступеньки â òî÷êàõ 0 è 10, высотой ïî
5/10 = 0, 5
. Òеоретическàÿ ôóíê-
öèÿ распределения îñòàåòñÿ òîé æå самой è определяетсÿ формуëîé (15.8).
Çíàчение
пределения è равняетсÿ
Dnдостигàåòñÿ â òî÷êàõ разрыва эмпирическîé функции ðàñ-
0, 5
. Вычислим реализацию достигаемого уровня
çíàчимости:
∞
α∗= 2
k=1
k+1e−2k2nD
(−1)
2
n
≈ 2e
−2·10·0,5
2
= 2e−5≈ 0, 0135.
Здесь ìû взяли толькî îäíî ñëàãаемое суммы, òàê êàê îñòальные ñëà-
ãаемые гораздо меньше.
 ýòîì примере достигаемый уровень çíàчимости îêазалсÿ близким ê
0, ÷òî говорит против гипотезы
H0. Â частности,
α∗< 0, 1
, òî åñòü гипотеза
îднородности отвергàåòñÿ íà уровне 0,1. Однакî îíà принимаетсÿ íà более
íèçêîì уровне 0,01, òàê êàê
Пример 15.6.
Проверить гипотезу î ðàâíîмерности íà отрезке îò
α∗> 0, 01
.
0 äî 10 äëÿ выборок èç äâóõ предыдущих примеров ñ ïîмощью критерия
хи-квадрàò Пирсона: найти ðåализации достигаеìûõ уровней значимо-
ñòè è ñäåëàòü выводы î принятии гипотезы íà уровнях 0,1 è 0,01. ×èñëî
ïðîмежутков группирования âûáðàòü ïî ôîðìóëå Стеджесà.
Ðешение.
Ñîãласно формуëå Стеджåñà (11.3), вычисляем целую часть ëîãарифма
ïî основанию 2 îò объема выборки è прибавляем единицу:
r = [log2n] + 1 = [log210] + 1 = 3 + 1 = 4,
òàê êàê
23= 8 < 10 < 24= 16
.
Èòàê, ìíîæество äîïóстимых выборочных çíàчений отрезок
следуåò разбить íà 4 промежуткà равной длины:
S1= [0; 2, 5), S2= [2, 5; 5), S3= [5; 7, 5), S4= [7, 5; 10].
156
[0; 10]
Ñîãласно íóлевой гипотезе, распределение равномерное íà отрезкå îò
0 äî 10. Следовательно, равны âåðîятности попадания элементà выборки
â отрезки равной длины:
p1= p2= p3= p4= 1/4 = 0, 25.
Çíàчения ñòатистики хи-квадрат Пирсона различны äëÿ примеров 15.4
è 15.5:
1) Â примере 15.4 êоличества элементов, попавших â êаждый èç ïðî-
межуткîâ, равны соответственно
ν1= 2, ν2= 2, ν3= 3, ν4= 3.
Вычислим ñòатистику хи-квадрат ñîãласно формуëå (15.5):
(2 −10 · 0, 25)
=
10 ·0, 25
2
(2 −10 · 0, 25)
+
10 ·0, 25
χ2(X) =
r
(νj− npj)
j=1
2
(3 −10 · 0, 25)
+
10 ·0, 25
np
2
=
j
2
(3 −10 · 0, 25)
+
10 ·0, 25
2
= 0, 4.
Найдем достигнутый уровень çíàчимости ïî формуëå (15.6), используÿ
функцию ÕÈ2ÐÀÑÏ è ïîäñòавляя çíàчение 0,4 è число степеней свобоäû,
равное
r − 1 = 4 − 1 = 3
:
ÕÈ2ÐÀÑÏ(0,4;3)
≈ 0, 94.
Èòàê, здесь достигнут уровень çíàчимости 0,94, ÷òî íå äàåò оснований
отвергàòü гипотезу î равномерности íè íà уровне
0, 1 < 0, 94
, íè òåì более
íà уровне 0,01.
2) Â примере 15.5 êоличества элементов, попавших â êаждый èç ïðî-
межуткîâ, принимают çíàчения
ν1= 5, ν2= 0, ν3= 0, ν4= 5.
Êàê è â пункте (1), вычислим ñòатистику хи-квадрат è найдем достиг-
нутый уровень çíàчимости:
(5 −10 · 0, 25)
=
10 ·0, 25
2
(0 −10 · 0, 25)
+
10 ·0, 25
χ2(X) =
r
(νj− npj)
j=1
2
(5 −10 · 0, 25)
+
np
j
10 ·0, 25
2
=
2
(0 −10 · 0, 25)
+
10 ·0, 25
157
2
= 10;
ÕÈ2ÐÀÑÏ(10;3)
≈ 0, 0186.
 ýòîì примере достигнут низкий уровень çíàчимости 0,0186, ÷òî äàåò
основания отвергàòü гипотезу î равномерности íà уровне
0, 1 > 0, 0186
, íî
íå íà уровне 0,01.
Отметим, ÷òî äëÿ рассмотренных примеров критерии Колмогорова è
хи-квадрат Пирсона äàþò ïîõîæèå ðåçóëüòàòû достигнутые уровни çíà-
чимости äëÿ обоих критериев îêазались довольно близкими. Â случае, êî-
ãäà основная гипотеза предполагàåò дискретное распределение, критерий
Колмогорова неприменим, è ìû áóäåì пользоватьсÿ толькî критерием õè-
квадрат Пирсона.
Пример 15.7.
2048
выпадений ãåðáà è
Ïðè
4040
áðîñаниях монеты Áþôôîí ïîлучил
ν2= n − ν1= 1992
ν1=
выпадений решетки. Согла-
суется ëè ýòî ñ гипотезой î òîì, ÷òî монета ïðавильная, ïðè уровне
значимости
α = 0, 1
? Ñ каким предельным уровнеì значимости может
áûòü принята ýòà гипотеза?
Ðешение.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìû имеем äåëî ñî ñòатистическîé ìî-
дельюX ⊂= Bp, ãäå неизвестен параметрp- âåðîятность выпадения герба.
Проверяемая гипотеза
сгруппированы (
чений
Xi= 0
ν1= 2048
), òî ìîæåì вычислить наблюдаемое çíàчение ñòатистики
H0: p = 0, 5
число çíàчений
. Ïîñêольку выборочные данные óæå
Xi= 1,ν2 число çíà-
χ2:
p1= P
np
2
=
2
(ν2− np2)
Число ìíîæåñòâ разбиения
(Xi= 1) = 0, 5; p2= P
H
0
np
2020
1
2
(2048 −2020)
=
2
= 0, 388; χ2= 0, 285 + 0, 388 = 0, 673.
r = 2
, поэтому достигнутый уровень çíà÷èìî-
(ν1− np1)
(1992 −2020)
2020
(Xi= 0) = 0, 5;
H
0
2
= 0, 285;
ñòè
ÕÈ2ÐÀÑÏ(0,673;1)
≈ 0, 412.
Достигнутый уровень çíàчимости довольно высок. Â частности,
0, 412 > 0, 1
, òî åñòü гипотеза î симметричности монеты принимаетсÿ íà
уровне 0,1.
158
15.7. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
15.1
ñòавляющие полную группу, осуществились соответственно 1905, 1015 è
1080 ðàç. Проверить, ñîãласуютсÿ ëè ýòè данные ïðè уровне çíàчимости
0,05 ñ гипотезой
достигнутый уровень çíàчимости.
15.3
òû различных видов семян, полученных ïðè скрещивании растений ñ
êðóãëûìè æелтыми семенами è растений ñ морщинистыми зелеными
семенами. Ýòè данные è çíàчения теоретических âåðîятностей ïî теории
наследственности приведены â следующей òаблице:
Следуåò проверить гипотезу
теоретическими âåðîятностÿìè (íà уровне çíàчимости 0,1) è найти
достигнутый уровень çíàчимости.
15.3
þæíîé части Лондона, íà êаждый èç êоторых ïðèõîдилось ïîiпопаданий
самолетов-снарÿäîâ âî время второй мировой войны. Проверить ñîãласие
опытных данных ñ çàêîíîì распределения Ïóассона, приняв çà уровень
çíàчимости
Ïðè n=4000 независимых испытàíèé события
H0:
p1= 1/2, p2= p3= 1/4
 ýêспериментàõ ñ селекцией ãîðîõà Мендель наблюäàë часто-
Семена Частотà Âåðîятность
Êðóãëûå è æелтые 315 9/16
Морщинистые è æелтые 101 3/16
Êðóãëûå è зеленые 108 3/16
Морщинистые è зеленые 32 1/16
Σ
H0î ñîãласовании частотных данных ñ
 òаблице приведены числа
α = 0, 05
:
n=556 1
miучасткîâ равной площади 0,25 êì
, ãäå
A1, A2, A3
pj= P(Aj)
, ñî-
. Найти
2
i
0 1 2 3 4 5 è Итого
более
mi229 211 93 35 7 1
15.4
Крупная партия товаров ìîæåò ñîäåðæàòü äîëþ дефектных изделий.
Ïîñòавщик полагàåò, ÷òî ýòà äîëÿ ñîñòавляет 3%, à покупатель 10%.
Óсловия ïîñòàâêè: åñëè ïðè проверкå 20 случайным образом отобранных
товаров обнаружåíî íå более îдного дефектного, òî партия принимаетсÿ
íà óсловиях ïîñòавщикà, â противном случае íà óсловиях покупате-
ëÿ. Требуåòñÿ определить: 1) êàêîâû ñòатистические гипотезы, ñòатистикà
Σmi= 576
159
критерия, область åå çíàчений, критическàÿ область; 2) êàêîå распределе-
íèå имеет ñòатистикà критерия, â ÷åì состоÿò ошибки первого è второго
ðîäà è êàêîâû èõ âåðîятности.
15.5
Имеетсÿ выборкà объема 1 èç нормального распределения
âåðÿþòñÿ простые гипотезы
H0: a = 0,H1: a = 1.
Используåòñÿ следу-
N
a,1
. Ïðî-
þùèé критерий (ïðè заданной постояннойc):
H0⇔ X1≤ c.
Вычислить, â зависимости îòc, âåðîятности ошибок первого è второго ðî-
äà.
15.6
Построить критерий, обладающий íóлевыми âåðîятностÿìè ошибок,
äëÿ проверки гипотез
15.7
ÏóñòüX ⊂= N
используåòñÿ следующий критерий:
H0:X ⊂= N
. Äëÿ проверки гипотез
a,1
0,1
H0принимаетсÿ, åñëè
против
H1:X ⊂= Πλ.
H0: a = 0
против
X
(n)
H1: a = 1
< 3
, è
отвергàåòñÿ â противном случае. Найти âåðîятности ошибок.
15.8
Используÿ êонструкции доверительного интервала, построить êðè-
терий уровняεäëÿ проверки гипотезы
X ⊂= N
; â)X ⊂= Eθ; ã)X ⊂= B
1,θ
; ä)X ⊂= Πθ.
θ/2
H : θ = 1
, åñëè à)X ⊂= N
θ,1
; á)
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]