Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Äîêазательство äëÿ
привоäèòü åãî здесь ìû íå áóäåì.
Четвертое утверждение следуåò èç третьего è определения распреде-
ления Ñòüþäåíòà.
n ≥ 2
îêазываетсÿ существенно более ñëîæíûì, è
14.4. Асимптотические доверительные èí-
тервалы
Åñëè распределение íå являетсÿ нормальным, точный доверительный èí-
тервал, êàê правило, íå óдаетсÿ построить. Поэтому ñòðîÿò асимптотиче-
ñêèé доверительный интервал, применяя центральную предельную теоре-
ìó (теорема 10.4), êоторая утверждает, ÷òî äëÿ âñåõ
выполнено (10.2)
< t
= Φ(t2) −Φ(t1), n → ∞
2
lim
n→∞
Pt1≤
nX − na
σ√n
t1, t2∈ R (t1< t2)
òî åñòü центрированные è нормированные суммы случайных величин
X1+ . . . + Xnñõîäÿòñÿ ïî распределению ê случайной величине, имеющей
ñòандартное нормальное распределение.
Здесь
элементов выборки.
Åñëè выбрать
γ
, òî
lim
n→∞
îòêóäà получаем
Ïî заданномуγìîæíî найтиAñ помощью òаблиц нормального ðàñ-
пределения èëè программных прилоæåíèé. Отметим áåç äîêазательства
следующее свойство ñõîдимости ïî распределению: åñëè
распределению êY, à
YnZnñõîäèòñÿ ïî распределению êY. Выберем
a = EX1,
P−A ≤
σ2= DX1 математическîå îжидание è дисперсия
t2= −t1= A
nX − na
σ√n
Znñõîäèòñÿ почти наверное ê 1, òî èõ произведение
nX − na
Yn=
σ√n
è принять доверительный уровень равным
< A= Φ(A) − Φ(−A) = 2Φ(A) − 1 = γ, n → ∞
Φ(A) = (γ + 1)/2.
Ynñõîäèòñÿ ïî
√
=
n(X − a)
σ
, Zn=
σ
.
S
nX =
(14.2)
141
Вспомним, ÷òî
ñõîдимости почти наверное
S =X2− (X)2→ σ
YnZn=
Zn→ 1
√
n(X − a)
ï. í. Следовательно,
σ
·
почти наверное, è ïî свойству
√
σ
S
=
n(X − a)
S
ñõîäèòñÿ ïî распределению ê ñòандартной нормальной случайной âåëè-
÷èíå, òî åñòü
√
lim
n→∞
P−A ≤
n(X − a)
S
< A= Φ(A) −Φ(−A) = 2Φ(A) −1 = γ, n → ∞,
(14.3)
ãäå êîíñòàíòàAвыбираетсÿ ïî формуëå 14.2.
Чтобы äëÿ неизвестного параметраθнайти доверительный интервал
асимптотическîãî уровняγ, нужно äëÿ исследуемого îднопараметрическî-
ãî семейства распределений найти зависимость
EX1= a = a(θ)
è ïîäñòà-
âèòü полученное выражåíèå â 14.3, òî åñòü решить относительно параметра
θ
двойное неравенство
√
−A ≤
(äëÿ этого нужно, чтобы функция
n(X − a(θ))
S
a(θ)
áûëà непрерывной è строго ìîíî-
< A
(14.4)
тонной). Получившиесÿ границы дверительного интервала áóäåì обозна-
÷àòü через
θ−è
θ+.
14.5. Ðешение типовых примеров
Пример 14.1.
интервал
(a−; a+)
ПустьX ⊂= N
äëÿ ïàðаметрàa, считая
ëèòü ðåализацию доверительного интервала ñ уровнеì доверия
ðàñïîлагая данными:
Ðешение.
n = 10, X = 2, 7, σ2= 4.
Äëÿ построения доверительного интервала используåì
оценкуX, распределение êоторой известно. Äëÿ заданной доверительной
âåðîятностиγнайдем òàêîå
γ = P
√
n
X − a
σ
< A= P−
Òàêèì образом, нужно èñêàòü
няетсÿ равенство:
Pε1< X − a < ε
a,σ
A > 0,
2
, a ∈ R
÷òî
ε1= −
142
. Построить доверительный
σ2известным. Вычис-
σA
√
< X − a <
n
σA
√
n
, ε2=
σA
√
σA
√
.
n
òàêèå, ÷òî выпол-
n
= γ.
2
γ = 0, 95
(14.5)
,
Äëÿ этого вернемсÿ ê (14.5). Â ñèëó теоремы 14.1, случайная величина,
ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì ìîäóëÿ, имеет ñòандартное нормальное распределе-
íèå, поэтому âåðîятность â правой части ìîæíî выразить через функцию
распределения
Φ(t)
çàêîíà
N
, è òîãäà уравнение (14.5) приобретàåò
0,1
âèä:
2Φ(A) −1 = γ ⇐⇒ Φ(A) =
ãäå
Φ(t)
функция Лапласа, çíàчения êоторой представлены â òаблице
прилоæåíèÿ â êîíöå книги. Заметим, ÷òî çíàчение
ðяющее (14.6), представляет квантиль уровня
1 + γ
,
2
A = A
1+γ
распределения
2
1+γ
, óдовлетво-
2
(14.6)
N
0,1
Найдя åãî ïî òаблице è ïîäñòàâèâ â (14.5), получим равенство:
γ = P
√
n
X − a
σ
< A
1+γ
2
= P−A
⇐⇒ γ = PX − σ
1+γ
A
2
√
n
<√n
a −X
1+γ
2
< a < X + σ
1+γ
< A
σ
1+γ
A
2
√
,
n
⇐⇒
2
(14.7)
îòêóäà èñêîìûéγ-доверительный интервал:
1+γ
A
2
√
.
n
(a−; a+) =X − σ
A
√
1+γ
2
, X + σ
n
Ïîäñòавляя ñþäà êонкретные данные èç óсловия, вычисляем реализа-
öèþ доверительного интервала:
(a−; a+) ≈2, 7 − 2
1, 96
√
10
, 2, 7 + 2
1, 96
√
10
≈ (1, 46; 3, 94) ⇐⇒
.
⇐⇒ P(1, 46 < θ < 3, 94) = 0, 95.
Замечание 14.1.
Построенный доверительный интервал оказывает-
ñÿ симметричным относитеëüíî выборочного среднегоXè имеет длину
σ
√
2A
, пропорциональную значениюA, которое áûëî найдено èç óñловия
n
(14.5)
.
Пример 14.2.
ПустьX ⊂= N
a,σ
2
, ãäå
a ∈ R,σ2> 0
äâà íåèç-
вестных ïàðаметрà. Построить доверительный интервал äëÿ ïàðàìåò-
ðà
σ2. Вычисëèòü ðåализацию доверительного интервала ñ уровнеì äî-
верия
γ = 0, 9
, ðàñïîлагая данными:
n = 10, S2= 4.
143
Ðешение.
Используÿ лемму Фишера, проще всего построить òàê íà-
зываемый îдносторонний доверительный интервал. Äëÿ этого ïî заданной
доверительной âåðîятности
γ = P
nS
σ
Учитывая, ÷òî случайная величина
2
χ
, нетруäíî видеть, ÷òî èñêîìîå
n−1
2
χ
1−γ,n−1
этого распределения. Ïîäñòавляя åå â (14.8) è разрешая неравен-
ñòâî ïîä çíàêîì âåðîятности относительно
γ = 0, 9
2
> B⇐⇒ P
2
найдем òàêîå
nS
2
σ
nS
σ
B
åñòü íå ÷òî èíîå, êàê квантиль
B > 0,
2
≤ B= 1 − γ.
2
имеет распределение
2
÷òî
σ2, íàõîäèì доверительный
(14.8)
интервал:
γ = P
2
nS
σ
2
> χ
1−γ,n−1
2
⇐⇒ (σ
⇐⇒ γ = P
2
2
; σ
) =0,
−
+
nS
2
χ
1−γ,n−1
2
nS
2
χ
, n − 1
1−γ
2
.
> σ
2
⇐⇒
Ïîäñòавляя êонкретные данные, íàõîäèì реализацию доверительного
интервала:
χ
2
0.1,9
= 4, 17; (σ
2
2
; σ
−
+
) = (0; 8, 63).
Чтобы построить äâóсторонний доверительный интервал, вместо (14.8)
используåì следующее уравнение:
γ = Px1<
nS
σ
2
< x
2
2
⇐⇒ P
2
nS
x
< σ2<
2
θ
nS
x
2
= γ,
1
(14.9)
ãäå
0 < x1< x2, óдовлетворяющие (14.9), íàõîäèì ïî известному ðàñ-
пределению
2
χ
случайной величины
n−1
2
nS
.  общем случае ýòà çàäà÷à
2
σ
íå имеет единственного решения. Åñëè обратитьсÿ ê графику плотности
распределения
2
χ
, представленному íà ðèñ. 14.1, òî
n−1
x1< x2следу-
åò выбирать òàêèì образом, чтобы сумма âåðîятностей, представленных
площадями заштрихованных областей ïîä графикîì плотности, равнялась
1 −γ
. ßñíî, ÷òî ýòî ìîæíî ñделать многими способами.
Чтобы ñделать решение îднозна÷íûì, выберем
êаждая èç заштрихованных площадей равнялась
видеть, ÷òî
x1, x2выражàþòñÿ через квантили распределения
x1= χ
2
1−γ
2
,n−1
, x2= χ
2
1+γ
2
x1< x2òàê, чтобы
1−γ
, òîãäà нетруäíî
2
.
,n−1
χ
2
n−1
:
144
y
6
γ
1
x
0
1
γ1+ γ2= 1 − γ
jj
γ
2
x
2
-
x
Ðèñ. 14.1: Плотность распределения
χ
2
n−1
Ïîäñòавляя ýòî â (14.9), íàõîäèì èñêîìûé äâóсторонний доверительный
интервал:
P
θ
2
nS
2
χ
1+γ
2
,n−1
< σ2<
2
χ
1−γ
Íàõîäÿ ïî òаблице распределения хи-квадрат
òèëè распределения
χ
2
n−1
2
nS
2
,n−1
= γ ⇐⇒ (σ
äëÿ êонкретных çíàчений
2
2
; σ
) =
−
+
2
χ
1−γ
,n−1
2
, χ
nS
2
1+γ
2
,
,n−1
,n−1
2
χ
1+γ
2
2
γ = 0, 9, n = 10
2
nS
2
χ
1−γ
,n−1
2
êâàí-
, è
данных â óсловии численных çíàчений, íàõîäèì реализацию доверитель-
íîãî интервала:
Пример 14.3.
2
χ
1+0,9
2
(σ
= 16, 9; χ
,9
2
2
, σ
−
+
ПустьX ⊂= Eα, α > 0
2
≈ 3, 325;
1−0,9
,9
2
) = (2, 37; 12, 03).
. Построить асимптотиче-
ñêèé доверительный интервал äëÿ ïàðаметрàα.
Ðешение.
α
математическîå îжидание равняетсÿ
14.4
Òàê êàê äëÿ ïîêазательного распределения ñ параметром
−A ≤
√
n(X − 1/α)
S
EX1= 1/α
< A.
, òî ñîãласно формуëå
Последовательно выразим
.
AS
√
−
≤ X −
n
1
AS
√
<
α
;
n
145
X −
X −
1
AS
√
AS
√
n
n
1
<
α
> α ≥
≤ X +
X +
AS
√
1
AS
√
Èòàê, ìû получили доверительный интервал
;
n
.
n
(α−; α+)
, ãäå
α−=
X +
1
AS
√
, α+=
n
X −
1
,
AS
√
n
à êîíñòàíòàAвыбираетсÿ â соответствии ñ равенством (14.2).
14.6. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
14.1
ÏóñòüX ⊂= N(θ1, θ2), θ1∈ R,θ2> 0
верительный интервал äëÿ параметра
рительного интервала ñ уровнем
X = 2, 7; S2= 4.
14.2
ÏóñòüX ⊂= N(a, θ), θ > 0,a
íûå интервалы (îдносторонний è центральный äâóõсторонний) íà основе
ñòатистики
тервалов ñ уровнем
Сравнить ñ ðåçóëüòàòîì примера 14.1.
n
1
2
S
=
1
n
(Xi−a)2. Вычислить реализации построенных èí-
i=1
γ = 0, 9
, располагàÿ данными: n=10,
γ = 0, 95
- известно. Построить точные доверитель-
ñ ðåçóëüòàòàìè примера 14.2.
14.3
ÏóñòüX ⊂= K(θ),θ ∈ R
. Построить оптимальный точный довери-
тельный интервал äëÿ параметраθïî îдному наблюдению (n=1).
14.4X ⊂= B(p), 0 < p < 1
. Построить приближенные доверительные èí-
тервалы äëÿ параметраpíà основе оценки
à) ïðè помощи неравенства Чебышева;
á) используÿ асимптотическую нормальность оценки.
14.5X ⊂= (λ), λ > 0
. Построить асимптотический доверительный интер-
âàë äëÿ параметраλñ помощью оценки
14.6
ÏóñòüX ⊂= U(0, θ),
èòü асимптотические доверительные интервалы (соответственно
−
+
(θ
, θ
)
) уровня
2
2
соответствующего
1 −ε
(θ
ãäå
θ > 0
. Ñ помощью ñòатистик
è ïîêазать, ÷òî случайный интервал
−
+
, θ
)
.
1
1
. Построить центральный äî-
θ1. Вычислить реализацию äîâå-
, располагàÿ данными: n=10,
2
S
= 4.
Сравнить
1
θ∗= X
λ∗= X
:
.
X X2постро-
(θ
−
+
(θ
, θ
)
1
+
)
2
1
êороче
−
, θ
2
è
146
Ãëàâà 15
Проверкà ñòатистических
гипотез
15.1. Ñòатистические гипотезы
ÏóñòüX = (X1, X2, ..., Xn)
èëè частично неизвестное распределение îòдельного наблюдения
Определение 15.1.
êîå утверждение î âèäå èëè свойствах неизвестного распределенияF.
Пример 15.1.
Примерàìè гипотез являются
H : F = F0, ãäå
H : F ∈F0, ãäåF0 множество ðаспределений (например,F0=
2
N
èëèF0= Bp).
a,σ
 ýòèõ примерàõ íàáлюдения имеют ðаспределения èç некоторого
îäíî- èëè двухпараметрического ñåмейства. Íî могут áûòü непарàìåò-
рические множества, например,
íèé ñ ïîложительными ìàòåматическими ожиданиями.
Пример 15.2.
пример,
ýòîì ñлучае примеры гипотез:
F ∈ U
[a; b]
H : a = 0, b = 1
H : a = 0
(ðаспределение ðàâíîмерное íà
Статистической гипотезой
ПустьF ïîлностью неизвестное ðаспределение.
F0 ïîлностью определенное ðаспределение;
ПустьF частично известное ðаспределение. Íà-
(íàáлюдения имеют ðàâíîмерное ðаспределение). Â
(ðаспределение ðàâíîмерное íà
выборкà,X ⊂= F
F0∈ {F : EXi> 0}
[0; b]
);
, ãäåF- полностью
Xi.
áóäåì называть âñÿ-
класс ðаспредеëå-
[0; 1]
);
147
H : a < b −1
(ðаспределение ðàâíîмерное íà отрезке длины áîëåå 1).
Гипотеза называетсÿ
делениеF, â противном случае гипотеза называетсÿ
простой
, åñëè îíà îднозна÷íî определяет распре-
ñложной
. Â приве-
денных âûøå примерах простыми являютсÿ гипотезы:
H : F = F0è
÷òî распределение равномерное íà
H : a = 0, b = 1
(последняя â случае, êîãäà известно,
[a; b]
).
Îñòальные гипотезы являютсÿ ñëîжными.
Ìû áóäåì рассматривать ñèòóàöèþ, êîãäà гипотез всего äâå. Îäíó èç
íèõ называют
ственно
H0è
основной
H1.
, à другую
альтернативной
, обозна÷àÿ соответ-
15.2. Ñòатистические критерии
Определение 15.2.
правило, позволяющее íà основании наблюдаемого выборочного вектора
X
принять îäíó èç гипотез: основную èëè àëüтернативную.
Ïðè применении ñòатистическîãî критерия могут возникнуть ошибки
äâóõ ðîäîâ. Ошибкà íóлевого ðîäà состоит â òîì, ÷òî отвергàåòñÿ верная
íóлевая гипотеза. Ошибкà первого ðîäà отвергàåòñÿ верная первая ãèïî-
òåçà. Вообще ошибкài-ãî ðîäà состоит â òîì, ÷òî ñòатистический критерий
отвергàåò вернуюi-þ гипотезу.
принимаемая верна верна
гипотеза гипотеза
H
0
H
1
Статистическим критериеì
H0гипотеза
H
1
íåò ошибкà
ошибки 1-ãî ðîäà
ошибкà íåò
0-ãî ðîäà ошибки
называют âñÿêîå
Критерий õарактеризуåòñÿ âåðîятностÿìè ошибок:
α0= P
(H0отвергàåòñÿ
H
0
), α1= P
(H1отвергàåòñÿ
H
1
).
Здесь нижний индекñ ó символа âåðîятности óêазывает, ïðè выполне-
íèè êàêîé гипотезы ïîдсчитываетсÿ âåðîятность. Èç всевозмоæíûõ êðè-
териев íàäî выбирать òàêèå, ó êоторых âåðîятности ошибок ïî возмоæíî-
ñòè ìàëû. Ê ñîæалению, â невырожденной ñòатистическîé çàäà÷å íå ñóùå-
ñòâóåò критерия, äëÿ êоторого îáå âåðîятности ошибок равны íóëþ. Êàê
148
правило, ÷åì меньше âåðîятность ошибки íóлевого ðîäà, òåì больше âå-
ðîятность ошибки первого ðîäà.
Ðассмотрим введенные понятия íà следующем примере.
Пример 15.3.
Студенты группы À считают, ÷òî îíè èãðàþò â
шахматы вдвое лучше, ÷åì студенты группы Â.  ñâîþ очередь, ñòó-
денты группы Â считают, ÷òî îíè èãðàþò â шахматы втрое лучше,
÷åì студенты группы À. Äëÿ решения ñïîðà назначается шахматный
ìàò÷ между группами À è Â. Ñ каждой стороны участвуют 3 ñòó-
дента, выбирàåìûå ïî жребию. Ðешено считать ñïðаведливым мнение
группы, выигрывшей ìàò÷, òî åñòü íàáðавшей íå менее 2 очков â 3 ïàð-
òèÿõ. Предполагается, ÷òî ничьих íåò. Найти, â ÷åì состоят ошибки
нулевого è первого ðîäà. Вычисëèòü вероятности ýòèõ ошибок.
Ðешение.
Предполагàåì, ÷òî íóлевая гипотеза (соответствующая ìíå-
íèþ ñòóдентов группы À) состоит â òîì, ÷òî âåðîятность выигрыша êàæ-
äîãî ñòóäåíòà группы À ó ñòóäåíòà группы Â вдвое больше âåðîятности
проигрыша, òî åñòü âåðîятность выигрыша равна 2/3. Ñîãласно первой
гипотезе (мнению ñòóдентов группы Â), âåðîятность выигрыша êаждого
ñòóäåíòà группы À втрое меньше âåðîятности проигрыша, òî åñòü равня-
åòñÿ 1/4.
Èòàê, провоäÿòñÿ òðè испытàíèÿ ñõåìû Бернуëëè ñ âåðîятностью óñïå-
õàp, гипотеза
Критерий (èñõîä матча) предписывает принять гипотезу
H0: p = 2/3
; гипотеза
H1: p = 1/4
.
H0, åñëè ÷èñ-
ëî óñïåõîâ â ñõåìå Бернуëëè равняетсÿ äâóì èëè òðåì, à â противном
случае принять гипотезу
H1.
Ошибкà íóлевого ðîäà состоит â òîì, ÷òî критерий предписывает ñ÷è-
òàòü âåðîятность выигрыша ñòóäåíòà первой группы равной 1/4 â òî время,
êàê îíà равняетсÿ 2/3. Ошибкà первого ðîäà описывает противополоæíóþ
ñèòóàöèþ: âåðîятность выигрыша ñòóäåíòà первой группы равняетсÿ 1/4,
à критерий предписывает ñ÷èòàòü åå равной 2/3.
Вычислим âåðîятности ошибок.
Âåðîятность ошибки íóлевого ðîäà
α0 ýòî âåðîятность отвергнуть
верную íóлевую гипотезу, òî åñòü получить íîëü èëè îäèí óñïåõ â ñõåìå
Бернуëëè, êоторая предполагàåò 3 испытàíèÿ ñ
p = 2/3
â êаждом. Вычис-
ëèì ýòó âåðîятность íà основании формуëû Бернуëëè:
0
= C
(2/3)0(1/3)3+ C
3
α0= P
(H0отвергàåòñÿ
H
0
1
(2/3)1(1/3)2= 1/27 + 2/9 ≈ 0, 25.
3
) =
149
Âåðîятность ошибки первого ðîäà
α1 ýòî âåðîятность получить äâà
èëè òðè óñïåõà â ñõåìå Бернуëëè, êоторая предполагàåò 3 испытàíèÿ ñ
p = 1/4
â êаждом.
α1= P
(H1отвергàåòñÿ
H
1
) =
2
= C
(1/4)2(3/4)1+ C
3
3
(1/4)3(3/4)0= 9/64 + 1/64 ≈ 0, 15.
3
15.3. Критерии ñîãласия
Óдобно представлять ñòатистический критерий êàê функцию
выборочного вектора, принимающую äâà çíàчения:
H0è
общий ïîäõîä äëÿ построения ñòатистических критериев состоит â следу-
þùåì.
Ïóñòü
T = T (X)
- íåêоторая ñòатистикà, õарактеризующая отклоне-
íèå эмпирических данных, представленных выборкîé, îò теоретических,
соответствующих проверяемой гипотезе
стики
α > 0
T (X)
известно (точно èëè õîòÿ áû приближåííî), òî äëÿ любого
ìîæíî найти òàêîå ìíîæество
H0. Åñëè распределение ñòàòè-
TαçíàченийT, äëÿ êоторого áóäåò
выполнено неравенство:
P(T ∈ Tα/H0) ≤ α.
Ïóñòü
α > 0
настолькî ìàëî, ÷òî событие, имеющее âåðîятность, íå
превосõîдящуюα, ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ практически невозмоæíûì. Òîãäà
ñòатистический критерий ìîæíî задать следующим образом:
H1,
åñëè
δ(X) =
H0,
åñëè
T (X) ∈ Tα,
T (X) /∈ Tα.
δ(X)
îò
H1. Наиболее
(15.1)
(15.2)
Ýòî правило основано íà здравом смысле: îíî предписывает отверг-
íóòü гипотезу
{
T (X) ∈ Tα}, êоторое íå должно произойти, áóäü гипотеза
ведлива. Число
уровнеì критерия
åòñÿ
статистикой критерия
ñòâîì
.
H0(òî åñòü принять
α > 0
, êоторое фигурируåò â (15.1) - (15.2), называетсÿ
, èëè
уровнеì значимости
, à ìíîæество
H1), åñëè происõîäèò событие
, ñòатистикà
Tα-
критическим множе-
T (X)
H0ñïðà-
называ-
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]