Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
ßñíî, ÷òî вычисëÿòü вероятность ñ такой ошибкой íå имеет ñìûñëà,
поэтоìó ïðèáлижение Пуассона â данноì ñлучае неприменимо.
Возвращаясь ê примеру 10.3, вычислим оценку возмоæíîé ошибки ïðè
использовании нормального приближåíèÿ (теоремы Ìóàâðà Лапласа):
∆ ≤ 0, 4
p2+ q
√
npq
2
= 0, 4
0, 52+ 0, 5
1000 ·0, 5
2
2
=
0, 4
10√10
≈ 0, 013.
Êàê видим, возмоæíàÿ ошибкà приемлема äëÿ использования данного ïðè-
áëèæåíèÿ. Однакî, åñëè óæ áûòü совсем скрупулезными, следуåò заметить,
÷òî полученный ïðè решении примера ответ
K = 536
обеспечивает огово-
ренное â примере óсловие (чтобы âñå зрители ìîãëè раздетьсÿ â ãàðдеробе
òîãî âõîäà, через êоторый îíè вошли) íå ñ âåðîятностью 0,99, à ëèøü ñ
âåðîятностью
0, 99 − ∆ = 0, 977
.
Пример 10.4.
Урожайность куста картоôåëÿ ðàâíà 0 êã ñ вероят-
ностью 0,1; 1 êã ñ вероятностью 0,2; 1,5 êã ñ вероятностью 0,2; 2 êã ñ
вероятностью 0,3; 2,5 êã ñ вероятностью 0,2. Íà участке ïîñажено 900
кустов.
à) Â каких предеëàõ ñ вероятностью 0,95 будет находиться урожай?
á) Какое наименьшее êîличество кустов íàäî ïîñадить, чтобы ñ вероят-
ностью, íå меньшей 0,975 , урожай áûë íå менее тонны?
Ðешение.
Обозна÷èì
Xk óðîæайностьk-ãî êóñòà. Òîãäà
Sn=
X1+ X2+ ... + Xn óðîæàé, полученный ñnêóñòîâ. Используÿ данное â
óсловии çàäà÷è распределение ñ.â.
Xk, найдем åå моменты:
EXk= 0 · 0, 1 + 1 · 0, 2 + 1, 5 · 0, 2 + 2 · 0, 3 + 2, 5 · 0, 2 = 1, 6;
DXk= EX
à) Нужно найти
2
−(EXk)2= 1 ·0, 2 + 1, 52·0, 2 + 22·0, 3 + 2, 52·0, 2 −1, 62= 0, 54.
k
x1< x2, òàêèå,÷òî
P(x1≤ Sn≤ x2) = 0, 95
ïðè
n = 900.
Òàêàÿ çàäà÷à, îäíàêî, íå решаетсÿ îднозна÷íî (äâà неизвестных ïðè îä-
íîì уравнении). Поэтому, â êàчестве границ, между êоторыми îêàæåòñÿ
çíàчение
носительно математическîãî îжидания
òàêîå
Sn, обычно выбирают границы промежуткà, симметричного îò-
ESn.
Òàêèì образом, нужно найти
l > 0,
äëÿ êоторого
P(ESn− l ≤ Sn≤ ESn+ l) = 0, 95.
Преобразуåì левую часть этого уравнения ê âèäó, óдобному äëÿ примене-
íèÿ центральной предельной теоремы.
P(ESn− l ≤ Sn≤ ESn+ l) = P (−l ≤ Sn− na ≤ l) =
91
l
= P−
ãäå
òàêîå
σ√n
a = Eξk= 1, 6; σ =Dξk=√0, 54.
x =
σ√n
Sn− na
≤
σ√n
l
, äëÿ êоторого (ñì. (10.13))
≤
l
σ√n
≈ Φ
l
σ√n
− Φ−
l
σ√n
,
(10.13)
 ñèëó (10.13), áóäåì èñêàòü
Φ(x) −Φ(−x) = 2Φ(x) − 1 = 0, 95 ⇐⇒ Φ(x) = 0, 975,
à затем найдемl. Äëÿ этого воспользуåìñÿ òаблицей çíàчений функции
распределения ñòандартного нормального çàêîíà
êîíöå книги), îòêóäà найдем
x = 1, 96
, ïðè êотором
Φ(x)
(ñì. прилоæåíèå â
Φ(x) = 0, 975
. Òîãäà
l = xσ√n = 1, 96 ·0, 54 · 900 ≈ 43, 2.
Учитывая çíàчение
ESn= na = 900 ·1, 6 = 1440,
èç (10.13) îêончательно
получаем:
P(1440 −43 ≤ Sn≤ 1440 + 43) = P(1397 ≤ Sn≤ 1483) ≈ 0, 95.
á) Â данном случае неизвестноn, è åãî нужно найти èç óсловия:
P(Sn≥ 1000) ≥ 0, 975.
Эквивалентными преобразованиями приведем левую часть этого неравен-
ñòâà ê âèäó, óдобному äëÿ применения центральной предельной теоремы:
P(Sn≥ 1000) = P
= 1 − P
Sn− na
σ√n
<
Áóäåì èñêàòüx, ïðè êотором
0, 975.
Обратившись ê òаблице çíàчений
1000 −na
Sn− na
σ√n
1 − Φ(x) ≥ 0, 975
Φ(−x) ≥ 0, 975 ⇐⇒ −x ≥ 1, 96 ⇐⇒ −
1000 −na
σ√n
≥
≈ 1 − Φ(x), x =
Φ(x)
, íàõîäèì, ÷òî
1000 −na
σ√n
=
1000 −na
σ√n
èëè (ñì. (??))
σ√n
≥ 1, 96 ⇐⇒
.
Φ(−x) ≥
⇐⇒ na −1000 ≥ 1, 96σ√n ⇐⇒ na −1, 96σ√n −1000 ≥ 0.
Учитывая, ÷òî
тельно√n > 0
a > 0
, решаем последнее квадратное неравенство относи-
:
√
1, 96 σ +1, 962σ2+ 4000a
n ≥
2a
⇐⇒ n ≥
1, 96 σ +1, 962σ2+ 4000a
2a
2
.
Ïîäñòавляя â последнее неравенство çíàчения
íàõîäèì îêончательно
n ≥ 648. ▽
92
a = 1, 6
è
σ =√0, 54
,
10.5. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
10.1
Игрок â êаждой èãðå (независимо îò ðåçóëüòàòîâ других èãð)
выигрывает 80 рублей ñ âåðîятностью 0,1, проигрывает 20 рублей ñ
âåðîятностью 0,9. Найти, ê êàêîé величине ñõîäèòñÿ средний выигрыш çà
n
èãð ïðè
10.2
íûå величины, имеющие равномерное распределение íà отрезкå îò 0 äî 1.
Найти пределы ï. í. следующих выражåíèé ïðè
10.3
тивникîâ îäèí èç íèõ выиграет более 70 ðàç? Ничьих íåò.
10.4
10−4. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî â òåêñòå èç 40 000 áóêâ îêàæåòñÿ более
2 опечаток?
10.5
íà 21-ì ãîäó жизни равна 0,006. Застрахована группа â 10000 человек 20-
летнего возрастà, причем êаждый застрахованный âíåñ 120 рублей страхî-
âûõ взносов çà ãîä. Â случае смерти застрахованного страхîâîå учрежде-
íèå выплачивает наследникàì 10000 рублей. Êàêîâû âåðîятности, ÷òî:
à) ê êîíöó ãîäà страхîâîå учреждение îêàæåòñÿ â убыткå;
á) åãî äîõîä превысит 600000 рублей; 400000 рублей?
Êàêîé минимальный страхîâîé взнос следуåò учредить, чтобы â òåõ
æå óсловиях ñ âåðîятностью 0.95 äîõîä áûë íå менее 4000000 рублей?
10.6
ñòüþ 0,4; 3 ñ âåðîятностью 0,3 è 2 ñ âåðîятностью 0,1. Çà время обучения îí
ñäàåò 40 экзаменов. Найти пределы, â êоторых ñ âåðîятностью 0,95 лежит
средний áàëë ñòóäåíòà.
10.7
0.515. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî среди 10 òûñ. новорожденных îêàæåò-
ñÿ ìàëü÷èêîâ íå больше, ÷åì девочек?
10.8
(áðàê) равна 0.02. Сверла укладываютсÿ â êоробки ïî 100 øò. ×åìó равна
âåðîятность òîãî, ÷òî â êоробкå íå îêàæåòñÿ áðàêованных сверл? Êàêîå
наименьшее êоличество сверл нужно класть â êоробку äëÿ òîãî, чтобы ñ
n → ∞
Ïóñòü
a)
á)
.
X1, X2, . . .
2
X
+ . . . + X
1
n
2
X
+ . . . + X
1
n
случайные числа, òî åñòü независимые случай-
n → ∞
â)
ã)
1
n
1 + X
arctg
1
+ . . . +
1
2
(X1+ . . . + Xn).
n
2
n
;
2
n
;
:
1
1 + X
;
n
Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî â 100 партиях îдинакîâûõ ïî ñèëå ïðî-
Каждая буква òåêñòà ìîæåò îêазатьсÿ опечаткîé ñ âåðîятностью
Äëÿ ëèöà, äîжившего äî 20-летнего возрастà, âåðîятность смерти
Ñòóäåíò получает íà экзамене 5 ñ âåðîятностью 0,2; 4 ñ âåðîÿòíî-
Известно, ÷òî âåðîятность ðîждения ìàëü÷èêà приблизительно равна
Известно, ÷òî âåðîятность âûïóñêà сверла повышенной хрупкîñòè
93
âåðîятностью, íå меньшей 0.9, â íåé áûëî íå менее 100 исправных?
10.9
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ çà времяTîдного êонденсатора равна
0.05
. Определить âåðîятность òîãî, ÷òî çà времяTèç 100 êонденсаторов
выйдут èç ñòðîÿ à) íå менее 5 êонденсаторов; á) менее 13 êонденсаторов.
10.10
7, 2 · 10−8. Ïðè ïîдсчете îêазались заполненными 5 ìëí. êарточек. Êà-
êîâà âåðîятность, ÷òî никто íå óãàäàë âñå 6 номеров? Êàêîå наименьшее
êоличество êарточек нужно заполнить, чтобы ñ âåðîятностью íå менее 0,9
õîòÿ áû îäèí óãàäàë 6 номеров?
10.11
âåðîятностью, большей 0.95, áóäåò ëåæàòü сумма выпавших î÷êîâ.
10.12
висимо îò других äåòàëåé ìîæåò îêазатьсÿ неисправной ñ âåðîятностью
pi, причем äëÿ
p2= 0.0002
åñëè â íåé неисправны õîòÿ áû äâå äåòàëè. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî
машина íå áóäåò работàòü.
10.13
êîâ íå превысит 700. Оценить âåðîятность òîãî, ÷òî äëÿ этого потребуåòñÿ
более 210 бросаний.
10.14
чение ãîäà â данной местности ñîñòавляет 60 ñì. Â предполоæåíèè, ÷òî
êоличество осадкîâ распределено ïî нормальному çàêîíó, оценить âåðîÿò-
ность òîãî, ÷òî êоличество осадкîâ â предстоÿùåì ãîäó áóäåò íå больше
120 ñì, åñëè известно ñòандартное отклонение 20ñì.
âèÿõ, описанных âûøå.
Âåðîятность óãадывания 6 номеров â спортëîòî (6 èç 49) равна
1000 ðàç бросаетсÿ игральная êîñòü. Найти пределы, â êоторых ñ
Íåêоторая машина состоит èç 10 òûñ. äåòàëåé. Каждая äåòàëü íåçà-
n1= 1000
, è äëÿ
Игральная êîñòü ïîдбрасываетсÿ äî òåõ ïîð, ïîêà общая сумма î÷-
Математическîå îжидание êоличества выпадающих осадкîâ â òå-
Оценить âåðîятность òîãî, ÷òî выпадет íå менее 180 ñì осадкîâ â óñëî-
n3= 7000
äåòàëåé
äåòàëåé
p1= 0.0003
p3= 0.0001
, äëÿ
n2= 2000
. Машина íå работàåò,
äåòàëåé
94
Ãëàâà 11
Выборкà. Оценивание
параметров
11.1. Выборкà è вариационный ðÿä
 математическîé ñòатистикå рассматриваетсÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ðàñ-
пределение наблюдаемой â случайном ýêсперименте величины
вестно (õîòÿ áû частично), çàòî исследователь располагàåò ðåçóëüòàòàìè
ýêспериментà (ñòатистическими данными), ïî êоторым îí äîëæåí ñделать
âûâîäû î неизвестном распределении случайной величиныX. Ê этому
стоит добавить, ÷òî çàäà÷åé математическîé ñòатистики являетсÿ исполь-
зовать ðåçóëüòàòû ýêспериментà ïî возможности оптимальным образом.
Основным объектом исследования â математическîé ñòатистикå ÿâëÿ-
åòñÿ
выборкàX = (X1, X2, ..., Xn),
личиныX, полученных â ðåçóëüòàòånнезависимых воспроизведений ýêñ-
периментà. Èíà÷å говорÿ, выборкà представляет собой случайный вектор,
êîîðдинаты êоторого
ìûå случайные величины, имеющие общее распределение ñ функцией ðàñ-
пределения
выборкàX
n
называетсÿ
случайных величин
áóäåì называть
Åñëè элементы выборки
получитсÿ новый набор случайных величин, называемый
ðÿäîì
F (t)
. Áóäåì говорить â ýòîì случае, ÷òî имеетсÿ
èç распределенияF, è обозна÷àòü сокращенно:X ⊂= F
объемом выборки
реализацией
:
элементы выборки
X1, X2, ..., Xn, полученный â ðåçóëüòàòå ýêспериментà,
X1, . .. , Xnóïîðядочить ïî возрастàíèþ, òî
X
≤ X
(1)
(2)
òî åñòü набор çíàчений случайной âå-
X1, X2, ..., Xn независи-
. Конкретный набор числовых çíàчений
выборки è обозна÷àòü
≤ . . . ≤ X
(n−1)
≤ X
x = (x1, x2, ..., xn)
вариационным
.
(n)
X
íåèç-
случайная
. Число
.
95
Случайная величина
риационного ðÿäà
X
= min{X1, . .. , Xn},X
(1)
X
,
k = 1, . . . , n
(k)
называетсÿk-ì членом âà-
, èëèk-é ïîðÿäêîâîé ñòатистикîé
= max{X1, . .. , Xn}
(n)
.
11.2. Эмпирическàÿ функция
распределения, гистограмма
. Â частности,
Эмпирическîé функцией распределения
∗
F
(t)
называетсÿ ÷à-
n
ñòîòà элементов выброрки, меньших заданногоt. Эмпирическàÿ функция
распределения, соответствующая выборкåX = (X1, X2, ..., Xn)
, ìîæåò
áûòü построена ïî ýòîé выборкå ñ помощью любой èç следующих формуë:
n
(t) =
{
∗
F
n
ãäå функция
индикàòîð события
êоличество
I(Xi< t) =
{Xi< t}
Xi: Xi< t}
n
1,
0
.
åñëè
èíà÷å
1
=
n
Xi< t,
I(Xi< t),
i=1
(11.1)
Заметим, ÷òî эмпирическàÿ функция распределения, соответствующая
случайной выборкåX
через элементы выборки
чинами. Â òî æå время любая реализация
X
ïîðîждает ñоответствующую реализацию эмпирическîé функции ðàñ-
, ñàìà являетсÿ случайной, ïîñêольку определяетсÿ
X1, X2, . .. , Xn, являющиесÿ случайными âåëè-
x = (x1, x2, . . . , xn)
выборки
пределения (ïî òîé æå формуëå (11.1)), êоторая являетсÿ обычной (à íå
случайной) функцией распределения.
Ñ помощью вариационного ðÿäà (èëè åãî реализации) эмпирическàÿ
функция распределения ìîæåò áûòü построена графически.
Эмпирическàÿ функция распределения
аналогом неизвестной теоретическîé функции распределения
зывают òàêæå
÷åñêîé плотности распределения
оценкîé
äëÿ
F (t)
. Выборочным аналогом äëÿ теорети-
f(t)
являетсÿ
пирическàÿ плотность распределения
X = (X1, X2, ..., Xn)
Ïóñòü
h > 0
следующим образом.
произвольное число. Ðазобьем область çíàчений изуча-
∗
F
(t)
являетсÿ выборочным
n
гистограмма
F (t)
, èëè
, åå íà-
ýì-
, êоторая строитсÿ ïî выборкå
åìîé случайной величины (например, âñþ числовую îñü) íà промежутки
∆k= [z
k−1
, zk)
длиныhè построим ступенчатую функцию
∗
f
(t)
n
, êоторая
96
∗
F
(t)
n
6
u
1
n
X
u
(n)
-
t
∗
F
(t)
.
n
1
n
u
X
(1)
Ðèñ. 11.1: Эмпирическàÿ функция распределения
íà êаждом промежуткå
1
1
1
n
u
X
(2)
∆kпринимает постоянное çíàчение, вычисляемое
n
u
X
0
(i)
ïî любой èç формуë:
n
f
∗
(t) =
n
{
êоличество
Xi: Xi∈ ∆k}
nh
1
=
nh
I(Xi∈ ∆k) =
i=1
ν
k
, t ∈ ∆k,
nh
(11.2)
ãäå
νk- число элементов выборки, попавших â промежуток
∆k. Òàê ïî-
строенная функция называетсÿ гистограммой ñ шагомhè имеет график,
изображенный íà ðèñ. 11.2. Заметим, ÷òî площадь êаждого ïðямоугольни-
∗
f
(t)
n
6
ν
k
nh
ν
2
nh
ν
1
nh
0
ν
z
0
êà гистограммы равна
интервал
∆k.
ν
k
z
k−1
n
z
k
∗
f
(t)
.
n
ν
2
n
1
n
z
z
1
2
Ðèñ. 11.2: Гистограмма
ν
k
, òî åñòü частоте попадания â соответствующий
n
97
-
t
Èíîãäà øàã гистограммыhвыбирают следующим образом. Ñíà÷àëà
расчитывают число интерваловKïî
ôîðìóëå Стеджесà
K = [log2n] + 1.
Здесьn объем выборки,
[·]
целая часть числа. Потом длина èí-
(11.3)
тервала расчитываетсÿ ïî формуëå
X
− X
h =
(n)
K
(1)
.
Ïðè построении гистограммы последний промежуток выбираетсÿ замкну-
òûì:
∆K= [z
K−1
; zK]
. Величину
X
(n)
− X
= max{Xi} −min{Xi}
(1)
íàçû-
âàþò размахîì выборки.
 íåêоторых случаях более точной оценкîé äëÿ плотности, òî åñòü
оценкîé, более точно аппроксимирующей неизвестную плотность распреде-
ления, являетсÿ
полигон частот
. Ýòî êóсочно-линейная ломаная, êоторая
строитсÿ èç гистограммы путем последовательного соединения отрезкàìè
ïðÿìûõ середин âåðõíèõ оснований ïðямоугольникîâ, ñîñòавляющих ãè-
стограмму (ñì. ðèñ. 11.3).
∗
f
(t)
n
6
ν
k
nh
ν
2
nh
ν
nh
1
ν
2
n
ν
1
n
ν
k
n
-
z
z
0
0
1
z
z
2
k−1
z
k
t
Ðèñ. 11.3: Гистограмма è полигон частот.
11.3. Выборочные моменты
Ïî выборкåX = (X1, X2, ..., Xn)
борочные) аналоги числовых õарактеристик распределения. Наиболее óïî-
ìîæíî построить эмпирические (âû-
98
требительными являютсÿ выборочное математическîå îжидание, èëè
борочное среднее,X
X =
, è
выборочная дисперсия
1
n
i=1
n
Xi, S2=
n
1
n
i=1
S2:
(Xi− X)2.
âû-
(11.4)
Ïîдобно выборочным среднему è дисперсии определяютсÿ выборочные ìî-
менты ïîðÿäêà
êоторые являютсÿ эмпирическими аналогàìè моментов
k
Xk=
n
1
n
i=1
X
k
,
i
αk= EX
k
.
i
Пример 11.1.
тические ìîменты, доказать, ÷òî
Предполагая известными соответствующие теоре-
EXk= αk.
Приведенное соотношение îçíà÷àåò, ÷òî математические îжидания ýì-
пирических моментов совпадают ñ соответствующими теоретическими ìî-
ìåíòàìè. Ýòî свойство называетсÿ
пирические моменты являютсÿ
несмещенностью
: говорÿò, ÷òî ýì-
несмещенными оценкàìè
äëÿ соответ-
ствующих теоретических.
Ðешение.
EXk= E
Èç свойств математическîãî îжидания получаем:
n
1
n
i=1
X
k
i
n
1
=
n
i=1
EX
k
i
n
1
=
n
i=1
αk=
1
· nαk= αk.
n
 òî æå время центральные эмпирические моменты являютсÿ смещен-
íûìè оценкàìè äëÿ своих теоретических аналогов.
Отметим, ÷òî выборочная дисперсия вычисляетсÿ аналогично диспер-
ñèè.
Следствие 11.1.
S2= X2− (X)2.
Äîêазательство.
Ðаскроем ñêîáêè â определении
S2=
n
1
n
i=1
X
2
−2
i
X
n
Xi+
n
i=1
S2:
n
1
(X)2= X2−2(X )2+ (X )2= X2−(X )2.
n
i=1
Вычислим математическîå îжидание ñòатистики
ES2= EX2− EX2= EX2− (EX)2− DX =
99
S2:
n −1
n
DX1.
Èòàê, ýòà оценкà являетсÿ асимптотически несмещенной.
Äëÿ òîãî, чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, делят
n−1
íà
.
n
Íåñмещенная выборочная дисперсия
n
2
S
=
0
n −1
ýòî ñòатистикà
S2.
Äëÿ íåå выполнено свойство
2
ES
= DX1.
0
2
S
Отметим, ÷òî êорень èç несмещенной выборочной дисперсии
ляетсÿ несмещенной оценкîé äëÿ ñòандартного отклонения
E√Y =√EY
.
S0íå ÿâ-
σX, òàê êàê
11.4. Ñòатистики è оценки
Çàäà÷à оценивания параметров возникàåò â ñèòóàöèè, êîãäà распреде-
лениеFíå являетсÿ полностью неизвестным, à известен åãî математиче-
ñêèé âèä
êî, òîãäàθ- многомерный параметр). Çàäà÷à состоит â òîì, чтобы ïî âû-
áîðêåX
метра, причем ñделать ýòî â òîì èëè èíîì смысле оптимальным образом.
Ýòî çàäà÷à
ïî выборкå
íîå çíàчение параметраθñ заданной (высокîé) âåðîятностью. Ýòîò ïîäõîä
называетсÿ
доверительным интервалом
ìíîæестваΘ, êоторое называетсÿ
äåì называть
ðàÿ являетсÿ функцией
раметраθназываетсÿ ñòатистикà˜θ =˜θ(X)
èç параметрическîãî ìíîæестваΘ.
любого
ýòî íåîáõîäèìî ïîдчеркнуть:˜θ =˜θn.
F = F (t, θ)
вычислить приближенное çíàчение
точечного оценивания
X
интервальным оцениванием
, ñîäåðæàùèé неизвестный параметрθ(èëè íåñêîëü-
θ∗(X)
äëÿ неизвестного ïàðà-
. Другой ïîäõîä состоит â построении
интервала
(θ−(X); θ+(X))
, êоторый накрывает неизвест-
, à
(θ−(X); θ+(X))
называетсÿ
.
ÏóñòüX ⊂= F (t, θ)
ñòатистикîé
, причем параметрθìîæåò принимать çíàчения èç
параметрическим ìíîæеством
любую случайную величину âèäà
T (X)
. Áó-
, êîòî-
толькî îò элементов выборки.Оценкîé ïà-
, êоторая принимает çíàчения
Оценкà˜θ
θ ∈ Θ
называетсÿ
выполнено
несмещенной
E˜θ = θ.
оценкîé параметраθ, åñëè äëÿ
(11.5)
Договоримсÿ óêазывать â обозначении ñòатистики объем выборки, åñëè
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]