Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие

Вариант 10

1. Брошены äâå игральные êîñòè. Ïóñòü событиеAсостоит â òîì, ÷òî выпавшая сумма î÷êîâ нечетна, à событиеB â òîì, ÷òî õîòÿ áû íà îäíîé èç êостей выпала тройкà. Описать события

2. Èç полного набора êостей домино íàóäà÷ó берутсÿ ïÿòü êостей. Íàé- òè âåðîятность òîãî, ÷òî среди íèõ áóäåò õîòÿ áû îäíà ñ шестеркîé.

3. Íà линейкå íàóäà÷ó ïîñòавлены 2 точки. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî расстоÿíèå между íèìè îêàæåòñÿ больше половины длины линейки?

4. Äâà стрелкà поочередно стреляют ïî îäíîé è òîé æå мишени. Ó êаждого стрелкà 2 патрона. Ïðè первом попадании стрельба прекраща- åòñÿ. Âåðîятность попадания â мишень ïðè îäíîì выстреле äëÿ первого стрелкà 0,3, äëÿ второго  0,4. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî îáà стрелкà израсõîäóþò âåñü ñâîé боезапас.

5. Первое îðóäèå 2-îðóдийной áàòàðåè пристреляно òàê, ÷òî âåðîÿò- ность попадания äëÿ íåãî равна 3/11. Äëÿ второго îðóäèÿ îíà равна 1/5. Áàòàðåÿ äàëà çàëï ïî öåëè. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåëü поражåíà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî первое îðóäèå попало â öåëü, åñëè известно, ÷òî öåëü áûëà поражåíà. Äëÿ поражåíèÿ öåëè äîñòаточно îдного попада- íèÿ.

6. Âåðîятность приема îòдельного сигнала равна 0,15. Ðадиосигнал ïå- редаетсÿ 4 ðàçà. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа принятых сигналов. Построить график функции распре- деления. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî принятых сигналов áóäåò íå меньше 2, íî íå больше 3.

7. Ðàäèóñ êðóãà являетсÿ случайной величиной, равномерно распреде- ленной íà отрезкå [0;1]. Найти плотность распределения, функцию ðàñ- пределения, математическîå îжидание è дисперсию площади êðóãà. Íàé- òè âåðîятность òîãî, ÷òî площадь превосõîäèò плотности распределения è функции распределения.

8. Â îòäåëå работàåò îäèí сотруäíèê ñ двумя высшими образованиями, автор 6 изобретений, четыре сотруäíèêà ñ высшим образованием, êаждый èç êоторых являетсÿ автором îдного изобретения, è четыре сотруäíèêà áåç высшего образовани, íà счету êоторых изобретений íåò. Äëÿ выбранного íàóäà÷ó сотруäíèêà найти совместное распределение êоличества изобрете- íèé è высших образований. Вычислить êоэффициент êорреляции между íèìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин

ABèAB

π/16

.

. Íàчертить графики

X, Y

çàäà-

191

åòñÿ формуëîé êîíñòàíòócè

f(x, y) = c(x + y)

ρ(X, Y )

.

, åñëè

x, y ≥ 0,x + y ≤ 1

, è0èíà÷å. Найти

10. Время îжидания автобуñà пассажиром имеет ïîêазательное ðàñ- пределение ñî средним çíàчением 10 минут. Найти пределы, â êоторых ñ âåðîятностью 0,8 лежит суммарное время, затраченное íà îжидание àâòî- áóñà çà 48 поездок.

11. Äëÿ выборки распределения

f(x)

(X1, X2, . . . , Xn)

èç распределения ñ плотностью

найти оценки параметра

θ > 0

ïî первому моменту è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó- ченных оценок. Плотность распределения равна



2

x

−x/θ

f(x) =

e

3

2θ

ïðè

x > 0;

0

ïðè

x ≤ 0.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения.

9,36 19,48 3,89 4,45 15,11 15,90 24,94 1,72 3,25 -3,77 12,17 10,08 14,36 9,39 1,27 7,89 8,68 1,59 10,57 3,21 -6,11 15,61 10,82 1,68 5,63 6,79 20,27 -2,15

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

0,46 1,43 0,40 1,23 1,40 0,76 1,09 1,65 1,32 1,24 1,39 0,81 0,39 0,76 1,14 1,24 1,69 1,58

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X −1 0 1 2 Y −3 −1 2 −5

192

Вариант 11

1. События:A õîòÿ áû îäèí èç òðåõ проверяемых приборов áðàêîâàí- íûé,B âñå приборы доброкàчественные. ×òî îçíà÷àþò события: èAB?

2. Â ÿùèêå ëåæàò 3 черных è 3 белых øàðà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî ïðè последовательном случайном извлечении шаров èç ÿùèêà ñíà÷àëà вынут âñå белые øàðû.

3. Íà отрезкå единичной длины íàóäà÷ó ïîñòавлены äâå точки, â ðå- çóëüòàòå ÷åãî ýòîò отрезок îêазываетсÿ разделенным íà òðè части. Îïðå- делить âåðîятность òîãî, ÷òî длина êаждой èç òðåõ получившихñÿ частей íå меньше

4. Âåðîятность изготовления íåêàчественной äåòàëè равна 0,2. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî èç 4 äåòàëåé найдетсÿ õîòÿ áû îäíà êàчественная.

5. Запрос абонентà автоматически ñ равными âåðîятностÿìè направля- åòñÿ íà îäèí èç äâóõ серверов. Âåðîятность возниконовения ñáîÿ â работе первого сервера равна 0,1, второго  0,01. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî запрос áóäåò обслужåí áåç ñáîÿ? Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî абонент îá- служивалсÿ íà первом сервере, åñëè известно, ÷òî îí áûë обслужåí áåç ñáîÿ?

6. Âåðîятность попадания â мишень равна 0,8 ïðè êаждом выстреле. Стрельба ведетсÿ îдиночными выстрелами äî первого попадания, ïîêà íå áóäåò израсõîдован боезапас. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа произведенных выстрелов, åñëè боезапас ñî- ñòавляет 4 единицы. Построить график функции распределения.

7. Òî÷êó бросают íàóäà÷ó â øàð радиуñàR. Случайная величина  расстоÿíèå îò точки äî центра øàðà. Найти функцию распределения, плотность распределения, математическîå îжидание è ñòандартное откло- нение случайной величиныξ. Найти âåðîятность òîãî, ÷òîξпримет çíà- чение, большее половины радиуñà øàðà. Íàчертить графики плотности распределения è функции распределения.

8. Ñîñòавить òаблицу совместного распределения числа выпавших äâî- åê è числа выпавших четных чисел ïðè îäíîì ïîдбрасывании игральной êîñòè. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин åòñÿ формуëîé êîíñòàíòócè

2/3

.

f(x, y) = c(x + y)

ρ(X, Y )

, åñëè

x, y ≥ 0,x + y ≤ 1

.

, è0èíà÷å. Найти

X, Y

A ∪ B

çàäà-

ξ

193

10. Участник лотереи бросает игральную êîñòü 20 ðàç. Участник ïî- лучает ценный ïðèç, åñëè сумма î÷êîâ больше 90. Оценить âåðîятность получения ценного приза.

11. Äëÿ выборки распределения

f(x)

(X1, X2, . . . , Xn)

èç распределения ñ плотностью

найти оценки параметра

θ > 3

ïî первому моменту è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó- ченных оценок. Плотность распределения равна

f(x) =



(θ −1)x

−θ

ïðè

x > 1;

0

ïðè

x ≤ 1.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения.

1,87 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,10 3,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,88

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

0,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,88 1,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,74

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X 1 2 3 4 Y −3 −1 2 −4

Вариант 12

1. Игральная êîñòü бросаетсÿnðàç,

n ≥ 6

. Ïóñòü событие

Aiîçíà÷àåò,

÷òî граньiвыпадет õîòÿ áû ðàç, à событиеA ÷òî среди граней найдетсÿ òàêàÿ, êоторая íå выпадет íè ðàçó. Описать событиеA, используÿ

194

операции íàä событиями.

2. Бросают 4 игральные êîñòè. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî íà íèõ

выпадут толькî ¾5¿ è ¾6¿?

3. Íà отрезкå единичной длины íàóäà÷ó ïîñòавлены äâå точки, â ðå- çóëüòàòå ÷åãî ýòîò отрезок îêазываетсÿ разделенным íà òðè части. Îïðå- делить âåðîятность òîãî, ÷òî длина ìàêсимальной части èç òðåõ получив- øèõñÿ частей íå превосõîäèò

4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов

4/5

.

Ak, соединенных ïî ñëå-

дующей ñõåìå:

A

4

-

A

3

A

1

Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ êаждого элементà

-

2

Akравна 0,02. Предпо-

ëàãàåòñÿ, ÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ независимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåïü áóäåò пропуñêàòü òîê.

5. Одинакîâûå äåòàëè поступают íà сборку ñ òðåõ çàâîäîâ. Первый çà- âîä äàåò 10 %, второй 40 %, третий 50 % âñåõ äåòàëåé, íåîáõîдимых äëÿ сборки. Áðàê â ïðîдукции первого çàâîäà ñîñòавляет 2 %, второго  3 %, третьего  4 %. Найти âåðîятность поступления íà сборку áðàêованной äåòàëè. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî îêазавшаясÿ áðàêованной äåòàëü èç- готовлена íà первом çàâîäå.

6. Äëÿ òðåõ ñàæенцев âåðîятности óспешно вынести пересадку равны 0,7, 0,8 è 0,85. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è äèñ- персию числа вынесших пересадку ñàæенцев. Построить график функции распределения.

7. Ðаспределение Парето приближåííî описывает распределение äîõî- äîâ физических ëèö. Плотность распределения равна



A

ïðè

f(x) =

α+1

x

0

ïðè

x ≥ θ; x < θ.

Здесь

α > 1,θ > 0

 параметры распределения,A нормирующая êîí- ñòàíòà. Найти êîíñòàíòóA. Вычислить çíàчение параметраα, ïðè êотором математическîå îжидание превосõîäèò çíàчение параметраθâ 10 ðàç.

8. Ïîдбрасываютсÿ òðè симметричных монеты. Ñîñòавить òаблицу ñîâ-

местного распределения êоличеств выпавших гербов íà первых äâóõ ìîíå-

195

òàõ è íà последних äâóõ монетàõ. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин åòñÿ формуëîé Найти êîíñòàíòócè

f(x, y) = c(x + y + xy)

ρ(X, Y )

.

, åñëè

0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1è0

X, Y

çàäà-

èíà÷å.

10. Время îжидания троллейбуñà çà îäíó поездку имеет равномерное распределение íà отрезкå îò 0 äî 15 минут. Оценить âåðîятность òîãî, ÷òî суммарное время îжидания çà 10 поездок îêàæåòñÿ меньше 1,5 часов.

11. Äëÿ выборки распределения

f(x)

(X1, X2, . . . , Xn)

èç распределения ñ плотностью

найти оценки параметра

θ > 0

ïî второму моменту è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó- ченных оценок. Плотность распределения равна

f(x) =



2x

2

θ

−x2/θ

e

2

ïðè

x > 0;

0

ïðè

x ≤ 0.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения. 3,50 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,23 3,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,87

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

1,42 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,55 0,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,94

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X 0 2 4 6 Y −3 −1 2 −4

196

Вариант 13

1. Найти случайное событиеXèç равенства

X + A + X + A = B.

2. Â ñòóденческîé группе 10 юношей è 15 девушек. Íà университетский праздничный áàë группа получила толькî 3 ïðèãласительных билетà, êî- торые разыгрываютсÿ ïî жребию. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî íà áàë попадут òðè девушки?

3. Íà отрезкå единичной длины íàóäà÷ó ïîñòавлены äâå точки, â ðå- çóëüòàòå ÷åãî ýòîò отрезок îêазываетсÿ разделенным íà òðè части. Îïðå- делить âåðîятность òîãî, ÷òî длина минимальной части èç òðåõ получив- øèõñÿ частей íå превосõîäèò

4. Системный администратор обслуживает 4 сервера, работающих независимо äðóã îò äðóãà. Âåðîятность òîãî, ÷òî â течение рабочего äíÿ сервер íå потребуåò внимания администратора, равна äëÿ первого è второ- ãî сервера 0,8, äëÿ третьего è четвертого  0,10. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç серверов íå потребуåò внимания администратора.

5. Фирма распространяет 2 âèäà рекламных листовокAèB, причем êоличества листовок äâóõ видов íàõîäÿòñÿ â соотношении 2:3. Íà листовку âèäàAïîëîжительно реагируют 20 % получателей, íà листовку âèäàB 10 % получателей. Найти âåðîятность ïîëîжительной реакции получателя листовки. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî получена листовкà âèäàA, åñëè известно, ÷òî реакция áûëà ïîëîжительной.

6. Âåðîятность попадания áàñêетбольного ìÿ÷à â êольцо ïðè бросании íàчинающим спортсменом равна 1/5. Ìÿ÷ бросают äî первого попадания, íî äàþò íå более 5 попыток. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа промахîâ. Построить график функции ðàñ- пределения.

7. Ñêорость автомобиля íà äèñòанции â 100 êì являетсÿ случайной âå- личиной, равномерно распределенной íà отрезкå îò 40 êì/÷ äî 80 êì/÷. Найти математическîå îжидание è ñòандартное отклонение времени, çà- òðàченного íà ïðåîдоление äèñòанции. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî ýòî время превысит 2 ÷àñà.

8. Â группе èç 20 ñòóдентов толькî äâîå пропустили более половины занятий, è именно îíè получили оценку ¾2¿ íà экзамене. Èç îñòальных ñòóдентов 5 человек получили оценку ¾5¿, 10 человек  оценку ¾4¿, è 3

4/5

.

197

ñòóäåíòà получили ¾тройки¿. Ñîñòавить òаблицу совместного распределе- íèÿ оценки íà экзамене è индикатора пропуñêà более половины занятий äëÿ выбранного íàóäà÷ó ñòóäåíòà. Найти êоэффициент êорреляции.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин

âèä:

f(x, y) = c

, åñëè

x2+ y2≤ 1

, è0èíà÷å. Найти êîíñòàíòócè

X, Y

ρ(X, Y )

имеет

10. Число сериалов, просматриваемых çà äåíü выбранным íàóäà÷ó ñòó- дентом, имеет распределение Ïóассона ñ параметром 0,5. Найти пределы, â êоторых ñ âåðîятностью 0,8 лежит число просмотров сериалов çà äåíü ñòóäåíòàìè группы èç 20 человек.

11. Äëÿ выборки распределения

(X1, X2, . . . , Xn)

f(x)

найти оценки параметра

èç распределения ñ плотностью

θ > 0

ïî третьему момен- òó è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна



f(x) =

3x

2

θ

−x3/θ

e

2

ïðè

x > 0;

0

ïðè

x ≤ 0.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения. 8,16 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,58 5,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,75 4,76

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

1,94 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,57 0,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,24

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X 1 2 3 4 Y −3 −1 −2 −4

.

198

Вариант 14

1. ÏóñòüA,BèC события. Êàêîâ смысл равенств:

A ∪B ∪ C = A

2. Случайно выбранная êîñòü домино îêазалась íå дублем. Найти âåðî- ятность òîãî, ÷òî вторую òàêæå взятую íàóäà÷ó êîñòü ìîæíî приставить ê первой.

3. Встречные поезда ïðèõîäÿò íà ñòанцию â случайные моменты âðå- ìåíè â течение суток. Îäèí поезд стоит íà ñòанции 30 минут, другой 40 минут. Найти âåðîятность встречи поездов íà ñòанции.

4. Предназначенный ê печати òåêñò проверÿåòñÿ ñíà÷àëà автором, çà- òåì êорректором. Автор íàõîäèò â среднем 80 % допущенных â òåêñòå îïå- чаток, êорректор  90 %. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî áóäóò исправлены âñå 4 ñîäåðæащиесÿ â первоначальном òåêñòå опечатки.

5. Âåðîятность òîãî, ÷òî изделие óдовлетворÿåò ñòандарту, равна 0,8. Íà çàâîäå принятà система èç òðåõ независимых испытàíèé, êаждое èç êî- торых изделие, óдовлетворяющее ñòандарту, ïðîõîäèò ñ âåðîятностью 0,9, à íåóдовлетворяющее  ñ âåðîятностью 0,3. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî íàóäà÷ó взятое изделие выдерæèò испытàíèÿ? Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî изделие, выдерæавшее испытàíèÿ, óдовлетворÿåò ñòандарту?

6. Âåðîятность óспешного соединения êомпьютера ñ сервером равна 0,6. Попытки соединения произвоäÿòñÿ äî óñòановления соединения, íî íå более 6 попыток. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа попыток соединения. Построить график функции ðàñ- пределения.

7. МощностьW, выделяемая íà сопротивленииR, вычисляетсÿ ïî çà- êîíó

W = U2/R

æåíèå  случайная величина, распределенная равномерно íà отрезкå îò 200 äî 250 âîëüò. Найти плотность распределения è математическîå îæèäà- íèå мощности, выделяемой íà сопротивлении â 100 Îì. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî мощность превысит 500 Âò.

8. Â офисе 4 êомнаты. Â первой êомнате 2 сотруäíèêà, à êомпьюте- ðîâ íåò, âî второй 4 êомпьютера è 1 сотруäíèê, â îñòальных äâóõ ïî 2 êомпьютера è ïî 2 сотруäíèêà. Найти совместное распределение числа сотруäíèêîâ è числа êомпьютеров â выбранной íàóäà÷ó êомнате. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин åòñÿ формуëîé

? Привести примеры.

, ãäåU íàïðÿæåíèå â ñåòè. Предполагàåòñÿ, ÷òî íàïðÿ-

f(x, y) = c(x2+ y2)

, åñëè

0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1

ABC = A

X, Y

çàäà-

, è0èíà÷å.

è

199

Найти êîíñòàíòócè

ρ(X, Y )

.

10. Взвешивают ãðóç, íàõîдящийсÿ â 200 ìåøêàõ. Погрешность измере- íèé âåñà êаждого èç íèõ распределена ïî нормальному çàêîíó ñ íóлевым средним è ñòандартным отклонением 100 грамм. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî суммарная погрешность ïî абсолютной величине меньше 1 êã.

11. Äëÿ выборки распределения

f(x)

(X1, X2, . . . , Xn)

èç распределения ñ плотностью

найти оценки параметра

θ > 0

ïî первому моменту è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó- ченных оценок. Плотность распределения равна

f(x) =



1

√

2

2θ

x

−√x/θ

e

2

ïðè

x > 0;

0

ïðè

x ≤ 0.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения. 1,07 -0,72 -4,46 -3,24 2,42 -1,70 -1,24 -0,07 6,20 2,67 1,80 0,26 9,61 2,51 1,44 -3,65 5,50 4,17 -2,06 7,48 2,60 7,61 2,54 9,77 9,67 7,36 7,86 11,22 3,38

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

0,06 1,44 0,70 1,33 0,74 0,61 1,03 1,25 0,85 0,81 1,04 0,76 0,80 1,55 1,61 0,82 1,70 1,63

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X 1 2 3 4 Y −3 −1 6 −4

Вариант 15

1. Брошены òðè монеты. Описать события

A = {

выпало íå больше äâóõ гербов è ïî крайней ìåðå îäíà ðåøêà}è

200