Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
3
3
·
10
=
13
25
9
5
=
. ▽
26
Пример 7.2.
P(A/HÁÁ)P(HÁÁ)
=
P(A)
Ïî каналу связи может áûòü передана îäíà èç òðåõ
ïîñледовательностей áóêâ: AAAA, BBBB, CCCC, причеì априорные
вероятности каждой èç ïîñледовательностей åñòü соответственно
3/10, 2/5, è 3/10. Известно, ÷òî ïîä действиеì шумов вероятность
ïðавильного ïðèåìà каждой èç переданных áóêâ ðàâíà 3/5, à вероят-
ности перевода каждой буквы â любую другую одинаковы è ðàâíû 1/5.
Предполагается, ÷òî буквы искажаются независимо äðóã îò друга.
Найти вероятность òîãî, ÷òî áûëà передана ïîñледовательность
AAAA, åñëè íà ïðèåìíîì устройстве ïîлучена ïîñледовательность
ABCA.
Ðешение.
Обозна÷èì D={íà приемном óстройстве получена ïî-
следовательность ABCA}, à â êàчестве гипотез выберем события:
HA=
{передана последовательность AAAA },
тельность BBBB},
HC=
{передана последовательность CCCC}. Èç óñëî-
âèÿ çàäà÷è очевидно, ÷òî события
HA, HB, HCобразуют полную группу
HB=
{передана последова-
событий, à èõ âåðîятности равны
P(HA) =
3
, P(HB) =
10
Требуåòñÿ найти óсловную âåðîятность
2
, P(HC) =
5
P(HA/D)
3
.
10
, êоторую вычислим
ïî формуëå Байеса:
P(HA/D) =
P(D/HA)P(HA) + P(D/HB)P(HB) + P(D/HC)P(HC)
P(D/HA)P(HA)
.
(7.3)
Найдем óсловные âåðîятности, âõîдящие â правую часть (7.3). Имеем:
P(D/HA) = P(ABCA/HA),
последняя âåðîятность åñòü âåðîятность ïðèå-
ìà последовательности áóêâ ¾ABCA¿ вместо переданной последовательно-
ñòè ¾AAAA¿, òî åñòü âåðîятность правильного приема первой è четвертой
áóêâ A è перевоäà второй буквы A â B è третьей â C. Òàê êàê правильный
прием èëè èñêàæåíèÿ êаждой èç передаваемых áóêâ являютсÿ независи-
ìûìè событиями, òî âåðîятность óêазанного пересечения событий равна
произведению âåðîятностей:
P(D/HA) = P(ABCA/HA) = P(A/HA) ·P(B/HA) ·P(C/HA) ·P(A/HA) =
3
1
1
3
=
·
·
5
·
5
5
9
=
625
.
5
41
Аналогично íàõîäèì óсловные âåðîятности:
P(D/HB) = P(ABCA/HB) =
1
3
1
1
·
·
5
·
5
5
3
=
625
,
5
P(D/HC) = P(ABCA/HC) =
3
625
.
Ïîäñòавляя â (7.3) âñå найденные âåðîятности, получаем
9
3
P(HA/D) =
Пример 7.3.
·
625
9
625
3
·
+
10
625
10
3
2
3
·
+
625
·
5
Òðè ñòðåëêà производят ïî îäíîìó выстреëó â îäíó
9
=
16
. ▽
3
10
è òó æå мишень. Вероятности попадания â мишень ïðè îäíîì выстреëå
äëÿ каждого èç ñòðåëêîâ соответственно ðàâíû
p1, p2, p3.
Какова âåðî-
ятность òîãî, ÷òî второй ñòðåëîê ïðîмахнулся, åñëè ïîñëå выстреëîâ
â мишени оказалось äâå пробоины?
Ðешение.
пробоины},
i = 1, 2,3.
Обозна÷èì
Hi=
{èç òðåõ стрелкîâ промахнуëñÿi-é, à äâà других попали},
A =
{после выстрелов â мишени îêазалось äâå
Требуåòñÿ найти óсловную âåðîятность
P(H2/A)
, êоторую ìû
найдем ïî формуëå Байеса. Äëÿ этого найдем âåðîятности гипотез:
P(H1) = P(B1B2B3) = P(B1) ·P(B1) ·P(B3) = (1 − p1)p2p3.
Здесь использованы обозначения
Bi={попаданиеi-ãî стрелкà},
Bi=
={промахi-ãî стрелкà} è предполоæåíèå, ÷òî ðåçóëüòàòû стрельбы îòäåëü-
íûõ стрелкîâ являютсÿ независимыми событиями. Аналогично íàõîäèì:
P(H2) = P(B1B2B3) = p1(1 −p2)p3, P(H3) = P(B1B2B3) = p1p2(1 −p3).
Заметим, ÷òî âñå óсловные âåðîятности равны 1:
P(A/H3) = 1.
Òîãäà ïîäñòавляя âñå ýòè âåðîятности â формуëó Байеса,
P(A/H1) = P(A/H2) =
получаем
P(H2/A) =
p1(1 −p2)p
(1 −p1)p2p3+ p1(1 −p2)p3+ p1p2(1 −p3)
3
. ▽
7.3. Çàäà÷è äëÿ самостоятельного решения
7.1
 первой óðíå íàõîäÿòñÿ 1 белый è 9 черных шаров, âî второй 1
черный è 5 белых. Èç êаждой óðíû óдалили ïî îдному øàðó, выбранному
42
íàóãàä, à îñòавшиесÿ øàðû ссыпали â третью óðíó.
à) Найти âåðîятность òîãî, ÷òî øàð, вынутый íàóãàä èç третьей óðíû,
îêàæåòñÿ белым.
á) Åñëè øàð, вынутый èç третьей óðíû, îêазалсÿ белым, òî êàêîâà
âåðîятность òîãî, ÷òî èç первых äâóõ óðí áûëè óдалены черные øàðû?
7.2
 первой óðíå íàõîäÿòñÿ 1 белый øàð è 4 красных, âî второй 1
белый è 7 красных. Â первую óðíó добавили äâà øàðà, выбранных íàóãàä
èç второй óðíû.
à) Найти âåðîятность òîãî, ÷òî øàð, вынутый íàóãàä èç пополненной
первой óðíû, îêàæåòñÿ белым.
á) Ïîñòавить вопрос, ответ íà êоторый ìîæíî найти ñ помощью формуëû
Байеса (è ответить íà íåãî).
7.3
Имеетсÿ 5 óðí следующего ñîñòàâà: â первой è второй урнах ïî 2
белых è 3 черных øàðà â êаждой; â третьей è четвертой урнах ïî 1
белому è 4 черных øàðà; â пятой óðíå 4 белых è 1 черный øàð. Èç
îäíîé íàóäà÷ó выбранной óðíû âçÿò øàð. Îí îêазалсÿ белым. ×åìó равна
ïðè ýòîì âåðîятность òîãî, ÷òî îí вынут èç пятой óðíû?
7.4
 òðåõ урнах ñîäåðæàòñÿ белые è черные øàðû: â первой óðíå
2 белых è 3 черных øàðà, âî второй 2 белых è 2 черных øàðà, â
третьей 3 белых è 1 черный øàð. Èç первой óðíû вынут íàóäà÷ó øàð
è перелоæåí âî вторую. Далее èç второй óðíû вынут íàóäà÷ó øàð è
перелоæåí â третью. Íàêîíåö èç третьей óðíû øàð перелоæåí â первую.
à) Êàêîé ñîñòàâ шаров â первой óðíå наиболее âåðîÿòåí?
á) Ñ êàêîé âåðîятностью ñîñòàâ шаров âî âñåõ урнах íå изменитсÿ?
7.5
Èç óðíû, â êоторой áûëî
øàð неизвестного öâåòà. Äëÿ òîãî чтобы определить ñîñòàâ шаров â óðíå,
èç íåå íàóäà÷ó áûëè вынуты äâà øàðà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî áûë
потерÿí белый øàð, åñëè известно, ÷òî вынутые øàðû îêазались белыми.
7.6
 óðíå ëåæàò 12 шаров, èç íèõ 8 черных è 4 белых. Òðè игрокàA,
BèC
белый øàð. Оценить шансы íà óñïåõ êаждого игрокà.
7.7
âåðîятностью
C ñ âåðîятностью
попали â öåëü. ×òî âåðîятнее: попал C â мишень èëè íåò?
7.8
ðîятностью 0,96. Предлагàåòñÿ упрощенная система испытàíèé, дающая
ïîëîжительный ðåçóëüòàò ñ âåðîятностью 0,98 äëÿ изделий, óдовлетворÿ-
þùèõ ñòандарту, à äëÿ изделий, êоторые íå óдовлетворÿþò ñòандарту, ñ
âåðîятностью 0,05. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî:
поочередно вынимают øàðû. Выигрывает òîò, êòî первым вынет
Ïðè íåêоторых óсловиях стрельбы стрелок A поражàåò мишень ñ
p1= 3/5
Изделия íåêоторого производства óдовлетворÿþò ñòандарту ñ âå-
, стрелок Â ñ âåðîятностью
p3= 2/5
m ≥ 3
. Стрелки äàëè çàëï ïî мишени, è äâå ïóëè
белых ènчерных, потерÿëè îäèí
p2= 1/2
, стрелок
43
à) изделие áóäåò забраковано;
á) изделие, выдерæавшее испытàíèå, óдовлетворÿåò ñòандарту?
7.9
Íåêоторое изделие âûïóñêàåòñÿ двумя çàâîäàìè, причем объем
ïðîдукции второго çàâîäà â k ðàç превосõîäèò объем ïðîдукции первого.
Äîëÿ áðàêà ó первого çàâîäà
çàâîäàìè çà îдинакîâûé промежуток времени, перемешали è ïóстили â
ïðîäàæó. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî âû приобрели изделие ñî второго
çàâîäà, åñëè îíî îêазалось áðàêованным?
7.10
 ñåìè урнах ñîäåðæèòñÿ ïî 3 белых è 2 черных øàðà, à â òðåõ
урнах ïî 7 белых è 3 черных øàðà. Êàêîâà âåðîятность, ÷òî èç óðíû,
взятой íàóäà÷ó, áóäåò извлечен белый øàð? Найти âåðîятность, ÷òî øàð
извлечен èç óðíû ñ 7 белыми è 3 черными шарами, åñëè îí îêазалсÿ белым.
p1, ó второго
p2. Изделия, выпущенные
44
Ãëàâà 8
Ðаспределения случайных величин
8.1. Случайная величина è функция распре-
деления
Случайной величиной
X : Ω → R
ствительное число
Функцией распределения
ñÿ функция
Функция распределения обладает свойствами:
F1.
0 ≤ FX(t) ≤ 1 ∀ t ∈ R.
F2.
FX↗ (
F3.
FX(−∞) = lim
F4.
FX(t)
t ∈ R
F5. Äëÿ любых
F6. Äëÿ любого
ñêà÷êó ô.ð. â òî÷êåa:
, сопоставляющая êаждому элементарному èñõîäó
X(ω)
.
FX: R → R,
FX(t) = P(X < t) = P{ω : X(ω) < t}, t ∈ R.
неубывающая функция).
t→−∞
непрерывна слева è имеет êонечный предел справа: äëÿ âñåõ
lim
FX(y) = FX(t); lim
y→t−0
a < b
P{a ≤ X < b} = FX(b) − FX(a) .
a ∈ R
P{X = a} = FX(a + 0) − FX(a).
задаваемая соотношением:
FX(t) = 0, FX(+∞) = lim
âåðîятность попадания ñ.â.Xâ интервал
âåðîятность попадания ñ.â.
(ñ.â.) называетсÿ âñÿêàÿ функция
(ô.ð.) случайной величиныXназывает-
y→t+0
FX(t) = 1 .
t→+∞
FX(y) = FX(t + 0).
X
â точкуaравна
ω ∈ Ω
[a, b)
äåé-
(8.1)
равна
45
8.2. Дискретное è абсолютно непрерывное
распределения
Ìíîæество
элементы åãî ìîæíî занумеровать числами натурального ðÿäà:
{x1, x2, ..., xn, ...}
êонечно èëè счетно. Ãîâîðÿò, ÷òî ñ.â.Xимеет
íèå
, åñëè ñ âåðîятностью 1 îíà ìîæåò принимать íå более ÷åì счетное ìíî-
æество çíàчений. Èíà÷å говорÿ, ñ.â.
åñëè существуåò íå более ÷åì счетное ìíîæество
òàêîå, ÷òî
Упрощая терминологию, áóäåì говорить â ýòîì случае, ÷òî
величинаXдискретна
çàòü äâå последовательности: последовательность
çíàчений
Òаблица, ñîñòавленная èç ýòèõ последовательностей, называетсÿ
распределения
Åñëè ñ.â.
попадания â ìíîæество
X
G
называетсÿ
. Ìíîæество называют
pi= P(X = xi) > 0, i = 1, 2, ...
è последовательность
èëè
òаблицей распределенияX:
X x1x2...
P(X = xi) p1p2...
X
имеет дискретное распределение (8.3), òî âåðîятность åå
A ⊆ R
счетным
. Åñëè ñ.â.Xдискретна, òî äëÿ íåå ìîæíî óêà-
вычисляетсÿ ïî формуëå:
P(X ∈ A) =
, åñëè îíî áåñêонечно, íî âñå
íå более ÷åì счетным
дискретное распределе-
X
имеет дискретное распределение,
G = {x1, x2, ..., xn, ...}
pi= 1.
i
случайная
p1, p2, ...
xi∈A
x1, x2, ...
âåðîятностей ýòèõ çíàчений.
xi...
pi...
pi.
возмоæíûõ
, åñëè îíî
G =
,
(8.2)
ðÿäîì
(8.3)
(8.4)
 частности, функция распределения случайной величиныXвыражàåòñÿ
через ðÿä распределения формуëîé:
FX(t) =
Åñëè предполоæèòü, ÷òî âñå çíàчения случайной величиныXóïîðядочены
ïî возрастàíèþ, òî åñòü
x1< x2< . . . < xn< . . . ,
òî функция распределения áóäåò иметь график, изображенный íà ðèñ. 8.1.
xi<t
pi.
(8.5)
46
1
FX(t)
6
p
n
u
p
p
p
1
u
x
1
2
u
x
2
i
u
x
i
0
Ðèñ. 8.1: График функции распределения
u
x
n
FX(t)
.
.
Функция распределения дискретной случайной величиныXявляетсÿ
ступенчатой
(x
, xi)
i−1
âåðîятности
Ãîâîðÿò, ÷òî ñ.â.
íèå
, åñëè åå функция распределения
âèäå:
ãäå
fX(u)
öèÿ, êоторая называетсÿ
íûX. Åñëè распределение ñ.â.
распределения обладает свойствами:
f1. Äëÿ âñåõ
, òî åñòü îíà ñîхраняет постоянные çíàчения â интервалах
, à â òî÷êàõ
xiимеет разрыв первого ðîäà (ñêà÷îê), равный
pi= P(X = xi).
X
имеет
абсолютно непрерывное распределе-
FX(t) =
t
−∞
FX(t)
fX(u)du,
ìîæåò áûòü представлена â
неотрицательная, интегрируåìàÿ íà âñåé числовой îñè ôóíê-
плотностью распределения
X
абсолютно непрерывно, òî åå плотность
t ∈ R
плотность распределения неотрицательна:
случайной величи-
-
t
(8.6)
fX(t) ≥ 0.
f2. Интеграл îò плотности распределения ïî âñåé числовой ïðÿìîé равен
единице (
óсловие нормировки
∞
):
fX(t)dt = 1.
−∞
f3. Âåðîятность òîãî, ÷òî случайная величина принимает çíàчения èç ìíî-
47
æества, равна интегралу îò плотности распределения ïî этому ìíîæеству:
P(X ∈ A) =
fX(t)dt
A
äëÿ любого ìíîæества
A ⊆ R,
äëÿ êоторого интеграл â правой части
определен.
f4. Функция распределения
òî÷êàõ непрерывности плотности
причем
FX(t)
непрерывна íà âñåé числовой îñè, à â
fX(t)
′
F
(t) = fX(t).
X
ô.ð.
FX(t)
дифференцируåìà,
f5. Âåðîятность попадания случайной величины â точку равна íóëþ: äëÿ
любого
a ∈ R
выполнено
P(X = a) = 0.
f6. Äëÿ любых
P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) =
a < b
b
a
fX(t)dt.
Âåðîятности попадания â промежуток, фигурирующие â последнем
свойстве, вычисляютсÿ êàê площадь криволинейной трапеции, заштрихî-
ванной íà ðèñ. 8.2:
fX(t)
6
-
a
0
Ðèñ. 8.2: Плотность распределения
b
fX(t)
.
t
Отметим, ÷òî свойства f1 è f2 являютсÿ õарактеристическими свойства-
ìè плотности распределения, òî åñòü любая функция, óдовлетворяющая
ýòèì свойствам, являетсÿ плотностью распределения íåêоторой случайной
величины.
48
8.3. Примеры распределений случайных âå-
личин
1. Ðаспределение Бернуëëè
нимающей ëèøü äâà çíàчения 1 è 0 ñ âåðîятностÿìèpè
Bp. Ýòî распределение ñ. â.X, ïðè-
q = 1 − p
ñî-
ответственно. Êàê ìû видели, òàêîå распределение имеет случайная âåëè-
÷èíà, равная числу ¾óñïåõîâ¿ ïðè îäíîì испытàíèè Бернуëëè. Очевидно,
распределение
X
дискретно, è ðÿä распределения задаетсÿ равенством:
p,
åñëè
P(X = k) =
0,
åñëè
k = 1;
k = 0.
Òîò ôàêò, ÷òî ñ. â.Xимеет распределение Бернуëëè, áóäåì обозна÷àòü
следующим образом:
2. Биномиальное распределение
åò биномиальное распределение ñ параметрами
0 < p < 1
0, 1, . . . , n
( обозна÷àåì
ñ âåðîятностÿìè, вычисляемыми ïî формуëàì Бернуëëè:
X ⊂= Bp, ãäåp параметр,
Y ⊂= B
pk= P(Y = k) = C
), åñëè îíà ìîæåò принимать çíàчения
n,p
k
n
pkq
B
. Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â.
n,p
(n, p)
n−k
, k = 0, 1, . . . , n.
0 < p < 1
, ãäå
.
Y
èìå-
n = 1, 2, . . .
Êàê ìû знаем, биномиальное распределение имеет случайная величина
Y
, равная числу ¾óñïåõîâ¿ ânнезависимых èñïûòаниях Бернуëëè. Î÷å-
видно, распределение Бернуëëè åñòü частный случай биномиального ïðè
n = 1 : Bp= B
3. Ðаспределение Ïóассона
пределение Ïóассона ñ параметром
1,p
.
Πλ. Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â.
λ > 0
(обозна÷àåì
Z
имеет ðàñ-
Z ⊂= Πλ), åñëè
îíà ìîæåò принимать целые неотрицательные çíàчения ñ âåðîятностÿìè,
вычисляемыми ïî формуëàì:
,
k
λ
pk= P(Z = k) = e
−λ
, k = 0, 1, ... .
k!
Ðаспределение Ïóассона являетсÿ предельным äëÿ биномиального
B
, êîãäànвеликî, àpìàëî (ñì. более точно теоремы Ïóассона 10.6,
n,p
10.7). Приближåííî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî çàêîíó распределения Ïóассона
óдовлетворÿþò òàêèå случайные величины, êàê число вызовов, поступив-
øèõ íà телефонную ñòанцию çà определенный промежуток времени, èëè
число îòêазавших элементов ñëîæíîé аппаратуры, состоÿùåé èç большого
числа òàêèõ элементов, çà íåêоторый промежуток времени.
49
4. Ãеометрическîå распределение
геометрическîå распределение ñ параметромp, ãäå
Gp. Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â.Xимеет
0 < p < 1
(обозна÷àåì
X ⊂= Gp), åñëè îíà ìîæåò принимать ïîëîжительные целые çíàчения ñ
âåðîятностÿìè, вычисляемыми ïî формуëàì:
pk= P(X = k) = pq
Название этого распределения объясняетсÿ òåì, ÷òî âåðîятности
k−1
, k = 1, 2, ... , q = 1 − p.
pkðÿ-
äà распределения образуют áåñêонечно убывающую геометрическую ïðî-
грессию. Ãеометрическîå распределение имеет ñ. â.X, равная числу ïðî-
веденных испытàíèé Бернуëëè äî ïîявления первого ¾óñïåõà¿.
Замечание 8.1.
Âñå вышеприведенные примеры представляют äèñ-
кретные ðаспределения. Читатеëþ предлагается проверить, ÷òî äëÿ íèõ
âûïîлняются обязательные äëÿ всякого дискретного ðаспределения óñëî-
âèÿ p1 p2.
5. Ðавномерное распределение
равномерное распределение íà отрезкå
ëè распределение
постоÿííà íà отрезкå
X
абсолютно непрерывно, à плотность распределения
[a, b]
è равна íóëþ âíå этого отрезкà:
U
. Ãîâîðÿò, ÷òî ñ. â.
[a; b]
[a; b]
(обозна÷àåì
X ⊂= U
X
[a; b]
имеет
), åñ-
C,
åñëè
fX(t) =
0,
åñëè
t ∈ [a, b],
t /∈ [a, b].
КонстàíòóCìîæíî найти, воспользовавшись îáязательным äëÿ âñÿ-
êîé плотности óсловием нормировкиf2:
1 =
∞
fX(t)dt ==
−∞
−∞
a
0dt +
b
a
Cdt +
∞
0dt = 0 + C(b − a) + 0 = C(b − a).
b
Îòñþäà
C =
1
, è плотность равномерного распределения
b −a
принимает следующий îêончательный âèä:
1
fX(t) =
b −a
0,
,
åñëè
t ∈ [a, b],
åñëè
t /∈ [a, b].
Нетруäíî построить графики функции è плотности равномерного ðàñ-
пределения
U
, îíè представлены íà ðèñ. 8.3.
[a; b]
50
U
[a; b]
(8.7)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]