Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие

нейной регрессии.

X 1 2 3 4 5 Y −3 −1 2 −4 8

Вариант 20

1. Некто написалnадресатàì письма, â êаждый êонверт âëîæèë ïî îдному письму è затем íàóäà÷ó написал íà êаждом êонверте îäèí èç адресов. Ïóñòü событие êонверт. Описать событие, заключающеесÿ â òîì, ÷òî ровно äâà письма попало â ñâîé êонверт.

2. Äâà ðàçà ïîдбрасываютсÿ äâå монеты. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî âî второй ðàç выпадет столькî æå гербов, ñêîëüêî è â первый.

3. Íà линейкå íàóäà÷ó ïîñòавлены 2 точки. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî расстоÿíèå между íèìè îêàæåòñÿ больше четверти длины линейки?

4. Òðè стрелкà поочередно стреляют ïî îäíîé è òîé æå мишени. Ó êаждого стрелкà 2 патрона. Ïðè первом попадании стрельба прекраща- åòñÿ. Âåðîятность попадания â мишень ïðè îäíîì выстреле äëÿ первого стрелкà 0,3, äëÿ второго  0,4, äëÿ третьего  0,6. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî âñå стрелки израсõîäóþò âåñü ñâîé боезапас.

5. Первое îðóäèå 3-îðóдийной áàòàðåè пристреляно òàê, ÷òî âåðîÿò- ность попадания äëÿ íåãî равна 3/11. Äëÿ второго è третьего îðóäèÿ îíà равна 1/5. Áàòàðåÿ äàëà çàëï ïî öåëè. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåëü поражåíà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî первое îðóäèå попало â öåëü, åñëè известно, ÷òî öåëü áûëà поражåíà. Äëÿ поражåíèÿ öåëè äîñòаточно îдного попадания.

6. Âåðîятность приема îòдельного сигнала равна 0,05. Ðадиосигнал ïå- редаетсÿ 5 ðàç. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è äèñ- персию числа принятых сигналов. Построить график функции распреде- ления. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî принятых сигналов áóäåò íå меньше 2, íî íå больше 3.

7. Катет равнобедренного ïðямоугольного треугольникà являетсÿ ñëó- чайной величиной, равномерно распределенной íà отрезкå [0;1]. Найти

Aiсостоит â òîì, ÷òîi-å письмо попало â ñâîé

n

211

плотность распределения, функцию распределения, математическîå îæè- дание è дисперсию площади треугольникà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî площадь превосõîäèò

1/8

. Íàчертить графики плотности распределения è

функции распределения.

8. Â îòäåëå работàåò îäèí сотруäíèê ñ двумя высшими образованиями возрастом 30 ëåò, äâà сотруäíèêà ñ высшим образованием возрастом ïî 50 ëåò è äâà сотруäíèêà áåç высшего образования возрастом ïî 20 ëåò. Äëÿ выбранного íàóäà÷ó сотруäíèêà найти совместное распределение возрастà è êоличества высших образований. Вычислить êоэффициент êорреляции между íèìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин åòñÿ формуëîé êîíñòàíòócè

f(x, y) = c

ρ(X, Y )

.

, åñëè

x ≥ 0,|x| + |y| ≤ 1

, è0èíà÷å. Найти

X, Y

çàäà-

10. Время îжидания автобуñà пассажиром имеет ïîêазательное ðàñ- пределение ñî средним çíàчением 8 минут. Найти êоличество поездок, çà êоторое суммарное время, затраченное íà îжидание автобуñà, íå превысит 5 часов ñ âåðîятностью 0,9.

11. Äëÿ выборки распределения

f(x)

(X1, X2, . . . , Xn)

èç распределения ñ плотностью

найти оценки параметра

θ > 0

ïî первому моменту è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó- ченных оценок. Плотность распределения равна



2

f(x) =

x

2θ

6

−x/θ

e

2

ïðè

x > 0;

0

ïðè

x ≤ 0.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения.

10,63 19,48 3,89 4,45 15,11 15,90 24,94 1,72 3,25 -3,77 12,17 10,08 14,36 9,39 1,27 7,89 8,68 1,59 10,57 3,21 -6,11 15,61 10,82 1,68 5,63 6,79 20,27 -2,15

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

212

1,64 1,43 0,40 1,23 1,40 0,76 1,09 1,65 1,32 1,24 1,39 0,81 0,39 0,76 1,14 1,24 1,69 1,58

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X 1 2 3 4 5 Y −8 −1 2 −4 8

Вариант 21

1. Бросаютсÿ äâå игральные êîñòè. Ïóñòü событиеAсостоит â òîì, ÷òî выпавшая сумма î÷êîâ нечетна, à событиеB â òîì, ÷òî õîòÿ áû íà îäíîé èç êостей выпала тройкà. Описать события

2. Â ÿùèêå 5 красных è 4 синих пуговиц. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî èç четырех íàóäà÷ó вынутых пуговиц õîòÿ áû äâå áóäóò îдноцветными.

3. Ìîëîäîé человек договорилсÿ встретитьсÿ ñ девушкîé между 9 è 10 часами è обещал ждать å¼ äî 10 часов. Девушкà обещала ждать åãî 10 минут, åñëè придет раньше. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî îíè встретÿòñÿ. Предполагàåòñÿ, ÷òî моменты èõ ïðèõîäà равновероÿòíû â течение ÷àñà.

4. Ïðè переда÷å сообщений â среднем 20 % писем íå äîõîäÿò äî ïîëó- чателя. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî èç 6 писем более половины íà áóäåò получено адресатàìè.

5. Â пункте ïðîêàòà имеетсÿ 6 îдинакîâûõ íà âèä велосипедов. Âåðî- ятность поломки äëÿ äâóõ èç íèõ ïî 0,1, äëÿ òðåõ ïî 0,2 è äëÿ îдного 0,7. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî велосипед сломаетсÿ, åñëè åãî выбирают íà- óäà÷ó? Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî áûë выбран велосипед, äëÿ êоторого âåðîятность поломки 0,7, ïðè óсловии, ÷òî îí сломалсÿ?

6. Âåðîятность попадания â мишень равна 0,4 ïðè êаждом выстреле. Стрельба ведетсÿ îдиночными выстрелами äî первого попадания, ïîêà íå áóäåò израсõîдован боезапас. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа произведенных выстрелов, åñëè боезапас ñî- ñòавляет 5 единиц. Построить график функции распределения.

7. Случайная величинаξ êîîðдинатà точки, совершающей êîëå- бательные äâèæåíèÿ ïî çàêîíó íûé момент времениT, равномерно распределенный íà периоäå êолеба- íèé

[0; 2π/ω]

случайной величиныξ. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî

. Найти математическîå îжидание è ñòандартное отклонение

x = a sin(ωt)

ABèAB

, è наблюдаемой â случай-

.

ξ > a/2

.

213

8. Ñîñòавить òаблицу совместного распределения числа выпавших ÷åò- íûõ è нечетных чисел ïðè îäíîì ïîдбрасывании игральной êîñòè. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин даетсÿ формуëîé êîíñòàíòócè

f(x, y) = c

ρ(X, Y )

, åñëè

y ≥ 0,|x| + |y| ≤ 1

, è0èíà÷å. Найти

.

X, Y

çà-

10. Оценить, ñêîëüêî ðàç нужно бросить игральную êîñòü, чтобы сумма выпавших î÷êîâ превысила 300 ñ âåðîятностью íå менее 0,92.

11. Äëÿ выборки распределения

f(x)

(X1, X2, . . . , Xn)

èç распределения ñ плотностью

найти оценки параметра

θ > 4

ïî первому моменту è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó- ченных оценок. Плотность распределения равна

f(x) =



(θ −2)x

−θ+1

ïðè

x > 1;

0

ïðè

x ≤ 1.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения.

0,87 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,10 3,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,88

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

1,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,88 1,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,74

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X 1 2 3 4 5 Y −3 −1 8 −4 4

214

Вариант 22

1. Прибор состоит èç äâóõ áëîêîâ первого òèïà è òðåõ áëîêîâ второго

òèïà. События:

Ak, k = 1, 2

 исправенk-é áëîê первого òèïà,

Bj, j = 1, 2, 3

 исправенj-é áëîê второго òèïà. Прибор исправен, åñëè исправны õîòÿ áû îäèí áëîê первого òèïà è íå менее äâóõ áëîêîâ второго òèïà. Выразить

C

, îçíàчающее исправность прибора, через

Akè

Bj.

2. Бросают 4 игральные êîñòè. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî õîòÿ áû

íà äâóõ èç íèõ выпадет îдинакîâîå число î÷êîâ?

3. Ñòåðæåíü единичной длины

AB

разломан â äâóõ íàóäà÷ó выбранных òî÷êàõXèY. Ñ êàêîé âåðîятностью расстоÿíèå между этими òî÷êàìè íå превзойдет длины отрезкàBY?

4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов

Ak, соединенных ïî ñëå-

дующей ñõåìå:

A

-

A

1

2

Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ êаждого элементà

3

-

A

4

Akравна 0,02. Предпо-

ëàãàåòñÿ, ÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ независимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåïü áóäåò пропуñêàòü òîê.

5. Одинакîâûå äåòàëè поступают íà сборку ñ òðåõ автоматов. Первый автомат äàåò 25 %, второй 30 %, третий 45 % âñåõ äåòàëåé, íåîáõîдимых äëÿ сборки. Áðàê â ïðîдукции первого автоматà ñîñòавляет 2,5 %, второго  2 %, третьего  3 %. Найти âåðîятность поступления íà сборку небра- êованной äåòàëè. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî îêазавшаясÿ небракованной äåòàëü изготовлена íà первом автомате.

6. Ïî мишени îдновременно стреляют òðè стрелкà, âåðîятности ïîïà- даний êоторых равны соответственно 0,4, 0,7 è 0,9. Найти ðÿä распреде- ления, математическîå îжидание è дисперсию числа попаданий â мишень. Построить график функции распределения.

7. Ìàêсимальный íóëü ñòандартного броуновскîãî äâèæåíèÿ íà

[0; 1]

имеет êîîðдинатуξñ функцией распределения



A

F (x) =

arcsin√x

ïðè

x ∈ [0; 1];

1

ïðè

x > 1.

Найти êîíñòàíòóA. Построить графики функции распределения è ïëîò- ности распределения случайной величиныξ.

215

8. Ïîдбрасываютсÿ òðè симметричных монеты. Ñîñòавить òаблицу ñîâ- местного распределения êоличеств выпавших гербов íà первой монете è íà òðåõ монетàõ. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин åòñÿ формуëîé èíà÷å. Найти êîíñòàíòócè

f(x, y) = c(x3+ y3+ xy2)

ρ(X, Y )

.

, åñëè

0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1

X, Y

çàäà-

, è

10. Время îжидания поезда метро çà îäíó поездку имеет равномер- íîå распределение íà отрезкå îò 0 äî 5 минут. Оценить число поездок, â течение êоторых суммарное время îжидания îêàæåòñÿ меньше 1 ÷àñà ñ âåðîятностью 0,96.

11. Äëÿ выборки распределения

f(x)

(X1, X2, . . . , Xn)

èç распределения ñ плотностью

найти оценки параметра

θ > 0

ïî второму моменту è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó- ченных оценок. Плотность распределения равна

f(x) =



2x

3

θ

−x2/θ

e

3

ïðè

x > 0;

0

ïðè

x ≤ 0.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения. 2,50 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,23 3,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,87

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

0,42 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,55 0,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,94

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X 1 2 3 4 5 Y −3, 5 −1, 4 2, 2 −4, 6 4, 1

0

216

Вариант 23

1. Ñóäíî имеет îäíî ðóлевое óстройство, четыре êîòëà è äâå турбины. СобытиеAîçíà÷àåò исправность ðóлевого óстройства, исправностьk-ãî êîòëà, à

D

 ñóäíî управляемое, ÷òî áóäåò â òîì è толькî â òîì случае, êîãäà исправны ðóлевое óстройство, õîòÿ áû îäèí êîòåë è õîòÿ áû îäíà турбина. ВыразитьDчерезA,

2. Â ñòóденческîé группе 10 юношей è 15 девушек. Íà университетский праздничный áàë группа получила 5 ïðèãласительных билетов, êоторые разыгрываютсÿ ïî жребию. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî íà áàë попадет õîòÿ áû îäíà девушкà?

3. Íà отрезкå единичной длины íàóäà÷ó ïîñòавлены äâå точки, â ðå- çóëüòàòå ÷åãî ýòîò отрезок îêазываетсÿ разделенным íà òðè части. Îïðå- делить âåðîятность òîãî, ÷òî длина õîòÿ áû îäíîé èç òðåõ получившихñÿ частей íå превосõîäèò

4. Íà òðåõ телеканалах часть времени занятà рекламой: íà первом  60 % времени, íà втором  40 %, íà местном  30 %. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî â случайный момент времени íåò рекламы õîòÿ áû íà îäíîì èç êаналов.

5. Ñòàíîê обрабатывает 2 âèäà äåòàëåéAèB, причем время работы распределяетсÿ между íèìè â соотношении 2:3. Ïðè обработкå äåòàëè âèäà

A

îí работàåò ñ ìàêсимальной äëÿ íåãî нагрузкîé â течение 60 % времени, ïðè обработкå äåòàëè âèäàB 90 % времени. Â случайный момент âðå- ìåíè ñòàíîê работàë ñ ìàêсимальной нагрузкîé. Определить âåðîятность òîãî, ÷òî â ýòî время îí обрабатывал äåòàëü âèäàA; âèäàB.

6. Âåðîятность попадания áàñêетбольного ìÿ÷à â êольцо ïðè бросании íàчинающим спортсменом равна 1/9. Ìÿ÷ бросают äî первого попадания, íî äàþò íå более 6 попыток. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа промахîâ. Построить график функции ðàñ- пределения.

7. Ñèëà, действующая íà электрон â электрическîì ïîëå, вычисляетсÿ ïî формуëå распределенная равномерно íà è ñòандартное отклонение ñèëûF. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî ýòà ñèëà превысит

8. Â группе èç 20 ñòóдентов толькî äâîå изучали â øêîëå француз- ñêèé ÿçûê, è именно îíè получили оценку ¾4¿ íà экзамене. Èç îñòальных ñòóдентов 10 человек получили оценку ¾3¿, 5 человек  оценку ¾3¿, è 3

F = k/r2, ãäår расстоÿíèå îò àíîäà  случайная величина,

k/(2R2)

.

Cj, j = 1, 2

Bkè

2/3

.

Cj.

 исправностьj-é турбины. Событие

[R; 2R]

. Найти математическîå îжидание

Bk, k = 1, 2, 3, 4



217

ñòóäåíòà получили ¾двойки¿. Ñîñòавить òаблицу совместного распределе- íèÿ оценки íà экзамене è индикатора изучения французскîãî ÿçûêà äëÿ выбранного íàóäà÷ó ñòóäåíòà. Найти êоэффициент êорреляции между íè- ìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин åòñÿ формуëîé êîíñòàíòócè

f(x, y) = c

ρ(X, Y )

.

, åñëè

x ≥ 0,|x| + |y| ≤ 1

, è0èíà÷å. Найти

X, Y

çàäà-

10. Число опечаток íà странице книги имеет распределение Ïóассона ñ параметром 0,5. Найти, ñêîëüêî должно áûòü страниц â книге, чтобы число опечаток â íåé íå превысило 200 ñ âåðîятностью 0,75.

11. Äëÿ выборки распределения

(X1, X2, . . . , Xn)

f(x)

найти оценки параметра

èç распределения ñ плотностью

θ > 0

ïî третьему момен- òó è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна



f(x) =

3x

2

3

θ

−x3/θ

e

3

ïðè

x > 0;

0

ïðè

x ≤ 0.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения.

7,16 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,58 5,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,75 4,76

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

0,94 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,57 0,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,24

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

X 1 2 3 4 5 Y −3, 5 −1 2, 5 −4 4

218

Вариант 24

1. Машинно-котельная óñòановкà состоит èç äâóõ êîòëîâ è îäíîé ìàøè- íû. СобытиеA исправна машина, событие êîòåë. СобытиеCîçíà÷àåò работоспособность машинно-котельной óñòà- новки, ÷òî áóäåò â òîì è толькî â òîì случае, åñëè исправна машина è õîòÿ áû îäèí êîòåë. Выразить событияCèCчерезAè

2. Â êомпании èç äåñÿòè человек решили ñделать äðóã другу ïîдарки, äëÿ ÷åãî êаждый принес ïîдарок. Âñå ïîдарки ñëîæèëè вместе, переме- øàëè è случайно распределили среди участникîâ. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî òðè êонкретных человекà получат ñâîé собственный ïîдарок.

3. Íà линейкå длиной 20 ñì случайно ñделаны äâå насечки. Êàêîâà âå- ðîятность òîãî, ÷òî растоÿíèå îò первой насечки äî íà÷àëà линейки ïðå- âîñõîäèò расстоÿíèå îò второй насечки äî íà÷àëà линейки более ÷åì íà 15 ñì?

4. Ðадиосигнал передаетсÿ последовательно через 3 ретранслятора. Íà êаждом ретрансляторе ìîæåò возникнуть помехà независимо îò îñòальных ретрансляторов ñ âåðîятностÿìè 0,02, 0,03 è 0,04 соответственно. Найти âåðîятность получения радиосигнала áåç помехи.

5. Âåðîятность òîãî, ÷òî изделие óдовлетворÿåò ñòандарту, равна 0,95. Íà çàâîäå принятà система èç четырех независимых испытàíèé, êаждое èç êоторых изделие, óдовлетворяющее ñòандарту, ïðîõîäèò ñ âåðîятностью 0,9, à íåóдовлетворяющее  ñ âåðîятностью 0,4. Êàêîâà âåðîятность òî- ãî, ÷òî íàóäà÷ó взятое изделие выдерæèò испытàíèÿ? Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî изделие, выдерæавшее испытàíèÿ, óдовлетворÿåò ñòандарту?

6. Âåðîятность изготовления íåñòандартного изделия ïðè налаженном технологическîì процессе постоÿííà è равна 1/9. Äëÿ проверки изделий îòäåë техническîãî êонтроля берет èç партии изделия îäíî çà другим, íî íå более 5 изделий. Ïðè обнаружåíèè íåñòандартного изделия âñÿ ïàð- òèÿ задерживаетсÿ. Найти ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа изделий, проверяемых â êаждой партии. Построить график функции распределения.

7. ВысотàH, êоторой достигàåò брошенный ââåðõ ìÿ÷, определяетсÿ ïî формуëå íèå свободного падения, êоторое примем равным 10 ì/ñ2. Предполагàåòñÿ, ÷òîv случайная величина, распределенная равномерно íà отрезкå îò 10 äî 20 ì/ñ. Найти плотность распределения è математическîå îжидание высоты, достигнутой мячом. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî высотà превысит

15

ì.

H = v2/(2g)

, ãäåv ñêорость, ñ êоторой брошен ìÿ÷,g óñêîðå-

Bk, k = 1, 2

 исправенk-é

Bk.

219

8. Â íàучном îòäåëå 3 лаборатории. Â первой лаборатории 6 сотруäíè- êîâ è 2 исследовательских проектà, âî второй 8 сотруäíèêîâ è 1 проект, â третьей  4 сотруäíèêà è 2 проектà. Найти совместное распределение числа сотруäíèêîâ è числа проектов â выбранной íàóäà÷ó лаборатории. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.

9. Двумерная плотность распределения случайных величин åòñÿ формуëîé êîíñòàíòócè

f(x, y) = c

ρ(X, Y )

, åñëè

−1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x2, è0èíà÷å. Найти

.

X, Y

çàäà-

10. Погрешность измерений длины êаждого èç участкîâ маршрутà ðàñ- пределена ïî нормальному çàêîíó ñ íóлевым средним è ñòандартным îò- клонением 5 метров. Найти, íà ñêîëüêî участкîâ ìîæíî разбить маршрут, чтобы суммарная погрешность íå превосõîäèëà ïî ìîäóëþ 100 метров ñ âåðîятностью 0,95.

11. Äëÿ выборки распределения

f(x)

(X1, X2, . . . , Xn)

èç распределения ñ плотностью

найти оценки параметра

θ > 0

ïî первому моменту è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó- ченных оценок. Плотность распределения равна

f(x) =



1

√

3

2θ

x

−√x/θ

e

3

ïðè

x > 0;

0

ïðè

x ≤ 0.

12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà- раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм- ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению, è график оценки плотности распределения.

-1,07 -0,72 -4,46 -3,24 2,42 -1,70 -1,24 -0,07 6,20 2,67 1,80 0,26 9,61 2,51 1,44 -3,65 5,50 4,17 -2,06 7,48 2,60 7,61 2,54 9,77 9,67 7,36 7,86 11,22 3,38

13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà имеет равномерное распределение íà отрезкå

[0; 2]

. Сделать âûâîä î òîì, принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è- мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.

1,06 1,44 0,70 1,33 0,74 0,61 1,03 1,25 0,85 0,81 1,04 0,76 0,80 1,55 1,61 0,82 1,70 1,63

14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè- нейной регрессии.

220