Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. Л. ВЕРЕТЕЛЬНИКОВА
И. В. ПЕРЕВОЗЧИКОВА
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2025
УДК 519.21(075.8)
В316
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры автоматики НГТУ
Г. В. Саблина
канд. физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник ИЯФ СО РАН
А. А. Шошин
Работа подготовлена на кафедре автоматики
и кафедре инженерной математики
Веретельникова Е. Л.
В316 Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функ-
ции случайных
величин : учебное пособие / Е. Л. Веретельни-
кова, И. В. Перевозчикова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2025. –
104 с.
ISBN 978-5-7782-5440-4
Теоретический материал в пособии подразделен на три темы
и сгруппирован таким образом, чтобы одна тема изучалась на одном
аудиторном занятии. Приведены примеры решения задач по теории вероятностей и предлагаются упражнения для самостоятельной работы.
Пособие предназначено для практических занятий студентов первого курса АВТФ направлений подготовки 09.03.01 «Информатика
и вычислительная техника» и
стемах» дневной формы обучения, а также может быть полезно студентам других специальностей, в том числе заочной формы обучения, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика».
27.03.04 «Управление в технических си-
УДК 519.21(075.8)
ISBN 978-5-7782-5440-4 © Веретельникова Е. Л.,
Перевозчикова И. В., 2025
© Новосибирский государственный
технический университет, 2025
X
X
x
x
x
x
x
x
ÒÅÌÀ 1
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1.1. Понятие о системе случайных величин
и законе ее распределения
При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело
с двумя, тремя и бо´льшим числом случайных величин.
Совместное рассмотрение нескольких случайных величин приводит к системам случайных величин (ССВ). Можно привести следующие приметы систем случайных величин:
(,)
точка попадания снаряда характеризуется системой
случайных величин: абсциссой
и ординатой Y ;
успеваемость наудачу взятого абитуриента характеризуется си-
(, , , )
стемой
случайных величин
n
xx
12
– оценками, проставлен-
n
ными в его аттестате зрелости.
(, , , )
Таким образом, упорядоченный набор
величин
элементарных событий (ПЭС)
( 1, ..., )in , заданных на одном и том же пространстве
i
, называют n-мерной СВ, или систе-
xx
12
мой n случайных величин.
,,,
Одномерные СВ
xx
12
ставляющими, n-мерной СВ
называются компонентами, или со-
n
(, , , )
xx
12
. Их удобно рассматривать
n
как координаты случайной точки или случайного вектора
(, , , )
xx x
12
в пространстве n измерений.
n
На многомерные случайные величины распространяются почти без
изменений основные понятия и определения, относящиеся к одномерным случайным величинам. Ограничимся для простоты рассмотрением
Y
случайных
n
двух
3
системы двух случайных величин; основные понятия обобщаются
X
X
M
X
x
x
x
x
X
на случай большего числа компонент.
(,)
Упорядоченная пара
вается
случайных
двумерной случайной величиной, или системой двух одномерных
величин X и Y .
Систему
(,)
Y
можно изобразить случайной точкой
Y
двух случайных величин X и Y назы-
(,)
XY
случайным вектором
или
OM
(рис. 1.1).
а б
Рис. 1.1.
Система
Случайная точка М (а) и случайный вектор
(,)
Y
есть функция элементарного события:
Каждому элементарному событию
ствительных числа
)X
и
в данном опыте.
2
В этом случае вектор
ного вектора
и y (или
(, )
XX .
12
(, )
xx
12
ставится в соответствие два дей-
)
и
1
– значения X и Y (или
2
называется реализацией случай-
OM
(б)
(,) ()XY
X
Пример 1.1
Бросаются две игральные кости. Пусть СВ X – число выпавших
очков на первой кости; СВ Y – число выпавших очков на второй кости; ПЭС состоит из 36 элементов:
=
(1, 1) ,
(1, 2), ..., (1, 6), (2, 1),
.
1
(2, 2), ..., (6, 4), (6, 5),
(6, 5) =
этих значений – функция элементарного события
соответствует пара чисел
65
(6, 6) .
Например, элементарному событию
6x
и 5y . Совокупность
.
Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными и смешанными в зависимости от типа СВ, образующих эту
систему.
4
(,)
X
X
p
x
x
x
X
Полной характеристикой системы
ления вероятностей
, указывающий область возможных значений си-
Y
является закон распреде-
стемы случайных величин и вероятности этих значений. Как и для отдельных СВ, закон распределения системы может иметь разные формы
(таблица, функция распределения, плотность и т. д.).
Так, закон распределения двумерной дискретной случайной вели-
(,)
чины
1, ..., ;in
Y
можно задать формулой {, },
1, ..., ,jm
или в форме таблицы с двойным входом.
PX x Y y
ij i j
/XY
1
2
y
1
p
11
p
21
…
…
…
y
m
p
1m
p
2m
… … … …
n
p
1n
…
p
nm
nm
1
p
Причем
∑∑
11
ij
.
ij
Примерный график распределения двумерной дискретной случай-
(,)
ной величины
Y
приведен на рис. 1.2.
Рис. 1.2. График распределения двумерной
дискретной случайной величины
5
Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величи-
x
P
P
P
x
p
p
X
X
p
X
ны
(ДСВ), можно найти законы распределения каждой из компонент
(обратное неверно).
Так,
pPXxpp p
{ } ...
1
11112 1
сложения вероятностей несовместных событий
{, }
XxYy
12
{}
PX x p
i
, …
∑
iij
m
j
{, }
XxYy
1
{}
PY y p
,
yjij
1
j
m
, что следует из теоремы
m
{,}
XxYy
11
. Аналогично можно найти
n
.
∑
i
1
Пример 1.2
В урне четыре шара: два белых, один черный и один синий. Из нее
наудачу извлекают два шара. Пусть СВ
в выборке, СВ
деления для системы
Y – число синих шаров в выборке. Найти закон распре-
(,)
Y
и для компонент X и Y .
– число черных шаров
Решение
Случайная величина X может принимать значения 0 и 1,
а
Y – значения 0 и 1. Вычислим соответствующие вероятности:
2
C
1
2
pPX Y
;
12
{0,0}
11
{0,1}
PX Y
C
C
{1,pPX
22
C
1
2
2
2
6
4
2
6
4
pPXY
21
1}
Y
Заполним таблицу распределения системы
21 1
⎛⎞
или ;
⎜⎟
⎝⎠
{1, 0}
43 6
2
;
6
1
.
6
(,)
Y
.
/XY
0
1
0 1
1
6
2
6
2
6
1
6
,
6
Из таблицы следует:
X
X
p
p
F
F
X
F
x
X
F
F
X
X
p
x
F
{0}
PY
121
662
понент
и Y представим в виде таблиц.
{0}
PX
,
{1}
PY
211
662
121
,
{1}
PX
662
. Законы распределения ком-
211
662
0 1
1
2
1
2
Y
0 1
1
2
1
2
1.2. Функция распределения двумерной СВ
Универсальной формой задания распределения двумерной случайной величины является функция распределения (или интегральная
функция), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной слу-
(, )
xy
чайной величины, обозначаемая
XY
или
Функцией распределения двумерной случайной величины
(, )
xy
называется функция
сел
и y равна вероятности совместного выполнения двух событий
{}
x и {}Yy .
Таким образом, по определению
Геометрически функция
попадания случайной точки
ной в точке
(, )xy
, выделенный серым цветом на рис. 1.3.
, которая для любых действительных чи-
(, ) { , }
xy X xY y
(, )
xy
интерпретируется как вероятность
(,)
Y
в бесконечный квадрант с верши-
Функция распределения двумерной дискретной случайной величи-
(,)
Y
ны
рых
находится суммированием всех вероятностей
x
,
yy , т. е.
i
j
(, )
xy
.
ij
(,)
.
, для кото-
Y
;
(, )
xy p
∑∑
xxy y
ij
7
. (1.1)
ij
X
F
F
F
F
x
Рис. 1.3. Геометрическая интерпретация функции
распределения двумерной случайной величины
Пример 1.3
(,)
По таблицам распределения системы
мере 1.2 найти функции распределения системы
()
x
и
()
y
.
Y
компонент X и Y в при-
(, )
xy
и компонент
Решение
Используя формулу (1.1), находим функции распределения
()Fy
и
:
2
0, 0,
x
⎧
⎪
⎪
1
() , 0 1,
Fx x
⎨
1
2
⎪
⎪
1, 1.
⎩
x
() , 0 1,
Fy y
2
0, 0,
y
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
1, 1 .
⎩
1
2
y
Используя формулу (1.1), находим функцию распределения
(, ).
xy
/XY
0x
1x
01
0y
01y
0 0 0
0
0
112
266
1
6
112
266
1221
1
6666
1y
()Fx
1
8
Свойства функции распределения двумерной СВ
F
F
F
x
F
F
F
F
F
F
F
X
(, )
1. Функция распределения
xy
ограничена:
0(,)1Fx y.
(, )
2.
Функция
xy
не убывает по каждому своему аргументу при
фиксированном другом аргумента:
(,) ( ,),
xy Fx y
12
(, ) (, ),
xy Fxy
12
3.
Если хотя бы один из аргументов обращается в , то функция
12
yy
12
x
;
.
распределения равна нулю:
(, ) ( , ) ( , ) 0Fx F y F .
(, )
Если оба аргумента обращаются в , то
4.
xy
равна 1:
(, )1F
5.
Если один из аргументов обращается в , то функция распре-
.
деления системы случайных величин становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:
(, ) () ()
Функция
6.
xFxFx
(,) () ()
(, )
xy
непрерывна слева по каждому из своих аргу-
1
yFyFy
2
;
X
.
Y
ментов:
lim ( , ) ( , )
xx
lim ( , ) ( , ).
yy
xy Fx y
0
0
xy Fxy
0
0
;
0
0
Замечание 1. Зная совместное распределение двух случайных ве-
личин
и Y , можно найти одномерные распределения этих случай-
ных величин (обратное неверно, кроме частных случае).
9
(, )
F
F
X
D
F
F
Замечание 2. С геометрической точки зрения функция
xy
есть
некоторая поверхность (ступенчатая для двумерной дискретной случайной величины), обладающая указанными свойствами.
(, )
xy
Замечание 3. С помощью функции
роятность попадания случайной точки
и 1.5) и прямоугольник
(рис. 1.6) со сторонами, параллельными ко-
(,)
легко можно найти ве-
Y
в полуполосу (рис. 1.4
ординатным осям.
Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация
вероятности попадания случайной точки
(X, Y) в полуполосу
(, ) (, )
xy Fxy
(, )PX x y Y y
21
12
Рис. 1.5. Геометрическая интерпретация
вероятности попадания случайной точки
(
X, Y) в полуполосу
(,)Px X x Y y
12
(,) (,)
xy Fxy
21
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]