Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
Так, неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины X и ограничивает сверху вероятность
того, что случайная величина отклонится от своего математического
ожидания на величину, которая больше некоторого положительного
малого числа ε. Из неравенства Чебышева следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности также уменьшается и зна-
случайной величины с небольшой дисперсией сосредоточивают-
чения
ся около ее математического ожидания.
Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по среднему арифметическому судить о математическом ожидании или, наоборот, по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину среднего арифметического. Так, на основании этой теоремы
можно утверждать, что если проведено достаточно большое количество измерений определенного параметра прибором, свободным от
систематической погрешности, то среднее арифметическое результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.
Теорема Бернулли (1713 г.), являясь исторически первой предельной теоремой, устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) – это
вторая группа теорем
теории вероятностей. Она касается предельных законов распределения
суммы случайных величин. Формы ЦПТ различаются условиями,
накладываемыми на сумму составляющих случайных величин. Так,
теорема Ляпунова доказывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении количества этих величин,
если все величины
имеют конечные математические ожидания и дисперсии и ни одна из величин по значению резко не отличается от
остальных.
Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых
случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон
распределения суммы можно заменить на нормальный.
91
Домашнее задание
Задача 1. Для правильной организации сборки узла необходимо
оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на 2 мм. Известно, что середина поля
допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм.
Решите задачу с помощью неравенства Чебышева.
Задача 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье
выборочно устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, так как вес отливки, рассчитанный по металлической
модели, отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью более 0,9 можно было утверждать, что
средний вес отобранных отливок отличается от расчетного
нятого за математическое ожидание, не более чем на 0,2 кг? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно 0,45 кг. Решите задачу, используя теорему Чебышева.
Задача 3. Из 1000 изделий, отправляемых в сборочный цех, обсле-
дованию было подвергнуто 200 отобранных случайным образом изделий. Среди них оказалось 25 бракованных. Приняв долю бракованных
изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного
изделия, оцените вероятность того, что во всей партии окажется бракованных изделий не более 15 % и не менее 10 %. Решите задачу, используя
теорему Бернулли.
веса, при-
92
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бекарева Н. Д. Теория вероятностей : конспект лекций / Н. Д. Бекаре-
ва ; Новосиб. гос. техн. ун-т. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2004. – 184 с.
2.
Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математи-
ческой статистики : учебник для вузов / А. Н. Бородин. – Москва : Лань,
2006. – 256 с.
3.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. – Москва : Ака-
демия, 2005. – 576 с. – (Высшее образование).
4.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения :
учебное пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – Москва : Высшая школа, 2000. – 480 с.
5.
Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей /
Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – Москва : Академия, 2005. – 448 с. – (Высшее
образование).
6.
Веретельникова Е. Л. Теория вероятностей. Случайные события : учеб-
ное пособие / Е. Л. Веретельникова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2022. – 91 с.
7.
Веретельникова Е. Л. Теория вероятностей. Случайные величины : учеб-
ное пособие / Е. Л. Веретельникова, И. В. Перевозчикова. – Новосибирск : Изд-во
НГТУ, 2024. – 102 с.
8.
Веретельникова Е. Л. Теория вероятностей и математическая стати-
стика : метод. указания к выполнению расчетно-графической работы и подготовке к контрольным работам для студентов II курса АВТФ / Е. Л. Веретельникова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2017. – 48 с.
9.
Веретельникова Е. Л. Теория вероятностей и математическая статистика
2020 : электронный учебно-методический комплекс/ Е. Л. Веретельникова. –
Новосибирск, 2020. – URL: https://dispace.edu.nstu.ru/didesk/course/show/8648 (дата
обращения: 17.03.2025).
10.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике / В. Е. Гмурман. – Москва : Высшее образование, 2009. – 479 с. – (Основы наук),
11.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика :
учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – Москва : Высшее образование,
2008. – 479 с. – (Основы наук).
12. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, матема-
тической статистике и случайным процессам / Д. Т. Письменный. – Москва :
Айрис-Пресс, 2008. – 288 с. – (Высшее образование).
93
X
F
X
x
ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ ЗАДАНИЯМ
Тема 1. Системы случайных величин
Задача 1
1. СВ X и Y принимают значения 0, 1. Совместный закон распре-
деления имеет следующий вид.
(, )
xy
8
33
3
33
1
p
, т. е. условие нормировки
ij
имеет следующий вид.
1
22 14 8
33 33 33
14 8 8 3
⎛⎞
⎜⎟
33 33 33 33
⎝⎠
1x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Проверка показывает, что
выполняется.
2. Функция распределения
Y
0y
01y
1y
0x
0 0 0
0
0
Y
0
1
0 1
14
33
8
33
22
∑∑
11
ij
XY
01
14
33
22 14 8
⎛⎞
⎜⎟
33 33 33
⎝⎠
94
Задача 2
A
x
x
x
X
p
p
X
1. 1
;
xy
⎧
(1 e )(1 e ), 0 , 0 ,
Fxy
2.
3.
4.
fy fy
и
Y
5.
⎛⎞
1(e) 1 0,63
⎜⎟
⎝⎠
(, )
XY
Fx
()
X
fx fxFx
() () ()
XX
() ()
2
{0,1} e e (e1)e
PX Y dx dy dx
11
ee
⎪
⎨
0, 0 0.
⎪
⎩
x
⎧
1e , 0 ,
⎪
⎨
0, 0
⎪
⎩
1
y
⎧
e,0 ,
⎪
⎨
0, 0.
⎪
⎩
и
x
⎧⎧
(1 e ) , 0 , e , 0 ,
⎪ ⎪
⎨⎨
0, 0 0, 0.
⎪⎪
⎩⎩
y
y
1
xy x
xy
Fy
Y
xx
∫∫ ∫
00 0
x
0
.
y
y
⎧
1e , 0 ,
⎪
()
⎨
0, 0.
⎪
⎩
xx
1
y
y
x
Задача 3
1. СВ X и Y принимают значения 0, 1, 2. Очевидно следующее.
0 1 2
0,36 0,48 0,16
Y
0 1 2
0,16 0,48 0,36
3
1
p
Проверка показывает, что
∑
i
, т. е. условие нормировки выпол-
i
1
няется.
(,)
Y
2. Возможные значения системы
: (0, 0); (0, 1); (0, 2); (1, 0);
(1, 1); (1, 2); (2, 0); (2, 1); (2, 2). Совместная таблица распределения
имеет следующий вид.
95
/XY
X
F
p
F
x
X
X
0 1 2
0 0,0576 0,1728 0,1296
1 0,0768 0,2304 0,1728
2 0,0256 0,0768 0,0576
Так как
{ 0, 0} 0,4 0,4 0,6 0, 6 0,0576pPX Y
11
и т. п.
3. По таблице распределения, пользуясь равенством (, )
∑∑
xxy y
ij
,
находим значения функции распределения
ij
XY
/XY
0x
2x
01
12x
0y
01y
0 0 0 0
0 0,0576 0,2304 0,3600
0 0,1344 0,5376 0,8400
0 0,1600 0,6400 1,000
12y
Задача 4
Случайные величины X и Y принимают значения 2 и 5.
(,)
Y
1. Совместный закон распределения
имеет следующий вид.
Y
2
5
2 5
15
91
24
91
24
91
28
91
22
1
p
Проверка показывает, что
∑∑
ij
11
, т. е. условие нормировки
ij
выполняется.
xy
Y
(, )
xy
2y
.
96
2. Законы распределения составляющих X и Y выглядят следую-
X
p
p
X
p
p
X
p
щим образом.
2 5
Y
0 1
39
91
52
91
2
Проверка показывает, что
∑
i
1
няется.
3. Условные законы распределения для
при условии
5X
принимают следующий вид.
/2XY
2 5
15
39
24
39
2
Проверка показывает, что
∑
i
1
няется.
Тема 2. Функции случайных величин
1
p
, т. е. условие нормировки выпол-
i
39
91
при условии 2Y и для Y
/5YX
1
p
, т. е. условие нормировки выпол-
i
2 5
24
52
52
91
28
52
Задача 1
1. Закон распределения СВ
2YX
принимает следующий вид.
0 1
2 3
0,10 0,20 0,30 0,25 0,10 0,05
97
2
5
2. Закон распределения СВ
X
p
YX
sin
выглядит следующим об-
3
разом.
3
2
0,30 0,35 0,35
0
3
2
Задача 2
1. Многоугольники распределения СВ Xи Y показаны на рисунке.
2.
0 0,5 1 0,5 0,5MY
2222 2
( ) 0 0,5 1 0,5 0,5 0,25DY MY MY
0, 25 0,5YDY
;
;
.
Задача 3
1. Случайная величина Xподчиняется равномерному закону рас-
пределения
Rav[ 2, 2]X
, значит, ее плотность распределения
1
⎧
x
, [ 2,2],
⎪
()
fx
X
4
⎨
⎪
x
0 , [ 2, 2].
⎩
98
Функция
x
g
f
M
M
x
x
x
функция
1yx
строго возрастает в интервале
1()
yy
при
[1,3]y
(,)
. По формуле
, обратная
()
y
()| ()|
находим
Следовательно,
yy
()
gy
Y
Rav[ 1, 3]Y
1
⎧
,[1,3],
x
⎪
⎨
⎪
⎩
4
0, [ 1, 3].
x
2. Математическое ожидание можно находить по формуле
Yygydy dy
() 1
∫∫
3
y
4
1
или
() ( 1) ()() 1
Y M X M X x f x dy dx
Дисперсия
DY MY MY dy
22 2
() 1
∫∫
3
∫
1
Среднее квадратическое отклонение
2
y
43
YDY
2
2
4
.
(1)
x
42
3
.
4
.
3
Задача 4
2
,0,
По условию задачи
В интервале
()
yy
11
yy
22
. На интервале
()
. Таким образом, имеем
fx
() e
(,0)
1
2
,
yx
2
||
⎧
⎨
⎩
xx
обратная функция для
[0, )
99
обратная функция есть
,0.
xx
||yx
есть
2
D
2
() ()| ()| e 1
gy f y y
∑
1
i
22
yy
12
22
22
e1 e,
1
2
y
2
[0, ).y
Тема 3. Предельные теоремы теории вероятностей
Задача 1
По условию задачи
2
мм,
x
, X – размер обрабатывае-
0, 25
мых деталей. Используя неравенство Чебышева, получаем
2
| | 2 0,9844
PX MX
0, 25
2
2
.
Задача 2
По условию задачи имеем
мм,
0, 2
где
X – средний вес отливок гильзы.
x
Если применить к случайной величине
,
||0,9PX MX
X неравенство Чебышева,
0, 45
получим
,
PX MX
||1
X
,
2
а с учетом равенства свойств математического ожидания и дисперсии
среднего арифметического
||1
PX MX
Подставляя в эту формулу данные задачи, получаем
т. е.
50n .
100
DX
2
.
n
DX
10,9
2
n
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]