Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
ветственно
p
X
M
j
M
j
D
X
X
p
M
p
PX x,
{}
i
pp
12
1, 2, ...,in
, т. е. если
n
.
yx
ii
, , ...,
Отметим, что различным значениям СВ
одинаковые значения СВ
.Y В этом случае вероятности повторяющих-
ся значений следует складывать.
Математическое ожидание и дисперсия функции
ляются соответственно равенствами:
nn
YxpDY xmp
(); () ;
∑∑
ii i y i
ii
11
или
m
Yyp
∑
j
;
j
1
m
Yymp
().
∑
1
j
Пример 2.1
()
, то
{}
pPYy
ii
могут соответствовать
()YX
опреде-
2
2
yj
Задана таблица распределения ДСВ
–1 1 2
0,1 0,3 0,6
.
Найти математическое ожидание
2
YX
1)
2)
;
210YX.
Y ДСВ Y , если:
Решение
1. СВ Y принимает значения
2
3
1
24y
, т. е. она принимает два значения – 1 и 4, причем
{1}{ 1}{ 1}0,10,30,4pPY PX PX
11
{2}0,6PX.
Y
1 4
0,4 0,6
51
()(1) 1yx ;
2
;
2
{4}pPY
2
2
11y ;
Получаем
p
f
X
X
22
10,320,62,8 .
Y принимает значения
2. СВ
Закон распределения
10,4 4 0,6 2,8MY
() 2 10 2(1)108yxx
111
Y имеет следующий вид.
или
Y
8 12 14
0,1 0,3 0,6
Значит,
8 0,1 12 0,3 14 0,6 12,8MY
.
Закон распределения и числовые характеристики
функций НСВ
Пусть X – непрерывная СВ с плотностью распределения
Y есть функция от
а СВ
, т. е.
Найдем закон распределения СВ
Будем считать функцию
ющей и дифференцируемой в интервале
ний СВ
, который может быть бесконечным
()YX
.
.Y
()YX непрерывной, строго возраста-
(,)ab
всех возможных значе-
(, )
на рис. 2.1.
2
(1)0,1MY
и т. п.
()
x
, как показано
,
Рис. 2.1. График непрерывной, строго
возрастающей функции
52
()
X
X
F
F
X
g
X
g
g
Тогда существует функция
(,)
(случайная точка
Y
Функцию распределения
.
()Gy
,
значить также
() { }Gy PY y
Так как событие
лежит на кривой
Gy
Y
()
y
или
Y
{}Yy эквивалентно событию {()}
Y
()
случайной величины Y можно обо-
()
Y
(рис. 2.1), то
() { } () () () ;
Gy PY y P X y F y f xdx
()
y
() () .
Gy f xdx
∫
a
Дифференцируя полученное равенство по
распределения СВ
() () () () ().
Y :
()
dG y d
(2.1)
yfyyfyy
dy dy
, обратная функции
())YX
.
x
) и определить по формуле
()
y
x
∫
a
, найдем плотность
y
()YX
y
Если функция
тие
{}Yy эквивалентно событию
()yx в интервале (, )ab строго убывает, то собы-
()
y
. Поэтому
()
y
b
() () ()
Gy fxdx fxdx
∫∫
()
yb
.
Отсюда следует, что
() () ()
yfyy
.
Учитывая, что плотность распределения не может быть отрицательной, формулы для плотности можно объединить в одну:
() ()| ()|
yf y y
Наконец, если функция
то для нахождения
()gy
следует разбить интервал на n участков,
()yx
53
.
немонотонна в интервале
(,)ab
,
найти обратную функцию на каждом из них и воспользоваться фор-
g
X
f
M
M
D
f
x
мулой
n
или
.
()
x
– плотность ее распре-
()YX
()
∫
Yygydy
можно
;
() ()| ()|
yfy y
∑
i
Если СВ
деления, то для нахождения числовых характеристик
пользоваться формулами:
является непрерывной и
YM X xfxdx
( ) () ()
∫
ii
1
DY D X x m f x dx
Пример 2.2
Найти плотность распределения функции непрерывной СВ
Решение
Функция
Обратная функция есть
имеем
Отметим, что линейное преобразование
тера распределения: из нормальной СВ получается нормальная СВ, из
равномерной – равномерная.
Проиллюстрируем на примере вывод формул для функции и плотности распределения:
( ) () ()
52YX
, считая X непрерывной СВ с плотностью ()
() | | , ( , )
gy f f y
∫
52yx
монотонно убывает в интервале
2112
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
5555
⎝⎠ ⎝⎠
2
y
1
yy
(2 ) ( )
5
yy
или
,
yaxb не меняет харак-
Yymgydy
()().
∫
2
y
x .
(, )
1
()5y
По формуле (2.1)
.
.
54
() { } {5 2 }
y
yy
X
Gy PY y P X y pX
2
5
222
yyy
11
PX PX PX
Так как
пределения СВ
т.е.
() , ( , )
gy f y
Пример 2.3
Пусть СВ
(/2,/2)
Найти математическое ожидание СВ
1) использовать плотность
2) не находить плотность
PX Gy F
12
⎛⎞
⎜⎟
55
⎝⎠
.
555
PX F
11.
22
yy
55
Y , тогда
() () 1
gy G y F
22 2 1
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
ff
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
X
55 55
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
y
имеет равномерное распределение в интервале
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
22
0, т. е. ( ) = 1
yy y
()gy
55
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
y
.
()gy
;
, а использовать
⎛⎞
⎜⎟
X
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
X
⎝⎠
2
y
⎛⎞
⎜⎟
X
5
⎝⎠
cosYX
y
, если:
– функция рас-
,
()fx
.
Решение
1. Имеем плотность равномерно распределенной СВ X в виде
1
⎧
,,,
⎪
()
fx
⎪⎝⎠
⎨
⎪
0, , .
⎪
⎩
⎛⎞
x
⎜⎟
22
⎛⎞
x
⎜⎟
22
⎝⎠
55
В интервале (/2,/2) функция
x
x
g
M
тервале
(2,0)
функция возрастает, в интервале
ет. На первом участке обратная функция
второй
–
arccos ( )
22
yy
() () () () ()
yf y yf y y
. По формуле (2.1) имеем
11 2 2
cosyx
немонотонна: в ин-
(0, / 2)
arccos ( )
11
yy
– убыва-
, на
11 1 1 1
т. е.
gy
Тогда
Yygydyy dy
1
21 1 2
2
0
2
т. е.
MY
.
2. Используем формулу
MY x dx x
222
111yyy
1
⎧
⎪
()
(1 ) (1 ) 2 1 ,
∫
2
∫
1
⎨
⎪
⎩
⎡⎤
⎢⎥
∫∫
⎢⎥
⎣⎦
22 21
ydy y
cos sin 1 ( 1)
2
y
0, 0 или 1.
()
1
2
11 2
,0 1,
2
y
yy
1
0
1
1
2
2
y
,
2
0
и снова получим тот же результат
сил и времени.
MY
56
2
, но с меньшими затратами
2.2. Функции двух случайных аргументов
Z
Z
Z
Z
X
Z
X
Z
Z
X
f
f
Z
F
Z
xy
Для решения ряда практических задач необходимо знать закон распределения (или числовые характеристики) случайных величин вида
XY,
XY ,
22
XY,
Если каждой паре возможных значений СВ
ному правилу соответствует одно возможное значение СВ
называют
функцией двух случайных аргументов
(,)
XY
.
Найдем закон распределения суммы двух случайных величин (наиболее важный на практике), т. е. закон распределения СВ
Пусть система двух непрерывных СВ
(, )
xy
плотность распределения
свойства плотности двумерной случайной величины
max( , )
XY
и др.
и Y по определен-
, то Z
и Y и записывают
XY.
(,)
Y
имеет совместную
. Найдем по формуле из второго
(,)PXY D
∫∫
D
Здесь
(, )
xy dxdy
D
функцию распределения СВ
zPZzPXYz fxydxdy
() { } { } (, ) .
Z
– множество точек плоскости
удовлетворяют неравенству
Рис. 2.2. D
D
Oxy
z
(рис. 2.2).
как множество точек
Z
плоскости
Oxy
57
XY:
∫∫
Z
, координаты которых
zx
F
Z
f
X
f
f
Z
X
f
Z
Z
f
f
f
X
Z
Z
⎛⎞
Имеем () (, )
z f x y dy dx
Z
Дифференцируя полученное равенство по переменной
⎜⎟
∫∫
⎜⎟
⎝⎠
.
, входящей
z
в верхний предел внутреннего интеграла, получаем выражение для
плотности распределения СВ
Если СВ
и Y независимы, то, как известно,
() (, )
Z
XY:
zxzxdx
∫
. (2.2)
(, ) () ()
xy f xf y
12
Формула (2.2) примет вид
() () () ( )
zf z fxfzxdx
ZXY
12
∫
.
Закон распределения суммы независимых СВ называется компози-
цией, или сверткой, законов распределения слагаемых.
Плотность распределения СВ
ff
YXY
, где – знак свертки, а саму эту формулу называют
можно записать в виде
формулой свертки, или формулой композиции, двух распределений.
Записав
ние для
()
z
, а именно
Z
в виде
XY, можно получить другое представле-
.
() ( , )
zfzyydy
Z
() ( ) ( )
Z
в случае независимости СВ
∫
zfzyfydy
12
∫
и Y .
Задачи нахождения закона распределения СВ вида
;
XY,
XY и других решаются аналогично.
58
2.3. Распределение функций нормальных СВ
X
X
p
Распределением
2
(или распределением Пирсона) с n степеня-
n
ми свободы называется распределение суммы квадратов n независимых стандартных случайных величин:
n
22
ni
i
Распределением Стьюдента (или t-распределением) с n степе-
∑
, где
1
XN i n
(0, 1), 1, 2, ...,
i
.
нями свободы называется распределение СВ
Z
Tn
n
Распределением Фишера – Снедекора (или F-распределением)
где
,
1
2
n
(0, 1).ZN
с m и n степенями свободы называется распределение СВ
1
2
m
m
F
.
1
2
n
n
Задачи (с решениями)
Пример 2.4
Дискретная случайная величина X задана законом распределения.
1 3 5
0,4 0,1 0,5
Найти закон распределения случайной величины 3YX .
Решение
Найдем возможные значения величины
31 3y
1
;
2
33 9y
3
35 15y
59
. Видим, что различным воз-
;
3YX
. Имеем:
можным значениям X соответствуют различные значения Y . Это
p
X
p
X
X
объясняется тем, что функция
Найдем вероятности возможных значений
3Yy
, достаточно, чтобы величина X приняла значение
1
Вероятность же события
и вероятность события
1
() 3yxx монотонна.
Y . Для того чтобы
1.x
1
1X по условию равна 0,4. Следовательно,
3Yy
также равна 0,4.
Аналогично получим вероятности остальных возможных значе-
Y :
ний
{9}{ 3}0,1PY P X
{15}{ 5}0,5PY P X
;
.
Напишем искомый закон распределения
Y .
Y
3 9 15
0,4 0,1 0,5
Пример 2.5
Дискретная случайная величина X задана законом распределения.
–1 –2 1 2
0,3 0,1 0,2 0,4
2
Найти закон распределения случайной величины
YX
.
Решение
Найдем возможные значения Y :
22 2 2
11 2 2
Различным значениям
(1) 1; (2) 4;yx yx
22 2 2
33 44
11; 2 4.yx yx
соответствуют одинаковые значения Y .
Это объясняется тем, что возможные значения
2
валу, на котором функция
YX
немонотонна.
принадлежат интер-
Найдем вероятности возможных значений Y . Для того чтобы величина
приняла значение
Y приняла значение
1X или 1X . Последние два события несов-
достаточно, чтобы величина X
1,Y
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]